8667:
7850:
3517:
4843:
787:
8191:
8914:
3720:
4559:
3160:
229:
8543:
7648:
7116:
6154:
4362:
3335:
8409:
8503:
4622:
626:
7308:
5855:
4982:
5288:
7999:
3932:. But, this is not the case! In fact, this is responsible for why strict infinity groupoids don't model homotopy types. Computing this invariant requires more work, but can be explicitly found. This is the quadratic form
2434:
3930:
3853:
8827:
8819:
7992:
7408:
3623:
6011:
7492:
5431:
6482:
6318:
4401:
8267:
2638:
3301:
3057:
8662:{\displaystyle {\begin{aligned}M{\text{String}}&=M{\text{O}}\langle 8\rangle \\M{\text{Spin}}&=M{\text{O}}\langle 4\rangle \\M{\text{SO}}&=M{\text{O}}\langle 2\rangle \end{aligned}}}
8548:
7608:
6220:
are stable homotopy groups of a spectrum. It turns out every spectrum has a
Postnikov tower and this tower can be constructed using a similar kind of inductive procedure as the one given above.
115:
7845:{\displaystyle 0\to \pi _{n+1}\left(X_{n+1})\to \pi _{n+1}(X_{n}\right)\mathrel {\overset {\partial }{\rightarrow }} \pi _{n}K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to \pi _{n}\left(X_{n+1}\right)\to 0}
3588:
5747:
6851:
5110:
5048:
4081:
951:
9037:
7930:
6954:
2227:
6962:
5523:
5161:
4614:
3993:
6044:
5366:
1558:
8949:
5648:
5603:
2762:
291:
8718:
6218:
5472:
9001:
8753:
5914:
2147:
1116:
886:
836:
2031:
107:
6614:
6375:
5224:
1028:
551:
7188:
6557:
2309:
1965:
1723:
1414:
1284:
1202:
349:
3512:{\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{1}(S^{2})=&0\\\pi _{2}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{3}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{4}(S^{2})=&\mathbb {Z} /2.\end{matrix}}}
1819:
1673:
4033:
3963:
2903:
1919:
4220:
2957:
2853:
2811:
1625:
8535:
583:
9157:
6709:
6656:
9258:
7524:
5555:
4178:
7640:
2080:
6401:
6180:
3327:
1852:
977:
8305:
6508:
6037:
4204:
3049:
1776:
1467:
1054:
502:
8821:
is a fibration, giving the first term in the
Whitehead tower. There are physically relevant interpretations for the higher parts in this tower, which can be read as
8425:
8297:
6878:
6784:
5944:
4838:{\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to H_{0}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}
4393:
4142:
3615:
3229:
3198:
2254:
2174:
2000:
1879:
1750:
1441:
1363:
1336:
1233:
1147:
782:{\displaystyle \cdots \to X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}\xrightarrow {p_{n-1}} \cdots \xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\xrightarrow {p_{1}} *}
459:
9499:
Szymik, Markus (2019). "String bordism and chromatic characteristics". In Daniel G. Davis; Hans-Werner Henn; J. F. Jardine; Mark W. Johnson; Charles Rezk (eds.).
5187:
9057:
8969:
8186:{\displaystyle \pi _{n+1}\left(X_{n}\right)\cong \pi _{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\right)\cong \pi _{n}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\right)}
7196:
7142:
6749:
6729:
6676:
6252:. Instead of killing off all higher homotopy groups, the Whitehead tower iteratively kills off lower homotopy groups. This is given by a tower of CW complexes,
6246:
5755:
5712:
5692:
4855:
4114:
2985:
2696:
2668:
2051:
1582:
1507:
1304:
618:
479:
421:
401:
373:
61:
5229:
2471:
9550:
9663:
9352:
2317:
8909:{\displaystyle \cdots \to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}
3862:
3731:
1975:
One of the main properties of the
Postnikov tower, which makes it so powerful to study while computing cohomology, is the fact the spaces
8758:
7938:
3715:{\displaystyle {\begin{matrix}X_{3}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\X_{2}&\to &K(\mathbb {Z} ,4),\end{matrix}}}
9149:
7320:
8419:
The dual notion of the
Whitehead tower can be defined in a similar manner using homotopy fibers in the category of spectra. If we let
1486:
2670:, since the homotopy classes of maps to Eilenberg-Maclane spaces gives cohomology with coefficients in the associated abelian group.
