3360:
2232:
3355:{\displaystyle {\begin{aligned}b_{k}&={\frac {A^{k}b_{0}}{\|A^{k}b_{0}\|}}\\&={\frac {\left(VJV^{-1}\right)^{k}b_{0}}{\|\left(VJV^{-1}\right)^{k}b_{0}\|}}\\&={\frac {VJ^{k}V^{-1}b_{0}}{\|VJ^{k}V^{-1}b_{0}\|}}\\&={\frac {VJ^{k}V^{-1}\left(c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{n}v_{n}\right)}{\|VJ^{k}V^{-1}\left(c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{n}v_{n}\right)\|}}\\&={\frac {VJ^{k}\left(c_{1}e_{1}+c_{2}e_{2}+\cdots +c_{n}e_{n}\right)}{\|VJ^{k}\left(c_{1}e_{1}+c_{2}e_{2}+\cdots +c_{n}e_{n}\right)\|}}\\&=\left({\frac {\lambda _{1}}{|\lambda _{1}|}}\right)^{k}{\frac {c_{1}}{|c_{1}|}}{\frac {v_{1}+{\frac {1}{c_{1}}}V\left({\frac {1}{\lambda _{1}}}J\right)^{k}\left(c_{2}e_{2}+\cdots +c_{n}e_{n}\right)}{\left\|v_{1}+{\frac {1}{c_{1}}}V\left({\frac {1}{\lambda _{1}}}J\right)^{k}\left(c_{2}e_{2}+\cdots +c_{n}e_{n}\right)\right\|}}\end{aligned}}}
5756:
5167:
4541:
3666:
5751:{\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}b_{0}&=c_{1}A^{k}v_{1}+c_{2}A^{k}v_{2}+\cdots +c_{m}A^{k}v_{m}\\&=c_{1}\lambda _{1}^{k}v_{1}+c_{2}\lambda _{2}^{k}v_{2}+\cdots +c_{m}\lambda _{m}^{k}v_{m}\\&=c_{1}\lambda _{1}^{k}\left(v_{1}+{\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{k}v_{2}+\cdots +{\frac {c_{m}}{c_{1}}}\left({\frac {\lambda _{m}}{\lambda _{1}}}\right)^{k}v_{m}\right)\\&\to c_{1}\lambda _{1}^{k}v_{1}&&\left|{\frac {\lambda _{j}}{\lambda _{1}}}\right|<1{\text{ for }}j>1\end{aligned}}}
4032:
3396:
4536:{\displaystyle {\begin{aligned}b_{k}&=\left({\frac {\lambda _{1}}{|\lambda _{1}|}}\right)^{k}{\frac {c_{1}}{|c_{1}|}}{\frac {v_{1}+{\frac {1}{c_{1}}}V\left({\frac {1}{\lambda _{1}}}J\right)^{k}\left(c_{2}e_{2}+\cdots +c_{n}e_{n}\right)}{\left\|v_{1}+{\frac {1}{c_{1}}}V\left({\frac {1}{\lambda _{1}}}J\right)^{k}\left(c_{2}e_{2}+\cdots +c_{n}e_{n}\right)\right\|}}\\&=e^{i\phi _{k}}{\frac {c_{1}}{|c_{1}|}}{\frac {v_{1}}{\|v_{1}\|}}+r_{k}\end{aligned}}}
3661:{\displaystyle \left({\frac {1}{\lambda _{1}}}J\right)^{k}={\begin{bmatrix}&&&&\\&\left({\frac {1}{\lambda _{1}}}J_{2}\right)^{k}&&&\\&&\ddots &\\&&&\left({\frac {1}{\lambda _{1}}}J_{m}\right)^{k}\\\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1&&&&\\&0&&&\\&&\ddots &\\&&&0\\\end{bmatrix}}\quad {\text{as}}\quad k\to \infty .}
287:
3963:
1467:
3802:
2138:
3813:
4636:
338:
5965:
1013:
5118:
1884:
1311:
5849:
4037:
2224:
450:
5172:
2237:
4954:
699:
268:
3713:
6080:. For symmetric matrices, the power iteration method is rarely used, since its convergence speed can be easily increased without sacrificing the small cost per iteration; see, e.g.,
769:
919:
4773:
4738:
841:
623:
585:
4740:
is bounded, so it contains a convergent subsequence. Note that the eigenvector corresponding to the dominant eigenvalue is only unique up to a scalar, so although the sequence
884:
3721:
4675:
806:
6302:
5995:
4894:
4701:
3389:
1741:
1608:
179:
1947:
1541:
1678:
6239:
147:
79:
1987:
6123:
4980:
6150:
5906:
5879:
5148:
5010:
4800:
4020:
3993:
1995:
1914:
1772:
1282:
730:
550:
480:
368:
6070:
6047:
