22:
1053:
897:
1691:
820:
1495:
594:
1238:
1593:
1048:{\displaystyle \operatorname {tr} (\Lambda \Sigma )+\operatorname {tr} (\Lambda \mu \mu ^{T})=\operatorname {tr} (\Lambda \Sigma )+\operatorname {tr} (\mu ^{T}\Lambda \mu )=\operatorname {tr} (\Lambda \Sigma )+\mu ^{T}\Lambda \mu .}
376:
1763:
886:
1604:
707:
2283:
1970:
248:
2400:
2078:
2201:
722:
1328:
535:
1812:
1132:
2039:
1320:
1293:
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1101:
1081:
515:
447:
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140:
2361:
2122:
1783:
1531:
1124:
187:
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471:
399:
2317:
2102:
1993:
1887:
1863:
1840:
207:
164:
39:
288:
2421:
1702:
1502:
831:
1106:
follow a multivariate normal distribution, the variance of the quadratic form becomes particularly tractable. Assume for the moment that
2293:
86:
2479:
2004:
58:
2504:
105:
2008:
494:
65:
1686:{\displaystyle \varepsilon ^{T}{\tilde {\Lambda }}\varepsilon =\varepsilon ^{T}\left(\Lambda +\Lambda ^{T}\right)\varepsilon /2}
2537:
43:
609:
2207:
1895:
72:
220:
2559:
54:
2366:
2044:
815:{\displaystyle \operatorname {E} =\operatorname {tr} (\Lambda \operatorname {E} (\varepsilon \varepsilon ^{T})).}
2130:
1490:{\displaystyle \operatorname {cov} \left=2\operatorname {tr} \left+4\mu ^{T}\Lambda _{1}\Sigma \Lambda _{2}\mu }
2564:
2081:
589:{\displaystyle \varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon =\operatorname {tr} (\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon )}
1866:
119:
32:
716:
of the components of the matrix, it therefore follows from the linearity of the expectation operator that
600:
450:
1788:
1233:{\displaystyle \operatorname {var} \left=2\operatorname {tr} \left+4\mu ^{T}\Lambda \Sigma \Lambda \mu }
79:
2340:
214:
524:
A book treatment of the topic of quadratic forms in random variables is that of Mathai and
Provost.
2014:
1298:
1271:
1251:
1086:
1066:
500:
432:
257:
125:
713:
2533:
2510:
2500:
2475:
2416:
2346:
2107:
2000:
1768:
1516:
1109:
426:
172:
1588:{\displaystyle \varepsilon ^{T}\Lambda ^{T}\varepsilon =\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon }
476:
404:
1996:
210:
2322:
1843:
456:
384:
166:
2299:
2411:
2289:
2087:
1978:
1872:
1848:
1825:
422:
192:
149:
2442:
2553:
371:{\displaystyle \operatorname {E} \left=\operatorname {tr} \left+\mu ^{T}\Lambda \mu }
1063:
In general, the variance of a quadratic form depends greatly on the distribution of
143:
21:
1245:
2514:
1758:{\displaystyle {\tilde {\Lambda }}=\left(\Lambda +\Lambda ^{T}\right)/2}
2296:
random variable to the expressions given in the first two sections. If
881:{\displaystyle \operatorname {tr} (\Lambda (\Sigma +\mu \mu ^{T})).}
891:
Applying the cyclic property of the trace operator again, we get
1765:, so the mean and variance expressions are the same, provided
15:
825:
A standard property of variances then tells us that this is
453:
of a matrix. This result only depends on the existence of
2532:(2. ed.). Wadsworth: Belmont, Calif. p. 367.
702:{\displaystyle \operatorname {E} =\operatorname {E} .}
2369:
2349:
2325:
2302:
2278:{\displaystyle \lambda =\mu ^{T}(I-H)^{T}(I-H)\mu /2}
2210:
2133:
2110:
2090:
2047:
2017:
1981:
1965:{\displaystyle {\textrm {RSS}}=y^{T}(I-H)^{T}(I-H)y.}
1898:
1875:
1851:
1828:
1791:
1771:
1705:
1607:
1542:
1519:
1501:
In addition, a quadratic form such as this follows a
1331:
1301:
1274:
1254:
1135:
1112:
1089:
1069:
900:
834:
725:
612:
538:
503:
479:
459:
435:
407:
387:
291:
260:
223:
195:
175:
152:
128:
243:{\displaystyle \varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon }
2499:(2nd ed.). Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience.
1822:In the setting where one has a set of observations
46:. Unsourced material may be challenged and removed.
