2258:
1694:
1600:
2253:{\displaystyle Q={\begin{bmatrix}0&1&1&-1&-1&1&-1&1&-1\\1&0&1&1&-1&-1&-1&-1&1\\1&1&0&-1&1&-1&1&-1&-1\\-1&1&-1&0&1&1&-1&-1&1\\-1&-1&1&1&0&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&0&-1&1&-1\\-1&-1&1&-1&1&-1&0&1&1\\1&-1&-1&-1&-1&1&1&0&1\\-1&1&-1&1&-1&-1&1&1&0\end{bmatrix}}.}
1153:
688:
1595:{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\-1&1&-1&-1&1&-1&1&1\\-1&1&1&-1&-1&1&-1&1\\-1&1&1&1&-1&-1&1&-1\\-1&-1&1&1&1&-1&-1&1\\-1&1&-1&1&1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1&1&1&1&-1\\-1&-1&-1&1&-1&1&1&1\end{bmatrix}}.}
333:
272:
683:{\displaystyle Q={\begin{bmatrix}0&-1&-1&1&-1&1&1\\1&0&-1&-1&1&-1&1\\1&1&0&-1&-1&1&-1\\-1&1&1&0&-1&-1&1\\1&-1&1&1&0&-1&-1\\-1&1&-1&1&1&0&-1\\-1&-1&1&-1&1&1&0\end{bmatrix}}.}
108:
2266:
1- 111111 111111 111111 -- 1-1-1- 1-1-1- 1-1-1- 11 1-1111 ----11 --11-- 1- --1-1- -1-11- -11--1 11 111-11 11---- ----11 1- 1---1- 1--1-1 -1-11- 11 11111- --11-- 11---- 1- 1-1--- -11--1 1--1-1 11 --11-- 1-1111 ----11 1- -11--1 --1-1- -1-11- 11 ----11 111-11 11---- 1- -1-11- 1---1- 1--1-1 11 11----
267:{\displaystyle \chi (a)={\begin{cases}0&{\text{if }}a=0\\1&{\text{if }}a=b^{2}{\text{ for some non-zero }}b\in \mathrm {GF} (q)\\-1&{\text{if }}a{\text{ is not the square of any element in }}\mathrm {GF} (q).\end{cases}}}
875:
2364:
1130:
997:
1065:
2267:
11111- --11-- 1- 1--1-1 1-1--- -11--1 11 ----11 --11-- 1-1111 1- -1-11- -11--1 --1-1- 11 11---- ----11 111-11 1- 1--1-1 -1-11- 1---1- 11 --11-- 11---- 11111- 1- -11--1 1--1-1 1-1---.
2428:
2263:
It is a symmetric matrix consisting of nine 3 Γ 3 circulant blocks. Paley
Construction II produces the symmetric 20 Γ 20 Hadamard matrix,
277:
For example, in GF(7) the non-zero squares are 1 = 1 = 6, 4 = 2 = 5, and 2 = 3 = 4. Hence Ο(0) = 0, Ο(1) = Ο(2) = Ο(4) = 1, and Ο(3) = Ο(5) = Ο(6) = β1.
2369:
Hadamard matrices of every permissible size up to 100 except for 92 are produced. In his 1933 paper, Paley says βIt seems probable that, whenever
805:
2297:
2393:, using a construction due to Williamson combined with a computer search. Currently, Hadamard matrices have been shown to exist for all
1076:
942:
1008:
2466:
2381:
composed of Β±1, but the general theorem has every appearance of difficulty.β This appears to be the first published statement of the
2554:
2500:
2390:
1147:
Applying Paley
Construction I to the Jacobsthal matrix for GF(7), one produces the 8 Γ 8 Hadamard matrix,
2291:. By forming Kronecker products of matrices from the Paley construction and the 2 Γ 2 matrix,
1622:
2396:
768:
1625:
1618:
300:
56:
775:
is a prime number and rows and columns are indexed by field elements in the usual 0, 1, 2, β¦ order,
132:
2382:
324:
2530:
784:
67:
2546:
323:). For example, in GF(7), if the rows and columns of the Jacobsthal matrix are indexed by the
2573:
2550:
2496:
2386:
2374:
2276:
44:
25:
2516:
2483:
2475:
780:
756:
281:
99:
2487:
1614:
909:
725:
87:
2539:
740:
2567:
2461:
2443:
37:
2521:
2504:
59:
29:
2534:
2448:
1610:
17:
936:
is congruent to 1 mod 4 then the matrix obtained by replacing all 0 entries in
1641:
2479:
1628:. Different irreducible quadratics produce equivalent fields. Choosing
870:{\displaystyle H=I+{\begin{bmatrix}0&j^{T}\\-j&Q\end{bmatrix}}}
33:
2359:{\displaystyle H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},}
2275:
The size of a
Hadamard matrix must be 1, 2, or a multiple of 4. The
1125:{\displaystyle \pm {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}
62:. There are two versions of the construction depending on whether
992:{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&j^{T}\\j&Q\end{bmatrix}}}
1060:{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-1\\-1&-1\end{bmatrix}}}
2385:. A matrix of size 92 was eventually constructed by Baumert,
260:
1613:
rather than a prime number, consider GF(9). This is an
783:. That is, each row is obtained from the row above by
2319:
1709:
1644:, the nine elements of GF(9) may be written 0, 1, β1,
1162:
1088:
1017:
951:
826:
348:
2399:
2300:
1697:
1156:
1139: + 1). It is a symmetric Hadamard matrix.