3958:{\displaystyle {\frac {1}{c_{1}}}V\left({\frac {1}{\lambda _{1}}}J\right)^{k}\left(c_{2}e_{2}+\cdots +c_{n}e_{n}\right)\to 0\quad {\text{as}}\quad k\to \infty }
1714:
1652:
1632:
1581:
1561:
1495:
523:
500:
209:
123:
103:
59:
6423:
191:
Power iteration is a very simple algorithm, but it may converge slowly. The most time-consuming operation of the algorithm is the multiplication of matrix
6448:
5997:
denotes the second dominant eigenvalue. Thus, the method converges slowly if there is an eigenvalue close in magnitude to the dominant eigenvalue.
4549:
6443:
6295:
290:
Animation that visualizes the power iteration algorithm on a 2x2 matrix. The matrix is depicted by its two eigenvectors. Error is computed as
293:
5918:
927:
5018:
1784:
1462:{\displaystyle \rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}={\frac {b_{k}^{\top }Ab_{k}}{b_{k}^{\top }b_{k}}}.}
6469:
6402:
6288:
6433:
5767:
6360:
2146:
6091:
Some of the more advanced eigenvalue algorithms can be understood as variations of the power iteration. For instance, the
379:
6392:
552:
has a nonzero component in the direction of an eigenvector associated with the dominant eigenvalue, then a subsequence
6177:
4899:
631:
218:
3674:
6346:
286:
6397:
6005:
Although the power iteration method approximates only one eigenvalue of a matrix, it remains useful for certain
6311:
6021:
uses it to show users recommendations of whom to follow. The power iteration method is especially suitable for
370:, which may be an approximation to the dominant eigenvector or a random vector. The method is described by the
735:
889:
525:
has an eigenvalue that is strictly greater in magnitude than its other eigenvalues and the starting vector
6356:
6006:
4743:
4708:
3797:{\displaystyle \left({\frac {1}{\lambda _{1}}}J_{i}\right)^{k}\to 0\quad {\text{as}}\quad k\to \infty .}
1498:
811:
593:
555:
846:
6351:
39:
32:
6165:
4641:
1305:(the eigenvalue with the largest magnitude, for a square matrix) by computing the Rayleigh quotient
774:
6330:
6026:
1953:
371:
5973:
4872:
4680:
3368:
1719:
1586:
152:
6233:
5909:
1919:
1504:
1657:
6201:
6182:
6161:
6157:
6092:
6081:
6077:
2133:{\displaystyle b_{k+1}={\frac {Ab_{k}}{\|Ab_{k}\|}}={\frac {A^{k+1}b_{0}}{\|A^{k+1}b_{0}\|}},}
1285:
1019:
183:
132:
64:
1959:
6366:
6098:
6073:
4959:
1611:
6128:
5884:
5857:
5126:
4988:
4778:
3998:
3971:
1892:
1750:
1260:
708:
528:
458:
346:
6407:
6153:
1302:
6052:
6325:
6032:
4818:
1683:
1637:
1617:
1566:
1546:
1480:
508:
485:
194:
108:
88:
44:
36:
6267:
6252:
Pankaj Gupta, Ashish Goel, Jimmy Lin, Aneesh Sharma, Dong Wang, and Reza Bosagh Zadeh
6463:
6371:
6022:
5158:
212:
275:
6268:"Efficient Bound of Lipschitz Constant for Convolutional Layers by Gram Iteration"
6222:
6223:"7th IMACS International Symposium on Iterative Methods in Scientific Computing"
6049:
explicitly, but can instead access a function evaluating matrix-vector products
1025:
One may compute this with the following algorithm (shown in Python with NumPy):
126:
20:
6218:
6208:, ZAMM - Zeitschrift fĂĽr Angewandte Mathematik und Mechanik 9, 152-164 (1929).
