1350:
4192:
4501:
3990:
27:
1178:
1173:
1168:
1163:
1157:
1152:
1147:
1142:
1137:
1131:
1126:
1121:
1116:
1111:
1106:
983:
978:
973:
967:
962:
957:
952:
880:
875:
1100:
1095:
1090:
1085:
1080:
1075:
1070:
1064:
1059:
1054:
1049:
1044:
1039:
1033:
1028:
1023:
1018:
1013:
1007:
1002:
997:
992:
946:
941:
936:
931:
926:
920:
915:
910:
905:
899:
894:
889:
869:
864:
859:
853:
848:
839:
576:
0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (sequence
1346:≥ 1). This division of centered hexagonal arrays gives generalized pentagonal numbers as trapezoidal arrays, which may be interpreted as Ferrers diagrams for their partition. In this way they can be used to prove the pentagonal number theorem referenced above.
1337:
809:. When the array corresponding to a centered hexagonal number is divided between its middle row and an adjacent row, it appears as the sum of two generalized pentagonal numbers, with the larger piece being a pentagonal number proper:
202:
560:
81:. For instance, the third one is formed from outlines comprising 1, 5 and 10 dots, but the 1, and 3 of the 5, coincide with 3 of the 10 â leaving 12 distinct dots, 10 in the form of a pentagon, and 2 inside.
395:
1439:
795:
1527:
4383:
1610:
2092:
269:, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187... (sequence
1626:
0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801... (
4373:
1194:
697:
638:
4026:
668:
4466:
4307:
1727:
584:
276:
2085:
1532:
The mathematical properties of pentagonal numbers ensure that these tests are sufficient for proving or disproving the pentagonality of a number.
96:
4317:
4312:
430:
2892:
2078:
4481:
4072:
4019:
2887:
2902:
2882:
605:
The number of dots inside the outermost pentagon of a pattern forming a pentagonal number is itself a generalized pentagonal number.
4461:
4363:
4353:
4471:
3595:
3175:
2897:
1720:
3681:
286:
th pentagonal number is the sum of n integers starting from n (i.e. from n to 2n-1). The following relationships also hold:
292:
4476:
4378:
4012:
2997:
4504:
3347:
2666:
2459:
1905:
3382:
3352:
3027:
3017:
1387:
704:
4486:
3523:
2937:
2671:
2651:
1910:
1890:
641:
3213:
4358:
4348:
4338:
3377:
4368:
3472:
3095:
2852:
2661:
2643:
2537:
2527:
2517:
1900:
1882:
1781:
1771:
1761:
1484:
1342:
where both terms on the right are generalized pentagonal numbers and the first term is a pentagonal number proper (
20:
3357:
4525:
3600:
3145:
2766:
2552:
2547:
2542:
2532:
2509:
2005:
1796:
1791:
1786:
1776:
1753:
1713:
806:
599:
1478:
For non-generalized pentagonal numbers, in addition to the perfect square test, it is also required to check if
2585:
2842:
4453:
4275:
3711:
3676:
3462:
3372:
3246:
3221:
3130:
3120:
2732:
2714:
2634:
1971:
1948:
1873:
4115:
4062:
3971:
3241:
3115:
2746:
2522:
2302:
2229:
1985:
1766:
4322:
4067:
3226:
3080:
3007:
2162:
2040:
1554:
3935:
3575:
1666:
4433:
4270:
4039:
3868:
3762:
3726:
3467:
3190:
3170:
2987:
2656:
2444:
2416:
1895:
77:
of regular pentagons with sides up to n dots, when the pentagons are overlaid so that they share one
54:, but, unlike the first two, the patterns involved in the construction of pentagonal numbers are not
4413:
4280:
3590:
3454:
3449:
3417:
3180:
3155:
3150:
3125:
3055:
3051:
2982:
2872:
2704:
2500:
2469:
1938:
1744:
1353:
55:
3989:
