2481:
1844:
2476:{\displaystyle m=2,~x^{\{m\}}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}\\x_{1}x_{2}\\x_{1}x_{3}\\x_{2}^{2}\\x_{2}x_{3}\\x_{3}^{2}\end{pmatrix}},~H+L(\alpha )={\begin{pmatrix}2&-1.25&0&-\alpha _{1}&-\alpha _{2}&-\alpha _{3}\\-1.25&2\alpha _{1}&0.5+\alpha _{2}&0&-\alpha _{4}&-\alpha _{5}\\0&0.5+\alpha _{2}&2\alpha _{3}&\alpha _{4}&\alpha _{5}&-1\\-\alpha _{1}&0&\alpha _{4}&5&0&-\alpha _{6}\\-\alpha _{2}&-\alpha _{4}&\alpha _{5}&0&2\alpha _{6}&0\\-\alpha _{3}&-\alpha _{5}&-1&-\alpha _{6}&0&1\end{pmatrix}}.}
1572:
1318:
3299:
3707:
2972:
3488:
3977:
Surprisingly, in the noncommutative scenario a noncommutative polynomial is SOS if and only if it is matrix-positive. Moreover, there exist algorithms available to decompose matrix-positive polynomials in sum of squares of noncommutative polynomials.
1839:
3118:
986:
724:
1567:{\displaystyle m=2,~x^{\{m\}}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}\\x_{1}x_{2}\\x_{2}^{2}\end{pmatrix}}\!,~H+L(\alpha )={\begin{pmatrix}1&0&-\alpha _{1}\\0&-1+2\alpha _{1}&0\\-\alpha _{1}&0&1\end{pmatrix}}\!.}
3152:
1206:
447:
257:
Although not every form can be represented as SOS, explicit sufficient conditions for a form to be SOS have been found. Moreover, every real nonnegative form can be approximated as closely as desired (in the
3326:
2834:
2806:
1313:
3973:
2590:
586:
836:
218:
3569:
2703:
861:
132:
3005:
3872:
3562:
1208:
was introduced in with the name square matricial representation (SMR) in order to establish whether a form is SOS via an LMI. This representation is also known as Gram matrix.
1063:
2522:
1613:
1655:
316:
1101:
3147:
615:
1639:
759:
480:
2992:
3521:
3321:
1019:
856:
283:
4341:
Burgdorf, Sabine; Cafuta, Kristijan; Klep, Igor; Povh, Janez (25 October 2012). "Algorithmic aspects of sums of
Hermitian squares of noncommutative polynomials".
623:
4283:
Chesi, G.; Garulli, A.; Tesi, A.; Vicino, A. (2003). "Robust stability for polytopic systems via polynomially parameter-dependent
Lyapunov functions".
355:
3877:
2712:
517:
1114:
764:
141:
29:
4424:
4419:
4399:
1220:
21:
3294:{\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{L=L':~\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)'L\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)=0\right\}.}
2527:
3818:
3526:
1024:
3483:{\displaystyle \omega (n,2m,r)={\frac {1}{2}}r\left(\sigma (n,m)\left(r\sigma (n,m)+1\right)-(r+1)\sigma (n,2m)\right).}
1104:
4389:
3702:{\displaystyle F(x)=\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)'\left(H+L(\alpha )\right)\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)}
2967:{\displaystyle F(x)=\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)'\left(H+L(\alpha )\right)\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)}
2644:
1108:
73:
20:
as sum of squares of polynomials. For representing polynomial as a sum of squares of rational functions, see
25:
250:= 4 a form is SOS if and only if it is positive. The same is also valid for the analog problem on positive
4350:
4125:
1834:{\displaystyle h(x)=2x_{1}^{4}-2.5x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}^{2}x_{2}x_{3}-2x_{1}x_{3}^{3}+5x_{2}^{4}+x_{3}^{4}}
52:
40:
3831:
2486:
1577:
288:
4219:
3789:
1066:
4130:
2823:) is SOS amounts to solving a convex optimization problem. Indeed, similarly to the scalar case any
4394:
4355:
338:
223:
17:
4306:
Helton, J. William (September 2002). ""Positive" Noncommutative
Polynomials Are Sums of Squares".