82:
6168:
is a super-linear and deterministic method to compute the largest eigenpair.
6387:
6253:
6280:
4631:{\displaystyle e^{i\phi _{k}}=\left(\lambda _{1}/|\lambda _{1}|\right)^{k}}
6014:
1294:
1916:
has a nonzero component in the direction of the dominant eigenvalue, so
6125:. Other algorithms look at the whole subspace generated by the vectors
6018:
333:{\displaystyle ||{\text{approximation}}-{\text{largest eigenvector}}||}
6438:
6428:
6085:
6010:
587:
converges to an eigenvector associated with the dominant eigenvalue.
6272:
Proceedings of the 40th
International Conference on Machine Learning
6256:, Proceedings of the 22nd international conference on World Wide Web
1284:
converges to an associated eigenvector. Ideally, one should use the
5960:{\displaystyle \left|{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right|,}
1008:{\displaystyle \mu _{k}={\frac {b_{k}^{*}Ab_{k}}{b_{k}^{*}b_{k}}}}
215:
with appropriate implementation. The speed of convergence is like
6284:
6266:
Delattre, B.; Barthélemy, Q.; Araujo, A.; Allauzen, A. (2023),
5113:{\displaystyle b_{0}=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{m}v_{m}.}
3995:
can be written in a form that emphasizes its relationship with
1879:{\displaystyle b_{0}=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{n}v_{n}.}
732:
is an eigenvector associated with the dominant eigenvalue, and
274:). In words, convergence is exponential with base being the
5844:{\displaystyle b_{k}={\frac {A^{k}b_{0}}{\|A^{k}b_{0}\|}}.}
1774:
can be written as a linear combination of the columns of
2219:{\displaystyle {\frac {A^{k+1}b_{0}}{\|A^{k+1}b_{0}\|}}}
6076:
the power iteration method can outperform more complex
3671:
The limit follows from the fact that the eigenvalue of
886:. Under the two assumptions listed above, the sequence
3590:
3445:
6131:
6101:
6055:
6035:
6029:
that does not require storing the coefficient matrix
5976:
5921:
5887:
5860:
5770:
5170:
5129:
5021:
4991:
4962:
4902:
4875:
4781:
4746:
4711:
4683:
4644:
4552:
4035:
4001:
3974:
3816:
3724:
3677:
3399:
3371:
2235:
2149:
1998:
1962:
1922:
1895:
1787:
1753:
1722:
1686:
1660:
1640:
1620:
1589:
1569:
1549:
1507:
1483:
1314:
1263:
930:
892:
849:
814:
777:
738:
711:
634:
596:
558:
531:
511:
488:
461:
382:
349:
296:
221:
197:
155:
135:
111:
91:
67:
47:
5150:
is chosen randomly (with uniform probability), then
445:{\displaystyle b_{k+1}={\frac {Ab_{k}}{\|Ab_{k}\|}}}
6416:
6380:
6339:
6318:
343:The power iteration algorithm starts with a vector
6144:
6117:
6064:
6041:
5989:
5959:
5900:
5873:
5843:
5750:
5142:
5112:
5004:
4974:
4948:
4888:
4821:, then the following proof yields the same result
4794:
4767:
4732:
4695:
4669:
4630:
4535:
4014:
3987:
3957:
3796:
3707:
3660:
3383:
3354:
2218:
2132:
1981:
1941:
1908:
1878:
1766:
1735:
1708:
1672:
1646:
1626:
1602:
1575:
1555:
1535:
1489:
1461:
1276:
1007:
913:
878:
835:
800:
763:
724:
693:
617:
579:
544:
517:
494:
474:
444:
362:
332:
262:
203:
173:
141:
117:
97:
73:
53:
4869:be the corresponding eigenvectors. Suppose that
625:does not necessarily converge. In this sequence,
211:by a vector, so it is effective for a very large
4949:{\displaystyle |\lambda _{1}|>|\lambda _{j}|}
1330:
590:Without the two assumptions above, the sequence
694:{\displaystyle b_{k}=e^{i\phi _{k}}v_{1}+r_{k}}
263:{\displaystyle (\lambda _{1}/\lambda _{2})^{k}}
3708:{\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}}}J_{i}}
6296:
6095:method applies power iteration to the matrix
5881:converges to (a multiple of) the eigenvector
1301:The method can also be used to calculate the
8:
6238:: CS1 maint: multiple names: authors list (
6206:Praktische Verfahren der Gleichungsauflösung
5832:
5809:
4658:
4645:
4510:
4497:
2971:
2873:
2757:
2646:
2517:
2478:
2421:
2372:
2305:
2282:
2226:is more amenable to the following analysis.
