1308:
567:
1466:
3102:
10164:
1303:{\displaystyle {\begin{array}{c|c|c}n&P(n)&P(-n)\\\hline 0&P(0)&...\\1&P(1)&P(2)-P(0)\\2&P(2)&-P(2)+P(1)+P(0)\\3&P(1)+P(0)&P(2)-P(1)\\4&P(2)+P(1)&P(1)-P(0)\\5&P(2)+P(1)+P(0)&-P(2)+2P(0)\\6&P(2)+2P(1)+P(0)&2P(2)-P(1)-2P(0)\\7&2P(2)+2P(1)+P(0)&-2P(2)+2P(1)+P(0)\\8&2P(2)+3P(1)+2P(0)&P(2)-2P(1)+P(0)\end{array}}}
20:
4136:
2424:
2848:
2635:
3973:
4867:
3068:
269:
2121:
2649:
2442:
1949:
2111:
4131:{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\sigma _{1}&=\alpha +\beta +\gamma &&=0\\\sigma _{2}&=\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma &&=-1\\\sigma _{3}&=\alpha \beta \gamma &&=1.\end{alignedat}}}
1796:
4574:
3490:
4688:
3898:
3711:
5542:
is divisible by n, if n is prime; I have verified, up to fairly high values of n, that in the opposite case it is not; but it would be interesting to know if this is really so, especially since the sequence
2867:
85:
5469:
3553:
3392:
362:
5193:
5392:
5039:
4697:
3608:
2126:
90:
6026:
4684:
2419:{\displaystyle {\begin{aligned}P(n+5)-2&=\sum _{k=0}^{n}P(k)\\P(2n+3)&=\sum _{k=0}^{n}P(2k)\\5-P(4-n)&=\sum _{k=0}^{n}P(-k)\\3-P(1-2n)&=\sum _{k=0}^{n}P(-2k).\end{aligned}}}
5084:
1670:
2843:{\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}P(-n)\\P(1-n)\\P(2-n)\end{pmatrix}}.}
4178:
2630:{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}P(n)\\P(n+1)\\P(n+2)\end{pmatrix}},}
4950:
3961:
3789:
6464:
The signature does give discriminating information on the remaining two types of primes. For example, the smallest Q-type pseudoprime 50,972,694,899,204,437,633 computed by Holger
5603:
The question of the existence of Perrin pseudoprimes was considered by Malo and Jarden, but none were known until Adams and Shanks found the smallest one, 271441 = 521 (the number
4294:
4389:
1575:
3182:
8266:
5122:
5618:
271441, 904631, 16532714, 24658561, 27422714, 27664033, 46672291, 102690901, 130944133, 196075949, 214038533, 517697641, 545670533, 801123451, 855073301, 903136901, 970355431.
1811:
5561:
The same proof, applicable to one of the sequences, will undoubtedly bear upon the other, if the stated property is true for both: it is only a matter of discovering it.
5222:
3927:
3234:
4334:
1956:
7753:
5321:
3316:
3260:
3292:
4984:
5488:
for verifying whether a given number m is prime or not; it would suffice to calculate the residues with respect to m of successive terms of the recurrence sequence
6985:
5253:
4414:
4234:
7356:
5279:
4916:
4892:
4207:
6051:
The least strong restricted Perrin pseudoprime is 46672291 and the above two bounds expand to successively 173,536,465,910,671 and 79,720,990,309,209,574,421.
3110:
6627:
6612:
6590:
1470:
1684:
6401:
6376:
6351:
6326:
6247:
6156:
6131:
6106:
6081:
8259:
7438:
4434:
7361:
4862:{\displaystyle \sum _{\begin{aligned}i\leq j\leq k&<n\\i+j+k&=n\end{aligned}}{\binom {n}{i,j,k}}\sum _{\pi (i,j,k)}a^{i}b^{j}c^{k}.}
3408:
7275:
3978:
5898:
of all primes, so the two sets cannot be distinguished on the strength of this test alone. For those cases, they recommend to also use the
3809:
572:
9066:
8252:
6151:"Sequence A074788 (Prime numbers in the Perrin sequence b(n+1) = b(n-1) + b(n-2) with initial values b(1)=3, b(2)=0, b(3)=2)"
3628:
9061:
6978:
3189:
43:
9076:
9056:
6044:. This reduces the number of restricted pseudoprimes for each sequence by roughly one-third and is especially efficient in detecting
3063:{\displaystyle {\begin{vmatrix}P(n+2)&P(n+1)&P(n)\\P(n+1)&P(n)&P(n-1)\\P(n)&P(n-1)&P(n-2)\end{vmatrix}}=-23.}
264:{\displaystyle {\begin{aligned}P(0)&=3,\\P(1)&=0,\\P(2)&=2,\\P(n)&=P(n-2)+P(n-3){\mbox{ for }}n>2,\end{aligned}}}
6076:"Sequence A001608 (Perrin sequence (or Ondrej Such sequence): a(n) = a(n-2) + a(n-3) with a(0) = 3, a(1) = 0, a(2) = 2)"
9769:
9349:
7612:
5397:
4142:
6041:
3495:
6554:
5646:
5626:. Composites for which both properties hold are called restricted Perrin pseudoprimes. There are only nine such numbers below
3326:
280:
9071:
7693:
5130:
5125:
2854:
9855:
5332:
10188:
6971:
6789:
6722:
6673:
9171:
7815:
7473:
5886:
observed that for all restricted pseudoprimes they found, the final state of the above six registers (the "signature" of
4991:
3558:
9521:
8840:
8633:
5957:
1488:
9556:
9526:
9201:
9191:
7840:
9697:
9111:
8845:
8825:
7306:
6607:
4596:
36:
9387:
5512:
I have found another recurrence sequence that seems to possess the same property; it is the one whose general term is
9551:
6953:
1577:
Starting from this and the defining recurrence, one can create an infinite number of further relations, for example
10193:
9646:
9269:
9026:
8835:
8817:
8711:
8701:
8691:
7748:
6780:
6713:
6664:
5664:
Two integer arrays u(3) and v(3) are initialized to the lowest terms of the Perrin sequence, with positive indices
5566:
9531:
5044:
9774:
9319:
8940:
8726:
8721:
8716:
8706:
8683:
1580:
10198:
8759:
6825:
9016:
5941:
and supposed that 2,277,740,968,903 = 1067179 â 2134357 is the smallest composite number to pass both tests.
