824:
296:
819:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {OE} (t)\equiv {\mathcal {T}}\left\{e^{\int _{0}^{t}a(t')\,dt'}\right\}&\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\int _{0}^{t}dt'_{1}\cdots \int _{0}^{t}dt'_{n}\;{\mathcal {T}}\left\{a(t'_{1})\cdots a(t'_{n})\right\}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{t}dt'_{1}\int _{0}^{t'_{1}}dt'_{2}\int _{0}^{t'_{2}}dt'_{3}\cdots \int _{0}^{t'_{n-1}}dt'_{n}\;a(t'_{n})\cdots a(t'_{1})\end{aligned}}}
33:
1361:
1598:
1965:
1101:
3084:
2413:
1739:
1066:
992:
1455:
3156:
1758:
2651:
1356:{\displaystyle \operatorname {OE} (t)=\prod _{0}^{t}e^{a(t')\,dt'}\equiv \lim _{N\to \infty }\left(e^{a(t_{N})\,\Delta t}e^{a(t_{N-1})\,\Delta t}\cdots e^{a(t_{1})\,\Delta t}e^{a(t_{0})\,\Delta t}\right)}
1460:
301:
2161:
2646:
3273:
3191:
2503:
2281:
2220:
257:
2436:
2638:
2471:
2289:
858:
2064:
3237:
2573:
2527:
2025:
2090:
2249:
1006:
2184:
1996:
1618:
885:
3375:
1593:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\operatorname {OE} (t)&=a(t)\operatorname {OE} (t),\\\operatorname {OE} (0)&=1.\end{aligned}}}
1960:{\displaystyle \operatorname {OE} (t)=1+\int _{0}^{t}a(t_{1})\,dt_{1}+\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\;a(t_{1})a(t_{2})+\cdots .}
3092:
50:
116:
3302:
97:
69:
3380:
3312:
54:
76:
2098:
3079:{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {OE} e(x)\\={}&\exp\exp\exp\expe(x)\\={}&e(x).\end{aligned}}}
83:
43:
3370:
65:
3240:
2187:
3161:
2476:
2254:
2193:
225:
216:
165:
3239:
one obtains for the ordered exponential the identity with a correction term that is proportional to the
2421:
1446:
2408:{\displaystyle e(y)=\operatorname {P} \exp \left(-\int _{x}^{y}J(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right)e(x)}
2578:
864:. It is a higher-order operation that ensures the exponential is time-ordered, so that any product of
2441:
1088:
187:
161:
149:
145:
839:
2034:
1092:
191:
3283:
3278:
90:
3325:
1000:
The operation maps a parameterized element onto another parameterized element, or symbolically,
3308:
1609:
3196:
3193:
is a smooth connection, expanding above quantity to second order in infinitesimal quantities
2532:
2512:
2001:
3263:
3258:
2069:
1434:
1080:
169:
1061:{\displaystyle \operatorname {OE} \mathrel {:} (\mathbb {R} \to A)\to (\mathbb {R} \to A).}
2225:
142:
1734:{\displaystyle \operatorname {OE} (t)=1+\int _{0}^{t}a(t')\operatorname {OE} (t')\,dt'.}
17:
2169:
1981:
997:
Time ordering is required, as products in the algebra are not necessarily commutative.
3355:
3364:
3252:
1084:
861:
3268:
2506:
2028:
1970:
This can be derived by recursively substituting the integral equation into itself.
987:{\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{a(1.2)a(9.5)a(4.1)\right\}=a(9.5)a(4.1)a(1.2).}
875:
that occurs in the expansion of the exponential is ordered such that the value of
157:
138:
32:
3340:
153:
3151:{\displaystyle \operatorname {OE} \mapsto g\operatorname {OE} g^{-1}}
1744:
This equation is equivalent to the previous initial value problem.
1071:
There are various ways to define this integral more rigorously.