2394:
2355:
2331:
2311:
2277:
2195:
2116:
2096:
2072:
2033:
1987:
1964:
1881:
1857:
1834:
1806:
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1757:
1685:
1587:
1525:
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1287:
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1075:
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880:
814:
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588:
509:
485:
465:
441:
413:
393:
370:
266:
242:
201:
181:
158:
134:
1509:Computing the variance in the non-symmetric case
2495:Rencher, Alvin C.; Schaalje, G. Bruce. (2008).
2104:degrees of freedom and noncentrality parameter
532:Since the quadratic form is a scalar quantity,
2470:Mathai, A. M. & Provost, Serge B. (1992).
1244:In fact, this can be generalized to find the
8:
2402:follows a central chi-squared distribution.
2395:{\displaystyle {\textrm {RSS}}/\sigma ^{2}}
2073:{\displaystyle {\textrm {RSS}}/\sigma ^{2}}
2196:{\displaystyle k=\operatorname {tr} \left}
2386:
2377:
2371:
2370:
2368:
2348:
2324:
2301:
2267:
2243:
2221:
2209:
2167:
2132:
2109:
2089:
2064:
2055:
2049:
2048:
2046:
2022:
2016:
1980:
1935:
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1900:
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1790:
1770:
1747:
1736:
1707:
1706:
1704:
1699:a quadratic form in the symmetric matrix
1675:
1661:
1640:
1619:
1618:
1612:
1606:
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1547:
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1455:
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1418:
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1373:
1357:
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1068:
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194:
174:
151:
127:
106:Learn how and when to remove this message
2530:Matrices with applications in statistics
1248:between two quadratic forms on the same
2433:
2422:Matrix representation of conic sections
2288:may be found by matching the first two
1869:can be written as a quadratic form in
2443:"Quadratic Forms of Random Variables"
7:
1503:generalized chi-squared distribution
599:Next, by the cyclic property of the
44:adding citations to reliable sources
2472:Quadratic Forms in Random Variables
1807:{\displaystyle {\tilde {\Lambda }}}
449:, respectively, and tr denotes the
1795:
1772:
1733:
1726:
1709:
1658:
1651:
1621:
1579:
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1520:
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313:
292:
234:
176:
14:
1975:For procedures where the matrix
55:"Quadratic form" statistics
20:
31:needs additional citations for
2261:
2249:
2240:
2227:
2185:
2173:
2164:
2151:
1953:
1941:
1932:
1919:
1798:
1712:
1624:
1533:can be derived by noting that
1020:
1011:
999:
980:
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763:
760:
741:
732:
712:Since the trace operator is a
693:
690:
671:
662:
650:
647:
628:
619:
583:
564:
1:
1126:is a symmetric matrix. Then,
1059:Variance in the Gaussian case
2034:{\displaystyle \sigma ^{2}I}
1315:{\displaystyle \Lambda _{2}}
1288:{\displaystyle \Lambda _{1}}
1261:{\displaystyle \varepsilon }
1096:{\displaystyle \varepsilon }
1076:{\displaystyle \varepsilon }
510:{\displaystyle \varepsilon }
442:{\displaystyle \varepsilon }
267:{\displaystyle \varepsilon }
135:{\displaystyle \varepsilon }
2497:Linear models in statistics
1818:Examples of quadratic forms
2581:
2474:. CRC Press. p. 424.
427:variance-covariance matrix
2343:, then the noncentrality
1322:must both be symmetric):
2356:{\displaystyle \lambda }
2117:{\displaystyle \lambda }
2082:chi-squared distribution
1778:{\displaystyle \Lambda }
1526:{\displaystyle \Lambda }
1119:{\displaystyle \Lambda }
182:{\displaystyle \Lambda }
2011:with covariance matrix
1867:residual sum of squares
486:{\displaystyle \Sigma }
414:{\displaystyle \Sigma }
120:multivariate statistics
2528:Graybill, Franklin A.
2396:
2357:
2333:
2313:
2294:noncentral chi-squared
2279:
2197:
2118:
2098:
2074:
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1966:
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1836:
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1779:
1759:
1687:
1589:
1527:
1491:
1316:
1289:
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1234:
1120:
1097:
1077:
1049:
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816:
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2314:
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1760:
1688:
1590:
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1513:The case for general
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1078:
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512:
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468:
444:
416:
396:
373:
282:It can be shown that
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137:
2367:
2347:
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2300:
2208:
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1517:
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1067:
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40:improve this article
2560:Statistical theory
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1755:
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714:linear combination
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1858:{\displaystyle H}
1835:{\displaystyle y}
1801:
1715:
1627:
493:; in particular,
202:{\displaystyle n}
159:{\displaystyle n}
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115:
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2456:
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2441:Bates, Douglas.
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2401:
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2398:
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