1349:
4254:
4239:
4211:
4191:
4130:
3993:
3747:
3742:
3656:
3630:
3528:
3507:
3279:
3160:
3110:
3032:
3002:
2942:
2709:
2689:
2620:
2333:
1966:
1943:
1859:
4343:
2877:
1332:{\displaystyle 3n(n-1)+1={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)+{\tfrac {1}{2}}(1-n){\bigl (}3(1-n)-1{\bigr )}}
4443:
4244:
4216:
4170:
4140:
4125:
3887:
3832:
3686:
3661:
3635:
3412:
3090:
3085:
3012:
2992:
2977:
2699:
2681:
2600:
2575:
2353:
2338:
1933:
1920:
1839:
1819:
1648:
1361:
595:
413:
78:
43:
4428:
4249:
4175:
4165:
4145:
4047:
3923:
3716:
3302:
3274:
3264:
3256:
3140:
3105:
3100:
3067:
2761:
2724:
2615:
2610:
2605:
2595:
2567:
2454:
2406:
2401:
2358:
2297:
2000:
1958:
1854:
1849:
1844:
1834:
1811:
1643:
1678:
675:
616:
4206:
4135:
3899:
3788:
3721:
3647:
3570:
3544:
3362:
3075:
2932:
2867:
2837:
2827:
2822:
2488:
2396:
2343:
2187:
2127:
1736:
1541:
39:
647:
4438:
4423:
4418:
4097:
4082:
3904:
3772:
3757:
3621:
3585:
3560:
3436:
3407:
3392:
3269:
3165:
3135:
2862:
2817:
2694:
2292:
2287:
2282:
2254:
2239:
2152:
2137:
2115:
2102:
1928:
1453:
4519:
4403:
4077:
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3811:
3752:
3706:
3402:
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3022:
2580:
2449:
2411:
2368:
2249:
2234:
2224:
2182:
2172:
2147:
2050:
1824:
266:
47:
573:
taking values in the sequence 0, 1, â1, 2, â2, 3, â3, 4..., producing the sequence:
4408:
4150:
4092:
3863:
3852:
3767:
3605:
3580:
3497:
3397:
3367:
3342:
3326:
3231:
3198:
2947:
2921:
2832:
2771:
2348:
2244:
2177:
2157:
2132:
2055:
2010:
262:
258:
254:
250:
246:
1620:
A square pentagonal number is a pentagonal number that is also a perfect square.
4155:
4102:
3822:
3697:
3502:
2966:
2857:
2812:
2807:
2557:
2464:
2363:
2192:
2167:
2142:
2045:
1801:
242:
238:
234:
230:
226:
222:
26:
3959:
3940:
3236:
2847:
1177:
1172:
1167:
1162:
1156:
1151:
1146:
1141:
1136:
1130:
1125:
1120:
1115:
1110:
1105:
982:
977:
972:
966:
961:
956:
951:
879:
874:
218:
214:
2070:
1381:, to test whether it is a (non-generalized) pentagonal number we can compute
1099:
1094:
1089:
1084:
1079:
1074:
1069:
1063:
1058:
1053:
1048:
1043:
1038:
1032:
1027:
1022:
1017:
1012:
1006:
1001:
996:
991:
945:
940:
935:
930:
925:
919:
914:
909:
904:
898:
893:
888:
868:
863:
858:
852:
847:
838:
4087:
3565:
3492:
3484:
3289:
3203:
2321:
2025:
197:{\displaystyle p_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}={\binom {n}{1}}+3{\binom {n}{2}}}
4035:
3666:
51:
4004:
3671:
3330:
1698:
Leonhard Euler: On the remarkable properties of the pentagonal numbers
1467:
For generalized pentagonal numbers, it is sufficient to just check if
1697:
1705:
555:{\displaystyle p_{n}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}}
1348:
591:
400:
Pentagonal numbers are closely related to triangular numbers. The
25:
1627:
4008:
3957:
3921:
3885:
3849:
3809:
3434:
3323:
3049:
2964:
2919:
2796:
2486:
2433:
2385:
2319:
2271:
2209:
2113:
2074:
1709:
699:
is the sum of the first n natural numbers congruent to 1 mod 3.
265:, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925,
801:
Generalized pentagonal numbers and centered hexagonal numbers
1631:
579:
271:
30:
A visual representation of the first six pentagonal numbers
1667:
How do you determine if a number N is a
Pentagonal Number?
