123:
3543:
1407:
1588:
4450:
3285:
1763:
6000:
1235:
385:
174:
planes, each perpendicular to the optical axis of the system. At any point along the optical train an optical axis is defined corresponding to a central ray; that central ray is propagated to define the optical axis further in the optical train which need not be in the same physical direction (such
1418:
7579:
5843:
of the waveguide (and equivalently, the resonator). That is, it can be determined under what conditions light traveling down the waveguide will be periodically refocused and stay within the waveguide. To do so, we can find all the "eigenrays" of the system: the input ray vector at each of the
655:
7954:
5832:
520:
1616:
6773:
5851:
1128:
1005:
4253:
3538:{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {n_{2}-n_{1}}{R_{2}n_{1}}}&{\frac {n_{2}}{n_{1}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {n_{1}-n_{2}}{R_{1}n_{2}}}&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{pmatrix}}}
2905:
6587:
8672:
2005:
8367:
8907:
1894:
1592:
Thus the matrices must be ordered appropriately, with the last matrix premultiplying the second last, and so on until the first matrix is premultiplied by the second. Other matrices can be constructed to represent interfaces with media of different
4711:
251:
7017:
7346:
6303:
8082:
1213:
8793:
3669:
525:
7831:
5482:
5054:
2758:
7723:
1402:{\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\-{\frac {1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}.}
3078:
8490:
5673:
5246:
3258:
893:
4784:
3813:
5735:
390:
6096:
6368:
1583:{\displaystyle \mathbf {SL} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {d}{f}}&d\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}.}
6665:
1010:
902:
3962:
2323:
8261:
1223:
of the lens. To describe combinations of optical components, ray transfer matrices may be multiplied together to obtain an overall RTM for the compound optical system. For the example of free space of length
2123:
766:
4570:
4247:
4087:
2999:
2671:
2472:
6498:
8571:
1613:. According to the eigenvalues of the optical system, the system can be classified into several classes. Assume the ABCD matrix representing a system relates the output ray to the input according to
6654:
1899:
8277:
4445:{\displaystyle {\mathcal {R}}\left\{U\left(x_{1}\right)\right\}={\frac {1}{\sqrt {i\lambda d}}}\int _{-\infty }^{\infty }U\left(x_{1}\right)e^{i{\frac {k}{2d}}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}}dx_{1}}
8797:
8163:
7976:
1792:
1015:
4159:
2523:
50:
to calculate the outgoing ray. Multiplication of the successive matrices thus yields a concise ray transfer matrix describing the entire optical system. The same mathematics is also used in
7213:
770:
As a result, if the input and output planes are located within the same medium, or within two different media which happen to have identical indices of refraction, then the determinant of
6493:
2792:
2419:
2370:
6902:
6859:
6431:
1758:{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {T} \mathbf {v} .}
3722:
5995:{\displaystyle \mathbf {M} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}.}
4026:
32:
calculations in sufficiently simple problems which can be solved considering only paraxial rays. Each optical element (surface, interface, mirror, or beam travel) is described by a
7278:
3170:
2054:
7824:
6232:
3121:
8552:
7971:
6863:
one of them has to be bigger than 1 (in absolute value), which implies that the ray which corresponds to this eigenvector would not converge. Therefore, in a stable waveguide,
1144:
8677:
6159:
4576:
6224:
2589:
7619:
7172:
7145:
2556:
2180:
2153:
1787:
6895:
4824:
3003:
Valid for flat mirrors oriented at any angle to the incoming beam. Both the ray and the optic axis are reflected equally, so there is no net change in slope or position.
