4828:
4610:
22:
4823:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }&\cong (\mathbb {R} \times {\hat {\mathbb {Z} }})/\mathbb {Z} \\&={\underset {\leftarrow }{\lim }}\mathbb {(} {\mathbb {R} }/m\mathbb {Z} )\\&={\underset {x\mapsto x^{m}}{\lim }}S^{1}\\&={\hat {\mathbb {Z} }}\end{aligned}}}
4603:
3294:
3611:
505:
1767:
174:
2904:
4494:
2668:
3461:
2473:
3884:
955:
3957:
3037:
1552:
3165:
2065:
3093:
577:
2180:
632:
4455:
1431:
1996:
1900:
3220:
3766:
4023:
1554:
The difference of a profinite integer from an integer is that the "finitely many nonzero digits" condition is dropped, allowing for its factorial number representation to have infinitely many nonzero digits.
4301:
4218:
699:
3534:
804:
400:
231:
4920:
1666:
4615:
1658:
2808:
1352:
1816:
4347:
2325:
4112:
3340:
2961:
1205:
1139:
4486:
2559:
757:
3529:
2516:
2803:
2771:
2739:
2701:
2554:
1073:
375:
2405:
4867:
89:
1271:
994:
3808:
3674:
3494:
3372:
313:
2377:
1940:
876:
4145:
40:
2239:
4391:
3187:
260:
3892:
3799:
3381:
1436:
395:
833:
867:
3211:
2924:
1232:
3886:
from the earlier computation of the profinite Galois group. In addition, there is an embedding of the profinite integers inside the Etale fundamental group of the
3101:
2070:
1375:
592:
4400:
4238:
2259:
2200:
1585:
1014:
723:
280:
4598:{\displaystyle \Psi _{\mathbb {Q} }:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }\to {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}}
1945:
1821:
3679:
2966:
3965:
2008:
3050:
510:
1380:
5128:
1593:
4243:
1775:
4031:
58:
4832:
giving the desired relation. There is an analogous statement for local class field theory since every finite abelian extension of
4150:
637:
5148:
5133:
3289:{\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {R} \times ({\hat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}
766:
760:
5092:
188:
4872:
1942:. It should be much clearer that under the inverse limit definition of the profinite integers, we have the isomorphism
1279:
1144:
In the same way, a profinite integer can be uniquely represented in the factorial number system as an infinite string
4306:
2264:
3606:{\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbf {F} }}_{q}/\mathbf {F} _{q})\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}}
3309:
4350:
3630:
2929:
3217:. That is, an element is a sequence that is integral except at a finite number of places. There is an isomorphism
1147:
1081:
4460:
1564:
728:
500:{\displaystyle \upsilon =(\upsilon _{1}{\bmod {1}},~\upsilon _{2}{\bmod {2}},~\upsilon _{3}{\bmod {3}},~\ldots )}
3499:
2486:
2776:
2744:
2713:
2675:
2528:
1019:
349:
327:
1762:{\displaystyle \mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}}\times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{k}^{a_{k}}}
5153:
4365:
870:
169:{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}
3626:
3464:
2899:{\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times {\widehat {\mathbb {Z} }}\to U(1),\,(q,a)\mapsto \chi (qa)}
2480:
5129:
https://web.archive.org/web/20150401092904/http://www.noncommutative.org/supernatural-numbers-and-adeles/
5044:
4965:
4835:
3614:
3096:
1237:
960:
5005:
3635:
3470:
3348:
289:
5158:
2330:
1905:
237:
5123:
4117:
2663:{\displaystyle d(x,y)={\frac {1}{\min\{k\in \mathbb {Z} _{>0}:x\not \equiv y{\bmod {(k+1)!}}\}}}}
4941:
3960:
3456:{\displaystyle {\text{Gal}}(\mathbf {F} _{q^{n}}/\mathbf {F} _{q})\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
2205:
1588:
4374:
3170:
243:
5077:
4361:
3214:
2468:{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\subset \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
80:
3771:
380:
3802:
3304:
2519:
809:
846:
5134:
https://euro-math-soc.eu/system/files/news/Hendrik%20Lenstra_Profinite%20number%20theory.pdf
5073:
4026:
2773:
equipped with the discrete topology (note that it is not the subset topology inherited from
1661:
2909:
1210:
3887:
2704:
2396:
702:
335:
3879:{\displaystyle \pi _{1}^{et}({\text{Spec}}(\mathbf {F} _{q}))\cong {\hat {\mathbb {Z} }}}
2805:, which is not discrete). The Pontryagin dual is explicitly constructed by the function
1818:
will just be a map on the underlying decompositions where there are induced surjections
1357:
950:{\displaystyle n=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}i!\qquad {\text{with }}c_{i}\in \mathbb {Z} }
4936:
4394:
4223:
3192:
2476:
2400:
2244:
2185:
1570:
999:
708:
331:
316:
265:
5142:
4931:
2393:
1563:
Another way to understand the construction of the profinite integers is by using the
323:
180:
3952:{\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}\hookrightarrow \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m})}
3032:{\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to U(1),\,\alpha \mapsto e^{2\pi i\alpha }}
4369:
3343:
1547:{\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}\mapsto \sum _{i=1}^{k-1}c_{i}i!\mod k!}
283:
5099:
72:
4488:
and the group of profinite integers. In particular, there is a map, called the
2399:, coming from the fact that it can be seen as a closed subset of the infinite
1770:
5020:
Questions on some maps involving rings of finite adeles and their unit groups
2060:{\displaystyle \phi :\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}\to {\widehat {\mathbb {Z} }}}
4489:
3088:{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }
572:{\displaystyle m\ |\ n\implies \upsilon _{m}\equiv \upsilon _{n}{\bmod {m}}}
3160:{\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}={\prod _{p}}'\mathbb {Q} _{p}}
2175:{\displaystyle \phi ((n_{2},n_{3},n_{5},\cdots ))(k)=\prod _{q}n_{q}\mod k}
627:{\displaystyle \eta :\mathbb {Z} \hookrightarrow {\widehat {\mathbb {Z} }}}
5019:
4450:{\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}}
3625:
This construction can be re-interpreted in many ways. One of them is from
1426:{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\to \mathbb {Z} /k!\,\mathbb {Z} }
1991:{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}
3531:, so its Galois group is isomorphic to the group of profinite integers
1895:{\displaystyle \mathbb {Z} /p_{i}^{a_{i}}\to \mathbb {Z} /p_{i}^{b_{i}}}
4605:
which is an isomorphism. This quotient can be determined explicitly as
2392:
The set of profinite integers has an induced topology in which it is a
589:
embeds into the ring of profinite integers by the canonical injection:
586:
3761:{\displaystyle \pi _{1}^{et}(X)=\lim _{i\in I}{\text{Aut}}(X_{i}/X)}
5082:
582:
Pointwise addition and multiplication make it a commutative ring.
5124:
http://ncatlab.org/nlab/show/profinite+completion+of+the+integers
4018:{\displaystyle (\cdot )^{n}:\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}}
4296:{\displaystyle \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m}/{\text{Spec(k)}})}
15:
2630:
670:
654:
560:
476:
450:
424:
4368:
studying the abelian field extensions of a field. Given the
4213:{\displaystyle \mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}
694:{\displaystyle n\mapsto (n{\bmod {1}},n{\bmod {2}},\dots ).}
3805:. Then, the profinite integers are isomorphic to the group
3378:
the Galois group can be computed explicitly. From the fact
4720:
334:. In addition, it provides a basic tractable example of a
3621:
Relation with Etale fundamental groups of algebraic tori
799:{\displaystyle g:{\widehat {\mathbb {Z} }}\rightarrow H}
4457:
is intimately related to the associated ring of adeles
3299:
Applications in Galois theory and Etale homotopy theory
36:
1078:
Its factorial number representation can be written as
226:{\displaystyle \varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
4915:{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p}}
4875:
4838:
4613:
4497:
4463:
4403:
4377:
4309:
4246:
4226:
4153:
4120:
4034:
3968:
3895:
3811:
3774:
3682:
3638:
3537:
3502:
3473:
3384:
3351:
3312:
3223:
3195:
3173:
3104:
3053:
2969:
2932:
2912:
2811:
2779:
2747:
2716:
2678:
2562:
2531:
2489:
2408:
2333:
2267:
2247:
2208:
2188:
2073:
2011:
1948:
1908:
1824:
1778:
1669:
1596:
1573:
1439:
1383:
1360:
1282:
1240:
1213:
1150:
1084:
1022:
1002:
963:
879:
849:
812:
769:
731:
711:
640:
595:
513:
403:
383:
352:
322:. This group is important because of its relation to
292:
268:
246:
191:
92:
4220:. If the algebraic torus is considered over a field
2672:
Since addition of profinite integers is continuous,
2703:is a compact Hausdorff abelian group, and thus its
