2535:
2049:
5407:
5056:
1104:
2530:{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{0}f_{\psi }=5x_{0}^{4}-5\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\\partial _{1}f_{\psi }=5x_{1}^{4}-5\psi x_{0}x_{2}x_{3}x_{4}\\\partial _{2}f_{\psi }=5x_{2}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{3}x_{4}\\\partial _{3}f_{\psi }=5x_{3}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{4}\\\partial _{4}f_{\psi }=5x_{4}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}\\\end{aligned}}}
1681:
2904:
912:
5402:{\displaystyle {\begin{aligned}c_{6}({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))&=25\sigma _{1,1}(4\sigma _{1}^{2}+9\sigma _{1,1})(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=(100\sigma _{2,2}+225\sigma _{2,2})(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=325\sigma _{2,2}(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\end{aligned}}}
1475:
4599:
2665:
1993:
4778:
5051:
5551:) conjectured that the number of rational curves of a given degree on a generic quintic threefold is finite. (Some smooth but non-generic quintic threefolds have infinite families of lines on them.) This was verified for degrees up to 7 by
1099:{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{X}^{3}&=\omega _{X}\\&=\omega _{\mathbb {P} ^{4}}\otimes {\mathcal {O}}(d)\\&\cong {\mathcal {O}}(-(4+1))\otimes {\mathcal {O}}(d)\\&\cong {\mathcal {O}}(d-5)\end{aligned}}}
4940:
4285:
1323:
4474:
637:
1450:
5477:
4483:
720:
3683:
4387:
3105:
3039:
2623:
4213:
1180:
4092:
469:
5061:
4488:
2670:
2054:
1480:
917:
1822:
3385:
5534:
4148:
4670:
5597:
Since the generic quintic threefold is a Calabi–Yau threefold and the moduli space of rational curves of a given degree is a discrete, finite set (hence compact), these have well-defined
4949:
4823:
4330:
2660:
1676:{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{0}f=5x_{0}^{4}\\\partial _{1}f=5x_{1}^{4}\\\partial _{2}f=5x_{2}^{4}\\\partial _{3}f=5x_{3}^{4}\\\partial _{4}f=5x_{4}^{4}\\\end{aligned}}}
3439:
4665:
2899:{\displaystyle {\begin{aligned}5x_{0}^{4}&=5\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\x_{0}^{4}&=\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\x_{0}^{5}&=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\end{aligned}}}
3955:
753:
3984:
1789:
1710:
857:
327:
294:
261:
50:
899:
3231:
3171:
4828:
3198:
2044:
3709:
3138:
3918:
3843:
4011:
3785:
3588:
3251:
2951:
2013:
498:
4619:
3883:
3863:
3805:
3754:
2924:
1470:
1124:
877:
785:
518:
232:
3561:
3327:
1760:
1185:
4392:
5841:
Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (1991), "A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory",
523:
5969:
1345:
5590:
4218:
5575:(the fact that the virtual number equals the actual number relies on confirmation of Clemens' conjecture, currently known for degree at most 11
3044:
5950:
5798:
1133:
4023:
332:
202:
said "One number which every algebraic geometer knows is the number 2,875 because obviously, that is the number of lines on a quintic."
5787:
Gross, Mark; Huybrechts, Daniel; Joyce, Dominic (2003). Ellingsrud, Geir; Olson, Loren; Ranestad, Kristian; Stromme, Stein A. (eds.).
5412:
3332:
662:
3593:
4335:
1803:
where this difficult problem can be solved in this case. In fact, all of the lines on this hypersurface can be found explicitly.
5617:
1816:
5598:
2956:
2540:
4153:
5942:
4594:{\displaystyle {\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+(\alpha +\beta )+\alpha \beta \end{aligned}}}
3725:
6075:
5622:
790:
5482:
4389:. Then, in order to calculate the number of lines on a generic quintic threefold, it suffices to compute the integral
4100:
6085:
5885:
1339:
1106:
hence in order for the variety to be Calabi-Yau, meaning it has a trivial canonical bundle, its degree must be
3720:
211:
53:
5601:(the "virtual number of points"); at least for degree 1 and 2, these agree with the actual number of points.