1071:
981:{\displaystyle \omega (n,2m)={\frac {1}{2}}\sigma (n,m)\left(1+\sigma (n,m)\right)-\sigma (n,2m).}
4368:
4323:
4209:
4143:
4115:
4084:
4066:
4016:
4103:
3123:
591:
1618:
731:
452:
2995:
2977:
3506:
3306:
3113:{\displaystyle F(x)=\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)'H\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)}
1004:
841:
4360:
4315:
4288:
4227:
4180:
4135:
4076:
4008:
511:
227:
261:
4161:
4223:
4200:
Lasserre, Jean B. (2007). "A Sum of
Squares Approximation of Nonnegative Polynomials".
4185:
4057:(May 2016). "On the Choi–Lam analogue of Hilbert's 1888 theorem for symmetric forms".
4413:
4404:
4372:
4265:
4054:
4020:
4088:
4147:
3718:
618:
3709:
was introduced in in order to establish whether a matrix form is SOS via an LMI.
4165:
60:
36:
4246:
1111:(LMI) feasibility test, which is a convex optimization problem. The expression
4364:
4139:
4080:
3828:
A noncommutative polynomial is SOS if there exists noncommutative polynomials
4292:
503:
719:{\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{L=L':~x^{\{m\}'}Lx^{\{m\}}=0\right\}.}
491:
4327:
4012:
231:
4231:
3997:"Ueber die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten"
4214:
4120:
4319:
4104:"Sufficient conditions for a real polynomial to be a sum of squares"
3996:
4071:
28:. For representing an integer as a sum of squares of integers, see
70:
is sum of squares of forms (SOS) if and only if there exist forms
1201:{\displaystyle h(x)=x^{\{m\}'}\left(H+L(\alpha )\right)x^{\{m\}}}
442:{\displaystyle h(x)=x^{\{m\}'}\left(H+L(\alpha )\right)x^{\{m\}}}
4285:
Proceedings of the 42nd IEEE Conference on
Decision and Control
4034:
Choi, M. D.; Lam, T. Y. (1977). "An old question of
Hilbert".
3158:
629:
3788:. By analogy with the commutative case, the noncommutative
1308:{\displaystyle h(x)=x_{1}^{4}-x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{2}^{4}}
3968:{\displaystyle f(X)=\sum _{i=1}^{k}h_{i}(X)^{T}h_{i}(X).}
2585:{\displaystyle \alpha =(1.18,-0.43,0.73,1.13,-0.37,0.57)}
2625:) (i.e., a matrix whose entries are forms) of dimension
285:-norm of its coefficient vector) by a sequence of forms
4247:"On convexification of some minimum distance problems"
4166:"An algorithm for sums of squares of real polynomials"
3813:
is evaluated at a symmetric noncommutative polynomial
3752:) and equipped with the involution , such that fixes
2801:{\displaystyle F(x)=\sum _{i=1}^{k}G_{i}(x)'G_{i}(x).}
2055:
1887:
1463:
1361:
482:
is a vector containing a base for the forms of degree
24:. For the sum of squares of consecutive integers, see
4245:
Chesi, G.; Tesi, A.; Vicino, A.; Genesio, R. (1999).
