1822:
1494:
3024:
i x a b X A B ------------------------------ 1 2 1 0 10 1 1 2 10 1 1 100 2 2 3 20 2 1 1000 3 3 4 100 2 2 425 8 6 5 200 3 2 436 16 14 6 1000 3 3 284 17 15 7 981 4 3 986 17 17 8 425 8 6 194
1817:{\displaystyle {\begin{aligned}g(x,k)&={\begin{cases}k&x\in S_{0}\\2k{\pmod {n}}&x\in S_{1}\\k+1{\pmod {n}}&x\in S_{2}\end{cases}}\\h(x,k)&={\begin{cases}k+1{\pmod {n}}&x\in S_{0}\\2k{\pmod {n}}&x\in S_{1}\\k&x\in S_{2}\end{cases}}\end{aligned}}}
1399:
4027:
3108:
298:
3171:
1486:
1444:
1499:
642:
3325:
487:
3411:
3370:
1273:
1233:
765:
731:
4031:
92:
697:
3539:
1174:
374:
3267:
3204:
1070:
1010:
3572:
1265:
418:
155:
59:
3230:
2309:
2283:
345:
112:
930:
903:
872:
845:
818:
3025:
17 19 .............................. 48 224 680 376 86 299 412 49 101 680 377 860 300 413 50 505 680 378 101 300 415 51 1010 681 378 1010 301 416
3455:
3431:
1142:
1118:
1090:
1030:
970:
950:
788:
574:
554:
534:
514:
398:
325:
238:
218:
198:
178:
135:
3532:
3764:
4092:
3706:
3525:
3635:
3812:
3031:
577:
3610:
3721:
3759:
3696:
243:
3640:
3603:
3901:
3792:
3711:
3701:
3577:
3729:
3982:
3113:
1449:
1407:
3977:
3906:
3807:
3373:
583:
3944:
490:
23:
3858:
1394:{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\beta x&x\in S_{0}\\x^{2}&x\in S_{1}\\\alpha x&x\in S_{2}\end{cases}}}
4023:
4013:
3972:
3748:
3742:
3716:
3587:
3473:
3272:
423:
31:
4008:
3949:
3379:
3338:
1179:
736:
702:
3911:
3784:
3630:
3582:
64:
3926:
3817:
650:
4037:
3987:
3967:
645:
1147:
350:
3688:
3663:
3592:
35:
4047:
4042:
3934:
3916:
3891:
3853:
3597:
3239:
3176:
1688:
1532:
1297:
1035:
975:
4087:
4052:
4018:
3939:
3843:
3802:
3797:
3774:
3678:
301:
3883:
3830:
3827:
3668:
3567:
3490:
768:
27:
3624:
3617:
4003:
3959:
3673:
3650:
1238:
699:
is assumed to be random-looking and thus is likely to enter into a loop of approximate length
2311:, 2 generates the group of units modulo 1019). The algorithm is implemented by the following
403:
140:
44:
3848:
3482:
3209:
2288:
2262:
330:
305:
97:
908:
881:
850:
823:
796:
3838:
3737:
791:
3868:
3769:
3754:
3658:
3559:
3440:
3416:
1127:
1103:
1075:
1015:
955:
935:
773:
559:
539:
519:
499:
383:
377:
310:
223:
203:
183:
163:
120:
4081:
3863:
3548:
875:
3873:
3233:
1121:
115:
3503:
380:
the exponents are equivalent modulo the order of the base, in this case modulo
3517:
3551:
767:
steps. One way to define such a function is to use the following rules:
3494:
3467:
Pollard, J. M. (1978). "Monte Carlo methods for index computation (mod
3434:
158:
3502:
Menezes, Alfred J.; van
Oorschot, Paul C.; Vanstone, Scott A. (2001).