4148:
9885:
9850:
9636:
9546:
9420:
9395:
9304:
9294:
8906:
8888:
8808:
7381:
6753:
6517:
4923:
3934:
3716:
3402:
3074:
10145:
9415:
9289:
8920:
8696:
8476:
8403:
7898:
7027:
5227:
4250:
6126:"Sequence A112881 (Indices of prime Perrin numbers; values of n such that A001608(n) is prime)"
5607:
has 33150 decimal digits). Jon
Grantham later proved that there are infinitely many Perrin pseudoprimes.
4341:
1944:{\displaystyle P(n)=n\times \sum _{k=\lfloor (n+2)/3\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {k}{n-2k}}/k,}
1506:
9400:
9254:
9181:
8336:
8235:
7825:
7478:
7386:
6895:
5326:
3116:
10109:
9749:
5089:
3610:
the formula reduces to either the first or the second term successively for large positive or negative
6924:
5951:
is used as well, this bound will be pushed up to 4,057,052,731,496,380,171 = 1424263447 â 2848526893.
3618:
is computed to sufficient precision, these formulas can be used to calculate Perrin numbers for large
10042:
9936:
9900:
9641:
9364:
9344:
9161:
8830:
8618:
8590:
7805:
6793:
4184:
2434:
1802:
1495:
emanating from the centre correspond to the infinite number of real (left) and complex roots (right)
1457:. They presented a detailed investigation of the sequence, with a sequel appearing four years later.
24:
5915:
temp:= u(0) + u(1) u(0):= u(2) â temp u(2):= temp temp:= v(2) + v(1) v(2):= v(0) â temp v(0):= temp
9764:
9628:
9623:
9591:
9354:
9329:
9324:
9299:
9229:
9225:
9156:
9046:
8878:
8674:
8643:
7800:
7458:
5485:
4245:
3964:
2106:{\displaystyle P(-n)=n\times \sum _{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor }(-1)^{n-k}{\binom {n-2k}{k}}/(n-2k).}
1675:
77:
10163:
6748:
10167:
9921:
9916:
9830:
9804:
9702:
9681:
9453:
9334:
9284:
9206:
9176:
9116:
8883:
8863:
8794:
8507:
7908:
7845:
7835:
7820:
7453:
7311:
6880:
6834:
6811:
6736:
6687:
6573:
5634:
5484:
which is the subject of query 1401 would provide, if it is true, a more practical criterium than
5481:
5200:
3905:
3194:
65:
9051:
7232:
4301:
4241:
10061:
10006:
9860:
9835:
9809:
9586:
9264:
9259:
9186:
9166:
9151:
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8855:
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8764:
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7810:
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7098:
6045:
5945:
5899:
5638:
3269:
2641:
6516:
A C/C++ implementation of the extended Perrin test can be found in the final subsection of a
5288:
3301:
3245:
10097:
9890:
9476:
9448:
9438:
9430:
9314:
9279:
9274:
9241:
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8789:
8784:
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8769:
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8532:
8471:
7787:
7777:
7772:
7709:
7556:
7423:
7326:
6899:
6844:
6801:
6762:
6726:
6704:
6677:
6563:
6545:
5586:
5582:
3277:
2858:
1465:
1426:
57:
39:
6371:"Sequence A275612 (Restricted Perrin pseudoprimes (Adams and Shanks definition))"
4957:
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9895:
9821:
9744:
9718:
9536:
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8662:
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8517:
8361:
8301:
7488:
7448:
7331:
7296:
7260:
7215:
7068:
7056:
6101:"Sequence A078712 (Series expansion of (-3 - 2*x)/(1 + x - x^3) in powers of x)"
1478:
6797:
5235:
4396:
4216:
10078:
9946:
9931:
9795:
9759:
9734:
9610:
9581:
9566:
9443:
9339:
9309:
9036:
8991:
8868:
8466:
8461:
8456:
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8413:
8326:
8311:
8289:
8276:
7893:
7867:
7764:
7632:
7483:
7443:
7428:
7300:
7191:
7156:
7111:
7036:
7018:
5876:
5676:
5642:
5637:. Of the above seventeen numbers, four are base 2 Fermatians as well. In contrast, the
5264:
4901:
4877:
4192:
3321:
3185:
1474:
6942:
6930:
6806:
6775:
6731:
6708:
6682:
6659:
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9576:
9561:
9471:
8754:
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8585:
8423:
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8346:
8321:
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7668:
7532:
7505:
7341:
7206:
7144:
7135:
7120:
7083:
7009:
6700:
6655:
3265:
1454:
61:
6396:"Sequence A275613 (Restricted Perrin pseudoprimes (Grantham definition).)"
