8061:
5818:
7010:
7551:
5140:
6318:
5434:
4454:
25:
7468:
3583:
4520:
5358:
6633:
8056:{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{X\cup Y}&={\frac {1}{N_{X\cup Y}}}\left(N_{X}\mu _{X}+N_{Y}\mu _{Y}-N_{X\cap Y}\mu _{X\cap Y}\right)\\\sigma _{X\cup Y}&={\sqrt {\frac {\sigma _{X}^{2}+N_{X}\mu _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+N_{Y}\mu _{Y}^{2}-\sigma _{X\cap Y}^{2}-N_{X\cap Y}\mu _{X\cap Y}^{2}-\mu _{X\cup Y}^{2}}{N_{X\cup Y}-1}}}\end{aligned}}}
4805:
1195:
5905:
3996:
5813:{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{X}&={\frac {\sum _{i}N_{X_{i}}\mu _{X_{i}}}{\sum _{i}N_{X_{i}}}}\\\sigma _{X}&={\sqrt {{\frac {\sum _{i}N_{X_{i}}\sigma _{X_{i}}^{2}}{\sum _{i}N_{X_{i}}}}+{\frac {\sum _{i<j}N_{X_{i}}N_{X_{j}}(\mu _{X_{i}}-\mu _{X_{j}})^{2}}{{\big (}\sum _{i}N_{X_{i}}{\big )}^{2}}}}}\end{aligned}}}
6606:
4438:
7086:
3196:
4783:
7005:{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{X\cup Y}&={\frac {1}{N_{X\cup Y}}}\left(N_{X}\mu _{X}+N_{Y}\mu _{Y}\right)\\\sigma _{X\cup Y}&={\sqrt {{\frac {1}{N_{X\cup Y}-1}}\left(\sigma _{X}^{2}+N_{X}\mu _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+N_{Y}\mu _{Y}^{2}-\mu _{X\cup Y}^{2}\right)}}\end{aligned}}}
5156:
5145:
For example, suppose it is known that the average
American man has a mean height of 70 inches with a standard deviation of three inches and that the average American woman has a mean height of 65 inches with a standard deviation of two inches. Also assume that the number of men,
2572:
1693:
5135:{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{X\cup Y}&={\frac {N_{X}\mu _{X}+N_{Y}\mu _{Y}}{N_{X}+N_{Y}}}\\\sigma _{X\cup Y}&={\sqrt {{\frac {N_{X}\sigma _{X}^{2}+N_{Y}\sigma _{Y}^{2}}{N_{X}+N_{Y}}}+{\frac {N_{X}N_{Y}}{(N_{X}+N_{Y})^{2}}}(\mu _{X}-\mu _{Y})^{2}}}\end{aligned}}}
6313:{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{X\cup Y}&={\frac {1}{N_{X\cup Y}}}\left(N_{X}\mu _{X}+N_{Y}\mu _{Y}-N_{X\cap Y}\mu _{X\cap Y}\right)\\\sigma _{X\cup Y}&={\sqrt {{\frac {1}{N_{X\cup Y}}}\left(N_{X}+N_{Y}-N_{X\cap Y}\right)-\mu _{X\cup Y}^{2}}}\end{aligned}}}
871:
3684:
5898:
If the size (actual or relative to one another), mean, and standard deviation of two overlapping populations are known for the populations as well as their intersection, then the standard deviation of the overall population can still be calculated as follows:
770:
6453:
6464:
175:
of several different populations when the mean of each population may be different, but one may assume that the variance of each population is the same. The numerical estimate resulting from the use of this method is also called the pooled variance.
7463:{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{X}&={\frac {1}{\sum _{i}{N_{X_{i}}}}}\left(\sum _{i}{N_{X_{i}}\mu _{X_{i}}}\right)\\\sigma _{X}&={\sqrt {{\frac {1}{\sum _{i}{N_{X_{i}}-1}}}\left(\sum _{i}{\left}-\left\mu _{X}^{2}\right)}}\end{aligned}}}
4007:
2680:
Pooled variance is an estimate when there is a correlation between pooled data sets or the average of the data sets is not identical. Pooled variation is less precise the more non-zero the correlation or distant the averages between data sets.
