1440:
1996:
1175:
610:
736:
1838:
1160:
1546:
1650:
1035:
1823:
2319:
419:
340:
194:
2632:
Overcoming the failure of the classical generalized interior-point regularity conditions in convex optimization. Applications of the duality theory to enlargements of maximal monotone operators
1713:
756:
246:
2179:
145:
102:
2514:
2390:
847:
1435:{\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\inf _{x\in X}L(x,y^{*})\leq \inf _{x\in X}\sup _{y^{*}\in Y^{*}}L(x,y^{*})=\inf _{x\in X}F(x,0).}
2264:
473:
2440:
789:
2088:
2049:
950:
911:
2123:
32:. The name comes from the fact that any such function defines a perturbation of the initial problem. In many cases this takes the form of shifting the constraints.
640:
2211:
360:
269:
363:
493:
679:
1991:{\displaystyle L(x,y^{*})={\begin{cases}f(x)-y^{*}(g(x))&{\text{if }}y^{*}\in \mathbb {R} _{-}^{d},\\-\infty &{\text{else}}.\end{cases}}}
1051:
2664:
2639:
2576:
2551:
1451:
1554:
978:
2606:
1724:
2269:
369:
274:
150:
2691:
2686:
17:
1658:
792:
741:
202:
2131:
665:
107:
64:
25:
2445:
673:
2327:
802:
59:
1875:
2216:
2182:
759:
428:
2398:
765:
2054:
2015:
916:
877:
2660:
2635:
2602:
2572:
2547:
2096:
2126:
858:
643:
2616:
618:
2612:
2601:. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. pp. 106–113.
2517:
2187:
2007:
669:
56:
657:
345:
254:
36:
2680:
1166:
653:
29:
39:
is called the perturbation function, and the perturbation function is called the
484:
2213:(including the constraints by way of the indicator function) can be written as
605:{\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})\leq \inf _{x\in X}F(x,0),}
2091:
731:{\displaystyle 0\in \operatorname {core} ({\Pr }_{Y}(\operatorname {dom} F))}
52:
251:
If there are constraint conditions, these can be built into the function
1155:{\displaystyle L(x,y^{*})=\inf _{y\in Y}\left\{F(x,y)-y^{*}(y)\right\}.}
1541:{\displaystyle \inf _{x:g(x)\leq 0}f(x)=\inf _{x\in X}{\tilde {f}}(x)}
1645:{\displaystyle {\tilde {f}}(x)=f(x)+I_{\mathbb {R} _{+}^{d}}(-g(x))}
1045:(i.e. the concave conjugate). That is the Lagrangian is defined by
487:
is the difference of the right and left hand side of the inequality
656:
holds. There are a number of conditions which if satisfied imply
1030:{\displaystyle L:X\times Y^{*}\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}
1818:{\displaystyle F(x,y)=f(x)+I_{\mathbb {R} _{+}^{d}}(y-g(x)).}
2314:{\displaystyle J:X\times Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}
414:{\displaystyle F:X\times Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}
1984:
1828:
Thus the connection to
Lagrangian duality can be seen, as
335:{\displaystyle f\leftarrow f+I_{\mathrm {constraints} }}
2448:
2401:
2330:
2272:
2219:
2190:
2134:
2099:
2057:
2018:
1841:
1727:
1661:
1557:
1454:
1178:
1054:
981:
919:
880:
805:
768:
744:
682:
621:
496:
431:
372:
348:
277:
257:
205:
153:
110:
67:
2542:
Radu Ioan Boţ; Gert Wanka; Sorin-Mihai Grad (2009).