5641:
are anti-correlated. Presumably, combining the Perrin and Lucas tests should make a
3101:
10037:
10026:
9941:
9779:
9754:
9671:
9571:
9541:
9516:
9500:
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9372:
9121:
9095:
9006:
8945:
8522:
8418:
8351:
8331:
8306:
8224:
8219:
8214:
8209:
8204:
8199:
8194:
8189:
8184:
8179:
8174:
8169:
8164:
8159:
8154:
8149:
8144:
8139:
8134:
8129:
8124:
8119:
8114:
8109:
8104:
8099:
8094:
8089:
8084:
8079:
8074:
8069:
8064:
8059:
8054:
7857:
7580:
7463:
7346:
7336:
7321:
7316:
7280:
6994:
6585:
5574:
5230:. It follows that the identity has integer terms and both sides divisible by prime
6879:
Stephan, Holger (2020). "Millions of Perrin pseudoprimes including a few giants".
6603:
4211:
can be represented as another polynomial function in the integer coefficients of
1791:{\displaystyle {\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P(n)\,x^{n}}
1442:
9996:
9871:
9676:
9140:
9031:
8986:
8981:
8731:
8638:
8537:
8366:
8341:
8316:
8049:
8044:
8039:
8034:
8029:
8024:
8019:
8014:
8009:
8004:
7999:
7994:
7989:
7984:
7979:
7974:
7969:
7964:
7959:
7954:
7949:
7795:
7468:
7376:
7371:
7351:
7265:
7168:
7044:
6894:
Stephan, Holger (2019). Perrin pseudoprimes (WIAS Research Data No. 4). Berlin:
6391:
6366:
6341:
6316:
6237:
6146:
6121:
6096:
6071:
5597:
4584:
3237:
3082:
19:
10133:
10114:
9410:
9021:
7872:
7688:
7596:
7516:
7366:
7270:
6848:
4569:{\displaystyle (a+b+c)^{n}=\sum _{i+j+k=n}{\binom {n}{i,j,k}}a^{i}b^{j}c^{k}.}
8244:
9739:
9666:
9658:
9463:
9377:
8495:
7913:
7862:
7743:
6919:
1492:
6766:
5937:
found no overlap between the odd pseudoprimes for the two sequences below
9840:
6904:
6415:
None of the 2402549 Lucas-Selfridge pseudoprimes below 10 listed by Dana
5912:
The same doubling rule applies and the formulas for filling the gaps are
4580:
3485:{\displaystyle P(n)=\alpha ^{n}+2\cos(n\,\theta ){\sqrt {\alpha ^{-n}}},}
6857:
9845:
9504:
7415:
6963:
6823:
Grantham, Jon (2010). "There are infinitely many Perrin pseudoprimes".
6815:
6740:
6691:
6641:
6577:
5649:
which has no known pseudoprimes â though at higher computational cost.
6751:(1987). "The number of maximal independent sets in connected graphs".
6885:
5680:
5559:= 119), which leads to simpler calculations when n is a large number.
4187:
states that every symmetric polynomial in the complex roots of monic
6568:
6549:
5698:
The subscripts of the Perrin numbers are doubled using the identity
3893:{\displaystyle f(x)=x^{3}-\sigma _{1}x^{2}+\sigma _{2}x-\sigma _{3}}
1445:
asked if there were any counterexamples to this property. The first
6839:
3791:
by which the forward and reverse parts of the sequence are linked.
561:
Perrin numbers can be expressed as sums of the three initial terms
7410:
7396:
3100:
1464:
1425:
In 1876 the sequence and its equation were initially mentioned by
18:
3706:{\displaystyle P^{2}(n)=(\alpha ^{n}+\beta ^{n}+\gamma ^{n})^{2}}
10131:
10095:
10059:
10023:
9983:
9608:
9497:
9223:
9138:
9093:
8970:
8660:
8607:
8559:
8493:
8445:
8383:
8287:
8248:
6967:
6321:"Sequence A013998 (Unrestricted Perrin pseudoprimes)"
5890:) equals the initial state 1,â1,3, 3,0,2. The same occurs with
5622:
Adams and Shanks noted that primes also satisfy the congruence
5325:
in the reverse sequence, the characteristic equation has to be
5879:, that is: actually prime or a restricted Perrin pseudoprime.
5547:
gives much less rapidly increasing numbers than the sequence u
6649:(2 ed.). Jerusalem: Riveon LeMatematika. pp. 86â93.