9526:
5952:
9336:
7417:
5438:
5112:, then we can get information about what this map looks like. In particular, if it's an isomorphism, we obtain a computation of
4554:{\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{q}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}
7856:
where if the middle morphism is an isomorphism, the other two groups are zero. This can be checked by looking at the inclusion
5375:
3155:{\displaystyle {\begin{matrix}X_{i}\simeq *&{\text{for }}i<n\\X_{i}\simeq K(G,n)&{\text{for }}i\geq n\end{matrix}}}
9674:
6409:
6258:
5434:
9582:
8215:
2479:
9624:
9376:
9313:
3234:
3200:
is a special case whose first few terms can be understood explicitly. Since we have the first few homotopy groups from the
1588:
of its inverse limit. They can be constructed on a CW complex by iteratively killing off homotopy groups. If we have a map
224:{\displaystyle \pi _{k}(X_{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&{\text{ for }}k\leq n\\0&{\text{ for }}k>n\end{cases}}}
5369:
7529:
9077:
3525:
1150:
298:
5717:
7111:{\displaystyle X_{n+1}=\left\{f\colon I\to K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right):f(0)=p{\text{ and }}f(1)\in X_{n}\right\}}
6789:
5053:
4991:
6149:{\displaystyle \left(\tau _{n}\right)_{*}:\pi _{i}^{\mathbb {S} }(E)\to \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)}
4038:
891:
9655:
9610:
9097:
9010:
8508:
then this can be organized in a tower giving connected covers of a spectrum. This is a widely used construction in
7859:
6883:
4092:
2179:
5477:
5115:
4568:
3968:
5293:
1676:
1515:
8922:
5608:
5563:
2704:
237:
9705:
8721:
8691:
6189:
5443:
9072:
8974:
8726:
5867:
4207:
2093:
1062:
9092:
5659:
3201:
845:
795:
2005:
66:
9262:
6562:
6331:
5192:
984:
507:
7147:
6516:
4357:{\displaystyle K(\pi _{n+1}(X),n+1)\simeq F_{n+1}\to S_{n+1}^{n}\to S_{n}^{n}\simeq K(\mathbb {Z} ,n)}
2263:
1924:
1682:
1368:
1238:
1156:
303:
9639:
Determination of the Second
Homology and Cohomology Groups of a Space by Means of Homotopy Invariants
1781:
1630:
8343:
3998:
3935:
2858:
1884:
153:
5663:
3016:
One of the conceptually simplest cases of a
Postnikov tower is that of the EilenbergâMaclane space
2911:
2816:
2774:
1591:
9532:
9504:
9287:
9198:
9087:
8515:
1470:
556:
24:
6681:
6628:
9608:(1951). "Determination of the homology groups of a space by means of the homotopy invariants".
9228:
8404:{\displaystyle \pi _{k}(X^{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k>n\\0&k\leq n\end{cases}}}
7497:
5528:
4151:
9659:
9605:
9522:
9478:
9437:
9348:
9279:
9176:
8498:{\displaystyle E\langle n\rangle =\operatorname {Hofiber} \left(\tau _{n}:E\to E_{(n)}\right)}
7613:
2257:
2056:
424:
36:
6380:
6159:
3306:
1824:
956:
9514:
9468:
9427:
9340:
9271:
9222:
9218:
9166:
6487:
6016:
5560:
Note that similar techniques can be applied using the
Whitehead tower (below) for computing
4183:
4145:
3019:
2964:
1755:
1446:
1033:
484:
8275:
6856:
6762:
5946:
maps. Then, this tower is a
Postnikov tower if the following two conditions are satisfied:
5922:
4371:
4120:
3593:
3207:
3176:
2232:
2152:
1978:
1857:
1728:
1419:
1341:
1309:
1211:
1125:
437:
9060:
7303:{\displaystyle \Omega K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\simeq K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)}
5850:{\displaystyle \cdots \to E_{(2)}\xrightarrow {p_{2}} E_{(1)}\xrightarrow {p_{1}} E_{(0)}}
4977:{\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}
4206:, since the theorem implies that the lower homotopy groups are trivial. Recall there is a
598:
20:
5283:{\displaystyle {\mathfrak {X}}_{4}\simeq S^{3}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq 6\}}
5166:
2988:
2678:
One of the special cases of the homotopy classification is the homotopy class of spaces
9194:
9042:
8954:
8206:
7127:
6734:
6714:
6661:
6231:
5697:
5677:
5658:
In addition to the classical
Postnikov tower, there is a notion of Postnikov towers in
4099:
2970:
2681:
2653:
2036:
1567:
1492:
1289:
603:
464:
406:
386:
376:
358:
352:
46:
9649:
9171:
2443:
9699:
9645:
9330:
9125:
8685:
7122:
2768:
40:
9536:
9102:
9004:
8673:
9685:
9394:
9473:
9456:
9129:
9369:
9306:
9675:"Postnikov towers, Whitehead towers and their applications (handwritten notes)"
9518:
6678:
since it is a covering space with a simply connected cover. Furthermore, each
9344:
9082:
1482:
9482:
9441:
9432:
9283:
9180:
8509:
4211:
2149:
have homotopically defined invariants, meaning the homotopy classes of maps
1119:
294:
9583:"at.algebraic topology â What do Whitehead towers have to do with physics?"