539:
4644:
3578:{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Error}}&=s_{p}^{2}-\sigma _{X}^{2}\\&={\frac {\sum _{i}(N_{X_{i}}-1)s_{i}^{2}}{\sum _{i}N_{X_{i}}}}-{\frac {1}{\sum _{i}N_{X_{i}}-1}}\left(\sum _{i}\left-\left\mu _{X}^{2}\right)\end{aligned}}}
2929:
3185:
1938:
4655:
3044:
5353:{\displaystyle {\begin{aligned}\mu &={\frac {N\cdot 70+N\cdot 65}{N+N}}={\frac {70+65}{2}}=67.5\\\sigma &={\sqrt {{\frac {3^{2}+2^{2}}{2}}+{\frac {(70-65)^{2}}{2^{2}}}}}={\sqrt {12.75}}\approx 3.57\end{aligned}}}
7544:
If the size, mean, and standard deviation of two overlapping samples are known for the samples as well as their intersection, then the standard deviation of the aggregated sample can still be calculated. In general,
1765:
5893:
7539:
2333:
1482:
3673:
7556:
7091:
6638:
5910:
5439:
5161:
4810:
4012:
3689:
3201:
1392:
1190:{\displaystyle s_{p}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{m}(n_{i}-1)s_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{m}(n_{i}-1)}}={\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}+\cdots +(n_{m}-1)s_{m}^{2}}{n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{m}-m}}.}
6469:
4660:
4562:
3991:{\displaystyle {\begin{aligned}E&=-{\frac {\left(\sum _{i}\left-\left\mu _{X}^{2}\right)}{\sum _{i}N_{X_{i}}}}\\&=\mu _{X}^{2}-{\frac {\sum _{i}\left}{\sum _{i}N_{X_{i}}}}\end{aligned}}}
1304:
623:
6333:
6323:
If two or more sets of data are being added together datapoint by datapoint, the standard deviation of the result can be calculated if the standard deviation of each data set and the
6601:{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})=0,\quad \forall i<j\\\Rightarrow &\;\sigma _{X}={\sqrt {\sum _{i}{\sigma _{X_{i}}^{2}}}}.\end{aligned}}}
1245:
7078:
5426:
4433:{\displaystyle {\begin{aligned}E&=\left^{2}-{\frac {\sum _{i}\left}{\sum _{i}N_{X_{i}}}}\\&={\frac {\left^{2}-\sum _{i}N_{X_{i}}\sum _{i}\left}{\left^{2}}}\end{aligned}}}
2670:
2323:
variance or standard deviation among the five results above. This mean variance is calculated by weighting the individual values with the size of the subset for each level of
1425:
855:
378:
2062:
2000:
1800:
418:
302:
245:. For example, the observation of fuel consumption might be studied as a function of engine speed while the engine load is held constant. If, in order to achieve a small
166:
4557:
2094:
2035:
1973:
805:
611:
413:
340:
2690:
1477:
579:
1457:
4543:
Rather than estimating pooled standard deviation, the following is the way to exactly aggregate standard deviation when more statistical information is available.
3055:
1808:
8197:
4778:{\displaystyle {\begin{aligned}X\cap Y=\varnothing &\Rightarrow &N_{X\cap Y}&=0\\&\Rightarrow &N_{X\cup Y}&=N_{X}+N_{Y}\end{aligned}}}
2940:
8169:
1698:
2567:{\displaystyle s_{p}^{2}={\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}+\cdots +(n_{k}-1)s_{k}^{2}}{(n_{1}-1)+(n_{2}-1)+\cdots +(n_{k}-1)}}}
5830:
1688:{\displaystyle (y_{1,1}-{\bar {y}}_{1},\dots ,y_{1,n_{1}}-{\bar {y}}_{1},\dots ,y_{m,1}-{\bar {y}}_{m},\dots ,y_{m,n_{m}}-{\bar {y}}_{m})}
7479:
6458:
For the special case where no correlation exists between any pair of data sets, then the relation reduces to the root sum of squares:
2319:, the above data can be “pooled” to express a single estimate of variance and standard deviation. In a sense, this suggests finding a
4501:
3598:
108:
4475:
42:
1315:
858:
257:, the expense of testing may become prohibitive. Reasonable estimates of variance can be determined by using the principle of
89:
5150:, is equal to the number of women. Then the mean and standard deviation of heights of American adults could be calculated as
4479:
262:
46:
4799:) sub-populations can be aggregated as follows if the size (actual or relative to one another) and means of each are known:
61:
8192:
68:
4464:
765:{\displaystyle s_{p}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{m}s_{i}^{2}}{m}}={\frac {s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+\cdots +s_{m}^{2}}{m}}.}