1653:{\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}
31:
may be too technical for most readers to understand
4914:
4861:
4822:
4597:
4480:
4449:
4385:
4341:
4295:
4232:
4212:
4139:
4106:
4017:
3951:
3878:
3793:
3760:
3668:
3605:
3523:
3488:
3455:
3366:
3334:
3288:
3205:
3181:
3159:
3087:
3031:
2955:
2918:
2898:
2797:
2765:
2733:
2695:
2662:
2548:
2510:
2467:
2371:
2319:
2253:
2233:
2194:
2174:
2059:
1990:
1934:
1894:
1810:
1761:
1652:
1579:
1546:
1425:
1377:. More specifically, there is a ring homomorphism
1369:
1346:
1265:
1226:
1199:
1133:
1067:
1008:
988:
949:
861:
827:
798:
751:
717:
693:
626:
571:
499:
389:
369:
307:
274:
254:
225:
168:
2926:is the character of the adele (introduced below)
1354:determine the value of the profinite integer mod
1347:{\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots ,c_{k-1}}
3714:
2590:
1811:{\displaystyle \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /m}
4342:{\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {k}}/k)}
3467:, the Galois group of the algebraic closure of
2320:{\displaystyle k=\prod _{i=1}^{l}p_{i}^{d_{i}}}
4107:{\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }
3335:{\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{q}}
4992:
4357:Class field theory and the profinite integers
3676:as the profinite completion of automorphisms
2956:{\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}}
83:(sometimes pronounced as zee-hat or zed-hat)
8:
3496:is given by the inverse limit of the groups
2654:
2593:
1200:{\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}
1134:{\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}
5076:(2015). "Geometry of the arithmetic site".
4481:{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}
752:{\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow H}
377:can be constructed as the set of sequences
3524:{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
2511:{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
535:
531:
5081:
4959:
4957:
4906:
4902:
4901:
4895:
4887:
4882:
4878:
4877:
4874:
4869:is induced from a finite field extension
4853:
4849:
4848:
4842:
4837:
4806:
4805:
4803:
4802:
4786:
4773:
4757:
4740:
4739:
4731:
4726:
4725:
4724:
4719:
4709:
4695:
4694:
4689:
4676:
4675:
4673:
4672:
4665:
4664:
4648:
4644:
4643:
4637:
4631:
4626:
4625:
4624:
4620:
4619:
4614:
4612:
4586:
4578:
4577:
4572:
4563:
4562:
4560:
4552:
4543:
4539:
4538:
4532:
4526:
4521:
4520:
4519:
4515:
4514:
4504:
4503:
4502:
4496:
4472:
4471:
4470:
4466:
4465:
4462:
4438:
4430:
4429:
4424:
4415:
4414:
4412:
4404:
4402:
4379:
4378:
4376:
4328:
4318:
4310:
4308:
4285:
4280:
4274:
4270:
4269:
4256:
4251:
4245:
4225:
4195:
4178:
4177:
4169:
4160:
4156:
4155:
4152:
4131:
4119:
4092:
4075:
4074:
4059:
4042:
4041:
4033:
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4005:
4004:
3994:
3990:
3989:
3979:
3967:
3940:
3936:
3935:
3922:
3917:
3900:
3899:
3897:
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3894:
3866:
3865:
3863:
3862:
3847:
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3816:
3810:
3779:
3773:
3747:
3741:
3729:
3717:
3692:
3687:
3681:
3648:
3643:
3637:
3593:
3592:
3590:
3589:
3577:
3572:
3566:
3560:
3550:
3548:
3536:
3517:
3516:
3508:
3504:
3503:
3501:
3480:
3475:
3472:
3463:where the automorphisms are given by the
3449:
3448:
3440:
3436:
3435:
3423:
3418:
3412:
3404:
3399:
3394:
3385:
3383:
3358:
3353:
3350:
3326:
3316:
3314:
3311:
3279:
3278:
3272:
3271:
3270:
3256:
3255:
3253:
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3232:
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3175:
3174:
3172:
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3147:
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3074:
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3058:
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701:It is canonical since it satisfies the
3959:since the covering maps come from the
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4973:Mathematical Association of America
4240:, then the Etale fundamental group
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1559:Using the Chinese Remainder theorem
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