3880:
3834:
3572:
3529:
3509:
3329:
3309:
3155:
3126:
3008:
2980:
2837:
2715:
2647:
2530:
2489:
1847:
1658:
1621:
1580:
1321:
1223:
1117:
1074:
1027:
1007:
864:
844:
767:
734:
626:
594:
520:
455:
358:
291:
264:
144:
76:
581:{\displaystyle h(x)=x^{\left\{m\right\}'}Hx^{\{m\}}}
4251:Proceedings of the 5th European Control Conference
3967:
3866:
3701:
3556:
3515:
3482:
3315:
3293:
3141:
3112:
2986:
2966:
2800:
2697:
2584:
2516:
2475:
1833:
1633:
1607:
1566:
1307:
1200:
1095:
1057:
1013:
980:
850:
830:
753:
718:
609:
580:
474:
441:
310:
277:
212:
126:
3149:is a linear parameterization of the linear space
1652:Consider the form of degree 4 in three variables
1560:
1430:
831:{\displaystyle \sigma (n,m)={\binom {n+m-1}{m}},}
819:
792:
213:{\displaystyle h(x)=\sum _{i=1}^{k}g_{i}(x)^{2}.}
4253:. Karlsruhe, Germany: IEEE. pp. 1446–1451.
3795:are the noncommutative polynomials of the form
2641:is SOS if and only if there exist matrix forms
1217:Consider the form of degree 4 in two variables
4036:Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics
8:
3676:
3670:
3605:
3599:
3503:is SOS if and only if there exists a vector
3254:
3248:
3208:
3202:
3087:
3081:
3041:
3035:
2941:
2935:
2870:
2864:
1874:
1868:
1348:
1342:
1193:
1187:
1145:
1138:
1001:is SOS if and only if there exists a vector
746:
740:
697:
691:
674:
667:
573:
567:
467:
461:
434:
428:
386:
379:
305:
292:
4343:Computational Optimization and Applications
4270:Proceedings of Symposia in Pure Mathematics
4287:. Maui, Hawaii: IEEE. pp. 4670–4675.
4354:
4213:
4184:
4129:
4119:
4070:
3947:
3937:
3921:
3911:
3900:
3879:
3858:
3839:
3833:
3688:
3669:
3617:
3598:
3571:
3528:
3508:
3360:
3328:
3308:
3266:
3247:
3220:
3201:
3157:
3156:
3154:
3125:
3099:
3080:
3053:
3034:
3007:
2979:
2953:
2934:
2882:
2863:
2836:
2831:) can be written according to the SMR as
2780:
2756:
2746:
2735:
2714:
2698:{\displaystyle G_{1}(x),\ldots ,G_{k}(x)}
2680:
2652:
2646:
2529:
2488:
2446:
2423:
2408:
2386:
2366:
2354:
2339:
2322:
2297:
2280:
2255:
2243:
2231:
2216:
2191:
2176:
2156:
2138:
2113:
2098:
2083:
2050:
2009:
2004:
1990:
1980:
1966:
1961:
1947:
1937:
1923:
1913:
1899:
1894:
1882:
1867:
1846:
1825:
1820:
1807:
1802:
1786:
1781:
1771:
1755:
1745:
1735:
1730:
1717:
1707:
1702:
1686:
1681:
1657:
1620:
1579:
1536:
1514:
1483:
1458:
1416:
1411:
1397:
1387:
1373:
1368:
1356:
1341:
1320:
1299:
1294:
1281:
1276:
1266:
1261:
1248:
1243:
1222:
1186:
1137:
1116:
1073:
1026:
1006:
889:
863:
843:
818:
791:
789:
766:
739:
733:
690:
666:
628:
627:
625:
593:
566:
540:
519:
460:
454:
427:
378:
357:
299:
290:
269:
263:
201:
185:
175:
164:
143:
127:{\displaystyle g_{1}(x),\ldots ,g_{k}(x)}
109:
81:
75:
3805:. When any real matrix of any dimension
4264:Choi, M.; Lam, T.; Reznick, B. (1995).