879:
is increasing from right to left of the product. For example:
26:
2283:
is the connection operator expressed in a coordinate basis)
891:
845:
508:
333:
1752:
The ordered exponential can be defined as an infinite sum,
3330:, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008.
160:
algebras. In practice the ordered exponential is used in
3274:
List of derivatives and integrals in alternative calculi
3341:"Multiplicative calculus in biomedical image analysis"
3199:
3164:
3095:
2649:
2581:
2535:
2515:
2479:
2444:
2424:
2292:
2257:
2228:
2196:
2172:
2101:
2072:
2037:
2004:
1984:
1761:
1621:
1458:
1104:
1009:
888:
842:
299:
228:
3343:, Journal of Mathematical Imaging and Vision, 2011.
2222:
is the connection operator (1-form field) acting on
1079:The ordered exponential can be defined as the left
57:. Unsourced material may be challenged and removed.
3231:
3185:
3150:
3089:Hence, it holds the group transformation identity
3078:
2632:
2567:
2521:
2497:
2465:
2430:
2407:
2275:
2243:
2214:
2178:
2156:{\displaystyle de(x)+\operatorname {J} (x)e(x)=0.}
2155:
2084:
2058:
2019:
1990:
1959:
1733:
1592:
1445:The ordered exponential is unique solution of the
1355:
1060:
986:
852:
818:
251:
2251:. When integrating above equation it holds (now,
2529:is an infinitesimal rectangle with edge lengths
1187:
1608:The ordered exponential is the solution to the
2640:above expression simplifies as follows :
3324:A. E. Bashirov, E. M. Kurpınar, A. Özyapıcı.
8:
3327:Multiplicative calculus and its applications
1909:
1095:as the number of terms grows to infinity:
764:
505:
3224:
3216:
3208:
3200:
3198:
3163:
3139:
3094:
2889:
2692:
2650:
2648:
2580:
2560:
2552:
2544:
2536:
2534:
2514:
2478:
2443:
2438:that orders factors in order of the path
2423:
2381:
2337:
2332:
2291:
2256:
2227:
2195:
2171:
2100:
2071:
2036:
2003:
1983:
1939:
1920:
1903:
1888:
1883:
1878:
1868:
1855:
1850:
1837:
1829:
1820:
1804:
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1760:
1716:
1664:
1659:
1620:
1463:
1459:
1457:
1339:
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1319:
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1255:
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1103:
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1041:
1022:
1021:
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705:
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677:
664:
646:
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636:
623:
610:
605:
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584:
553:
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506:
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419:
408:
379:
356:
351:
346:
332:
331:
300:
298:
236:
235:
227:
117:Learn how and when to remove this message
3294:
3186:{\displaystyle -\operatorname {J} (x)}
2498:{\displaystyle \operatorname {J} (x)}
2276:{\displaystyle \operatorname {J} (x)}
2215:{\displaystyle \operatorname {J} (x)}
1433:The ordered exponential is in fact a
1087:exponentials, or equivalently, as an
7:
252:{\displaystyle a:\mathbb {R} \to A.}
55:adding citations to reliable sources
1441:Solution to a differential equation
3301:Michael Grossman and Robert Katz.
3168:
3129:
3108:
3036:
3000:
2949:
2904:
2849:
2810:
2756:
2708:
2667:
2480:
2431:{\displaystyle \operatorname {P} }
2425:
2308:
2258:
2197:
2120:
1340:
1307:
1271:
1232:
1197:
596:
420:
25:
2633:{\displaystyle x,x+u,x+u+v,x+v,}
2418:with the path-ordering operator
1604:Solution to an integral equation
31:
3376:Ordinary differential equations
3339:Luc Florack and Hans van Assen.