1079:
1011:
945:
808:
763:
is congruent to 3 mod 4 then β1 is not a square, and
336:
111:
82:
be a power of an odd prime. In the finite field GF(
2538:
2422:
2373:is divisible by 4, it is possible to construct an
2358:
2252:
1594:
1124:
1059:
991:
869:
747:is congruent to 1 mod 4 then β1 is a square in GF(
682:
266:
1605:For an example of the Paley II construction when
303:with rows and columns indexed by elements of GF(
32:. The construction was described in 1933 by the
234: is not the square of any element in
2505:"Discovery of an Hadamard matrix of order 92"
8:
2520:
2416:
2415:
2407:
2403:
2398:
2314:
2305:
2299:
1704:
1696:
1668:β1. The non-zero squares are 1 = (Β±1), β
1157:
1155:
1083:
1078:
1012:
1010:
963:
946:
944:
838:
821:
807:
693:The Jacobsthal matrix has the properties
343:
335:
237:
232:
224:
195:
184:
178:
163:
140:
127:
110:
74:Quadratic character and Jacobsthal matrix
888:is the all-1 column vector of length
7:
2541:The Theory of Error-Correcting Codes
2423:{\displaystyle m\,\equiv \,0\mod 4}
1070:and all entries Β±1 with the matrix
327:elements 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, then
2467:Journal of Mathematics and Physics
2464:(1933). "On orthogonal matrices".
2279:of two Hadamard matrices of sizes
241:
238:
199:
196:
14:
1617:of GF(3) obtained by adjoining a
904:+1) identity matrix. The matrix
1688:β1)). The Jacobsthal matrix is
94:) indicates whether the element
2522:10.1090/S0002-9904-1962-10761-7
2411:
1135:is a Hadamard matrix of size 2(
2287:is an Hadamard matrix of size
251:
245:
209:
203:
121:
115:
1:
880:is a Hadamard matrix of size
799:is congruent to 3 mod 4 then
307:) such that the entry in row
186: for some non-zero
24:is a method for constructing
43:The Paley construction uses
912:, which means it satisfies
2590:
2545:. North-Holland. pp.
2271:The Hadamard conjecture
2480:10.1002/sapm1933121311
2424:
2360:
2254:
1596:
1126:
1061:
993:
884: + 1. Here
871:
684:
268:
2509:Bull. Amer. Math. Soc
2434: < 668.
2425:
2361:
2255:
1597:
1127:
1062:
994:
928:Paley construction II
872:
769:skew-symmetric matrix
751:) which implies that
685:
269:
47:in a finite field GF(
2397:
2298:
1695:
1154:
1077:
1009:
943:
910:skew Hadamard matrix
806:
791:Paley construction I
334:
109:
98:is zero, a non-zero
70:to 1 or 3 modulo 4.
2383:Hadamard conjecture
102:, or a non-square:
2420:
2356:
2347:
2250:
2241:
1684:+1)), and β1 = (Β±(
1640:be a root of this
1592:
1583:
1122:
1116:
1057:
1051:
989:
983:
867:
861:
785:cyclic permutation
680:
671:
264:
259:
45:quadratic residues
22:Paley construction
2375:orthogonal matrix
2277:Kronecker product
235:
227:
187:
166:
143:
55:is a power of an
26:Hadamard matrices
2581:
2560:
2544:
2531:F.J. MacWilliams
2526:
2524:
2491:
2429:
2427:
2426:
2421:
2365:
2363:
2362:
2357:
2352:
2351:
2310:
2309:
2259:
2257:
2256:
2251:
2246:
2245:
1601:
1599:
1598:
1593:
1588:
1587:
1131:
1129:
1128:
1123:
1121:
1120:
1066:
1064:
1063:
1058:
1056:
1055:
1002:with the matrix
998:
996:
995:
990:
988:
987:
968:
967:
876:
874:
873:
868:
866:
865:
843:
842:
781:circulant matrix
757:symmetric matrix
689:
687:
686:
681:
676:
675:
273:
271:
270:
265:
263:
262:
244:
236:
233:
228:
225:
202:
188:
185:
183:
182:
167:
164:
144:
141:
86:) the quadratic
2589:
2588:
2584:
2583:
2582:
2580:
2579:
2578:
2564:
2563:
2557:
2529:
2495:L. D. Baumert;
2494:
2462:Paley, R.E.A.C.