2210:
2181:
2121:
2092:
2052:
2036:
752:
739:
436:
420:
81:, which is the greatest (in absolute value)
4842:eigenvalues (counted with multiplicity) of
1288:in order to get the associated eigenvalue.
1138:# calculate the matrix-by-vector product Ab
1018:converges to the dominant eigenvalue (with
6303:
6289:
6281:
6136:
6130:
6106:
6100:
6054:
6034:
6017:of documents in their search engine, and
5981:
5975:
5942:
5932:
5926:
5920:
5892:
5886:
5865:
5859:
5826:
5816:
5801:
5791:
5784:
5775:
5769:
5730:
5712:
5702:
5696:
5683:
5673:
5668:
5658:
5633:
5623:
5611:
5601:
5595:
5582:
5572:
5566:
5551:
5541:
5529:
5519:
5513:
5500:
5490:
5484:
5475:
5460:
5455:
5445:
5425:
5415:
5410:
5400:
5381:
5371:
5366:
5356:
5343:
5333:
5328:
5318:
5298:
5288:
5278:
5259:
5249:
5239:
5226:
5216:
5206:
5189:
5179:
5171:
5169:
5134:
5128:
5101:
5091:
5072:
5062:
5049:
5039:
5026:
5020:
4996:
4990:
4961:
4941:
4935:
4926:
4918:
4912:
4903:
4901:
4880:
4874:
4786:
4780:
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4745:
4720:
4710:
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4652:
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4612:
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4361:
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4330:
4321:
4304:
4295:
4286:
4265:
4255:
4236:
4226:
4211:
4195:
4186:
4169:
4160:
4151:
4144:
4136:
4130:
4121:
4114:
4108:
4102:
4090:
4084:
4075:
4068:
4062:
4044:
4036:
4034:
4006:
4000:
3979:
3973:
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3912:
3893:
3883:
3868:
3852:
3843:
3826:
3817:
3815:
3776:
3763:
3752:
3740:
3731:
3723:
3699:
3687:
3678:
3676:
3640:
3585:
3568:
3557:
3545:
3536:
3504:
3493:
3481:
3472:
3440:
3431:
3415:
3406:
3398:
3370:
3330:
3320:
3301:
3291:
3276:
3260:
3251:
3234:
3225:
3216:
3195:
3185:
3166:
3156:
3141:
3125:
3116:
3099:
3090:
3081:
3074:
3066:
3060:
3051:
3044:
3038:
3032:
3020:
3014:
3005:
2998:
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2960:
2950:
2931:
2921:
2908:
2898:
2883:
2860:
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2831:
2821:
2808:
2798:
2783:
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2707:
2694:
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2604:
2594:
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2511:
2498:
2488:
2470:
2457:
2447:
2437:
2415:
2405:
2391:
2364:
2354:
2340:
2321:
2299:
2289:
2274:
2264:
2257:
2244:
2236:
2234:
2204:
2188:
2173:
2157:
2150:
2148:
2115:
2099:
2084:
2068:
2061:
2046:
2028:
2018:
2003:
1997:
1967:
1961:
1927:
1921:
1900:
1894:
1867:
1857:
1838:
1828:
1815:
1805:
1792:
1786:
1758:
1752:
1727:
1721:
1694:
1685:
1659:
1639:
1619:
1594:
1588:
1583:corresponding to the dominant eigenvalue
1568:
1548:
1524:
1506:
1482:
1447:
1437:
1432:
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1347:
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1262:
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986:
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510:
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460:
430:
412:
402:
387:
381:
354:
348:
325:
320:
315:
307:
302:
297:
295:
254:
244:
235:
229:
220:
196:
154:
134:
110:
90:
66:
46:
6254:WTF: The who-to-follow system at Twitter
1291:This algorithm is used to calculate the
1075:# To decrease the chance that our vector
285:
6434:Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
6221:, and Rebecca M. Wills (5–8 May 2005).