5571:) conjectured a general formula for the virtual number of rational curves of any degree, which was proved by
4783:
4290:
2628:
5790:
Calabi-Yau
Manifolds and Related Geometries: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, June 2001
3390:
1988:{\displaystyle f_{\psi }=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}
1815:. One popular study of such a family is from Candelas, De La Ossa, Green, and Parkes, when they discovered
329:, or as a smooth variety resolving the singularities of another variety. As a set, a Calabi-Yau manifold is
6008:
4624:
297:
3923:
725:
4773:{\displaystyle {\text{Sym}}^{5}(V)=\bigoplus _{i=0}^{5}(V_{1}^{\otimes 5-i}\otimes V_{2}^{\otimes i})}
3960:
3444:
3256:
1765:
1686:
303:
270:
237:
26:
6047:
5850:
5753:
5610:
5046:{\displaystyle 5\alpha (4\alpha +\beta )(3\alpha +2\beta )(2\alpha +3\beta )(\alpha +4\beta )5\beta }
4477:
5700:
882:
6037:
5676:
5633:
3203:
3143:
902:
760:
644:
5579:). The number of rational curves of various degrees on a generic quintic threefold is given by
3176:
2022:
5946:
5794:
5769:
5722:
5664:
5643:
3757:
1799:
Another application of the quintic threefold is in the study of the infinitesimal generalized
764:
756:
199:
3688:
3110:
6080:
5978:
5909:
5858:
5829:
5761:
5712:
5564:
3888:
3813:
1800:
906:
21:
6059:
6021:
5992:
5960:
5921:
5893:
5870:
3989:
3763:
3566:
3236:
2929:
1998:
1811:
Another popular class of examples of quintic three-folds, studied in many contexts, is the
6055:
6017:
5988:
5956:
5917:
5889:
5877:
5866:
5701:"Lines on the Fermat quintic threefold and the infinitesimal generalized Hodge conjecture"
5638:
5560:
5544:
474:
643:. Proving that such a polynomial defines a Calabi-Yau requires some more tools, like the
6051:
6029:
5854:
5757:
5936:
5627:
4604:
4013:
3868:
3848:
3790:
3739:
2909:
1455:
1127:
1109:
862:
770:
503:
217:
5741:
5717:
1715:
6069:
5900:
Cotterill, Ethan (2012), "Rational curves of degree 11 on a general quintic 3-fold",
5862:
5765:
2016:
648:
640:
60:
6003:
5740:
Candelas, Philip; De La Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (1991-07-29).
5999:
5932:
5928:
5552:
4935:{\displaystyle c({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))=\prod _{i=0}^{5}(1+(5-i)\alpha +i\beta )}
3808:
1812:
264:
5788:
4943:
4017:
3173:. But in the first case, these give a smooth sublocus since the varying term in
2537:
At a point where the partial derivatives are all zero, this gives the relation
520:
homogeneous polynomial. One of the most studied examples is from the polynomial
5983:
5668:
1338:
One of the easiest examples to check of a Calabi-Yau manifold is given by the
5773:
5726:
5742:"A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory"
4095:
5913:
4280:{\displaystyle {\tilde {l}}\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(1))}
1683:
Since the only points where they vanish is given by the coordinate axes in
5669:"The Unreasonable Effectiveness of Quantum Physics in Modern Mathematics"
1318:{\displaystyle \{x=|f(x)=\partial _{0}f(x)=\cdots =\partial _{4}f(x)=0\}}
5882:
Topics in transcendental algebraic geometry (Princeton, N.J., 1981/1982)
4469:{\displaystyle \int _{\mathbb {G} (1,4)}c({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))=2875}
5967:
Givental, Alexander B. (1996), "Equivariant Gromov-Witten invariants",
5941:, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 68, Providence, R.I.:
5646:- techniques for determining the number of lines on a quintic threefold
5793:. Universitext. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. pp. 123–125.
5559:) who also calculated the number 609250 of degree 2 rational curves.