3486:
2312:
3103:{\displaystyle 2^{681}5^{378}=1010=2^{301}5^{416}{\pmod {1019}}}
3521:
3385:
3344:
1806:
1650:
1387:
489:. Solutions to this equation are easily obtained using the
293:{\displaystyle \alpha ^{a}\beta ^{b}=\alpha ^{A}\beta ^{B}}
4068:
indicate that algorithm is for numbers of special forms
2259:
Consider, for example, the group generated by 2 modulo
3166:{\displaystyle (416-378)\gamma =681-301{\pmod {1018}}}
1481:{\displaystyle h:G\times \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }
1439:{\displaystyle g:G\times \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }
3443:
3419:
3382:
3341:
3275:
3242:
3212:
3179:
3116:
3034:
2291:
2265:
1497:
1452:
1410:
1276:
1241:
1182:
1150:
1130:
1106:
1078:
1038:
1018:
978:
958:
938:
911:
884:
853:
826:
799:
776:
739:
705:
653:
586:
562:
542:
522:
502:
426:
406:
386:
353:
333:
313:
246:
226:
206:
186:
166:
143:
123:
100:
67:
47:
3996:
3958:
3925:
3882:
3826:
3783:
3687:
3649:
3558:
637:{\displaystyle x_{i}=\alpha ^{a_{i}}\beta ^{b_{i}}}
3449:
3425:
3405:
3364:
3319:
3261:
3224:
3198:
3165:
3102:
2303:
2277:
1816:
1480:
1438:
1393:
1259:
1227:
1168:
1136:
1112:
1084:
1064:
1024:
1004:
964:
944:
924:
897:
866:
839:
812:
782:
759:
725:
691:
636:
568:
548:
528:
508:
481:
412:
392:
368:
339:
319:
292:
232:
212:
192:
172:
149:
129:
106:
86:
53:
3376:, the running time of the combined algorithm is
3533:
3320:{\displaystyle 2^{519}=1014=-5{\pmod {1019}}}
482:{\displaystyle (B-b)\gamma =(a-A){\pmod {n}}}
8:
3406:{\displaystyle {\mathcal {O}}({\sqrt {p}})}
3365:{\displaystyle {\mathcal {O}}({\sqrt {n}})}
1228:{\displaystyle G=S_{0}\cup S_{1}\cup S_{2}}
3540:
3526:
3518:
760:{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi n}{8}}}}
726:{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi n}{8}}}}
3442:
3418:
3393:
3384:
3383:
3381:
3352:
3343:
3342:
3340:
3301:
3280:
3274:
3247:
3241:
3211:
3184:
3178:
3147:
3115:
3084:
3078:
3068:
3049:
3039:
3033:
2290:
2264:
1797:
1772:
1744:
1728:
1700:
1683:
1641:
1613:
1594:
1566:
1550:
1527:
1498:
1496:
1474:
1473:
1466:
1465:
1451:
1432:
1431:
1424:
1423:
1409:
1378:
1350:
1332:
1318:
1292:
1275:
1240:
1219:
1206:
1193:
1181:
1149:
1129:
1105:
1077:
1056:
1043:
1037:
1017:
996:
983:
977:
957:
937:
916:
910:
889:
883:
858:
852:
831:
825:
804:
798:
775:
740:
738:
706:
704:
677:
664:
652:
626:
621:
609:
604:
591:
585:
561:
541:
521:
501:
463:
425:
405:
385:
360:
355:
352:
332:
312:
284:
274:
261:
251:
245:
225:
205:
185:
165:
142:
122:
99:
72:
66:
46:
420:is one of the solutions of the equation
87:{\displaystyle \alpha ^{\gamma }=\beta }
692:{\displaystyle f:x_{i}\mapsto x_{i+1}}
20:Pollard's rho algorithm for logarithms
3021:The results are as follows (edited):
376:and noting that two powers are equal
7:
874:of approximately equal size using a
3309:
3155:
3092:
2926:"%3d %4d %3d %3d %4d %3d %3d
1752:
1745:
1708:
1701:
1621:
1614:
1574:
1567:
1169:{\displaystyle \alpha ,\beta \in G}
471:
369:{\displaystyle {\alpha }^{\gamma }}
3335:The running time is approximately
14:
3749:Special number field sieve (SNFS)
3743:General number field sieve (GNFS)
3511:Handbook of Applied Cryptography
580:to find a cycle in the sequence
3302:
3262:{\displaystyle \gamma _{2}=519}
3148:
3085:
578:Floyd's cycle-finding algorithm
464:
3400:
3390:
3359:
3349:
3313:
3303:
3206:is a solution as expected. As
