788:
922:
1056:
2263:
3345:
1786:
1278:
197:
2933:
620:
3432:
2547:
1547:
3126:
1671:
659:
1110:
515:
803:
1326:
953:
2806:
2433:
2097:
1195:
310:
3037:
2378:
2315:
1949:
1916:
1459:
464:
2151:
392:
363:
1283:
This is a very useful result as it enables one to pass to the
Fourier transform of a function in the Hardy space and perform calculations in the easily understood space
643:
330:
220:
3216:
2771:
1836:
3224:
3189:
3169:
3149:
3057:
3008:
2984:
2956:
2744:
2714:
2694:
2670:
2650:
2630:
2610:
2590:
2570:
2398:
2349:
2286:
2143:
2123:
2035:
2015:
1995:
1809:
1694:
1597:
1577:
1373:
1349:
1150:
1130:
945:
535:
435:
412:
272:
252:
1871:
1408:
1702:
78:
1204:
117:
3689:
3679:
3597:
3571:
1965:
2814:
543:
3647:
3353:
2441:
1467:
3684:
3065:
2318:
231:
44:(1894–1964) who, in 1934, introduced various versions of the theorem. The original theorems did not use the language of
783:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )\right|^{2}\,d\xi \leq \int _{0}^{\infty }|F(x)|^{2}\,dx}
1605:
1974:
1882:
108:
25:
1064:
469:
91:
respectively. These are related mathematical concepts that place the decay properties of a function in context of
917:{\displaystyle \lim _{\eta \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )-f(\xi )\right|^{2}\,d\xi =0.}
111:
supported on the real line. Formally, the idea is to take the integral defining the (inverse) Fourier transform
1051:{\displaystyle \sup _{\eta >0}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )\right|^{2}\,d\xi =C<\infty }
1286:
394:; so differentiation under the integral sign is out of the question. One must impose further restrictions on
650:
2776:
2403:
2043:
88:
1162:
277:
3694:
794:
2258:{\displaystyle {\hat {v}}(s)=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}v\left(x\mapsto e^{-i\langle x,s\rangle }\right)}
3013:
2354:
2291:
1925:
1892:
1413:
440:
104:
45:
368:
73:
57:
335:
3643:
3593:
3567:
3542:
68:
33:
29:
1811:
which is square-integrable over horizontal lines is the holomorphic
Fourier transform of an
3657:
3615:
2963:
1952:
1557:
646:
628:
517:. The Paley–Wiener theorem now asserts the following: The holomorphic Fourier transform of
315:
227:
205:
92:
53:
3631:
3607:
3194:
2749:
1814:
3627:
3603:
3340:{\displaystyle |{\hat {v}}(\zeta )|\leq C_{m}(1+|\zeta |)^{N}e^{H(\mathrm {Im} (\zeta ))}}
1919:
1886:
1553:
1352:
3559:
3174:
3154:
3134:
3042:
2993:
2969:
2941:
2729:
2699:
2679:
2655:
2635:
2615:
2595:
2575:
2555:
2383:
2334:
2271:
2128:
2108:
2020:
2000:
1980:
1794:
1679:
1582:
1562:
1358:
1334:
1135:
1115:
930:
520:
420:
397:
257:
254:
defines an analytic function. However, this integral may not be well-defined, even for
237:
230:. One may then expect to differentiate under the integral in order to verify that the
223:
83:
64:
41:
1841:
1378:
3673:
3555:
37:
3581:
63:
The original work by Paley and Wiener is also used as a namesake in the fields of
2125:
is a function (as opposed to a general tempered distribution) given at the value
1781:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(\xi +i\eta )|^{2}\,d\xi <\infty .}
3589:
1156:
17:
2317:. This extension of the Fourier transform to the complex domain is called the
1273:{\displaystyle {\mathcal {F}}H^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(\mathbb {R_{+}} ).}
1159:
49:
1881:
Schwartz's Paley–Wiener theorem asserts that the
Fourier transform of a
1155:
In abstract terms, this version of the theorem explicitly describes the
192:{\displaystyle f(\zeta )=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{ix\zeta }\,dx}
2928:{\displaystyle |F(z)|\leq C_{N}(1+|z|)^{-N}e^{B|\mathrm {Im} (z)|}}
1951:
and gives estimates on its growth at infinity. It was proven by
615:{\displaystyle f(\zeta )=\int _{0}^{\infty }F(x)e^{ix\zeta }\,dx}
1328:
of square-integrable functions supported on the positive axis.