3987:
4266:"Sums of squares of real polynomials"
322:Square matricial representation (SMR)
16:This article is about representing a
7:
1574:Since there exists α such that
838:whereas the dimension of the vector
617:is a linear parameterization of the
4173:Journal of Pure and Applied Algebra
4059:Linear Algebra and Its Applications
3867:{\displaystyle h_{1},\ldots ,h_{k}}
3557:{\displaystyle H+L(\alpha )\geq 0.}
3523:such that the following LMI holds:
3002:is any symmetric matrix satisfying
2815:To establish whether a matrix form
1058:{\displaystyle H+L(\alpha )\geq 0,}
2517:{\displaystyle H+L(\alpha )\geq 0}
1608:{\displaystyle H+L(\alpha )\geq 0}
796:
14:
3995:Hilbert, David (September 1888).
502:), the prime ′ denotes the
311:{\displaystyle \{f_{\epsilon }\}}
222:Every form that is SOS is also a
43:(i.e. a homogeneous polynomial)
3825:is said to be matrix-positive.
4053:Goel, Charu; Kuhlmann, Salma;
3959:
3953:
3934:
3927:
3890:
3884:
3652:
3646:
3582:
3576:
3545:
3539:
3469:
3454:
3448:
3436:
3419:
3407:
3393:
3381:
3354:
3333:
3136:
3130:
3018:
3012:
2917:
2911:
2847:
2841:
2792:
2786:
2769:
2762:
2725:
2719:
2692:
2686:
2664:
2658:
2579:
2537:
2505:
2499:
2044:
2038:
1668:
1662:
1596:
1590:
1452:
1446:
1233:
1227:
1174:
1168:
1127:
1121:
1090:
1084:
1043:
1037:
972:
957:
943:
931:
914:
902:
883:
868:
783:
771:
604:
598:
530:
524:
415:
409:
368:
362:
198:
191:
154:
148:
121:
115:
93:
87:
30:Lagrange's four-square theorem
1:
4400:Hilbert's seventeenth problem
4186:10.1016/S0022-4049(97)83827-3
3819:positive semi-definite matrix
3772:and reverses words formed by
3713:Noncommutative polynomial SOS
22:Hilbert's seventeenth problem
4164:; Wörmann, Thorsten (1998).
3303:The dimension of the vector
1096:{\displaystyle H+L(\alpha )}
728:The dimension of the vector
337:is SOS amounts to solving a
326:To establish whether a form
4390:Sum-of-squares optimization
4441:
4102:Lasserre, Jean B. (2007).
3142:{\displaystyle L(\alpha )}
610:{\displaystyle L(\alpha )}
15:
4365:10.1007/s10589-012-9513-8
4308:The Annals of Mathematics
4140:10.1007/s00013-007-2251-y
4081:10.1016/j.laa.2016.01.024
1634:{\displaystyle \alpha =1}
754:{\displaystyle x^{\{m\}}}
475:{\displaystyle x^{\{m\}}}
4293:10.1109/CDC.2003.1272307
2987:{\displaystyle \otimes }
1109:linear matrix inequality
4425:Real algebraic geometry
4420:Homogeneous polynomials
3516:{\displaystyle \alpha }
3316:{\displaystyle \alpha }
1014:{\displaystyle \alpha }
851:{\displaystyle \alpha }
26:square pyramidal number
18:non-negative polynomial
3969:
3916:
3868:
3703:
3558:
3517:
3484:
3317:
3295:
3143:
3114:
2988:
2968:
2802:
2751:
2699:
2586:
2518:
2477:
1835:
1635:
1609:
1568:
1309:
1202:
1097:
1059:
1015:
982:
852:
832:
755:
720:
611:
582:
476:
443:
312:
279:
214:
180:
128:
4108:Archiv der Mathematik
4001:Mathematische Annalen
3970:
3896:
3869:
3790:symmetric polynomials
3732:noncommuting letters
3704:
3559:
3518:
3485:
3318:
3296:
3144:
3115:
2989:
2969:
2803:
2731:
2700:
2587:
2519:
2478:
1836:
1636:
1610:
1569:
1310:
1203:
1105:positive-semidefinite
1098:
1060:
1016:
983:
853:
833:
756:
721:
612:
583:
477:
444:
341:problem. Indeed, any
313:
280:
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