1265:
1229:
805:
Generalized pentagonal numbers are closely related to
4384:
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⯠(inverses of primes)
4374:
1 â 1 + 2 â 6 + 24 â 120 + ⯠(alternating factorials)
1557:
1487:
1390:
1197:
707:
678:
650:
619:
433:
390:{\displaystyle p_{n}=p_{n-1}+3n-2=2p_{n-1}-p_{n-2}+3}
295:
99:
569:
are obtained from the formula given above, but with
4452:
4396:
4331:
4300:
4293:
4263:
4232:
4225:
4199:
4111:
4055:
4046:
3781:
3735:
3695:
3646:
3620:
3553:
3537:
3516:
3483:
3448:
3288:
3255:
3212:
3189:
3066:
2754:
2745:
2723:
2680:
2642:
2633:
2566:
2508:
2499:
2033:
2023:
1993:
1984:
1957:
1919:
1881:
1872:
1810:
1752:
1743:
1604:
1521:
1433:
1360:th pentagonal number can be decomposed into three
1331:
789:
691:
662:
632:
554:
389:
196:
1434:{\displaystyle n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.}
790:{\displaystyle p_{8n}-p_{8n-1}=p_{2n+2}-p_{2n-2}}
211:≥ 1. The first few pentagonal numbers are:
188:
175:
160:
147:
590:Generalized pentagonal numbers are important to
4020:
2086:
1721:
1522:{\displaystyle {\sqrt {24x+1}}\equiv 5\mod 6}
1324:
1293:
8:
4467:Hypergeometric function of a matrix argument
835:
73:dots in a pattern of dots consisting of the
4323:1 + 1/2 + 1/3 + ... (Riemann zeta function)
4297:
4229:
4052:
4027:
4013:
4005:
3954:
3918:
3882:
3846:
3806:
3480:
3445:
3431:
3320:
3063:
3046:
2961:
2916:
2793:
2751:
2639:
2505:
2496:
2483:
2430:
2387:Possessing a specific set of other numbers
2382:
2316:
2268:
2206:
2110:
2093:
2079:
2071:
2030:
1990:
1878:
1749:
1728:
1714:
1706:
4379:1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⯠(harmonic series)
1581:
1562:
1556:
1515:
1514:
1488:
1486:
1400:
1397:
1389:
1323:
1322:
1292:
1291:
1264:
1228:
1196:
772:
750:
728:
712:
706:
683:
677:
649:
624:
618:
540:
518:
499:
483:
470:
451:
438:
432:
404:th pentagonal number is one third of the
369:
350:
313:
300:
294:
187:
174:
172:
159:
146:
144:
123:
113:
104:
98:
1659:
670:into n parts that don't include 2 or 3.
640:for n>0 is the number of different
7:
4344:1 â 1 + 1 â 1 + ⯠(Grandi's series)
1605:{\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=3n+1}
179:
151:
14:
4462:Generalized hypergeometric series
4500:
4499:
4472:Lauricella hypergeometric series
4190:
3988:
3596:Perfect digit-to-digit invariant
1176:
1171:
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2435:Expressible via specific sums
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1911:Centered icosahedral numbers
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1373:Tests for pentagonal numbers
42:that extends the concept of
4487:Theta hypergeometric series
3524:Multiplicative digital root
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1772:Centered pentagonal numbers
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1685:--A Wolfram Web Resource.
1616:Square pentagonal numbers
1548:th pentagonal number is:
1377:Given a positive integer
600:pentagonal number theorem
90:is given by the formula:
3214:Euler's totient function
2998:EulerâJacobi pseudoprime
2273:Other polynomial numbers
1972:Square pyramidal numbers
1949:Stella octangula numbers
1679:Pentagonal Square Number
56:rotationally symmetrical
19:Not to be confused with
4200:Properties of sequences
3028:SomerâLucas pseudoprime
3018:LucasâCarmichael number
2853:Lazy caterer's sequence
1767:Centered square numbers
4063:Arithmetic progression
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2303:Lucky numbers of Euler
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598:, as expressed in his
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424:th triangular number:
416:. In addition, where T
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4454:Hypergeometric series
4068:Geometric progression
3191:Prime omega functions
3008:Frobenius pseudoprime
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4434:Trigonometric series
4226:Properties of series
4073:Harmonic progression
3650:-composition related
3450:Arithmetic functions
3052:Arithmetic functions
2988:Elliptic pseudoprime
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2652:Centered tetrahedral
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2118:and related numbers
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1967:Tetrahedral numbers
1944:Icosahedral numbers
1860:Dodecagonal numbers
1623:The first few are:
1354:Proof without words
663:{\displaystyle n+8}
4212:Monotonic function
4131:Fibonacci sequence
3994:Mathematics portal
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3682:SmarandacheâWellin
3439:-dependent numbers
3146:Primitive abundant
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3003:Fermat pseudoprime
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