632:{\displaystyle p(x)=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}
6042:
1445:{\displaystyle f=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}
1126:. It is then a Calabi-Yau manifold if in addition this variety is
5472:{\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2,2}}
1130:. This can be checked by looking at the zeros of the polynomials
715:{\displaystyle f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(d))}
5053:
expanding this out in terms of the original chern classes gives
4215:
of the bundle corresponds to a linear homogeneous polynomial,
4016:
to a vector bundle on this projective
Grassmannian. Its total
2046:
and evaluating their zeros. The partial derivates are given by
20:
is a 3-dimensional hypersurface of degree 5 in 4-dimensional
5568:
3678:{\displaystyle (\mu _{5}^{i})^{5}=(\mu _{5}^{5})^{i}=1^{i}=1}
6004:"On the finiteness of rational curves on quintic threefolds"
4362:
4260:
1072:
1046:
1012:
986:
731:
695:
5585:
4382:{\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(5))}
1342:, which is defined by the vanishing locus of the polynomial
2019:. This can be found by computing the partial derivates of
3100:{\displaystyle \prod x_{i}^{5}=\psi ^{5}\prod x_{i}^{5}}
3034:{\displaystyle x_{i}^{5}=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}
2618:{\displaystyle x_{i}^{5}=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}
3957:
gives the projective grassmannian of degree 1 lines in
6030:"Rational curves on hypersurfaces (after A. Givental)"
5630:- gives an explicit basis for the Hodge-decomposition
5485:
5415:
5059:
4952:
4831:
4786:
4673:
4627:
4607:
4486:
4395:
4338:
4293:
4221:
4208:{\displaystyle l\in \Gamma (\mathbb {G} (1,4),T^{*})}
4156:
4103:
4026:
3992:
3963:
3926:
3891:
3871:
3851:
3816:
3793:
3766:
3742:
3691:
3596:
3569:
3447:
3393:
3335:
3259:
3239:
3206:
3179:
3146:
3113:
3047:
2959:
2932:
2912:
2668:
2631:
2543:
2052:
2025:
2001:
1825:
1768:
1718:
1689:
1478:
1458:
1348:
1188:
1175:{\displaystyle \partial _{0}f,\ldots ,\partial _{4}f}
1136:
1112:
915:
885:
865:
793:
773:
728:
665:
526:
506:
477:
335:
306:
273:
240:
220:
29:
5583:
2875, 609250, 317206375, 242467530000, ...(sequence
4087:{\displaystyle c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}}
464:{\displaystyle X=\{x=\in \mathbb {CP} ^{4}:p(x)=0\}}
5880:(1984), "Some results about Abel-Jacobi mappings",
5528:
5471:
5401:
5045:
4934:
4817:
4772:
4659:
4613:
4593:
4468:
4381:
4332:corresponds to a quintic polynomial, a section of
4324:
4279:
4207:
4142:
4086:
4005:
3978:
3949:
3912:
3877:
3857:
3837:
3799:
3779:
3748:
3736:Computing the number of rational curves of degree
3703:
3677:
3582:
3555:
3433:
3379:
3321:
3245:
3225:
3192:
3165:
3132:
3099:
3033:
2945:
2918:
2898:
2654:
2617:
2529:
2038:
2007:
1987:
1783:
1754:
1704:
1675:
1464:
1444:
1317:
1174:
1118:
1098:
893:
871:
851:
779:
747:
714:
631:
512:
492:
463:
321:
288:
255:
226:
44:
5705:Transactions of the American Mathematical Society
3380:{\displaystyle \mu _{5}^{\sum a_{i}}=\psi ^{-1}}
5529:{\displaystyle \sigma _{1,1}^{2}=\sigma _{2,2}}
4143:{\displaystyle A^{\bullet }(\mathbb {G} (1,4))}
2953:. From multiplying these families of equations
5567:, and Paul S. Green et al. (
8:
1312:
1189:
458:
342:
5970:International Mathematics Research Notices
3253:, the singular points are then of the form
3200:vanishes, so a singular point must lie in
2015:is a single parameter not equal to a 5-th
210:A quintic threefold is a special class of
6041:
5982:
5716:
5576:
5514:
5501:
5490:
5484:
5457:
5444:
5439:
5420:
5414:
5380:
5367:
5362:
5340:
5308:
5295:
5290:
5265:
5243:
5208:
5195:
5190:
5165:
5149:
5144:
5122:
5096:
5083:
5078:
5068:
5060:
5058:
4951:
4887:
4876:
4857:
4844:
4839:
4830:
4806:
4793:
4788:
4785:
4758:
4753:
4731:
4726:
4713:
4702:
4680:
4675:
4672:
4651:
4638:
4626:
4606:
4501:
4487:
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4448:
4435:
4430:
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4351:
4347:
4346:
4337:
4313:
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4292:
4259:
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4249:
4245:
4244:
4223:
4222:
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4170:
4169:
4155:
4118:
4117:
4108:
4102:
4072:
4059:
4037:
4025:
3997:
3991:
3970:
3966:
3965:
3962:
3928:
3927:
3925:
3890:
3870:
3850:
3815:
3792:
3771:
3765:
3741:
3690:
3663:
3650:
3640:
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3398:
3392:
3368:
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3340:
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3308:
3303:
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3211:
3205:
3184:
3178:
3151:
3145:
3118:
3112:
3107:showing a solution is either given by an
3091:
3086:
3073:
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2757:
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2738:
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32:
31:
28:
5572:
5699:Albano, Alberto; Katz, Sheldon (1991).
