5087:
3632:
4876:
3315:
731:
2794:
3627:{\displaystyle {\begin{aligned}G_{S_{N}}(z)&=\operatorname {E} (z^{S_{N}})=\operatorname {E} (z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}})\\&=\operatorname {E} {\big (}\operatorname {E} (z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}}\mid N){\big )}=\operatorname {E} {\big (}(G_{X}(z))^{N}{\big )}=G_{N}(G_{X}(z)).\end{aligned}}}
458:
2530:
2142:
1987:
214:
3823:
1493:
1228:
1824:
726:{\displaystyle G(z)=G(z_{1},\ldots ,z_{d})=\operatorname {E} {\bigl (}z_{1}^{X_{1}}\cdots z_{d}^{X_{d}}{\bigr )}=\sum _{x_{1},\ldots ,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},\ldots ,x_{d})z_{1}^{x_{1}}\cdots z_{d}^{x_{d}},}
4533:
3320:
907:
5037:
818:
3029:
1583:
1040:
2933:
2486:
3294:
2789:{\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\operatorname {E} (z^{S_{N}})=\operatorname {E} \left(z^{\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i},}\right)=G_{X_{1}}(z^{a_{1}})G_{X_{2}}(z^{a_{2}})\cdots G_{X_{N}}(z^{a_{N}})}
5189:
4865:
4783:
4584:
2406:
2212:
1691:
4688:
2031:
4394:
4220:
3204:
4343:
4037:
3874:
4088:
1352:
1312:
5030:
961:
3993:
4893:
4717:
2308:
2252:
402:
4427:
2021:
1617:
3935:
3908:
3678:
3157:
3130:
3103:
2519:
315:
288:
4644:
4614:
4447:
4273:
4249:
4138:
4118:
3698:
3076:
3056:
2841:
2821:
2332:
2272:
1852:
1711:
1519:
1392:
1372:
1272:
1252:
1128:
1104:
1080:
366:
335:
261:
237:
5152:
5023:
4815:
116:
3709:
4940:
1402:
1859:
1135:
4912:
4823:
1718:
4919:
5009:
4959:
2408:
is a sequence of independent (and not necessarily identically distributed) random variables that take on natural-number values, and
5070:
4926:
4458:
823:
4897:
4352:
4908:
747:
5194:
58:. Probability generating functions are often employed for their succinct description of the sequence of probabilities Pr(
2940:
5064:
4819:
3910:
s, this simplifies to the identity stated before, but the general case is sometimes useful to obtain a decomposition of
966:
2852:
2417:
921:
Probability generating functions obey all the rules of power series with non-negative coefficients. In particular,
5146:
4811:
3215:
2311:
1526:
4886:
3641:
5058:
240:
67:
51:
5047:
3645:
3303:
2344:
338:
95:
39:
4933:
4829:
4728:
4538:
3948:
2354:
2152:
1397:
The normalization of the probability mass function can be expressed in terms of the generating function by
4617:
4252:
2137:{\displaystyle \operatorname {E} =\left(z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{k}G(z){\Big |}_{z=1^{-}}}
4097:
1625:
1047:
4649:
4358:
3159:
are not only independent but also identically distributed with common probability generating function
4696:
4149:
3162:
342:
3078:
is discrete random variable taking values on the non-negative integers, which is independent of the
4800:
4796:
4291:
3998:
3828:
47:
77:, and to make available the well-developed theory of power series with non-negative coefficients.
5118:
4048:
1317:
1277:
31:
924:
3954:
17:
5076:
5005:
4702:
2277:
2221:
1051:
371:
4399:
1996:
1619:
1592:
3913:
3886:
3656:
3135:
3108:
3081:
2497:
293:
266:
5086:
1043:
438:
71:
55:
4985:
4623:
1394:
have identical probability-generating functions, then they have identical distributions.