6346:"Sequence A018187 (Restricted Perrin pseudoprimes)"
3806:
If the characteristic equation of the sequence is written as
5829:
i = 0, 1, 2 u(i):= u(i + 1) v(i):= v(i + 1)
6395:
6370:
6345:
6320:
6241:
6150:
6125:
6100:
6075:
6036:
expose composite numbers, like non-trivial square roots of
5464:{\displaystyle \sigma _{1}=-1,\sigma _{2}=0,\sigma _{3}=1,}
3614:, and numbers with negative subscripts oscillate. Provided
1503:
The Perrin sequence also satisfies the recurrence relation
5909:
u(0):= 3, u(1):= 1, u(2):= 1 v(0):= 3, v(1):= 0, v(2):=â2
3548:{\displaystyle \theta =\arccos(-{\sqrt {\alpha ^{3}}}/2).}
7944:
7939:
7934:
7929:
6550:"Théorie des fonctions numériques simplement périodiques"
3105:
The Perrin function extends the sequence to real numbers.
2115:
Perrin numbers can be expressed in terms of partial sums
6958:
5812:
temp:= v(0) â v(1) v(0):= v(2) + temp v(2):= temp
5805:
temp:= u(2) â u(1) u(2):= u(0) + temp u(0):= temp
3387:{\displaystyle P(n)=\alpha ^{n}+\beta ^{n}+\gamma ^{n},}
357:{\displaystyle P(n)=P(n+3)-P(n+1){\mbox{ for }}n<0.}
5188:{\displaystyle \alpha ^{p}+\beta ^{p}+\gamma ^{p}=P(p)}
56:. The Perrin numbers bear the same relationship to the
5633:
While Perrin pseudoprimes are rare, they overlap with
5387:{\displaystyle \alpha ^{-1},\beta ^{-1},\gamma ^{-1},}
2876:
2767:
2731:
2659:
2557:
2521:
2452:
339:
239:
6925:
Wright, Colin (2015). "Finding Perrin Pseudo-primes".
5960:
5691:
at the cost of six modular squarings for each bit of
5400:
5335:
5291:
5267:
5238:
5203:
5133:
5092:
5047:
5041:
for all symmetric polynomial functions. For example,
4994:
4960:
4926:
4904:
4880:
4691:
4599:
4437:
4399:
4344:
4304:
4253:
4219:
4195:
4151:
3976:
3937:
3908:
3812:
3719:
3631:
3561:
3498:
3411:
3329:
3304:
3280:
3248:
3197:
3119:
2870:
2652:
2445:
2124:
1959:
1814:
1687:
1583:
1509:
570:
283:
88:
5954:
Additionally, roots of the doubling rule-congruence
9955:
9909:
9869:
9820:
9794:
9727:
9711:
9690:
9657:
9622:
9462:
9429:
9386:
9363:
9240:
8928:
8919:
8897:
8854:
8816:
8807:
8740:
8682:
8673:
7922:
7886:
7786:
7763:
7737:
7504:
7497:
7395:
7289:
7253:
7002:
6481:
6444:
6203:
5034:{\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}
3603:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\alpha ^{-n}=0,}
2429:The Perrin numbers are obtained as integral powers
6954:Holzbaur, Christian (1997). "Perrin Pseudoprimes".
6709:"Fast primality tests for numbers less than 50â10"
6468:is exposed by signature conditions 14a and 14c in
6021:{\displaystyle x^{2}-2x\equiv 3=P(0){\pmod {n}}\,}
6020:
5463:
5386:
5315:
5273:
5247:
5216:
5187:
5116:
5078:
5033:
4978:
4944:
4910:
4886:
4861:
4678:
4568:
4408:
4383:
4328:
4288:
4228:
4201:
4172:
4130:
3955:
3921:
3892:
3783:
3705:
3602:
3547:
3484:
3386:
3310:
3286:
3264:(with approximate value 1.324718 and known as the
3254:
3228:
3176:
3062:
2842:
2629:
2418:
2105:
1943:
1790:
1664:
1569:
1302:
356:
263:
5596:. A number with this property is called a Perrin
4789:
4762:
4527:
4500:
4375:
4348:
2071:
2047:
1924:
1900:
7626: = 0, 1, 2, 3, ...
6920:Jacobsen, Dana (2016). "Perrin Primality Tests".
6660:"Strong primality tests that are not sufficient"
4679:{\displaystyle (a+b+c)^{n}-(a^{n}+b^{n}+c^{n})=}
3563:
6959:Turk, Richard (2014). "The Perrin Chalkboard".
6562:(3). Johns Hopkins University Press: 229â231.
3320:, the Perrin numbers can be computed with the
1491:z = 1.225432 with viewport width 0.05320. The
8260:
6979:
6635:. Gauthier-Villars et fils: 280â282, 312â314.
6447:, p. 694). This was later confirmed for
6242:"Sequence A000918 (a(n) = 2^n - 2)"
5710:are closed by applying the defining relation
8:
5079:{\displaystyle (\alpha +\beta +\gamma )^{p}}
4185:fundamental theorem on symmetric polynomials
2014:
2000:
1892:
1878:
1873:
1847:
1453:was found only in 1982 by William Adams and
1313:The first fourteen prime Perrin numbers are
6504:
6469:
6440:
6428:
6288:
6192:
367:The first few terms in both directions are
10128:
10092:
10056:
10020:
9980:
9654:
9619:
9605:
9494:
9237:
9220:
9196:
9135:
9090:
8967:
8925:
8813:
8679:
8670:
8657:
8604:
8561:Possessing a specific set of other numbers
8556:
8490:
8442:
8380:
8284:
8267:
8253:
8245:
7501:
6986:
6972:
6964:
1665:{\displaystyle P(n)=P(n-3)+P(n-4)+P(n-5).}
27:with side lengths equal to Perrin numbers.
