1447:
846:
1551:
596:
260:
134:
504:
1157:
2902:
note:In the treatise, it is referred to as the pseudoconvex function, but this means the plurisubharmonic function, which is the subject of this page, not the pseudoconvex function of convex analysis.
2103:
2720:
420:
1997:
2217:
Every continuous plurisubharmonic function can be obtained as the limit of a decreasing sequence of smooth plurisubharmonic functions. Moreover, this sequence can be chosen uniformly convergent.
2316:
1057:
925:
630:
1330:
2574:
2444:
539:
174:
1725:
306:
754:
2632:
2662:
2055:
2209:
1241:
1090:
969:
353:
2023:
1292:
1021:
2963:
1931:
2477:
1834:
1626:
2747:
1655:
1182:
1808:
2160:
2133:
1891:
1864:
883:
685:
762:
2497:
2377:
2354:
2242:
1961:
1782:
1590:
1312:
1202:
1110:
705:
658:
450:
1462:
544:
1940:
Plurisubharmonicity is a local property, i.e. a function is plurisubharmonic if and only if it is plurisubharmonic in a neighborhood of each point.
194:
2987:
85:
458:
1120:
2060:
2982:
2675:
2357:
365:
1966:
2849:
2247:
1026:
2819:
Steven G. Krantz. Function Theory of
Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
2844:
1442:{\displaystyle f(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dzd{\bar {z}}}{z}},}
892:
605:
2542:
2509:
2382:
512:
142:
1664:
265:
2839:
852:
181:
2532:
The main geometric application of the theory of plurisubharmonic functions is the famous theorem proven by
1319:
710:
2583:
430:
80:
68:
48:
2637:
2028:
2165:
2874:
1217:
1204:
is plurisubharmonic, which is called Kähler potential. These can be readily generated by applying the
1066:
945:
314:
2517:
2322:
2002:
1658:
599:
356:
60:
1246:
64:
974:
2941:
2808:
1896:
2763:
be a complex manifold, admitting a smooth, exhaustive, strongly plurisubharmonic function. Then
2727:
2449:
2326:
56:
2214:
The pointwise limit of a decreasing sequence of plurisubharmonic functions is plurisubharmonic.
2886:
2822:
2333:
1813:
1595:
2732:
1640:
1167:
841:{\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial {\bar {z}}_{j}}}}
2894:
2798:
1787:
426:
52:
2138:
2111:
1869:
1842:
861:
663:
17:
2898:
2825:. Introduction to Holomorphic Functions in Several Variables, Wadsworth & Brooks/Cole.
2513:
2221:
1631:
1315:
507:
453:
2916:
1546:{\displaystyle {\frac {i}{\pi }}\partial {\overline {\partial }}\log |z|=dd^{c}\log |z|}
2772:
2768:
2521:
2482:
2362:
2339:
2227:
1946:
1767:
1575:
1297:
1187:
1095:
1060:
690:
643:
435:
185:
2803:
2786:
2976:
2723:
1741:
1560:
928:
2875:"Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. VI. Domaines pseudoconvexes"
2533:
1754:
1737:
1205:
591:{\displaystyle f\circ \varphi \colon \Delta \to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}
28:
2890:
255:{\displaystyle \{a+bz\mid z\in {\mathbb {C} }\}\subset {\mathbb {C} }^{n},}
1753:
The set of plurisubharmonic functions has the following properties like a
2812:
2965:-approximations of convex, subharmonic, and plurisubharmonic functions
67:) plurisubharmonic functions can be defined in full generality on
63:. However, unlike subharmonic functions (which are defined on a
425:
In full generality, the notion can be defined on an arbitrary
129:{\displaystyle f\colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},}
499:{\displaystyle f\colon X\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}
1152:{\displaystyle i\partial {\overline {\partial }}g=\omega }
2098:{\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }\varphi (x)}
707:
is plurisubharmonic if and only if the hermitian matrix
2715:{\displaystyle i(\partial {\bar {\partial }}f-\omega )}
415:{\displaystyle \{z\in {\mathbb {C} }\mid a+bz\in G\}.}
2967:, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 12 (1979), 47–84.
2944:
2735:
2678:
2640:
2586:
2545:
2485:
2452:
2385:
2365:
2342:
2250:
2230:
2168:
2141:
2114:
2063:
2031:
2005:
1992:{\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
1969:
1949:
1899:
1872:
1845:
1816:
1790:
1770:
1667:
1643:
1598:
1578:
1465:
1333:
1300:
1249:
1220:
1190:
1170:
1123:
1098:
1069:
1029:
977:
948:
895:
864:
765:
713:
693:
666:
646:
608:
547:
515:
461:
438:
368:
317:
268:
197:
145:
88:
2828:
Klimek, Pluripotential Theory, Clarendon Press 1992.