6448:{\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\sum _{i}{\sigma _{X_{i}}^{2}}+2\sum _{i,j}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}}}
4483:
4468:
35:
1250:
75:
8097:
8092:
8072:
238:
230:
2003:
57:
1203:
862:
180:
7038:
5386:
2636:
183:
estimate of variance than the individual sample variances. This higher precision can lead to increased
534:{\displaystyle {\frac {1}{n_{i}-1}}\sum _{j=1}^{n_{i}}\left(y_{i,j}-{\overline {y}}_{i}\right)^{2}.}
1397:
814:
345:
4639:{\displaystyle {\begin{aligned}&&N_{X\cup Y}&=N_{X}+N_{Y}-N_{X\cap Y}\\\end{aligned}}}
4532:
2304:
2040:
1978:
1778:
280:
179:
Under the assumption of equal population variances, the pooled sample variance provides a higher
144:
2924:{\displaystyle \sigma _{X}^{2}={\frac {\sum _{i}\left-\left\mu _{X}^{2}}{\sum _{i}N_{X_{i}}-1}}}
2067:
2008:
1946:
778:
584:
386:
313:
8146:
184:
169:
2171:
The number of trials, mean, variance and standard deviation are presented in the next table.
1462:
551:
82:
8136:
8128:
3180:{\displaystyle s_{p}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)s_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{k}n_{i}}},}
1933:{\displaystyle s_{p}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(n_{i}-1)s_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{N}n_{i}}},}
808:
188:
6627:) sub-samples can be aggregated as follows if the actual size and means of each are known:
1430:
614:
308:
8173:
8141:
8116:
2002:
when the two groups share an equal population variance. The latter one can give a more
8186:
8132:
3039:{\displaystyle \mu _{X}={\frac {\sum _{i}N_{X_{i}}\mu _{X_{i}}}{\sum _{i}N_{X_{i}}}}}
4649:
The populations of sets, which do not overlap, can be calculated simply as follows:
2312:
4551:
The populations of sets, which may overlap, can be calculated simply as follows:
8102:
8078:
4453:
545:
24:
6324:
226:
122:
8150:
2173:
2114:
8087:
246:
172:
8164:
1802:(as presented above), and the biased maximum likelihood estimate below:
2096:
in the right hand sides of both equations are the unbiased estimates.
1760:{\displaystyle \Delta _{n_{1}-1}\times \dots \times \Delta _{n_{m}-1}}
192:
5888:{\displaystyle X_{i}\cap X_{j}=\varnothing ,\quad \forall \ i<j.}
7534:{\displaystyle X_{i}\cap X_{j}=\varnothing ,\quad \forall i<j.}
2600:
are the sizes of the data subsets at each level of the variable
2320:
1943:
are used in different contexts. The former can give an unbiased
277:
The pooled variance is an estimate of the fixed common variance
16:
Method for estimating variance of several different populations
4513:
4447:
3668:{\displaystyle \sum _{i}N_{X_{i}}\approx \sum _{i}N_{X_{i}}-1}
775:
If the sample sizes are non-uniform, then the pooled variance
18:
3190:
Then the error in the biased maximum likelihood estimate is:
201:
The square root of a pooled variance estimator is known as a
2108:
obtained at various levels of the independent variable
2630:
The pooled variance of the data shown above is therefore:
2311:. If we can assume that the same phenomena are generating
1387:{\displaystyle (y_{1}-{\bar {y}},\dots ,y_{n}-{\bar {y}})}
304:
underlying various populations that have different means.
2684:
The variation of data for non-overlapping data sets is:
253:, numerous repeated tests are required at each value of
8117:"An alternative to null-hypothesis significance tests"
7041:
5389:
1479:. Where there are multiple means, the distribution of
7554:
7482:
7089:
6636:
6467:
6336:
5908:
5833:
5437:
5159:
4808:
4658:
4560:
4010:
3687:
3601:
3199:
3058:
2943:
2693:
2639:
2336:
2070:
2064:, although subject to bias. Note that the quantities
2043:
2011:
1981:
1949:
1811:
1781:
1701:
1485:
1465:
1433:
1400:
1318:
1253:
1206:
874:
817:
781:
626:
587:
554:
421:
389:
348:
316:
283:
147:
49:. Unsourced material may be challenged and removed.