6194:
6231:
6072:. For non-symmetric matrices that are
764:{\displaystyle \|r_{k}\|\rightarrow 0}
61:, the algorithm will produce a number
1634:is unique, the first Jordan block of
914:{\displaystyle \left(\mu _{k}\right)}
181:. The algorithm is also known as the
7:
6228:. Fields Institute, Toronto, Canada.
6025:, such as the web matrix, or as the
4896:is the dominant eigenvalue, so that
3365:The expression above simplifies as
455:So, at every iteration, the vector
4768:{\displaystyle \left(b_{k}\right)}
4733:{\displaystyle \left(b_{k}\right)}
4690:
3952:
3788:
3652:
3378:
1747:in magnitude. The starting vector
1438:
1408:
1078:# Is orthogonal to the eigenvector
836:{\displaystyle \left(b_{k}\right)}
618:{\displaystyle \left(b_{k}\right)}
580:{\displaystyle \left(b_{k}\right)}
14:
6152:. This subspace is known as the
3715:is less than 1 in magnitude, so
1072:# Ideally choose a random vector
879:{\displaystyle e^{i\phi _{k}}=1}
3945:
3939:
3781:
3775:
3645:
3639:
5651:
4942:
4927:
4919:
4904:
4687:
4670:{\displaystyle \|r_{k}\|\to 0}
4661:
4613:
4598:
4477:
4462:
4412:
4278:
4137:
4122:
4091:
4076:
3949:
3933:
3785:
3769:
3649:
3582:
3454:
3448:
3375:
3342:
3208:
3067:
3052:
3021:
3006:
1700:
1687:
1383:
1368:
1354:
1339:
1324:
1318:
801:{\displaystyle e^{i\phi _{k}}}
755:
326:
321:
303:
298:
251:
222:
1:
1743:is the largest eigenvalue of
1614:, the dominant eigenvalue of
271:
6204:and H. Pollaczek-Geiringer,
5990:{\displaystyle \lambda _{2}}
4889:{\displaystyle \lambda _{1}}
4802:is nearly an eigenvector of
4696:{\displaystyle k\to \infty }
3384:{\displaystyle k\to \infty }
1736:{\displaystyle \lambda _{1}}
1603:{\displaystyle \lambda _{1}}
1543:, where the first column of
482:is multiplied by the matrix
174:{\displaystyle Av=\lambda v}
6178:Rayleigh quotient iteration
1952:The computationally useful
1942:{\displaystyle c_{1}\neq 0}
771:. The presence of the term
125:, which is a corresponding
6486:
6347:System of linear equations
1536:{\displaystyle A=VJV^{-1}}
6398:Cache-oblivious algorithm
6013:uses it to calculate the
1673:{\displaystyle 1\times 1}
1204:# re normalize the vector
843:does not converge unless
6470:Numerical linear algebra
6449:General purpose software
6312:Numerical linear algebra
6156:. It can be computed by
1027:
142:{\displaystyle \lambda }
74:{\displaystyle \lambda }
1982:{\displaystyle b_{k+1}}
1497:be decomposed into its
105:, and a nonzero vector
6146:
6119:
6118:{\displaystyle A^{-1}}
6066:
6043:
6007:computational problems
5991:
5961:
5902:
5875:
5845:
5752:
5144:
5114:
5006:
4976:
4975:{\displaystyle j>1}