9638:
7932:
and noting that the
EilenbergâMaclane space has a cellular decomposition
4096:
380:
9551:"Mathematical physics â Physical application of Postnikov tower, String(
1473:. Note the third condition is only included optionally by some authors.
9457:"Secondary invariants for string bordism and topological modular forms"
9291:
2429:{\displaystyle X_{n-1}\to B(K(\pi _{n}(X),n))\simeq K(\pi _{n}(X),n+1)}
6786:
in the Whitehead tower are constructed inductively. If we construct a
5650:, giving the first two non-trivial stable homotopy groups of spheres.
9203:
3925:{\displaystyle X_{3}\simeq K(\mathbb {Z} ,2)\times K(\mathbb {Z} ,3)}
3848:{\displaystyle \in \cong H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })=\mathbb {Z} }
9275:
5818:
5785:
763:
736:
709:
683:
650:
8814:{\displaystyle \mathbb {Z} /2\to \operatorname {Spin} (n)\to SO(n)}
7987:{\displaystyle X_{n-1}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq n+2\}}
9509:
8205:
Another way to view the components in the Whitehead tower is as a
7403:{\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to X_{n}\to X_{n-1}}
6248:, there is a dual construction to the Postnikov tower called the
7414:
Using the long exact sequence in homotopy theory, we have that
5189:, this can be computed explicitly using the path fibration for
403:
agrees with the truncated homotopy type of the original space
9503:. Contemporary Mathematics. Vol. 729. pp. 239â254.
6006:{\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)=0}
4091:
One application of the Postnikov tower is the computation of
2674:
Fiber sequence for spaces with two nontrivial homotopy groups
423:. Postnikov systems were introduced by, and are named after,
7487:{\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}\left(X_{n-1}\right)}
8512:
because the coverings of the unoriented cobordism spectrum
8397:
3231:, degree theory of spheres, and the Hopf fibration, giving
217:
9335:. Springer Monographs in Mathematics. Berlin, Heidelberg:
5426:{\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2}
2855:. Then, from the previous discussion, the fibration map
6477:{\displaystyle \pi _{i}:\pi _{i}(X_{n})\to \pi _{i}(X)}
6313:{\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}
9197:(1998-10-09). "Homotopy types of strict 3-groupoids".