6903:
6884:
6838:
6805:
6730:
6681:
6567:
6402:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
6377:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
6352:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
6327:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
6248:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
6157:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
6132:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
6107:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
6082:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
6066:
6064:
6017:
6001:
5965:
5959:
5446:
5427:
5405:
5399:
5372:
5356:
5340:
5334:
5290:
5266:
5237:
5208:
5202:
5164:
5151:
5138:
5132:
5102:
5097:
5091:
5070:
5046:
5025:
5012:
4999:
4993:
4959:
4925:
4903:
4879:
4850:
4840:
4830:
4799:
4788:
4761:
4759:
4696:
4690:
4664:
4651:
4638:
4622:
4598:
4557:
4547:
4537:
4526:
4499:
4497:
4473:
4460:
4436:
4398:
4374:
4347:
4345:
4343:
4303:
4254:
4252:
4218:
4194:
4150:
4091:
4032:
3985:
3977:
3975:
3936:
3913:
3907:
3884:
3868:
3855:
3845:
3832:
3811:
3742:
3718:
3697:
3687:
3674:
3661:
3636:
3630:
3582:
3566:
3560:
3531:
3523:
3517:
3497:
3468:
3462:
3455:
3431:
3410:
3375:
3362:
3349:
3328:
3303:
3279:
3247:
3202:
3196:
3118:
2871:
2869:
2762:
2726:
2720:
2654:
2651:
2552:
2516:
2510:
2447:
2444:
2385:
2374:
2311:
2300:
2240:
2229:
2175:
2164:
2125:
2123:
2077:
2070:
2046:
2044:
2032:
2006:
1999:
1988:
1958:
1930:
1923:
1899:
1897:
1884:
1877:
1865:
1840:
1813:
1782:
1777:
1759:
1748:
1732:
1719:
1701:
1688:
1686:
1582:
1508:
571:
569:
338:
282:
238:
89:
87:
6416:
6300:
5610:The seventeen Perrin pseudoprimes below
4988:and compute representations in terms of
3713:gives the important index-doubling rule
1315:
369:
6529:
6493:
6465:
6304:
6060:
4173:{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma .}
4141:These integer valued functions are the
6277:
6261:
6214:
6181:
5774:i = 0, 1, 2 temp:= u(i)^2 â 2v(i)
5679:loop, originally devised to run on an
4945:{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
3956:{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
3784:{\displaystyle P(2n)=P^{2}(n)-2P(-n),}
76:The Perrin numbers are defined by the
16:Number sequence 3,0,2,3,2,5,5,7,10,...
6225:
6170:
5551:(for n = 17, for example, one finds u
5538:= 2. It is easy to demonstrate that v
5195:can be expressed in the coefficients
7:
6598:. Gauthier-Villars et fils: 266â267.
6452:
6273:
4289:{\displaystyle {\frac {p!}{i!j!k!}}}
6858:"Pseudoprime statistics and tables"
6625:Malo, E. (1900). "RĂ©ponse Ă 1484".
6204:Kurtz, Shanks & Williams (1986)
6009:
4384:{\displaystyle {\binom {p}{i,j,k}}}
3931:can be expressed in terms of roots
1801:The sequence is related to sums of
1570:{\displaystyle P(n)=P(n-1)+P(n-5).}
6628:L'Intermédiaire des Mathématiciens
6620:. Gauthier-Villars et fils: 76â77.
6613:L'Intermédiaire des Mathématiciens
6591:L'Intermédiaire des Mathématiciens
6482:Kurtz, Shanks & Williams (1986
6445:Kurtz, Shanks & Williams (1986
4766:
4504:
4352:
3573:
3177:{\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3)}
2051:
1904:
1760:
14:
6807:10.1090/S0025-5718-1991-1052083-9
6732:10.1090/S0025-5718-1986-0829639-7
6683:10.1090/S0025-5718-1982-0658231-9
5946:third-order Pell-Lucas recurrence
5117:{\displaystyle \sigma _{1}^{p}=0}
10162:
9770:Perfect digit-to-digit invariant
7362:Supersingular (moonshine theory)
5858:P(n â 1), P(n), P(n + 1) (mod n)
5471:and the same reasoning applies.