7064:
6813:
7645:
106:
the case for all rays must still focus the paraxial rays correctly, this matrix method will properly describe the positions of focal planes and magnifications, however
2260:
8372:
2234:
7333:
7305:
7118:
7091:
4506:
4478:
4187:
834:
2204:
380:{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}},}
3602:
6009:
6308:
7574:{\displaystyle \mathbf {M} ^{N}(c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-})=\lambda _{+}^{N}c_{+}r_{+}+\lambda _{-}^{N}c_{-}r_{-}=e^{iN\phi }c_{+}r_{+}+e^{-iN\phi }c_{-}r_{-},}
5252:
4832:
2689:
8170:
3013:
692:
5488:
5061:
3200:
4728:
3758:
187:
direction) are then defined to be orthogonal to the optical axes applying. A light ray enters a component crossing its input plane at a distance
650:{\displaystyle C=\left.{\frac {\theta _{2}}{x_{1}}}\right|_{\theta _{1}=0}\qquad D=\left.{\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}\right|_{x_{1}=0}.}
9293:"New ducting model for analyzing the Gaussian beam propagation in nonlinear Kerr media and its application to spatial self-phase modulations"
7949:{\displaystyle {\begin{bmatrix}q_{2}\\1\end{bmatrix}}=k{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{1}\\1\end{bmatrix}},}
6600:
9368:
8089:
3904:
2265:
899:
is the separation distance (measured along the optical axis) between the two reference planes. The ray transfer equation thus becomes:
2059:
4519:
9231:
4199:
4039:
2951:
2623:
2424:
6444:
5827:{\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{pmatrix}}.}
515:{\displaystyle A=\left.{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|_{\theta _{1}=0}\qquad B=\left.{\frac {x_{2}}{\theta _{1}}}\right|_{x_{1}=0},}
6381:
8984:
8979:
3872:
1610:
6768:{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{N}\\\theta _{N}\end{bmatrix}}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}.}
1123:{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=x_{1}+d\theta _{1}\\\theta _{2}&={\hphantom {x_{1}+d}}\theta _{1}\end{aligned}}}
1000:{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {S} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}},}
9250:
Nazarathy, Moshe; Shamir, Joseph (1 March 1982). "First-order optics—a canonical operator representation: lossless systems".
7593:
propagating through optical components described by the same transmission matrices. If we have a
Gaussian beam of wavelength
7220:
7765:
9400:
2592:
5687:, such as those used in lasers. At its simplest, an optical resonator consists of two identical facing mirrors of 100%
102:) is small compared to the length of the optical system (thus "paraxial"). Since a decent imaging system where this is
9395:
4093:
2900:{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {n_{1}-n_{2}}{R\cdot n_{2}}}&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{pmatrix}}}
2479:
7178:
6582:{\displaystyle g{\overset {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {\operatorname {tr} (\mathbf {M} )}{2}}=1-{\frac {d}{2f}}}
6174:
2375:
8667:{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix}}.}
6227:
2329:
6821:
2000:{\displaystyle {\begin{vmatrix}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{vmatrix}}=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0.}
818:, particularly various so-called ABCD matrices which can similarly be multiplied to solve for cascaded systems.
3675:
2525:. This case occurs if but not only if the system is either a unity operator, a section of free space, or a lens
126:
In ray transfer (ABCD) matrix analysis, an optical element (here, a thick lens) gives a transformation between
8362:{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}.}
7828:
This beam can be propagated through an optical system with a given ray transfer matrix by using the equation:
3968:
9020:
8902:{\displaystyle {\frac {1}{q_{2}}}={\frac {-{\frac {q_{1}}{f}}+1}{q_{1}}}={\frac {1}{q_{1}}}-{\frac {1}{f}}.}
1889:{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{bmatrix}}\mathbf {v} =0,}
5702:. For the purposes of ray tracing, this is equivalent to a series of identical thin lenses of focal length
7636:
6371:
3128:
2012:
67:
3084:
8496:
7965:
4706:{\displaystyle {\mathcal {F}}=\left(i\lambda _{0}\right)^{-1/2}\int _{-\infty }^{\infty }dx\left\ldots }
111:
29:
9292:
807:. This alters the ABCD matrices given in the table below where refraction at an interface is involved.