189:{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}
2508:
2434:
2384:
2313:
2258:
2205:
2173:
2117:
2082:
2043:
1990:
1817:
1707:
1644:
1540:
1434:
1154:
1029:
944:
905:
841:
783:
750:
730:
634:
604:
467:
413:
354:
334:
263:
240:
188:
139:
96:
952:be dual pairs. Given a primal problem (minimize
1663:
1502:
1456:
1396:
1338:
1322:
1278:
1248:
1180:
1084:
808:
771:
700:
566:
498:
207:
2321:. Then the perturbation function is given by
8:
2308:
2299:
1024:
1015:
408:
399:
183:
174:
2592:
2590:
2588:
2442:then the perturbation function is given by
2516:, which is the traditional definition of
2447:
2400:
2395:In particular if the primal objective is
2329:
2292:
2291:
2271:
2218:
2189:
2165:
2152:
2139:
2133:
2098:
2071:
2056:
2032:
2017:
1973:
1952:
1947:
1943:
1942:
1932:
1923:
1897:
1870:
1858:
1840:
1780:
1775:
1771:
1770:
1768:
1726:
1666:
1660:
1613:
1608:
1604:
1603:
1601:
1559:
1558:
1556:
1518:
1517:
1505:
1459:
1453:
1399:
1383:
1359:
1346:
1341:
1325:
1309:
1281:
1269:
1256:
1251:
1235:
1216:
1201:
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1183:
1177:
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1071:
1053:
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1007:
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980:
933:
918:
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804:
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770:
767:
743:
704:
699:
681:
626:
620:
569:
553:
534:
519:
506:
501:
495:
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391:
371:
347:
295:
294:
276:
256:
237:
210:
204:
167:
166:
152:
126:
109:
83:
66:
2657:Conjugate Duality in Convex Optimization
2599:Convex analysis in general vector spaces
2569:Approaches to the Theory of Optimization
1708:{\displaystyle \inf _{x:g(x)\leq y}f(x)}
1652:. Then if the perturbation is given by
960:)) and a related perturbation function (
649:For any choice of perturbation function
2529:
2090:be dual pairs. Assume there exists a
196:, we can define the primal problem by
2537:
2535:
2533:
751:{\displaystyle \operatorname {core} }
241:{\displaystyle \inf _{x\in X}f(x).\,}
7:
2174:{\displaystyle T^{*}:Y^{*}\to X^{*}}
140:{\displaystyle \left(Y,Y^{*}\right)}
97:{\displaystyle \left(X,X^{*}\right)}
2509:{\displaystyle F(x,y)=f(x)+g(Tx-y)}
1169:minmax equation can be shown to be
2305:
1968:
1718:then the perturbation function is
1445:If the primal problem is given by
1021:
405:
326:
323:
320:
317:
314:
311:
308:
305:
302:
299:
296:
180:
14:
2385:{\displaystyle F(x,y)=J(x,Tx-y).}
842:{\displaystyle {\Pr }_{Y}(x,y)=y}
2571:. Cambridge University Press.
2544:Duality in Vector Optimization
2503:
2488:
2479:
2473:
2464:
2452:
2429:
2420:
2411:
2405:
2376:
2355:
2346:
2334:
2288:
2253:
2238:
2229:
2223:
2200:
2194:
2158:
2109:
2077:
2058:
2038:
2019:
1918:
1915:
1909:
1903:
1887:
1881:
1864:
1845:
1809:
1806:
1800:
1788:
1758:
1752:
1743:
1731:
1702:
1696:
1682:
1676:
1639:
1636:
1630:
1621:
1591:
1585:
1576:
1570:
1564:
1535:
1529:
1523:
1495:
1489:
1475:
1469:
1426:
1414:
1389:
1370:
1315:
1296:
1241:
1222:
1141:
1135:
1119:
1107:
1077:
1058:
1004:
939:
920:
900:
881:
830:
818:
725:
722:
710:
695:
596:
584:
559:
540:
462:
456:
447:
435:
388:
281:
231:
225:
163:
1:
1037:is the negative conjugate of
2634:. Logos Verlag Berlin GmbH.
2630:Ernö Robert Csetnek (2010).
2259:{\displaystyle f(x)=J(x,Tx)}
1832:can be trivially seen to be
28:which relates to primal and
861:then strong duality holds.
468:{\displaystyle F(x,0)=f(x)}
147:. Then given the function
2708:
2435:{\displaystyle f(x)+g(Tx)}
2005:
784:{\displaystyle {\Pr }_{Y}}
2083:{\displaystyle (Y,Y^{*})}
2044:{\displaystyle (X,X^{*})}
945:{\displaystyle (Y,Y^{*})}
906:{\displaystyle (X,X^{*})}
18:mathematical optimization
2659:. Springer. p. 68.
