704:
932:
568:
1054:
815:
305:
688:
139:
1225:
421:
386:
1133:
943:
763:
736:
1138:
This
Pfaffian form is useful, as we may integrate it to solve for the holonomic constraint equation of the system, if one exists. In this case, the integration is rather trivial:
1418:
1287:
1082:
1317:
1341:
807:
787:
413:
162:
927:{\displaystyle {\overrightarrow {L}}\cdot {\overrightarrow {V}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{bmatrix}}=0}
185:
579:
30:
1144:
563:{\displaystyle \sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial f_{r}}{\partial u_{s}}}du_{s}+{\frac {\partial f_{r}}{\partial t}}dt=0;\;r=1,\ldots ,L}
1477:
1452:
313:
1375:
1499:
1090:
1049:{\displaystyle x{\dot {x}}+y{\dot {y}}=x{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}+y{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}=0}
415:
is the number of equations in a system of constraints, we can differentiate by the chain rule for each equation:
1369:
1504:
711:
Consider a pendulum. Because of how the motion of the weight is constrained by the arm, the velocity vector
741:
714:
1319:
is squared simply because it must be a positive number; being a physical system, dimensions must all be
392:
1239:
1366:
176:
17:
1423:
1062:
1473:
1448:
1295:
1355:
1326:
792:
772:
398:
147:
1493:
769:
must be zero. Both position and velocity of the mass can be defined in terms of an
1320:
766:
300:{\displaystyle f_{r}(u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},t)=0;\;r=1,\ldots ,L}
738:
of the weight must be perpendicular at all times to the position vector
703:
683:{\displaystyle \sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}+A_{r}dt=0;\;r=1,\ldots ,L}
167:
Holonomic systems can always be written in
Pfaffian constraint form.
134:{\displaystyle \sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}+A_{r}dt=0;\;r=1,\ldots ,L}
1220:{\displaystyle \int x{\text{d}}x+\int y{\text{d}}y=0=x^{2}+y^{2}+C}
1470:
1422:
One source of
Pfaffian constraints is rolling without slipping in
1352:
702:
1084:. This results in the Pfaffian form of the constraint equation:
573:
By a simple substitution of nomenclature we arrive at:
164:
is the number of equations in a system of constraints.
879:
850:
1378:
1329:
1298:
1242:
1147:
1093:
1065:
946:
818:
795:
775:
765:. Because these vectors are always orthogonal, their
744:
717:
582:
424:
401:
316:
188:
150:
33:
24:
is a way to describe a dynamical system in the form:
1447:. Kluwer Academic / Plenum Publishers. p. 57.
381:{\displaystyle \{u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n}\}}
1412:
1335:
1311:
1281:
1219:
1127:
1076:
1048:
926:
801:
781:
757:
730:
682:
562:
407:
380:
299:
156:
133:
175:Given a holonomic system described by a set of
8:
1445:Analytical Dynamics: Theory and Applications
375:
317:
1128:{\displaystyle x{\text{d}}x+y{\text{d}}y=0}
658:
538:
275:
109:
1393:
1392:
1391:
1377:
1328:
1303:
1297:
1273:
1260:
1247:
1241:
1205:
1192:
1171:
1154:
1146:
1111:
1097:
1092:
1066:
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986:
969:
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950:
945:
899:
898:
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882:
874:
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819:
817:
794:
774:
745:
743:
718:
716:
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608:
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587:
581:
506:
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487:
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456:
446:
440:
429:
423:
400:
369:
350:
337:
324:
315:
251:
232:
219:
206:
193:
187:
149:
88:
75:
59:
49:
38:
32:
1230:Where C is the constant of integration.
1435:
1372:linear in velocity, i.e., of the form
758:{\displaystyle {\overrightarrow {L}}}
731:{\displaystyle {\overrightarrow {V}}}
7:
937:Simplifying the dot product yields:
395:that describe the system, and where
1343:is the length of the pendulum arm.
1413:{\displaystyle A(q)\,{\dot {q}}=0}
1233:And conventionally, we may write:
514:
499:
464:
449:
14:
1282:{\displaystyle x^{2}+y^{2}=L^{2}}
1388:
1382:
263:
199:
1:
1077:{\displaystyle {\text{d}}t}
1521:
1059:We multiply both sides by
1443:Ardema, Mark D. (2005).
393:generalized coordinates
1414:
1337:
1313:
1283:
1221:
1129:
1078:
1050:
928:
803:
783:
759:
732:
708:
684:
603:
564:
445:
409:
382:
301:
158:
135:
54:
1468:Choset, H.M. (2005).
1415:
1338:
1314:
1312:{\displaystyle L^{2}}
1284:
1222:
1130:
1079:
1051:
929:
804:
784:
760:
733:
706:
685:
583:
565:
425:
410:
383:
302:
159:
136:
34:
1376:
1367:linearly independent
1327:
1296:
1240:
1145:
1091:
1063:
944:
816:
793:
773:
742:
715:
580:
422:
399:
314:
186:
177:holonomic constraint
148:
31:
1360:Pfaffian constraint
809:coordinate system:
22:Pfaffian constraint
1410:
1333:
1309:
1279:
1217:
1125:
1074:
1046:
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912:
865:
799:
779:
755:
728:
709:
680:
560:
405:
378:
297:
154:
131:
1472:. The MIT Press.
1401:
1336:{\displaystyle L}
1174:
1157:
1114:
1100:
1069:
1038:
1032:
1022:
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1002:
992:
977:
959:
907:
891:
840:
827:
802:{\displaystyle y}
782:{\displaystyle x}
753:
726:
521:
478:
408:{\displaystyle L}
157:{\displaystyle L}
1512:
1500:Robot kinematics
1484:
1483:
1465:
1459:
1458:
1440:
1419:
1417:
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1402:
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1315:
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1196:
1175:
1172:
1158:
1155:
1134:
1132:
1131:
1126:
1115:
1112:
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1098:
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1080:
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1007:
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805:
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761:
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687:
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354:
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328:
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236:
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137:
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92:
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1324:
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1088:
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988:
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1505:Control theory
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1424:wheeled robots
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1450:
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1407:
1404:
1398:
1395:
1385:
1379:
1371:
1368:
1365:
1361:
1357:
1354:
1346:
1344:
1330:
1322:
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