3427:{\displaystyle |\mathrm {Im} (\zeta )|\leq m\log(|\zeta |+1).}
24:
is any theorem that relates decay properties of a function or
947:
is a holomorphic function in the upper half-plane satisfying
2542:{\displaystyle |F(z)|\leq C(1+|z|)^{N}e^{B|{\text{Im}}(z)|}}
1542:{\displaystyle f(\zeta )=\int _{-A}^{A}F(x)e^{ix\zeta }\,dx}
1210:
2958:
is an infinitely differentiable function, and vice versa.
2037:
is an infinitely differentiable function, the expression
1355:, one obtains another Paley–Wiener theorem. Suppose that
52:. The first such theorem using distributions was due to
1973:
Generally, the
Fourier transform can be defined for any
3618:(1952), "Transformation de Laplace des distributions",
3547:
The
Analysis of Linear Partial Differential Operators I
3121:{\displaystyle H(x)=\sup _{y\in K}\langle x,y\rangle .}
2632:
in fact will be supported in the closed ball of center
414:
in order to ensure that this integral is well-defined.
3640:
3356:
3227:
3197:
3177:
3157:
3137:
3068:
3045:
3016:
2996:
2972:
2944:
2817:
2779:
2752:
2732:
2702:
2682:
2658:
2638:
2618:
2598:
2578:
2558:
2444:
2406:
2386:
2357:
2337:
2294:
2274:
2154:
2131:
2111:
2046:
2023:
2003:
1983:
1928:
1895:
1844:
1817:
1797:
1705:
1682:
1608:
1585:
1565:
1470:
1416:
1381:
1361:
1337:
1289:
1207:
1165:
1138:
1118:
1067:
956:
933:
806:
662:
631:
546:
523:
472:
443:
423:
400:
371:
338:
318:
280:
260:
240:
208:
120:
60:(to interchange the absolute value and integration).
2676:
Additional growth conditions on the entire function
2268:
and that this function can be extended to values of
1791:
Conversely, any entire function of exponential type
103:
The classical Paley–Wiener theorems make use of the
2380:is the Fourier–Laplace transform of a distribution
3426:
3339:
3210:
3183:
3163:
3143:
3120:
3051:
3031:
3002:
2978:
2950:
2927:
2800:
2765:
2738:
2708:
2688:
2664:
2644:
2624:
2604:
2584:
2564:
2541:
2427:
2392:
2372:
2343:
2309:
2280:
2257:
2137:
2117:
2091:
2029:
2009:
1989:
1943:
1910:
1865:
1830:
1803:
1780:
1688:
1665:
1591:
1571:
1541:
1453:
1402:
1367:
1343:
1320:
1272:
1189:
1144:
1124:
1104:
1050:
939:
916:
782:
637:
614:
529:
509:
458:
429:
406:
386:
357:
324:
304:
266:
246:
214:
191:
2696:impose regularity properties on the distribution
3085:
1977:; moreover, any distribution of compact support
1964:harvtxt error: no target: CITEREFHörmander1976 (
958:
808:
1666:{\displaystyle |f(\zeta )|\leq Ce^{A|\zeta |},}
2105:It can be shown that the Fourier transform of
3566:. Providence, RI: American Mathematical Soc.