1736:Plurisubharmonic functions were defined in 1942 by
2957:
2741:
2714:
2656:
2626:
2568:
2512:, plurisubharmonic functions are used to describe
2491:
2471:
2438:
2371:
2348:
2332:Therefore, plurisubharmonic functions satisfy the
2311:{\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}
2310:
2236:
2203:
2162:are plurisubharmonic functions, then the function
2154:
2127:
2097:
2049:
2017:
1991:
1955:
1925:
1885:
1858:
1828:
1802:
1776:
1719:
1649:
1620:
1584:
1545:
1441:
1306:
1286:
1235:
1196:
1176:
1151:
1104:
1084:
1052:{\displaystyle i\partial {\overline {\partial }}f}
1051:
1015:
963:
919:
877:
840:
748:
699:
679:
652:
624:
590:
533:
498:
444:
414:
347:
300:
254:
168:
128:
59:, plurisubharmonic functions form a subset of the
2791:Transactions of the American Mathematical Society
2387:
2252:
2169:
2065:
2917:"Definition des fonctions plurisousharmoniques"
1893:are plurisubharmonic functions, then the sum
1592:is an analytic function on an open set, then
1092:up to constant multiples. More generally, if
920:{\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}f}
625:{\displaystyle \Delta \subset {\mathbb {C} }}
8:
585:
576:
493:
484:
406:
369:
229:
198:
120:
111:
2569:{\displaystyle f:\;M\mapsto {\mathbb {R} }}
2439:{\displaystyle \sup _{x\in D}f(x)=f(x_{0})}
534:{\displaystyle \varphi \colon \Delta \to X}
169:{\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}
2903:
2552:
1810:a positive real number, then the function
1720:{\displaystyle -\log(dist(z,\Omega ^{c}))}
506:is said to be plurisubharmonic if for any
301:{\displaystyle a,b\in {\mathbb {C} }^{n},}
2949:
2943:
2802:
2734:
2689:
2688:
2677:
2649:
2648:
2647:
2639:
2591:
2585:
2561:
2560:
2559:
2544:
2484:
2457:
2451:
2427:
2390:
2384:
2364:
2341:
2299:
2266:
2255:
2249:
2229:
2192:
2179:
2167:
2146:
2140:
2119:
2113:
2068:
2062:
2030:
2004:
1985:
1984:
1977:
1976:
1968:
1948:
1917:
1904:
1898:
1877:
1871:
1850:
1844:
1815:
1789:
1769:
1705:
1666:
1642:
1613:
1605:
1597:
1577:
1538:
1530:
1518:
1503:
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1479:
1466:
1464:
1419:
1418:
1406:
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1391:
1377:
1371:
1349:
1332:
1299:
1279:
1271:
1248:
1227:
1223:
1222:
1219:
1214:On 1-dimensional complex Euclidean space
1189:
1169:
1130:
1122:
1097:
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1072:
1071:
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1007:
1002:
993:
976:
955:
951:
950:
947:
942:On n-dimensional complex Euclidean space
903:
902:
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863:
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818:
817:
807:
789:
782:
770:
764:
734:
718:
712:
692:
671:
665:
645:
636:Differentiable plurisubharmonic functions
617:
616:
615:
607:
568:
567:
566:
546:
514:
476:
475:
474:
460:
437:
380:
379:
378:
367:
316:
289:
284:
283:
282:
267:
243:
238:
237:
236:
224:
223:
222:
196:
160:
155:
154:
153:
144:
103:
102:
101:
87:
2862:
1208:to Kähler forms on a Kähler manifold.
47:functions) form an important class of
2868:
2866:
2224:condition holds as equality, i.e. if
1628:is plurisubharmonic on that open set.
749:{\displaystyle L_{f}=(\lambda _{ij})}
35:functions (sometimes abbreviated as
7:
2627:{\displaystyle f^{-1}((-\infty ,c])}
2657:{\displaystyle c\in {\mathbb {R} }}
1999:an increasing convex function then
1784:is a plurisubharmonic function and
889:is plurisubharmonic if and only if
756:, called Levi matrix, with entries
2950:
2691:
2685:
2609:
2078:
2050:{\displaystyle \varphi (-\infty )}
2041:
1702:
1644:
1481:
1476:
1388:
1380:
1132:
1127:
1038:
1033:
905:
899:
813:
800:
786:
609:
582:
560:
522:
490:
117:
25:
2804:10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2
2204:{\displaystyle \max(f_{1},f_{2})}
1236:{\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}
1085:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
964:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
660:is of (differentiability) class
348:{\displaystyle z\mapsto f(a+bz)}
2321:Plurisubharmonic functions are
2018:{\displaystyle \varphi \circ f}
1933:is a plurisubharmonic function.