5108:
5103:
4599:
4432:
4258:
4234:
4123:
4103:
3683:
3061:
3041:
2826:
2806:
2343:
Probability generating functions are particularly useful for dealing with functions of
2317:
2257:
1837:
1696:
1504:
1498:
1377:
1357:
1257:
1237:
1113:
1089:
1065:
351:
346:
320:
246:
222:
5015:
5183:
1062:
The following properties allow the derivation of various basic quantities related to
3680:
are not supposed identically distributed (but still independent and independent of
43:
2521:
are constant natural numbers, then the probability generating function is given by
4875:
4804:
317:
are often used to emphasize that these pertain to a particular random variable
5098:
2023:
1107:
209:{\displaystyle G(z)=\operatorname {E} (z^{X})=\sum _{x=0}^{\infty }p(x)z^{x},}
3818:{\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\sum _{n\geq 1}f_{n}\prod _{i=1}^{n}G_{X_{i}}(z)}
5168:
4279:
5163:
5133:
5128:
5123:
5113:
1831:
744:. The power series converges absolutely at least for all complex vectors
1488:{\displaystyle \operatorname {E} =G(1^{-})=\sum _{i=0}^{\infty }p(i)=1.}
3058:
of independent random variables in the sequence is fixed. Let'a assume
1982:{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=G''(1^{-})+G'(1^{-})-\left^{2}.}
1223:{\displaystyle p(k)=\operatorname {Pr} (X=k)={\frac {G^{(k)}(0)}{k!}}.}
99:
1819:{\displaystyle \operatorname {E} \left=G^{(k)}(1^{-}),\quad k\geq 0.}
4867:
can also be considered for continuous and other random variables.
4822:. The probability generating function is also equivalent to the
5019:
4869:
1050:
of any probability generating function must be at least 1, by
27:
Power series derived from a discrete probability distribution
4810:
Other generating functions of random variables include the
4528:{\displaystyle G(z)=\left({\frac {p}{1-(1-p)z}}\right)^{r}}
4616:-fold product of the probability generating function of a
4251:-fold product of the probability generating function of a
902:{\displaystyle {\text{max}}\{|z_{1}|,...,|z_{d}|\}\leq 1.}
3947:
The probability generating function of an almost surely
4795:
The probability generating function is an example of a
4986:
http://www.am.qub.ac.uk/users/g.gribakin/sor/Chap3.pdf
1274:
have probability-generating functions that are equal,
813:{\displaystyle z=(z_{1},...z_{d})\in \mathbb {C} ^{d}}
4832:
4731:
4705:
4652:
4626:
4602:
4541:
4461:
4435:
4402:
4361:
4294:
4261:
4237:
4152:
4126:
4106:
4051:
4001:
3957:
3916:
3889:
3831:
3712:
3686:
3659:
3318:
3218:
3165:
3138:
3111:
3084:
3064:
3044:
2943:
2855:
2829:
2809:
2533:
2500:
2420:
2357:
2320:
2280:
2260:
2224:
2155:
2034:
1999:
1862:
1840:
1721:
1699:
1628:
1595:
1529:
1507:
1405:
1380:
1360:
1320:
1280:
1260:
1240:
1138:
1116:
1092:
1068:
969:
927:
826:
750:
461:
374:
354:
323:
296:
269:
249:
225:
119:
3105:, and consider it's probability generating function
1234:
It follows from
Property 1 that if random variables
4900:. Unsourced material may be challenged and removed.
3024:{\displaystyle G_{X-Y}(z)=G_{X}(z)\cdot G_{Y}(1/z)}
433:is a discrete random variable taking values in the
4859:
4777:
4711:
4682:
4638:
4608:
4578:
4527:
4441:
4429:success with probability of success in each trial
4421:
4388:
4337:
4267:
4243:
4214:
4132:
4112:
4082:
4031:
3987:
3929:
3902:
3868:
3817:
3692:
3672:
3626:
3288:
3198:
3151:
3124:
3097:
3070:
3050:
3023:
2927:
2835:
2815:
2788:
2513:
2480:
2400:
2326:
2302:
2266:
2246:
2206:
2136:
2015:
1981:
1846:
1818:
1705:
1685:
1611:
1577:
1513:
1487:
1386:
1366:
1346:
1306:
1266:
1246:
1222:
1122:
1098:
1074:
1046:, since the probabilities must sum to one. So the
1035:{\displaystyle G(1^{-})=\lim _{x\to 1,x<1}G(x)}
1034:
955:
901:
812:
725:
396:
360:
329:
309:
282:
255:
231:
208:
4803:. It is equivalent to, and sometimes called, the
2928:{\displaystyle G_{X+Y}(z)=G_{X}(z)\cdot G_{Y}(z)}
2110:
1054:for power series with non-negative coefficients.
2481:{\displaystyle S_{N}=\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i},}
993:
404:; the radius of convergence being often larger.