8262:{\displaystyle {\text{Hofiber}}(\phi _{n}:X\to X_{n})}
4368:
We can then form a homological spectral sequence with
3628:
3340:
3062:
2633:{\displaystyle \in \cong H^{n+1}(X_{n-1},\pi _{n}(X))}
9231:
9045:
9013:
8977:
8957:
8925:
8830:
8761:
8729:
8694:
8546:
8518:
8428:
8308:
8278:
8218:
8002:
7941:
7862:
7651:
7616:
7532:
7500:
7420:
7323:
7199:
7150:
7130:
6965:
6886:
6859:
6792:
6765:
6737:
6717:
6684:
6664:
6631:
6565:
6519:
6490:
6412:
6383:
6334:
6261:
6234:
6192:
6162:
6047:
6019:
5955:
5925:
5870:
5758:
5720:
5700:
5680:
5611:
5566:
5531:
5480:
5446:
5378:
5296:
5232:
5195:
5169:
5118:
5056:
4994:
4858:
4625:
4571:
4404:
4374:
4223:
4186:
4154:
4123:
4102:
4041:
4001:
3971:
3938:
3865:
3734:
3626:
3596:
3528:
3338:
3309:
3296:{\displaystyle \pi _{k}(S^{2})\simeq \pi _{k}(S^{3})}
3237:
3210:
3179:
3060:
3022:
2973:
2914:
2861:
2819:
2777:
2707:
2684:
2656:
2482:
2446:
2320:
2266:
2235:
2182:
2155:
2096:
2059:
2039:
2008:
1981:
1927:
1887:
1860:
1827:
1784:
1778:, giving a space which has vanishing homotopy groups
1758:
1731:
1685:
1633:
1594:
1570:
1518:
1495:
1449:
1422:
1371:
1344:
1312:
1292:
1241:
1214:
1159:
1128:
1065:
1036:
987:
959:
894:
848:
798:
629:
606:
559:
510:
487:
467:
440:
409:
389:
361:
306:
240:
118:
69:
49:
9641:- gives accessible examples of Postnikov invariants
9625:"Lecture Notes on Homotopy Theory and Applications"
9370:"Lecture Notes on Homotopy Theory and Applications"
9307:"Spectral sequences and homotopy groups of spheres"
8720:group is constructed as the universal cover of the
7603:{\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}(X_{n-1})=0}
9252:
9051:
9031:
8995:
8963:
8943:
8908:
8813:
8747:
8712:
8661:
8529:
8497:
8403:
8291:
8261:
8185:
7986:
7924:
7844:
7634:
7602:
7518:
7486:
7402:
7302:
7182:
7136:
7110:
6948:
6872:
6845:
6778:
6743:
6723:
6703:
6670:
6650:
6608:
6551:
6502:
6476:
6395:
6369:
6312:
6240:
6212:
6174:
6148:
6031:
6005:
5938:
5908:
5849:
5741:
5714:is a diagram in the homotopy category of spectra,
5706:
5686:
5642:
5597:
5549:
5517:
5466:
5425:
5360:
5282:
5218:
5181:
5155:
5104:
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945:
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415:
395:
367:
343:
285:
223:
101:
55:
9158:Transactions of the American Mathematical Society
3583:{\displaystyle X_{2}=S_{2}^{2}=K(\mathbb {Z} ,2)}
5742:{\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Spectra}})}
2256:comes from looking at the homotopy class of the
6846:{\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)}
5226:, the main property of the Postnikov tower for
5105:{\displaystyle H_{n+2}\left(S_{n+2}^{n}\right)}
5043:{\displaystyle H_{n+1}\left(S_{n+1}^{n}\right)}
434:(defined below) where instead of having spaces
4076:{\displaystyle H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })}
946:{\displaystyle \pi _{i}(X)\to \pi _{i}(X_{n})}
9332:On Thom Spectra, Orientability, and Cobordism
9032:{\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n)}
7925:{\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}
7190:is a fiber bundle with fiber homeomorphic to
6949:{\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}
6853:by killing off the higher homotopy groups in
2222:{\displaystyle \in \operatorname {Ob} (hTop)}
838:compatible with the inverse system such that
504:, these spaces have null homotopy groups for
8:
8652:
8646:
8616:
8610:
8580:
8574:
8438:
8432:
7981:
7961:
5518:{\displaystyle \pi _{n+k}\left(S^{n}\right)}
5277:
5263:
5156:{\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}
4609:{\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}
3988:{\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }
84:
70:
9455:Bunke, Ulrich; Naumann, Niko (2014-12-01).