2466:{\displaystyle \gamma (t)\in M}
42:needs additional citations for
3356:Non-Newtonian calculus website
3255:(essentially the same concept)
3225:
3217:
3209:
3201:
3180:
3174:
3132:
3126:
3114:
3111:
3102:
3066:
3060:
3054:
3048:
3042:
3027:
3024:
3018:
3006:
2991:
2988:
2985:
2976:
2973:
2955:
2940:
2937:
2934:
2925:
2922:
2910:
2895:
2879:
2873:
2867:
2861:
2855:
2843:
2834:
2828:
2816:
2804:
2795:
2792:
2783:
2780:
2762:
2750:
2741:
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2729:
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2714:
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2676:
2670:
2661:
2561:
2553:
2545:
2537:
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2448:
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2372:
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2358:
2352:
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2203:
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1693:
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1573:
1567:
1564:
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1533:
1527:
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1512:
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1336:
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910:
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853:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
809:
793:
784:
768:
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546:
537:
521:
376:
365:
325:
319:
316:
310:
240:
1:
2059:{\displaystyle g:e\mapsto ge}
2473:. For the special case that
277:is often referred to as the
284:The ordered exponential of
168:algebras. It is a kind of
3397:
1748:Infinite series expansion
2188:exterior differentiation
836:is equal to 1 and where
172:, or Volterra integral.
135:path-ordered exponential
18:Path-ordered exponential
3232:{\displaystyle |u|,|v|}
2568:{\displaystyle |u|,|v|}
2522:{\displaystyle \gamma }
2020:{\displaystyle e\in TM}
1366:where the time moments
1091:of exponentials in the
1075:Product of exponentials
3381:Non-Newtonian calculus
3304:Non-Newtonian Calculus
3233:
3187:
3152:
3080:
2634:
2575:and corners at points
2569:
2523:
2499:
2467:
2432:
2409:
2277:
2245:
2216:
2180:
2157:
2086:
2085:{\displaystyle x\in M}
2060:
2021:
1992:
1961:
1735:
1594:
1357:
1146:
1062:
988:
862:time-ordering operator
854:
820:
600:
424:
253:
3234:
3188:
3153:
3081:
2635:
2570:
2524:
2500:
2468:
2433:
2410:
2278:
2246:
2217:
2181:
2158:
2087:
2061:
2022:
1993:
1962:
1736:
1595:
1447:initial value problem
1358:
1132:
1063:
989:
855:
821:
580:
404:
254:
219:by the real numbers,
141:operation defined in
66:"Ordered exponential"
3197:
3162:
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2647:
2579:
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2422:
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2244:{\displaystyle e(x)}
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2170:
2099:
2070:
2066:it holds at a point
2035:
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1759:
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1456:
1102:
1007:
886:
840:
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226:
148:, equivalent to the
51:improve this article
2342:
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1860:
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763:
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695:
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656:
654:
631:
615:
561:
536:
504:
488:
470:
454:
361:
131:ordered exponential
3284:Fractal derivative
3279:Indefinite product
3229:
3183:
3148:
3076:
3074:
2630:
2565:
2519:
2495:
2463:
2428:
2405:
2328:
2273:
2241:
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2176:
2153:
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2017:
1988:
1957:
1874:
1846:
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1588:
1435:geometric integral
1353:
1201:
1058:
984:
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816:
814:
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717:
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474:
458:
440:
347:
249:
210:be an element of
133:, also called the
2179:{\displaystyle d}
1991:{\displaystyle M}
1978:Given a manifold
1610:integral equation
1476:
1186:
438:
281:in this context.
127:
126:
119:
101:
16:(Redirected from
3388:
3371:Abstract algebra
3344:
3337:
3331:
3322:
3316:
3299:
3264:Product integral
3259:Magnus expansion
3241:curvature tensor
3238:
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3235:
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3154:
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3083:
3082:
3077:
3075:
2890:
2693:
2653:
2639:
2637:
2636:
2631:
2574:
2572:
2571:
2566:
2564:
2556:
2548:
2540:
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2525:
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2504:
2502:
2501:
2496:
2472:
2470:
2469:
2464:
2437:
2435:
2434:
2429:
2414:
2412:
2411:
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2279:
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