9108:
9304:
9194:
9161:
55:
38:
6101:
831:
As one example, if there is free space between the two planes, the ray transfer matrix is given by:
248:
The ABCD matrix representing a component or system relates the output ray to the input according to
7012:{\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2}}}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi },}
2561:
242:
71:, which requires that all ray directions (directions normal to the wavefronts) are at small angles
51:
7597:
7150:
7123:
2531:
2158:
2131:
1770:
9324:
6867:
6594:
4789:
3876:
107:
9147:"Classification of lossless first-order optical systems and the linear canonical transformation"
7036:
6785:
677:, which represents the optical component or system present between the two reference planes. A
122:
9227:
9177:
9146:
5684:
9220:
7174:
respectively, which span all the vector space because they are orthogonal, the latter due to
6777:
If the waveguide is stable, no ray should stray arbitrarily far from the main axis, that is,
2239:
205:
with the optical axis. After propagation to the output plane that ray is found at a distance
9312:
9259:
9169:
8967:
8963:
6298:{\displaystyle \lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\det(\mathbf {M} )=0,}
2209:
1594:
815:
8077:{\displaystyle {\begin{aligned}q_{2}&=k(Aq_{1}+B)\\1&=k(Cq_{1}+D)\,.\end{aligned}}}
7960:
is a normalization constant chosen to keep the second component of the ray vector equal to
7311:
7283:
7096:
7069:
4484:
4456:
4165:
9102:
6165:
1208:{\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}},}
59:
8788:{\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}}{-{\frac {q_{1}}{f}}+1}}}
4786:
into a concatenation of multiple transfer matrices. For example in the special case when
3744:= refractive index of the prism material. This matrix applies for orthogonal beam exit.
3664:{\displaystyle {\begin{pmatrix}k&{\frac {d}{nk}}\\0&{\frac {1}{k}}\end{pmatrix}}}
9316:
9308:
9198:
9165:
7753:
2189:
678:
9003:
Extension of matrix methods to tracing (non-paraxial) meridional rays is described by
9389:
9373:
8924:
7590:
3725:
9206:
5688:
5477:{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left\left\left\left}
5049:{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left\left\left\left}
2753:{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{pmatrix}}}
1220:
76:
47:
43:
8492:
consistent with the expression above for ordinary
Gaussian beam propagation, i.e.
7718:{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw^{2}}}.}
8086:
Dividing the first equation by the second eliminates the normalization constant:
8962:
propagation matrices are used in the design and analysis of prism sequences for
6434:
6119:
5153:
4924:
3073:{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {2}{R_{e}}}&1\end{pmatrix}}}
2421:. This case represents unity matrix (or with an additional coordinate reverter)
1412:
804:
686:
9379:
8485:{\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}+d}{1}}=q_{1}+d}
5344:
3274:
Only valid if the focal length is much greater than the thickness of the lens.
6003:
5668:{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left\left\left}
5626:
5580:
5536:
5435:
5396:
5300:
5241:{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left\left\left}
5199:
5109:
5007:
4968:
4880:
6593:. The eigenvalues are the solutions of the characteristic equation. From the
779:
A different convention for the ray vectors can be employed. Instead of using
9173:
5724:
5692:
3253:{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{pmatrix}}}
1138:
888:{\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}},}
682:
9263:
9181:
5683:
RTM analysis is particularly useful when modeling the behavior of light in
4779:{\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}
3860:
is the total optical propagation distance of the multiple prism expander.
3808:{\displaystyle {\begin{pmatrix}M&B\\0&{\frac {1}{M}}\end{pmatrix}}}
3123:
effective radius of curvature in tangential plane (horizontal direction)
9353:
Saleh, Bahaa E. A.; Teich, Malvin Carl (1991). "1.4: Matrix
Operations".