5656:
5548:
4818:{\displaystyle {\text{Sym}}^{5}(T^{*})}
4325:{\displaystyle {\text{Sym}}^{5}(T^{*})}
5938:Mirror symmetry and algebraic geometry
5884:, Ann. of Math. Stud., vol. 106,
5816:Enumerative Geometry and String Theory
2655:{\displaystyle \partial _{0}f_{\psi }}
52:. Non-singular quintic threefolds are
3434:{\displaystyle \mu _{5}=e^{2\pi i/5}}
1712:, the vanishing locus is empty since
1452:Computing the partial derivatives of
659:Recall that a homogeneous polynomial
7:
5902:The Quarterly Journal of Mathematics
5556:
63:of a non-singular quintic 3-fold is
4660:{\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}}
1807:Dwork family of quintic three-folds
263:. Many examples are constructed as
4339:
4237:
4163:
3590:and its partial derivatives since
2633:
2434:
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14:
5718:10.1090/S0002-9947-1991-1024767-6
3950:{\displaystyle \mathbb {G} (1,4)}
3756:can be computed explicitly using
748:{\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}
3979:{\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}
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1705:{\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}
852:{\displaystyle {\frac {k}{(f)}}}
322:{\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}
289:{\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}
256:{\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}
45:{\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}
5679:from the original on 2021-12-21
5618:Mirror symmetry (string theory)
5831:"Computing Some Hodge Numbers"
5392:
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4476:This can be done by using the
4457:
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1819:. This is given by the family
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416:
351:
1:
6028:Pandharipande, Rahul (1998),
5943:American Mathematical Society
3885:vector space. Projectivizing
3732:Curves on a quintic threefold
3041:together we have the relation
2926:and multiplying each side by
1795:As a Hodge Conjecture testbed
5863:10.1016/0550-3213(91)90292-6
5766:10.1016/0550-3213(91)90292-6
4780:so the total chern class of
894:{\displaystyle \mathbb {C} }
5599:Donaldson–Thomas invariants
3226:{\displaystyle \psi ^{5}=1}
3166:{\displaystyle \psi ^{5}=1}
6102:
6036:, 1997/98 (252): 307–340,
5886:Princeton University Press
1472:gives the four polynomials
755:is the Serre-twist of the
5984:10.1155/S1073792896000414
5689:see 29 minutes 57 seconds
3193:{\displaystyle f_{\psi }}
2039:{\displaystyle f_{\psi }}
649:conditions for smoothness
3726:Consani–Scholten quintic
3441:. For example, the point
1340:Fermat quintic threefold
5623:Gromov–Witten invariant
4825:is given by the product
3704:{\displaystyle \psi =1}
3133:{\displaystyle x_{i}=0}
1182:and making sure the set
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258:
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47:
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5888:, pp. 289–304,
5611:Enumerative geometry
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5413:
5409:using the relations
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214:defined by a degree
212:Calabi–Yau manifolds
54:Calabi–Yau manifolds
27:
6076:Algebraic varieties
6052:1998math......6133P
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4379:
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4287:, so a section of
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2896:
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2652:
2625:. For example, in
2615:
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2459:
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1752:
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903:adjunction formula
901:. Then, using the
891:
869:
849:
787:, from the algebra
777:
761:projective variety
745:
712:
655:Hypersurfaces in P
645:Adjunction formula
629:
614:
596:
578:
560:
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510:
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461:
319:
286:
253:
224:
42:
16:In mathematics, a
6086:Complex manifolds
5952:978-0-8218-1059-0
5843:Nuclear Physics B
5800:978-3-540-44059-8
5746:Nuclear Physics B
5667:(29 March 2015).
5665:Robbert Dijkgraaf
5644:Schubert calculus
5081:
4842:
4791:
4678:
4614:{\displaystyle 2}
4433:
4298:
4231:
4150:. Now, a section
3878:{\displaystyle 5}
3858:{\displaystyle 2}
3800:{\displaystyle 2}
3758:Schubert calculus
3749:{\displaystyle 1}
2919:{\displaystyle 5}
1465:{\displaystyle f}
1119:{\displaystyle 5}
872:{\displaystyle k}
847:
780:{\displaystyle X}
765:projective scheme
641:Fermat polynomial
513:{\displaystyle 5}
227:{\displaystyle 5}
200:Robbert Dijkgraaf
196:
195:
18:quintic threefold
6093:
6062:
6045:
6024:
5995:
5986:
5963:
5924:
5896:
5878:Clemens, Herbert
5873:
5837:
5836:
5820:
5819:
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5805:
5804:
5784:
5778:
5777:
5737:
5731:
5730:
5720:
5696:
5690:
5688:
5686:
5684:
5661:
5588:
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