4950:
4890:
4796:
4769:
4734:
4697:
4671:
4632:
4537:
4016:
3989:
3959:
3798:
3709:
3662:
3385:
3356:
2220:
2143:where the expression:
2134:
1983:
1943:
1910:
1880:
1768:
1737:
1710:
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1604:
1577:
1557:
1537:
1491:
1463:
1278:
1030:#!/usr/bin/env python3
1009:
915:
880:
837:
802:
765:
726:
695:
619:
581:
546:
519:
496:
476:
446:
364:
340:
334:
264:
205:
175:
143:
119:
99:
75:
55:
6444:Specialized libraries
6357:Matrix multiplication
6352:Matrix decompositions
6147:
6145:{\displaystyle b_{k}}
6120:
6067:
6044:
5992:
5962:
5908:. The convergence is
5903:
5901:{\displaystyle v_{1}}
5876:
5874:{\displaystyle b_{k}}
5846:
5753:
5145:
5143:{\displaystyle b_{0}}
5115:
5007:
5005:{\displaystyle b_{0}}
4977:
4951:
4891:
4797:
4795:{\displaystyle b_{k}}
4770:
4735:
4698:
4672:
4633:
4538:
4017:
4015:{\displaystyle v_{1}}
3990:
3988:{\displaystyle b_{k}}
3960:
3799:
3710:
3663:
3386:
3357:
2221:
2135:
1989:can be rewritten as:
1984:
1944:
1911:
1909:{\displaystyle b_{0}}
1881:
1769:
1767:{\displaystyle b_{0}}
1738:
1711:
1675:
1649:
1629:
1605:
1578:
1563:is an eigenvector of
1558:
1538:
1499:Jordan canonical form
1492:
1464:
1279:
1277:{\displaystyle b_{k}}
1010:
916:
881:
838:
803:
766:
727:
725:{\displaystyle v_{1}}
696:
620:
582:
547:
545:{\displaystyle b_{0}}
520:
497:
477:
475:{\displaystyle b_{k}}
447:
365:
363:{\displaystyle b_{0}}
335:
289:
265:
206:
176:
144:
120:
100:
76:
56:
6129:
6099:
6053:
6033:
5974:
5919:
5885:
5858:
5768:
5168:
5127:
5019:
4989:
4960:
4900:
4873:
4779:
4744:
4709:
4681:
4642:
4550:
4033:
3999:
3972:
3814:
3722:
3675:
3397:
3369:
2233:
2147:
1996:
1960:
1920:
1893:
1785:
1751:
1720:
1684:
1658:
1638:
1618:
1587:
1567:
1547:
1505:
1481:
1312:
1261:
1171:# calculate the norm
928:
890:
847:
812:
775:
736:
709:
632:
594:
556:
529:
509:
486:
459:
380:
347:
294:
219:
195:
153:
133:
109:
89:
65:
45:
33:eigenvalue algorithm
16:Eigenvalue algorithm
6331:Numerical stability
5761:On the other hand:
5678:
5465:
5420:
5376:
5338:
4985:The initial vector
1954:recurrence relation
1442:
1412:
991:
961:
372:recurrence relation
317:largest eigenvector
27:(also known as the
6142:
6115:
6065:{\displaystyle Ax}
6062:
6039:
6027:matrix-free method
5987:
5957:
5898:
5871:
5841:
5748:
5746:
5664:
5451:
5406:
5362:
5324:
5140:
5110:
5002:
4972:
4946:
4886:
4813:Alternatively, if
4792:
4775:may not converge,
4765:
4730:
4693:
4667:
4628:
4533:
4531:
4012:
3985:
3955:
3794:
3705:
3658:
3633:
3576:
3381:
3352:
3350:
2216:
2130:
1979:
1939:
1906:
1876:
1764:
1733:
1706:
1670:
1644:
1624:
1600:
1573:
1553:
1533:
1487:
1459:
1428:
1398:
1274:
1005:
977:
947:
911:
876:
833:
798:
761:
722:
691:
615:
577:
542:
515:
492:
472:
442:
360:
341:
330:
260:
201:
171:
139:
115:
95:
71:
51:
6457:
6456:
6202:Richard von Mises
6183:Inverse iteration
6162:Lanczos iteration
6158:Arnoldi iteration
6093:inverse iteration
6082:Lanczos iteration
6078:Arnoldi iteration
6042:{\displaystyle A}
5948:
5836:
5733:
5718:
5617:
5588:
5535:
5506:
4514:
4482:
4416:
4336:
4310:
4201:
4175:
4142:
4096:
3968:Using this fact,
3943:
3858:
3832:
3807:It follows that:
3779:
3746:
3693:
3643:
3551:
3487:
3421:
3346:
3266:
3240:
3131:
3105:
3072:
3026:
2975:
2761:
2521:
2425:
2309:
2214:
2125:
2056:
1709:{\displaystyle ,}
1647:{\displaystyle J}
1627:{\displaystyle A}
1576:{\displaystyle A}
1556:{\displaystyle V}
1490:{\displaystyle A}
1454:
1286:Rayleigh quotient
1020:Rayleigh quotient
1003:
518:{\displaystyle A}
502:and normalized.
495:{\displaystyle A}
440:
318:
310:
204:{\displaystyle A}
118:{\displaystyle v}
98:{\displaystyle A}
54:{\displaystyle A}
6477:
6367:Matrix splitting
6305:
6298:
6291:
6282:
6275:
6274:
6263:
6257:
6250:
6244:
6243:
6237:
6229:
6227:
6215:
6209:
6199:
6151:
6149:
6148:
6143:
6141:
6140:
6124:
6122:
6121:
6116:
6114:
6113:
6074:well-conditioned
6071:
6069:
6068:
6063:
6048:
6046:
6045:
6040:
6009:. For instance,
5996:
5994:
5993:
5988:
5986:
5985:
5966:
5964:
5963:
5958:
5953:
5949:
5947:
5946:
5937:
5936:
5927:
5907:
5905:
5904:
5899:
5897:
5896:
5880:
5878:
5877:
5872:
5870:
5869:
5850:
5848:
5847:
5842:
5837:
5835:
5831:
5830:
5821:
5820:
5807:
5806:
5805:
5796:
5795:
5785:
5780:
5779:
5757:
5755:
5754:
5749:
5747:
5734:
5731:
5723:
5719:
5717:
5716:
5707:
5706:
5697:
5690:
5688:
5687:
5677:
5672:
5663:
5662:
5647:
5643:
5639:
5638:
5637:
5628:
5627:
5622:
5618:
5616:
5615:
5606:
5605:
5596:
5589:
5587:
5586:
5577:
5576:
5567:
5556:
5555:
5546:
5545:
5540:
5536:
5534:
5533:
5524:
5523:
5514:
5507:
5505:
5504:
5495:
5494:
5485:
5480:
5479:
5464:
5459:
5450:
5449:
5434:
5430:
5429:
5419:
5414:
5405:
5404:
5386:
5385:
5375:
5370:
5361:
5360:
5348:
5347:
5337:
5332:
5323:
5322:
5307:
5303:
5302:
5293:
5292:
5283:
5282:
5264:
5263:
5254:
5253:
5244:
5243:
5231:
5230:
5221:
5220:
5211:
5210:
5194:
5193:
5184:
5183:
5149:
5147:
5146:
5141:
5139:
5138:
5119:
5117:
5116:
5111:
5106:
5105:
5096:
5095:
5077:
5076:
5067:
5066:
5054:
5053:
5044:
5043:
5031:
5030:
5012:can be written:
5011:
5009:
5008:
5003:
5001:
5000:
4981:
4979:
4978:
4973:
4955:
4953:
4952:
4947:
4945:
4940:
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