3369:
2862:
66:
25:
3364:{\displaystyle {\begin{aligned}M_{x}&=\iint _{D}y\,\rho (x,y)\,dx\,dy=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}y\,(2x+3y+2)\,dy\,dx\\&=\int _{0}^{2}(xy^{2}+y^{3}+y^{2}){\Big |}_{y=x}^{4-x}\,dx\\&=\int _{0}^{2}(-2x^{3}+4x^{2}-40x+80)\,dx\\&=\left.\left(-{\frac {x^{4}}{2}}+{\frac {4x^{3}}{3}}-20x^{2}+80x\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {248}{3}}\end{aligned}}}
168:
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3526:{\displaystyle \left({\frac {M_{y}}{m}},{\frac {M_{x}}{m}}\right)=\left({\frac {\frac {80}{3}}{\frac {112}{3}}},{\frac {\frac {248}{3}}{\frac {112}{3}}}\right)=\left({\frac {5}{7}},{\frac {31}{14}}\right)}
2846:{\displaystyle {\begin{aligned}M_{y}&=\int _{x=0}^{2}(-4x^{3}-8x^{2}+32x)\,dx\\&=\left.\left(-x^{4}-{\frac {8x^{3}}{3}}+16x^{2}\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {80}{3}}\end{aligned}}}
2156:{\displaystyle {\begin{aligned}m&=\int _{x=0}^{2}\left(-4x^{2}-8x+32\right)\,dx\\&=\left.\left(-{\frac {4x^{3}}{3}}-4x^{2}+32x\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {112}{3}}\end{aligned}}}
2867:
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186:
1050:{\displaystyle M_{x}=\lim _{m,n\to \infty }\,\sum _{i=1}^{m}\,\sum _{j=1}^{n}\,y{_{ij}}^{*}\,\rho \ (x{_{ij}}^{*},y{_{ij}}^{*})\,\Delta D=\iint _{D}y\,\rho \ (x,y)\,dx\,dy}
803:{\displaystyle M_{y}=\lim _{m,n\to \infty }\,\sum _{i=1}^{m}\,\sum _{j=1}^{n}\,x{_{ij}}^{*}\,\rho \ (x{_{ij}}^{*},y{_{ij}}^{*})\,\Delta D=\iint _{D}x\,\rho \ (x,y)\,dx\,dy}
333:
2433:
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1122:
1147:
1265:
1078:
353:
247:) is a figure representing a thin, usually uniform, flat layer of the solid. It serves also as an idealized model of a planar cross section of a solid body in
1598:
293:
for a constant density, because the mass of a lamina is proportional to its area. In a case of a variable density, given by some (non-negative)
1399:
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2334:{\displaystyle M_{y}=\iint _{D}x\,\rho (x,y)\,dx\,dy=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}x\,(2x+3y+2)\,dy\,dx}
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2541:{\displaystyle \qquad =\left.\left(2x^{2}y+{\frac {3xy^{2}}{2}}+2xy\right)\right|_{y=x}^{4-x}}
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of flat figures, as well as an aid in corresponding calculations for 3D bodies.
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1088:
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1502:{\displaystyle m=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}\,(2x+3y+2)\,dy\,dx}
1095:
Find the center of mass of a lamina with edges given by the lines
1087:
499:{\displaystyle \left({\frac {M_{y}}{m}},{\frac {M_{x}}{m}}\right)}
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with summation and integration taken over a planar domain
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is the moment of the entire lamina about the y-axis and
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is the moment of the entire lamina about the x-axis:
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may be too technical for most readers to understand
90:. Unsourced material may be challenged and removed.
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2422:{\displaystyle \int _{y=x}^{4-x}x\,(2x+3y+2)\,dy}
439:The center of mass of the lamina is at the point
1587:{\displaystyle \int _{y=x}^{4-x}\,(2x+3y+2)\,dy}
834:
587:
3556:A Dictionary of Mechanical Engineering (1 ed.)
1382:{\displaystyle m=\iint _{D}\rho (x,y)\,dx\,dy}
424:{\displaystyle m=\iint _{D}\rho (x,y)\,dx\,dy}
8:
278:of a finite area in a plane, with some mass
53:Learn how and when to remove these messages
2604:{\displaystyle \qquad =-4x^{3}-8x^{2}+32x}
1389:which can be equivalently expressed as an
270:A planar lamina is defined as a figure (a
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223:Learn how and when to remove this message
205:Learn how and when to remove this message
189:, without removing the technical details.
150:Learn how and when to remove this message
16:Mathematical model of a thin, flat object
254:Planar laminas can be used to determine
3550:Atkins, Tony; Escudier, Marcel (2013),
3542:
2166:Similarly are calculated both moments:
1237:{\displaystyle \rho \ (x,y)\,=2x+3y+2}
1931:{\displaystyle \qquad =-4x^{2}-8x+32}
1267:must be found as well as the moments
187:make it understandable to non-experts
7:
3568:10.1093/acref/9780199587438.001.0001
88:adding citations to reliable sources
1878:{\displaystyle \qquad =\left-\left}
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34:This article has multiple issues.
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3374:Finally, the center of mass is
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42:or discuss these issues on the
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359:is a planar integral of
3560:Oxford University Press
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