8055:
7533:
7462:
7072:
7004:
6600:
6447:
6312:
5887:
5812:
5420:
5352:
5134:
4777:
4638:
4432:
3990:
3667:
3577:
3179:
3038:
2923:
2664:
2566:
2088:
2056:
2029:
1994:
1967:
1932:
1794:
1759:
1687:
1471:
1451:
1419:
1386:
1298:
1239:
1189:
849:
799:
764:
605:
573:
533:
407:
372:
334:
296:
160:
2307:for each subset of data at the various levels of
1312:When there is a single mean, the distribution of
8073:Chi-squared distribution#Asymptotic properties
3049:Given a biased maximum likelihood defined as:
1459:-dimensional simplex, with standard deviation
5790:
5755:
8:
2303:These statistics represent the variance and
8165:IUPAC Gold Book – pooled standard deviation
4482:. Unsourced material may be challenged and
3678:Then the error in the estimate reduces to:
1299:{\displaystyle \chi ^{2}(\sum _{i}n_{i}-m)}
6539:
2327:. Thus, the pooled variance is defined by
191:that compare the populations, such as the
8140:
8027:
8015:
8004:
7985:
7972:
7959:
7943:
7932:
7916:
7903:
7892:
7867:
7851:
7846:
7836:
7823:
7818:
7799:
7783:
7778:
7768:
7755:
7750:
7731:
7720:
7701:
7676:
7660:
7647:
7637:
7624:
7614:
7591:
7582:
7563:
7555:
7553:
7500:
7487:
7481:
7443:
7438:
7420:
7415:
7410:
7404:
7380:
7373:
7368:
7356:
7351:
7338:
7331:
7326:
7305:
7300:
7287:
7281:
7254:
7249:
7244:
7238:
7228:
7226:
7213:
7191:
7186:
7174:
7169:
7164:
7158:
7137:
7132:
7127:
7121:
7111:
7098:
7090:
7088:
7064:
7054:
7049:
7045:
7040:
6985:
6974:
6961:
6948:
6932:
6927:
6917:
6904:
6899:
6880:
6864:
6859:
6849:
6836:
6831:
6812:
6779:
6769:
6767:
6748:
6729:
6719:
6706:
6696:
6673:
6664:
6645:
6637:
6635:
6582:
6575:
6570:
6565:
6559:
6553:
6544:
6499:
6486:
6468:
6466:
6434:
6421:
6396:
6379:
6372:
6367:
6362:
6356:
6350:
6341:
6335:
6327:between each pair of data sets is known:
6298:
6287:
6266:
6255:
6242:
6231:
6212:
6196:
6191:
6178:
6173:
6160:
6144:
6139:
6126:
6121:
6108:
6085:
6076:
6074:
6055:
6030:
6014:
6001:
5991:
5978:
5968:
5945:
5936:
5917:
5909:
5907:
5851:
5838:
5832:
5795:
5789:
5788:
5779:
5774:
5764:
5754:
5753:
5745:
5733:
5728:
5713:
5708:
5693:
5688:
5676:
5671:
5655:
5648:
5634:
5629:
5619:
5607:
5600:
5595:
5583:
5578:
5568:
5561:
5559:
5546:
5527:
5522:
5512:
5498:
5493:
5481:
5476:
5466:
5459:
5446:
5438:
5436:
5412:
5402:
5397:
5393:
5388:
5333:
5320:
5309:
5290:
5275:
5262:
5255:
5253:
5215:
5174:
5160:
5158:
5120:
5110:
5097:
5081:
5071:
5058:
5043:
5033:
5026:
5014:
5001:
4989:
4984:
4974:
4961:
4956:
4946:
4939:
4937:
4918:
4901:
4888:
4876:
4866:
4853:
4843:
4836:
4817:
4809:
4807:
4765:
4752:
4729:
4691:
4659:
4657:
4620:
4607:
4594:
4571:
4561:
4559:
4502:Learn how and when to remove this message
4418:
4405:
4400:
4390:
4368:
4361:
4356:
4344:
4339:
4324:
4312:
4307:
4297:
4284:
4271:
4266:
4254:
4249:
4239:
4226:
4205:
4200:
4190:
4173:
4166:
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4113:
4098:
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