4143:elementary symmetric polynomials
6943:"Lucas and Perrin Pseudoprimes"
6776:"A note on Perrin pseudoprimes"
6555:American Journal of Mathematics
6002:
3184:can be written in terms of the
7357:Supersingular (elliptic curve)
6013:
6003:
5998:
5992:
5900:Narayana-Lucas sister sequence
5756:h:= most significant bit of n
5304:
5295:
5182:
5176:
5067:
5048:
4821:
4803:
4670:
4631:
4619:
4600:
4457:
4438:
3822:
3816:
3775:
3766:
3754:
3748:
3732:
3723:
3694:
3654:
3648:
3642:
3570:
3539:
3511:
3459:
3449:
3421:
3415:
3394:which also holds for negative
3339:
3333:
3171:
3159:
3150:
3138:
3129:
3123:
3040:
3028:
3020:
3008:
3000:
2994:
2984:
2972:
2964:
2958:
2950:
2938:
2928:
2922:
2914:
2902:
2894:
2882:
2826:
2814:
2804:
2792:
2782:
2773:
2613:
2601:
2591:
2579:
2569:
2563:
2406:
2394:
2360:
2345:
2329:
2320:
2286:
2274:
2258:
2249:
2215:
2200:
2190:
2184:
2144:
2132:
2097:
2082:
2029:
2019:
1972:
1963:
1862:
1850:
1824:
1818:
1774:
1768:
1656:
1644:
1635:
1623:
1614:
1602:
1593:
1587:
1561:
1549:
1540:
1528:
1519:
1513:
1293:
1287:
1278:
1272:
1260:
1254:
1246:
1240:
1228:
1222:
1210:
1204:
1186:
1180:
1171:
1165:
1153:
1147:
1133:
1127:
1118:
1112:
1100:
1094:
1076:
1070:
1058:
1052:
1043:
1037:
1026:
1020:
1011:
1005:
993:
987:
972:
966:
954:
948:
937:
931:
922:
916:
907:
901:
886:
880:
871:
865:
857:
851:
842:
836:
821:
815:
806:
800:
792:
786:
777:
771:
756:
750:
741:
735:
726:
720:
709:
703:
688:
682:
673:
667:
659:
653:
627:
621:
606:
597:
589:
583:
335:
323:
314:
302:
293:
287:
235:
223:
214:
202:
189:
183:
160:
154:
131:
125:
102:
96:
1:
8609:Expressible via specific sums
7138:2 ± 2 ± 1
6790:American Mathematical Society
6723:American Mathematical Society
6674:American Mathematical Society
6419:is also a Perrin pseudoprime.
5702:. The resulting gaps between
5668:in u( ) and negative indices
5482:proposition of Chinese origin
3236:. If the three solutions are
1449:divisible by composite index
5798:u(3):= u(2) v(3):= v(2)
5683:pocket calculator, computes
5565:The Perrin sequence has the
2861:is given by the determinant
9698:Multiplicative digital root
5949:A(n) = 2A(n â 1) + A(n â 3)
5854:P(ân â 1), P(ân), P(ân + 1)
5217:{\displaystyle \sigma _{k}}
3922:{\displaystyle \sigma _{k}}
3229:{\displaystyle x^{3}-x-1=0}
2853:The Perrin analogue of the
1429:, who noted that the index
10215:
6781:Mathematics of Computation
6714:Mathematics of Computation
6665:Mathematics of Computation
6392:Sloane, N. J. A.
6367:Sloane, N. J. A.
6342:Sloane, N. J. A.
6317:Sloane, N. J. A.
6264:translated from the French
6238:Sloane, N. J. A.
6147:Sloane, N. J. A.
6122:Sloane, N. J. A.
6097:Sloane, N. J. A.
6072:Sloane, N. J. A.
5904:A(n) = A(n â 1) + A(n â 3)
5807:Overwrite P(â2t ± 2) with
5796:in the if-statement below.
5741:Test odd positive number n
5712:P(t) = P(t â 2) + P(t â 3)
5657:The 1982 Adams and Shanks
5645:as strong as the reliable
5624:P(âp) ⥠P(â1) ⥠â1 (mod p)
4329:{\displaystyle i,j,k<p}
1678:of the Perrin sequence is
10158:
10141:
10127:
10105:
10091:
10069:
10055:
10033:
10019:
9992:
9979:
9775:Perfect digital invariant
9618:
9604:
9512:
9493:
9350:Superior highly composite
9236:
9219:
9147:
9134:
9102:
9089:
8977:
8966:
8669:
8656:
8614:
8603:
8566:
8555:
8503:
8489:
8452:
8441:
8394:
8379:
8297:
8283:
8233:
6849:10.1016/j.jnt.2009.11.008
6588:(1898). "Question 1401".
6193:Adams & Shanks (1982)
5902:with recurrence relation
5824:both Perrin triples by 1.
5800:Overwrite P(2t ± 2) with
5793:to the array ends and use
5228:Newton's recursive scheme
4579:Rearrange into symmetric
1481:
9388:Euler's totient function
9172:EulerâJacobi pseudoprime
8447:Other polynomial numbers
7744:Mega (1,000,000+ digits)
7613:Arithmetic progression (
6826:Journal of Number Theory
6505:Adams & Shanks (1982
6470:Adams & Shanks (1982
6441:Adams & Shanks (1982
6429:Adams & Shanks (1982
6289:Adams & Shanks (1982
5480:Query 1484. The curious
4246:multinomial coefficients
3075:maximal independent sets
3073:The number of different
1469:A Perrin microcosm: the
9202:SomerâLucas pseudoprime
9192:LucasâCarmichael number
9027:Lazy caterer's sequence
6856:Jacobsen, Dana (2020).