5190:Functions related to probability distributions
5031:
3574:
3535:
3519:
3456:
3289:{\displaystyle G_{S_{N}}(z)=G_{N}(G_{X}(z)).}
1578:{\displaystyle \operatorname {E} =G'(1^{-}).}
580:
526:
8:
4677:
4653:
4383:
4362:
4278:So the probability generating function of a
890:
832:
5000:Johnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993)
2254:is the probability generating function (of
5038:
5024:
5016:
4960:Learn how and when to remove this message
4847:
4831:
4751:
4730:
4704:
4695:The probability generating function of a
4651:
4625:
4601:
4558:
4550:
4542:
4540:
4519:
4482:
4460:
4434:
4407:
4401:
4360:
4351:The probability generating function of a
4327:
4313:
4293:
4260:
4236:
4203:
4151:
4125:
4105:
4096:The probability generating function of a
4071:
4050:
4000:
3956:
3921:
3915:
3894:
3888:
3836:
3830:
3798:
3793:
3783:
3772:
3762:
3746:
3722:
3717:
3711:
3685:
3664:
3658:
3640:This last fact is useful in the study of
3599:
3586:
3573:
3572:
3566:
3547:
3534:
3533:
3518:
3517:
3500:
3490:
3479:
3474:
3455:
3454:
3427:
3417:
3406:
3401:
3374:
3369:
3332:
3327:
3319:
3317:
3265:
3252:
3228:
3223:
3217:
3188:
3183:
3170:
3164:
3143:
3137:
3116:
3110:
3089:
3083:
3063:
3043:
3010:
2998:
2976:
2948:
2942:
2910:
2888:
2860:
2854:
2828:
2808:
2775:
2770:
2755:
2750:
2732:
2727:
2712:
2707:
2692:
2687:
2672:
2667:
2645:
2635:
2625:
2614:
2609:
2581:
2576:
2543:
2538:
2532:
2505:
2499:
2469:
2459:
2449:
2438:
2425:
2419:
2362:
2356:
2339:Functions of independent random variables
2319:
2285:
2279:
2259:
2229:
2223:
2189:
2173:
2160:
2154:
2126:
2115:
2109:
2108:
2089:
2069:
2048:
2033:
2004:
1998:
1970:
1956:
1923:
1896:
1861:
1839:
1794:
1775:
1732:
1720:
1698:
1627:
1600:
1594:
1563:
1528:
1506:
1461:
1450:
1434:
1404:
1379:
1359:
1338:
1325:
1319:
1298:
1285:
1279:
1259:
1239:
1185:
1178:
1137:
1115:
1091:
1067:
996:
980:
968:
938:
926:
885:
879:
870:
850:
844:
835:
827:
825:
804:
800:
799:
786:
764:
749:
712:
707:
702:
687:
682:
677:
664:
645:
629:
616:
597:
592:
579:
578:
570:
565:
560:
545:
540:
535:
525:
524:
506:
487:
460:
383:
375:
373:
353:
322:
301:
295:
274:
268:
248:
224:
197:
175:
164:
148:
118:
4978:
4860:{\displaystyle \operatorname {E} \left}
4778:{\displaystyle G(z)=e^{\lambda (z-1)}.}
4579:{\displaystyle |z|<{\frac {1}{1-p}}}
263:. Note that the subscripted notations
2401:{\displaystyle X_{i},i=1,2,\cdots ,N}
2207:{\displaystyle G_{X}(e^{t})=M_{X}(t)}
7:
4898:adding citations to reliable sources
4824:factorial moment generating function
740:is the probability mass function of
4396:, the number of failures until the
4833:
4807:of the probability mass function.
3527:
3461:
3448:
3388:
3356:
2595:
2563:
2075:
2071:
2035:
1722:
1686:{\displaystyle \operatorname {E} }
1629:
1530:
1462:
1406:
630:
518:
176:
135:
98:taking values in the non-negative
25:
5002:Univariate Discrete distributions
4909:"Probability-generating function"
4683:{\displaystyle \{0,1,2,\cdots \}}
4353:negative binomial random variable
3937:by means of generating functions.
2843:are independent random variables:
1086:The probability mass function of
5085:
5071:cumulative distribution function
4874:
4389:{\displaystyle \{0,1,2\cdots \}}
5158:probability-generating function
4885:needs additional citations for
4215:{\displaystyle G(z)=\left^{n}.}
3199:{\displaystyle G_{X}=G_{X_{i}}}
2347:random variables. For example:
1806:
446:probability generating function
104:probability generating function
36:probability generating function
18:Probability generating function
4767:
4755:
4741:
4735:
4551:
4543:
4506:
4494:
4471:
4465:
4414:
4304:
4298:
4186:
4174:
4162:
4156:
4061:
4055:
4020:
4008:
3976:
3964:
3863:
3851:
3812:
3806:
3736:
3730:
3614:
3611:
3605:
3592:
3563:
3559:
3553:
3540:
3514:
3467:
3435:
3394:
3382:
3362:
3346:
3340:
3280:
3277:
3271:
3258:
3242:
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