5361:{\displaystyle H_{4}(X_{4})=H_{5}(X_{4})=0}
1553:{\displaystyle X\simeq \varprojlim {}X_{n}}
430:There is a similar construction called the
8944:{\displaystyle \operatorname {String} (n)}
7642:, and finally, there is an exact sequence
5643:{\displaystyle \pi _{5}\left(S^{3}\right)}
5598:{\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)}
2757:{\displaystyle K(A,n)\to X\to \pi _{1}(X)}
286:{\displaystyle \phi _{n}:X_{n}\to X_{n-1}}
16:In mathematics, a topological construction
9508:
9472:
9431:
9230:
9202:
9170:
9120:
9118:
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8956:
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8763:
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8760:
8728:
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8641:
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8605:
8590:
8569:
8554:
8547:
8545:
8522:
8517:
8478:
8459:
8427:
8350:
8338:
8326:
8313:
8307:
8283:
8277:
8272:from the Postnikov tower, we get a space
8250:
8231:
8219:
8217:
8146:
8123:
8073:
8044:
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7861:
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4000:
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3980:
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3970:
3949:
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3625:
3601:
3595:
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3551:
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3533:
3527:
3497:
3493:
3492:
3478:
3465:
3453:
3452:
3438:
3425:
3413:
3412:
3398:
3385:
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3347:
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3083:
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3061:
3059:
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2913:
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2818:
2782:
2776:
2739:
2706:
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2574:
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2509:
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2319:
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2154:
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2017:
2011:
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2007:
1986:
1980:
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1757:
1736:
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1703:
1690:
1684:
1650:
1632:
1605:
1593:
1569:
1544:
1538:
1525:
1517:
1494:
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136:
123:
117:
87:
77:
68:
48:
8713:{\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}
9501:Homotopy Theory: Tools and Applications
9114:
6328:The lower homotopy groups are zero, so
6213:{\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }}
5467:{\displaystyle \pi _{1}^{\mathbb {S} }}
9382:from the original on 16 February 2020.
8996:{\displaystyle \operatorname {SO} (n)}
8748:{\displaystyle \operatorname {SO} (n)}
5909:{\displaystyle \tau _{n}:E\to E_{(n)}}
2771:with two non-trivial homotopy groups,
2142:{\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}
1725:, killing off the homotopy class. For
1111:{\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}
43:. What this looks like is for a space
9494:
9492:
9260:, III: Operations and Obstructions".
2086:Homotopy classification of fibrations
1752:this process can be repeated for all
1481:Postnikov systems exist on connected
7:
9150:"Induced maps for Postnikov systems"
2311:. The associated classifying map is
2176:, give a well defined homotopy type
1208:The first two conditions imply that
881:{\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}
831:{\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}
9461:Bulletin des Sciences MathĂŠmatiques
5731:
5236:
4083:gives a different homotopy 3-type.
3859:If this was trivial it would imply
3173:The Postnikov tower for the sphere
2963:which can also be interpreted as a
2698:such that there exists a fibration
2026:{\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n}}
2012:
351:. In short, we are decomposing the
102:{\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}
9238:
7740:
7200:
6609:{\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}
4065:
3829:
2473:is classified by a homotopy class
14:
9319:from the original on 19 May 2017.
9172:10.1090/s0002-9947-1963-0150777-x
8680:Whitehead tower and string theory
7314:and so we have a Serre fibration
6370:{\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}
5219:{\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}
4565:And the first non-trivial map to
1881:by killing off all homotopy maps
1023:{\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}
546:{\displaystyle \pi _{k}(X_{n})=0}
7183:{\displaystyle X_{n+1}\to X_{n}}
6552:{\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}
2304:{\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}
1960:{\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}
1718:{\displaystyle S^{n}\to e_{n+1}}
1409:{\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}
1279:{\displaystyle K(\pi _{1}(X),1)}
1197:{\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}
344:{\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}
9420:Illinois Journal of Mathematics
3995:coming from the Hopf fibration
3617:comes from a pullback sequence
1814:{\displaystyle \pi _{n}(X_{m})}
1668:{\displaystyle \in \pi _{n}(X)}
620:is an inverse system of spaces
9247:
9235:
9148:Kahn, Donald W. (1963-03-01).
9026:
9020:
8990:
8984:
8938:
8932:
8903:
8897:
8888:
8885:
8879:
8870:
8867:
8861:
8852:
8849:
8843:
8834:
8808:
8802:
8793:
8790:
8784:
8775:
8742:
8736:
8707:
8701:
8485:
8479:
8471:
8362:
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8319:
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8243:
8224:
8164:
8158:
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7873:
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6102:
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5988:
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5895:
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5842:
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5809:
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5776:
5770:
5762:
5736:
5726:
5435:Freudenthal suspension theorem
5349:
5336:
5320:
5307:
5213:
5199:
4937:
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4447:
4351:
4337:
4313:
4289:
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4246:
4227:
4070:
4052:
4028:{\displaystyle S^{3}\to S^{2}}
4012:
3977:
3958:{\displaystyle x\mapsto x^{2}}
3942:
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2120:
2002:are homotopic to a CW complex
1938:
1914:{\displaystyle S^{n}\to X_{n}}
1898:
1808:
1795:
1696:
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1656:
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1627:representing a homotopy class
1611:
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323:
310:
264:
172:
166:
142:
129:
1:
8537:gives other bordism theories
5370:universal coefficient theorem
2952:{\displaystyle H^{n+1}(BG,A)}
2848:{\displaystyle \pi _{n}(X)=A}
2806:{\displaystyle \pi _{1}(X)=G}
234:and there's a series of maps
9474:10.1016/j.bulsci.2014.05.002
9059:-connected cover called the
4035:. Note that each element in
2995:Examples of Postnikov towers
2905:gives a cohomology class in
1620:{\displaystyle f:S^{n}\to X}
379:of topological spaces whose
35:) is a way of decomposing a
8530:{\displaystyle M{\text{O}}}
8197:giving the desired result.