6754:Journal of Graph Theory
6431:, p. 265, 269-270)
5922:is a probable prime if
5821:Increase the indices of
5769:the six Perrin numbers.
5661:Perrin primality test.
5579:P(p) ⥠P(1) ⥠0 (mod p)
5316:{\displaystyle P(-p)+1}
3625:Expanding the identity
3311:{\displaystyle \gamma }
3255:{\displaystyle \alpha }
3190:characteristic equation
44:characteristic equation
9077:WedderburnâEtherington
8477:Lucky numbers of Euler
7899:Industrial-grade prime
7276:NewmanâShanksâWilliams
6767:10.1002/jgt.3190110403
6022:
5778:v(i):= v(i)^2 â 2u(i)
5563:
5465:
5388:
5317:
5275:
5249:
5218:
5189:
5118:
5080:
5035:
4980:
4946:
4912:
4888:
4863:
4680:
4570:
4410:
4391:is divisible by prime
4385:
4330:
4290:
4230:
4203:
4174:
4132:
3957:
3923:
3900:then the coefficients
3894:
3785:
3707:
3604:
3549:
3486:
3388:
3312:
3288:
3287:{\displaystyle \beta }
3256:
3230:
3178:
3106:
3064:
2844:
2631:
2420:
2390:
2316:
2245:
2180:
2107:
2018:
1945:
1896:
1792:
1764:
1666:
1571:
1500:
1304:
358:
265:
35:are a doubly infinite
28:
9365:Prime omega functions
9182:Frobenius pseudoprime
8972:Combinatorial numbers
8841:Centered dodecahedral
8634:Primary pseudoperfect
8236:List of prime numbers
7694:Sophie Germain/Safe (
6896:Weierstrass Institute
6873:#LPSP Lucas-Selfridge
6774:Arno, Steven (1991).
6023:
5766:Double the indices of
5700:P(2t) = P(t) â 2P(ât)
5526:with initial values v
5502:with initial values u
5478:
5475:Perrin primality test
5466:
5389:
5329:. The roots are then
5318:
5276:
5250:
5219:
5190:
5119:
5081:
5036:
4981:
4979:{\displaystyle a,b,c}
4947:
4913:
4889:
4864:
4681:
4571:
4411:
4386:
4331:
4291:
4231:
4204:
4175:
4133:
3958:
3924:
3895:
3786:
3708:
3605:
3550:
3487:
3389:
3313:
3289:
3257:
3231:
3179:
3104:
3089:th Perrin number for
3065:
2845:
2632:
2421:
2370:
2296:
2225:
2160:
2108:
1984:
1946:
1836:
1803:binomial coefficients
1793:
1744:
1667:
1572:
1471:escape time algorithm
1468:
1305:
359:
266:
25:equilateral triangles
22:
10189:Recurrence relations
9824:-composition related
9624:Arithmetic functions
9226:Arithmetic functions
9162:Elliptic pseudoprime
8846:Centered icosahedral
8826:Centered tetrahedral
7418:(10 â 1)/9
6905:10.20347/WIAS.DATA.4
6640:Jarden, Dov (1966).
5958:
5736:v(0):= 3, v(1):=â1,
5726:u(0):= 3, u(1):= 0,
5398:
5333:
5289:
5265:
5236:
5201:
5131:
5090:
5045:
4992:
4958:
4924:
4902:
4878:
4689:
4597:
4435:
4397:
4342:
4302:
4251:
4217:
4193:
4149:
3974:
3935:
3906:
3810:
3717:
3629:
3559:
3496:
3409:
3327:
3302:
3278:
3246:
3195:
3117:
2868:
2650:
2443:
2122:
1957:
1812:
1685:
1581:
1507:
1493:basins of attraction
568:
281:
86:
31:In mathematics, the
9750:Kaprekar's constant
9270:Colossally abundant
9157:Catalan pseudoprime
9057:SchröderâHipparchus
8836:Centered octahedral
8712:Centered heptagonal
8702:Centered pentagonal
8692:Centered triangular
8292:and related numbers
7727: ± 7, ...
7254:By integer sequence
7039:(2 + 1)/3
6931:"Perrin's Sequence"
6798:1991MaCom..56..371A
6643:Recurring sequences
5906:and initial values
5787:Copy P(2t + 2) and
5635:Fermat pseudoprimes
5259:To show that prime
5107:
1676:generating function
78:recurrence relation
10168:Mathematics portal
10110:Aronson's sequence
9856:SmarandacheâWellin
9613:-dependent numbers
9320:Primitive abundant
9207:Strong pseudoprime
9197:Perrin pseudoprime
9177:Fermat pseudoprime
9117:Wolstenholme prime
8941:Squared triangular
8727:Centered decagonal
8722:Centered nonagonal
8717:Centered octagonal
8707:Centered hexagonal
7909:Formula for primes
7542: + 2 or
7474:SmarandacheâWellin
6507:, p. 280-283)
6405:. OEIS Foundation.
6380:. OEIS Foundation.
6355:. OEIS Foundation.
6330:. OEIS Foundation.
6251:. OEIS Foundation.
6160:. OEIS Foundation.
6135:. OEIS Foundation.
6110:. OEIS Foundation.
6085:. OEIS Foundation.