2460:
2457:
2440:
2395:
2394:
2346:
2345:
2337:
2331:
2330:
2325:
2315:
2301:
2296:
2295:
2273:
2268:
2240:
2239:
2234:
2229:
2224:
2216:
2208:
2203:
2195:
2190:
2181:
2180:
2175:
2170:
2165:
2160:
2152:
2144:
2136:
2128:
2122:
2121:
2116:
2111:
2106:
2098:
2093:
2085:
2080:
2072:
2063:
2062:
2054:
2049:
2041:
2036:
2031:
2026:
2018:
2010:
2004:
2003:
1995:
1987:
1982:
1977:
1972:
1967:
1962:
1954:
1945:
1944:
1939:
1931:
1923:
1918:
1913:
1908:
1900:
1895:
1886:
1885:
1877:
1869:
1864:
1856:
1851:
1843:
1838:
1833:
1827:
1826:
1821:
1813:
1805:
1797:
1789:
1784:
1779:
1774:
1768:
1767:
1759:
1754:
1746:
1741:
1733:
1725:
1720:
1715:
1705:
1693:
1692:
1636:β1 and letting
1615:extension field
1582:
1581:
1576:
1571:
1566:
1558:
1553:
1545:
1537:
1528:
1527:
1519:
1514:
1509:
1504:
1496:
1491:
1483:
1474:
1473:
1465:
1457:
1452:
1447:
1442:
1434:
1429:
1420:
1419:
1414:
1406:
1398:
1393:
1388:
1383:
1375:
1366:
1365:
1357:
1352:
1344:
1336:
1331:
1326:
1321:
1312:
1311:
1306:
1298:
1293:
1285:
1277:
1272:
1267:
1258:
1257:
1252:
1247:
1239:
1234:
1226:
1218:
1213:
1204:
1203:
1198:
1193:
1188:
1183:
1178:
1173:
1168:
1158:
1152:
1151:
1145:
1115:
1114:
1106:
1100:
1099:
1094:
1084:
1075:
1074:
1050:
1049:
1041:
1032:
1031:
1023:
1013:
1007:
1006:
982:
981:
976:
970:
969:
959:
957:
947:
941:
940:
930:
860:
859:
854:
845:
844:
834:
832:
822:
804:
803:
793:
736: Γ
726:identity matrix
721: Γ
670:
669:
664:
659:
654:
646:
641:
633:
624:
623:
615:
610:
605:
600:
592:
587:
578:
577:
569:
561:
556:
551:
546:
538:
532:
531:
526:
518:
510:
505:
500:
495:
486:
485:
477:
472:
464:
456:
451:
446:
440:
439:
434:
426:
421:
413:
405:
400:
394:
393:
388:
383:
375:
370:
362:
354:
344:
332:
331:
296: Γ
258:
257:
222:
213:
212:
174:
161:
155:
154:
138:
128:
107:
106:
76:
12:
11:
5:
2587:
2585:
2577:
2576:
2566:
2565:
2562:
2561:
2555:
2527:
2515:(3): 237β238.
2492:
2456:
2453:
2452:
2451:
2446:
2439:
2436:
2419:
2414:
2410:
2406:
2402:
2367:
2366:
2355:
2350:
2344:
2341:
2338:
2336:
2333:
2332:
2329:
2326:
2324:
2321:
2320:
2318:
2313:
2308:
2304:
2272:
2269:
2265:
2261:
2260:
2249:
2244:
2238:
2235:
2233:
2230:
2228:
2225:
2223:
2220:
2217:
2215:
2212:
2209:
2207:
2204:
2202:
2199:
2196:
2194:
2191:
2189:
2186:
2183:
2182:
2179:
2176:
2174:
2171:
2169:
2166:
2164:
2161:
2159:
2156:
2153:
2151:
2148:
2145:
2143:
2140:
2137:
2135:
2132:
2129:
2127:
2124:
2123:
2120:
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