2118:{\displaystyle T:X\to Y}
2567:J. P. Ponstein (2004).
364:characteristic function
2655:Radu Ioan Boţ (2010).
2597:Zălinescu, C. (2002).
2510:
2436:
2386:
2315:
2260:
2207:
2175:
2119:
2084:
2045:
1992:
1819:
1709:
1646:
1542:
1436:
1156:
1031:
946:
907:
843:
785:
752:
732:
636:
606:
469:
415:
356:
336:
265:
242:
190:
141:
98:
2511:
2437:
2387:
2316:
2261:
2208:
2176:
2120:
2085:
2046:
1993:
1820:
1710:
1647:
1543:
1437:
1157:
1032:
947:
908:
844:
786:
753:
733:
674:lower semi-continuous
637:
635:{\displaystyle F^{*}}
607:
470:
423:perturbation function
416:
357:
337:
266:
243:
191:
142:
99:
60:locally convex spaces
22:perturbation function
2446:
2399:
2328:
2270:
2217:
2206:{\displaystyle f(x)}
2188:
2181:. Assume the primal
2132:
2097:
2055:
2016:
1839:
1725:
1659:
1555:
1452:
1176:
1052:
979:
917:
878:
803:
766:
742:
680:
660:. For instance, if
619:
494:
429:
370:
346:
275:
255:
203:
151:
108:
65:
2692:Convex optimization
1957:
1785:
1618:
646:in both variables.
2687:Linear programming
2506:
2432:
2382:
2311:
2256:
2203:
2183:objective function
2171:
2115:
2080:
2041:
1988:
1983:
1941:
1815:
1769:
1705:
1692:
1642:
1602:
1538:
1516:
1485:
1432:
1410:
1366:
1336:
1292:
1276:
1208:
1165:In particular the
1152:
1098:
1027:
942:
903:
839:
781:
760:algebraic interior
748:
728:
632:
602:
580:
526:
465:
411:
352:
332:
261:
238:
221:
186:
137:
94:
35:In some texts the
2666:978-3-642-04899-9
2641:978-3-8325-2503-3
2578:978-0-521-60491-8
2553:978-3-642-02885-4
1976:
1926:
1662:
1567:
1526:
1501:
1455:
1395:
1337:
1321:
1277:
1247:
1179:
1083:
565:
497:
355:{\displaystyle I}
264:{\displaystyle f}
206:
2699:
2671:
2670:
2652:
2646:
2645:
2627:
2621:
2620:
2594:
2583:
2582:
2564:
2558:
2557:
2539:
2515:
2513:
2512:
2507:
2441:
2439:
2438:
2433:
2391:
2389:
2388:
2383:
2320:
2318:
2317:
2312:
2295:
2265:
2263:
2262:
2257:
2212:
2210:
2209:
2204:
2180:
2178:
2177:
2172:
2170:
2169:
2157:
2156:
2144:
2143:
2127:adjoint operator
2124:
2122:
2121:
2116:
2089:
2087:
2086:
2081:
2076:
2075:
2050:
2048:
2047:
2042:
2037:
2036:
1997:
1995:
1994:
1989:
1987:
1986:
1977:
1974:
1956:
1951:
1946:
1937:
1936:
1927:
1924:
1902:
1901:
1863:
1862:
1824:
1822:
1821:
1816:
1787:
1786:
1784:
1779:
1774:
1714:
1712:
1711:
1706:
1691:
1651:
1649:
1648:
1643:
1620:
1619:
1617:
1612:
1607:
1569:
1568:
1560:
1547:
1545:
1544:
1539:
1528:
1527:
1519:
1515:
1484:
1441:
1439:
1438:
1433:
1409:
1388:
1387:
1365:
1364:
1363:
1351:
1350:
1335:
1314:
1313:
1291:
1275:
1274:
1273:
1261:
1260:
1240:
1239:
1221:
1220:
1207:
1206:
1205:
1193:
1192:
1161:
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1158:
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1133:
1097:
1076:
1075:
1041:with respect to
1036:
1034:
1033:
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898:
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787:
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780:
779:
774:
757:
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