2962:Sharper results giving good control over the
1331:By imposing the alternative restriction that
8:
3112:
3100:
2245:
2233:
1696:is square-integrable over horizontal lines:
1105:{\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} _{+})}
510:{\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} _{+})}
3461:
3449:
2720:
2325:
332:is in the upper half plane, the modulus of
3509:
3497:
3477:
2400:of compact support if and only if for all
1959:). The formulation presented here is from
1461:. Then the holomorphic Fourier transform
3525:
3513:
3407:
3399:
3379:
3362:
3357:
3355:
3315:
3308:
3298:
3289:
3281:
3266:
3254:
3234:
3233:
3228:
3226:
3202:
3196:
3176:
3156:
3136:
3088:
3067:
3044:
3023:
3019:
3018:
3015:
2995:
2987:
2971:
2943:
2918:
2901:
2896:
2892:
2879:
2870:
2862:
2847:
2835:
2818:
2816:
2792:
2788:
2787:
2778:
2757:
2751:
2731:
2701:
2681:
2657:
2637:
2617:
2597:
2577:
2557:
2532:
2518:
2513:
2509:
2499:
2490:
2482:
2462:
2445:
2443:
2419:
2415:
2414:
2405:
2385:
2364:
2360:
2359:
2356:
2336:
2301:
2297:
2296:
2293:
2273:
2226:
2196:
2192:
2156:
2155:
2153:
2130:
2110:
2045:
2022:
2017:is a distribution of compact support and
2002:
1982:
1960:
1935:
1931:
1930:
1927:
1902:
1898:
1897:
1894:
1843:
1822:
1816:
1796:
1762:
1756:
1751:
1724:
1718:
1710:
1704:
1681:
1653:
1645:
1641:
1626:
1609:
1607:
1584:
1564:
1532:
1520:
1498:
1490:
1469:
1427:
1415:
1380:
1360:
1336:
1309:
1305:
1304:
1294:
1288:
1258:
1257:
1254:
1252:
1243:
1229:
1228:
1219:
1209:
1208:
1206:
1180:
1179:
1170:
1164:
1137:
1117:
1093:
1089:
1088:
1078:
1066:
1029:
1023:
985:
977:
961:
955:
932:
901:
895:
842:
834:
822:
811:
805:
773:
767:
762:
744:
738:
733:
719:
713:
675:
667:
661:
630:
605:
593:
571:
566:
545:
522:
498:
494:
493:
483:
471:
450:
446:
445:
442:
422:
399:
370:
343:
337:
317:
295:
294:
285:
279:
259:
239:
207:
182:
170:
148:
140:
119:
3564:Fourier Transforms in the Complex Domain
1956:
1132:is the holomorphic Fourier transform of
649:is a holomorphic function. Moreover, by
3442:
1321:{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} _{+})}
3481:
3493:
3473:
2801:{\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}
2428:{\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}
2092:{\displaystyle v(f)=v(x\mapsto f(x))}
56:. These theorems heavily rely on the
7:
1876:
3171:if and only if there is a constant
1579:, meaning that there is a constant
1190:{\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}
417:The first such restriction is that
305:{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
3366:
3363:
3319:
3316:
2905:
2902:
1772:
1719:
1714:
1045:
986:
981:
843:
838:
739:
676:
671:
572:
381:
149:
144:
14:
3032:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2373:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
2310:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
1944:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
1911:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1454:{\displaystyle F\in L^{2}(-A,A)}
459:{\displaystyle \mathbb {R} _{+}}
107:Fourier transform on classes of
1997:is a tempered distribution. If
1877:Schwartz's Paley–Wiener theorem
3418:
3408:
3400:
3396:
3380:
3376:
3370:
3358:
3332:
3329:
3323:
3312:
3295:
3290:
3282:
3272:
3255:
3251:
3245:
3239:
3229:
3078:
3072:
2919:
2915:
2909:
2897:
2876:
2871:
2863:
2853:
2836:
2832:
2826:
2819:
2533:
2529:
2523:
2514:
2496:
2491:
2483:
2473:
2463:
2459:
2453:
2446:
2219:
2189:
2179:
2173:
2167:
2161:
2086:
2083:
2077:
2071:
2065:
2056:
2050:
1860:
1845:
1752:
1747:
1732:
1725:
1654:
1646:
1627:
1623:
1617:
1610:
1513:
1507:
1480:
1474:
1448:
1433:
1397:
1382:
1315:
1300:
1264:
1249:
1233:
1225:
1184:
1176:
1099:
1084:
1015:
1000:
887:
881:
872:
857:
815:
763:
758:
752:
745:
705:
690:
586:
580:
556:
550:
504:
489:
375:
299:
291:
163:
157:
130:
124:
99:Holomorphic Fourier transforms
1:
3131:Then the singular support of
387:{\displaystyle x\to -\infty }
3690:Theorems in complex analysis
3680:Theorems in Fourier analysis
3620:Comm. Sém. Math. Univ. Lund
358:{\displaystyle e^{ix\zeta }}
3010:be a convex compact set in
109:square-integrable functions
89:non-harmonic Fourier series
50:square-integrable functions
3711:
3588:(3rd ed.), New York:
3191:and sequence of constants
1198:. The theorem states that
3586:Real and complex analysis
3039:with supporting function
2319:Fourier–Laplace transform
48:, and instead applied to
2986:have been formulated by
232:Cauchy–Riemann equations
3638:Strichartz, R. (1994),
3556:Paley, Raymond E. A. C.
3462:Paley & Wiener 1934
3450:Paley & Wiener 1934
365:grows exponentially as
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