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419:{\displaystyle \mathrm {F} =\left\{\tau \in \mathrm {H} :\left|\operatorname {Re} \tau \right|\leq {\frac {1}{2}},\left|\tau \right|\geq 1\right\}}
663:
826:
812:
798:
312:{\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\mathrm {F} }f(\tau ){\overline {g(\tau )}}(\operatorname {Im} \tau )^{k}d\nu (\tau )}
777:
492:
192:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {M} _{k}\times \mathbb {S} _{k}\rightarrow \mathbb {C} }
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17:
123:
723:{\displaystyle \langle T_{n}f,g\rangle =\langle f,T_{n}g\rangle }
733:
This can be used to show that the space of cusp forms of level
791:
Modular
Functions and Dirichlet Series in Number Theory
760:
has an orthonormal basis consisting of simultaneous
739:
666:
636:
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50:
821:, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2001,
807:, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1998,
793:, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1990,
752:
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32:. It was introduced by the German mathematician
73:be the space of entire modular forms of weight
8:
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209:
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49:
542:{\displaystyle d\nu (\tau )=y^{-2}dxdy}
805:Elliptische Funktionen und Modulformen
564:and the Petersson inner product is a
7:
741:
638:
439:
352:
333:
233:
14:
764:for the Hecke operators and the
115:{\displaystyle \mathbb {S} _{k}}
66:{\displaystyle \mathbb {M} _{k}}
28:defined on the space of entire
552:is the hyperbolic volume form.
429:is a fundamental region of the
768:of these forms are all real.
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502:
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300:
285:
272:
263:
257:
248:
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181:
1:
819:Introduction to Modular Forms
267:
753:{\displaystyle \Gamma _{0}}
650:{\displaystyle \Gamma _{0}}
858:
480:{\displaystyle \tau =x+iy}
445:{\displaystyle \Gamma }
22:Petersson inner product
803:M. Koecher, A. Krieg,
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560:The integral is
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657:, we have:
18:mathematics
784:References
556:Properties
124:cusp forms
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772:See also
574:For the
452:and for
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795:ISBN
44:Let
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