8167:
It is often convenient to express this last equation in reciprocal form:
6091:{\displaystyle \left{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=0,}
3172:
effective radius of curvature in the sagittal plane (vertical direction)
166:
The ray tracing technique is based on two reference planes, called the
9272:
9085:
6363:{\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{\frac {d}{f}}}
2618:
Propagation in free space or in a medium of constant refractive index
1415:, this is not the same RTM as that for a lens followed by free space:
1598:
196:
from the optical axis, traveling in a direction that makes an angle
5844:
mentioned sections of the waveguide times a real or complex factor
3957:{\displaystyle {\begin{pmatrix}b^{-1}&0\\0&b\end{pmatrix}}}
2318:{\displaystyle {\begin{bmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{bmatrix}}}
8946:
Methods using transfer matrices of higher dimensionality, that is
8256:{\displaystyle {\frac {1}{q_{2}}}={\frac {C+D/q_{1}}{A+B/q_{1}}}.}
7627:(positive for diverging, negative for converging), beam spot size
7589:
The same matrices can also be used to calculate the evolution of
9283:
8564:
Consider a beam traveling through a thin lens with focal length
6171:
We proceed to calculate the eigenvalues of the transfer matrix:
2118:{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}=m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}}
761:{\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC={\frac {n_{1}}{n_{2}}}.}
4565:{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}
94:
further implies that the transverse extent of the ray bundles (
9291:
Rashidian Vaziri, M. R.; Hajiesmaeilbaigi, F.; Maleki (2013).
4242:{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix}}}
4082:{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\c&1\end{pmatrix}}}
2994:{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}
2666:{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix}}}
2467:{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}
175:
as when bent by a prism or mirror). The transverse directions
4725:
There exist infinite ways to decompose a ray transfer matrix
9376:
Provides an example for a system matrix of an entire system.
9282:. Education in Optics, 1991. Leningrad, Russian Federation:
4582:
4259:
3974:
387:
where the values of the 4 matrix elements are thus given by
6899:
and the eigenvalues can be represented by complex numbers:
2603:
595:
537:
460:
402:
8556:
As the beam propagates, both the radius and waist change.
3189:
is the mirror angle of incidence in the horizontal plane.
810:
The use of transfer matrices in this manner parallels the
245:
of the media in the input and output plane, respectively.
3566:= refractive index of the lens itself (inside the lens).
2528:
A pair of two unimodular, complex conjugated eigenvalues
65:
This technique, as described below, is derived using the
54:
to track particles through the magnet installations of a
9273:"Modernizing the Teaching of Advanced Geometric Optics"
9145:
Bastiaans, Martin J.; Alieva, Tatiana (14 March 2007).
7739:
are functions of position.) If the beam axis is in the
6649:{\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1}}.}
3867:
Relation between geometrical ray optics and wave optics
1411:
Note that, since the multiplication of matrices is non-
9382:
An interactive calculator to help solve ABCD matrices.
9086:
Rashidian Vaziri, Hajiesmaeilbaigi & Maleki (2013)
8619:
8580:
8325:
8286:
7915:
7879:
7840:
6727:
6674:
6104:
6044:
5954:
5908:
5865:
5765:
5497:
5261:
5070:
4841:
4745:
4528:
4208:
4048:
3913:
3767:
3611:
3435:
3399:
3294:
3209:
3022:
2960:
2801:
2698:
2632:
2433:
2274:
1908:
1829:
1704:
1668:
1625:
1523:
1474:
1438:
1342:
1303:
1257:
1161:
959:
911:
851:
339:
303:
260:
8800:
8680:
8574:
8499:
8375:
8280:
8173:
8092:
7974:
7834:
7768:
7648:
7600:
7349:
7314:
7286:
7223:
7181:
7153:
7126:
7099:
7072:
7039:
6905:
6870:
6824:
6788:
6668:
6603:
6501:
6447:
6384:
6311:
6235:
6177:
6012:
5854:
5738:
5491:
5255:
5064:
4835:
4792:
4731:
4579:
4522:
4487:
4459:
4256:
4202:
4168:
4096:
4042:
3971:
3907:
3761:
3678:
3605:
3288:
3203:
3131:
3087:
3016:
2954:
2795:
2692:
2626:
2564:
2534:
2482:
2427:
2378:
2332:
2268:
2242:
2212:
2192:
2161:
2134:
2062:
2015:
1902:
1795:
1773:
1619:
1421:
1238:
1147:
1013:
905:
837:
695:
528:
393:
254:
9331:. Mill Valley, California: University Science Books.