3199:{\displaystyle \gamma _{1}=10}
3159:
3149:
3129:
3117:
3096:
3086:
1756:
1746:
1712:
1702:
1673:
1661:
1625:
1615:
1578:
1568:
1517:
1505:
1470:
1428:
1286:
1280:
1251:
1065:{\displaystyle x_{i}\in S_{2}}
1005:{\displaystyle x_{i}\in S_{1}}
670:
475:
465:
460:
448:
439:
427:
22:is an algorithm introduced by
1:
3707:Lenstra elliptic curve (ECM)
3372:. If used together with the
3236:, there is another solution
491:extended Euclidean algorithm
4093:Number theoretic algorithms
2404:/* 2^{10} = 1024 = 5 (N) */
2383:/* generator */
2362:/* N = 1019 -- prime */
2285:(the order of the group is
4109:
4014:Exponentiation by squaring
3697:Continued fraction (CFRAC)
3474:Mathematics of Computation
4061:
157:. The algorithm computes
3374:PohligâHellman algorithm
2317:
1859:, or failure Initialise
1260:{\displaystyle f:G\to G}
3927:Greatest common divisor
413:{\displaystyle \gamma }
150:{\displaystyle \alpha }
54:{\displaystyle \gamma }
41:The goal is to compute
32:Pollard's rho algorithm
4038:Modular exponentiation
3451:
3427:
3407:
3366:
3321:
3263:
3226:
3225:{\displaystyle n=1018}
3200:
3167:
3104:
2305:
2304:{\displaystyle n=1018}
2279:
2278:{\displaystyle N=1019}
1818:
1482:
1440:
1395:
1261:
1229:
1170:
1138:
1114:
1086:
1066:
1026:
1006:
966:
946:
926:
899:
868:
841:
814:
784:
761:
727:
693:
638:
570:
550:
530:
510:
483:
414:
394:
370:
341:
340:{\displaystyle \beta }
321:
294:
234:
214:
194:
174:
151:
131:
108:
107:{\displaystyle \beta }
88:
55:
30:problem, analogous to
16:Mathematical algorithm
3765:Shanks's square forms
3689:Integer factorization
3664:Sieve of Eratosthenes
3452:
3433:is the largest prime
3428:
3408:
3367:
3322:
3264:
3227:
3201:
3168:
3105:
2306:
2280:
1819:
1483:
1441:
1396:
1262:
1230:
1171:
1139:
1115:
1087:
1067:
1027:
1007:
967:
947:
927:
925:{\displaystyle S_{0}}
900:
898:{\displaystyle x_{i}}
869:
867:{\displaystyle S_{2}}
842:
840:{\displaystyle S_{1}}
815:
813:{\displaystyle S_{0}}
785:
762:
728:
694:
639:
571:
551:
531:
511:
484:
415:
395:
371:
342:
322:
295:
235:
215:
195:
175:
152:
132:
109:
89:
56:
36:integer factorization
26:in 1978 to solve the
4043:Montgomery reduction
3917:Function field sieve
3892:Baby-step giant-step
3738:Quadratic sieve (QS)
3441:
3417:
3380:
3339:
3273:
3240:
3210:
3177:
3114:
3032:
2289:
2263:
1495:
1450:
1408:
1274:
1239:
1180:
1148:
1128:
1104:
1076:
1036:
1016:
976:
956:
936:
909:
882:
851:
824:
797:
774:
737:
703:
651:
584:
560:
540:
520:
500:
424:
404:
384:
351:
331:
311:
300:. If the underlying
244:
224:
204:
184:
164:
141:
121:
98:
65:
45:
4053:Trachtenberg system
4019:Integer square root
3960:Modular square root
3679:Wheel factorization
3631:Quadratic Frobenius
3611:LucasâLehmerâRiesel
576:the algorithm uses
496:To find the needed
3945:Extended Euclidean
3884:Discrete logarithm
3813:SchönhageâStrassen
3669:Sieve of Pritchard
3447:
3423:
3403:
3362:
3317:
3259:
3222:
3196:
3163:
3100:
2301:
2275:
1884:← 1 ∈
1814:
1812:
1805:
1649:
1478:
1436:
1391:
1386:
1257:
1225:
1176:, and a partition
1166:
1134:
1110:
1082:
1062:
1022:
1002:
962:
942:
922:
895:
864:
837:
810:
780:
757:
723:
689:
634:
566:
546:
526:
506:
479:
410:
390:
366:
337:
327:, by substituting
317:
290:
230:
210:
190:
170:
147:
127:
104:
84:
51:
28:discrete logarithm
4075:
4074:
3674:Sieve of Sundaram
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