6046:Carmichael numbers
6018:
5639:Lucas pseudoprimes
5585:is not true: some
5461:
5384:
5313:
5271:
5248:{\displaystyle p.}
5245:
5214:
5185:
5114:
5093:
5076:
5031:
4976:
4942:
4920:and complex roots
4908:
4884:
4859:
4825:
4758:
4756:
4676:
4566:
4496:
4409:{\displaystyle p.}
4406:
4381:
4326:
4286:
4229:{\displaystyle f.}
4226:
4199:
4170:
4128:
4126:
3953:
3919:
3890:
3781:
3703:
3600:
3577:
3545:
3482:
3384:
3308:
3284:
3252:
3226:
3174:
3113:of the recurrence
3107:
3085:is counted by the
3060:
3045:
2840:
2831:
2753:
2714:
2627:
2618:
2543:
2504:
2416:
2414:
2103:
1941:
1788:
1662:
1567:
1501:
1473:is applied to the
1441:is prime. In 1899
1300:
1298:
354:
343:
261:
259:
243:
66:Fibonacci sequence
37:constant-recursive
29:
10194:Integer sequences
10176:
10175:
10154:
10153:
10123:
10122:
10087:
10086:
10051:
10050:
10015:
10014:
9975:
9974:
9971:
9970:
9790:
9789:
9600:
9599:
9489:
9488:
9485:
9484:
9431:Aliquot sequences
9242:Divisor functions
9215:
9214:
9187:Lucas pseudoprime
9167:Euler pseudoprime
9152:Carmichael number
9130:
9129:
9085:
9084:
8962:
8961:
8958:
8957:
8954:
8953:
8915:
8914:
8803:
8802:
8760:Square triangular
8652:
8651:
8599:
8598:
8551:
8550:
8485:
8484:
8437:
8436:
8375:
8374:
8242:
8241:
7853:Carmichael number
7788:Composite numbers
7723: ± 3, 8
7719: ± 1, 4
7682: ± 1, âŠ
7678: ± 1, 4
7674: ± 1, 2
7664:
7663:
7209:3·2 â 1
7114:2·3 + 1
7028:Double Mersenne (
6042:Miller-Rabin test
5849:u(0), u(1), u(2)
5845:v(2), v(1), v(0)
5592:may still divide
5394:the coefficients
5274:{\displaystyle p}
4911:{\displaystyle n}
4887:{\displaystyle p}
4872:Substitute prime
4795:
4787:
4692:
4525:
4469:
4373:
4284:
4202:{\displaystyle f}
3562:
3529:
3477:
3270:complex conjugate
2859:Fibonacci numbers
2069:
1922:
1739:
1418:
1417:
559:
558:
342:
242:
10206:
10166:
10129:
10098:Natural language
10093:
10057:
10025:Generated via a
10021:
9981:
9886:Digit-reassembly
9851:Self-descriptive
9655:
9620:
9606:
9557:LucasâCarmichael
9547:Harmonic divisor
9495:
9421:Sparsely totient
9396:Highly cototient
9305:Multiply perfect
9295:Highly composite
9238:
9221:
9136:
9091:
9072:Telephone number
8968:
8926:
8907:Square pyramidal
8889:Stella octangula
8814:
8680:
8671:
8663:Figurate numbers
8658:
8605:
8557:
8491:
8443:
8381:
8285:
8269:
8262:
8255:
8246:
7773:Eisenstein prime
7728:
7704:
7683:
7655:
7627:
7607:
7591:
7575:
7570: + 6,
7566: + 2,
7551:
7546: + 4,
7527:
7502:
7419:
7382:Highly cototient
7244:
7243:
7237:
7227:
7210:
7201:
7186:
7163:
7162:·2 â 1
7151:
7150:·2 + 1
7139:
7130:
7115:
7106:
7093:
7078:
7063:
7051:
7050:·2 + 1
7040:
7031:
7022:
7013:
6988:
6981:
6974:
6965:
6950:
6938:
6909:
6907:
6890:
6888:
6875:
6870:
6868:
6852:
6842:
6833:(5): 1117â1128.
6819:
6809:
6770:
6744:
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6695:
6685:
6654:Adams, William;
6650:
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6520:of this article.
6518:previous version
6514:
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6313:
6307:
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6292:
6286:
6280:
6271:
6265:
6259:
6253:
6252:
6234:
6228:
6223:
6217:
6212:
6206:
6201:
6195:
6190:
6184:
6179:
6173:
6168:
6162:
6161:
6143:
6137:
6136:
6118:
6112:
6111:
6093:
6087:
6086:
6068:
6039:
6035:
6031:
6027:
6025:
6024:
6019:
6016:
5970:
5969:
5950:
5940:
5929:
5925:
5905:
5897:
5870:
5866:
5859:
5855:
5816:n has bit k set
5810:
5803:
5790:
5781:
5777:
5739:
5729:
5713:
5709:
5705:
5701:
5694:
5690:
5687:and the reverse
5686:
5671:
5667:
5660:
5629:
5625:
5613:
5606:
5595:
5591:
5580:
5572:
5486:Wilson's theorem
5470:
5468:
5467:
5462:
5451:
5450:
5432:
5431:
5410:
5409:
5393:
5391:
5390:
5385:
5380:
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