5654:Postnikov towers of spectra
5433:. Moreover, because of the
2090:The sequence of fibrations
2053:only by cells of dimension
1286:-space. More generally, if
578:{\displaystyle 1<k<n}
9722:
9656:Cambridge University Press
9611:Doklady Akademii Nauk SSSR
9098:Homotopy groups of spheres
8415:Whitehead tower of spectra
6704:{\displaystyle X_{n}\to X}
6658:is the universal cover of
6651:{\displaystyle X_{1}\to X}
6559:are fibrations with fiber
4093:homotopy groups of spheres
4087:Homotopy groups of spheres
3051:. This gives a tower with
1509:and its inverse limit, so
461:with the homotopy type of
63:there is a list of spaces
9393:Hill, Michael A. (2009).
9345:10.1007/978-3-540-77751-9
9305:LaurenČiu-George, Maxim.
9253:{\displaystyle H(\Pi ,n)}
7519:{\displaystyle i\geq n+1}
5550:{\displaystyle n\geq k+2}
4173:{\displaystyle S_{i}^{n}}
2440:hence the homotopy class
1487:weak homotopy-equivalence
8722:Special orthogonal group
7635:{\displaystyle i<n-1}
5437:this actually gives the
4988:If it's easy to compute
4849:equivalently written as
4214:, such as the fibration
2229:. The homotopy class of
2075:{\displaystyle \geq n+2}
1854:can be constructed from
792:with a sequence of maps
299:Eilenberg-MacLane spaces
9395:"The string bordism of
9225:(1954). "On the Groups
9078:EilenbergâMacLane space
9073:Adams spectral sequence
7144:, then the induced map
6396:{\displaystyle i\leq n}
6175:{\displaystyle i\leq n}
3725:which is an element in
3322:{\displaystyle k\geq 3}
1847:{\displaystyle X_{n-1}}
1679:along the boundary map
1151:EilenbergâMacLane space
972:{\displaystyle i\leq n}
888:induces an isomorphism
9563:Physics Stack Exchange
9519:10.1090/conm/729/14698
9433:10.1215/ijm/1264170845
9254:
9093:Stable homotopy theory
9053:
9033:
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8945:
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7404:
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7184:
7138:
7112:
6950:
6880:, we get an embedding
6874:
6847:
6780:
6745:
6725:
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6553:
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6503:{\displaystyle i>n}
6484:is an isomorphism for
6478:
6397:
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6314:
6242:
6214:
6176:
6156:is an isomorphism for
6150:
6033:
6032:{\displaystyle i>n}
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2981:
2965:group cohomology class
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1996:
1961:
1915:
1875:
1848:
1821:. Using the fact that
1815:
1772:
1771:{\displaystyle n>m}
1746:
1719:
1669:
1621:
1578:
1554:
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103:
57:
9606:Postnikov, Mikhail M.
9416:through dimension 14"
9263:Annals of Mathematics
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3000:Postnikov tower of a
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8971:-connected cover of
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6731:-connected cover of
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599:path-connected space
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116:
67:
47:
39:'s by filtering its
9682:www.math.purdue.edu
8201:As a homotopy fiber
6228:Given a CW complex
6209:
6121:
6092:
5972:
5919:commuting with the
5829:
5796:
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5097:
5035:
4891:
4658:
4425:
4330:
4312:
4169:
4116:-dimensional sphere
3556:
3166:Postnikov tower of
2989:higher local system
2033:which differs from
1122:, and so the fiber
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747:
720:
700:
661:
9651:Algebraic topology
9623:Maxim, LaurenČiu.
9368:Maxim, LaurenČiu.
9250:
9131:Algebraic Topology
9088:Obstruction theory
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