2709:
2694:
2682:
2664:. A plurisubharmonic function
2621:
2618:
2603:
2600:
2556:
2433:
2420:
2411:
2405:
2305:
2292:
2283:
2277:
2259:
2198:
2172:
2092:
2086:
2072:
2044:
2035:
1981:
1714:
1711:
1692:
1677:
1614:
1606:
1539:
1531:
1504:
1496:
1424:
1397:
1343:
1337:
1280:
1272:
1259:
1253:
1023:is plurisubharmonic. In fact,
1003:
994:
987:
981:
908:
823:
743:
727:
563:
525:
471:
454:upper semi-continuous function
342:
327:
321:
98:
1:
1287:{\displaystyle u(z)=\log |z|}
2220:The inequality in the usual
1484:
1135:
1041:
1016:{\displaystyle f(z)=|z|^{2}}
940:Relation to Kähler manifold:
2958:{\displaystyle C^{\infty }}
2879:Tohoku Mathematical Journal
2845:Encyclopedia of Mathematics
2840:"Plurisubharmonic function"
2356:is plurisubharmonic on the
1926:{\displaystyle f_{1}+f_{2}}
1314:is a C-class function with
18:Plurisuperharmonic function
3004:
2785:Bremermann, H. J. (1956).
2472:{\displaystyle x_{0}\in D}
2988:Several complex variables
2670:strongly plurisubharmonic
2510:several complex variables
2244:is plurisubharmonic then
1454:which can be modified to
1059:is equal to the standard
2937:R. E. Greene and H. Wu,
2775:admits such a function.
1963:is plurisubharmonic and
1829:{\displaystyle c\cdot f}
1621:{\displaystyle \log |f|}
1294:is plurisubharmonic. If
1212:Relation to Dirac Delta:
2742:{\displaystyle \omega }
1650:{\displaystyle \Omega }
1320:Cauchy integral formula
1177:{\displaystyle \omega }
632:denotes the unit disk.
69:complex analytic spaces
2959:
2921:C. R. Acad. Sci. Paris
2743:
2716:
2658:
2628:
2570:
2539:A continuous function
2493:
2473:
2440:
2373:
2350:
2312:
2238:
2205:
2156:
2129:
2099:
2051:
2025:is plurisubharmonic. (
2019:
1993:
1957:
1927:
1887:
1860:
1830:
1804:
1803:{\displaystyle c>0}
1778:
1721:
1651:
1622:
1586:
1547:
1443:
1308:
1288:
1237:
1198:
1178:
1153:
1106:
1086:
1053:
1017:
965:
921:
879:
842:
750:
701:
681:
654:
626:
592:
535:
500:
446:
431:complex analytic space
416:
349:
302:
256:
170:
130:
2983:Subharmonic functions
2960:
2873:Oka, Kiyoshi (1942),
2744:
2717:
2659:
2629:
2571:
2518:domains of holomorphy
2494:
2474:
2441:
2374:
2351:
2313:
2239:
2206:
2157:
2155:{\displaystyle f_{2}}
2130:
2128:{\displaystyle f_{1}}
2100:
2052:
2020:
1994:
1958:
1928:
1888:
1886:{\displaystyle f_{2}}
1861:
1859:{\displaystyle f_{1}}
1831:
1805:
1779:
1722:
1652:
1634:are plurisubharmonic.
1623:
1587:
1548:
1444:
1309:
1289:
1238:
1199:
1179:
1164:for some Kähler form
1154:
1107:
1087:
1054:
1018:
966:
922:
880:
878:{\displaystyle C^{2}}
853:positive semidefinite
843:
751:
702:
682:
680:{\displaystyle C^{2}}
655:
627:
593:
536:
501:
447:
417:
350:
303:
257:
182:upper semi-continuous
171:
131:
61:subharmonic functions
2942:
2733:
2676:
2638:
2584:
2543:
2514:pseudoconvex domains
2483:
2450:
2383:
2363:
2340:
2248:
2228:
2211:is plurisubharmonic.
2166:
2139:
2112:
2061:
2029:
2003:
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