8958:, are also used in optical analysis. In particular,
7120:
be the eigenvectors with respect to the eigenvalues
1007:
and this relates the parameters of the two rays as:
689:
of a RTM is the ratio of the indices of refraction:
8158:{\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}},}
9219:
8901:
8787:
8666:
8546:
8484:
8361:
8255:
8157:
8076:
7948:
7818:
7717:
7613:
7573:
7327:
7299:
7272:
7207:
7166:
7139:
7112:
7085:
7058:
7011:
6889:
6853:
6807:
6767:
6648:
6581:
6487:
6425:
6362:
6297:
6218:
6153:
6090:
5994:
5826:
5667:
5476:
5240:
5048:
4818:
4778:
4705:
4564:
4500:
4472:
4444:
4241:
4181:
4153:
4081:
4020:
3956:
3875:implies the relation between ray transfer matrix (
3807:
3716:
3663:
3537:
3252:
3164:
3115:
3072:
2993:
2899:
2752:
2665:
2583:
2550:
2517:
2466:
2413:
2364:
2317:
2254:
2228:
2198:
2174:
2147:
2117:
2048:
1999:
1888:
1781:
1757:
1582:
1401:
1207:
1122:
999:
887:
760:
649:
514:
379:
2182:, there are several possible cases. For example:
6385:
6272:
6178:
4154:{\displaystyle Q=\exp i{\frac {k_{0}}{2}}cx^{2}}
3184:for concave, valid in the paraxial approximation
2919:for convex (center of curvature after interface)
696:
9073:
9032:
8274:through free space, the ray transfer matrix is
5732:of each section of the waveguide is, as above,
2518:{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}=\pm 1}
8938:remains unchanged upon exiting the thin lens.
7217:The input vector can therefore be written as
7208:{\displaystyle \lambda _{+}\neq \lambda _{-}}
799:, which is proportional not to the ray angle
8:
9016:
6488:{\displaystyle \lambda ^{2}-2g\lambda +1=0,}
2414:{\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=-1}
9191:Matrix Methods in Optical Instrument Design
9154:Journal of the Optical Society of America A
2365:{\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=1}
1609:A ray transfer matrix can be regarded as a
79:of the system, such that the approximation
6854:{\displaystyle \lambda _{+}\lambda _{-}=1}
6441:. After one common substitution we have:
6426:{\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC=1}
5839:analysis can now be used to determine the
3881:
789:, the second element of the ray vector is
9252:Journal of the Optical Society of America
8886:
8875:
8866:
8855:
8833:
8827:
8821:
8810:
8801:
8799:
8765:
8759:
8749:
8743:
8725:
8704:
8694:
8685:
8679:
8640:
8614:
8575:
8573:
8538:
8519:
8498:
8470:
8445:
8438:
8420:
8399:
8389:
8380:
8374:
8320:
8281:
8279:
8241:
8232:
8215:
8206:
8194:
8183:
8174:
8172:
8137:
8116:
8106:
8097:
8091:
8066:
8051:
8009:
7983:
7975:
7973:
7922:
7910:
7874:
7847:
7835:
7833:
7807:
7788:
7767:
7703:
7685:
7675:
7662:
7649:
7647:
7605:
7599:
7562:
7552:
7533:
7520:
7510:
7494:
7481:
7471:
7461:
7456:
7443:
7433:
7423:
7418:
7402:
7392:
7379:
7369:
7356:
7351:
7348:
7319:
7313:
7291:
7285:
7261:
7251:
7238:
7228:
7222:
7199:
7186:
7180:
7158:
7152:
7131:
7125:
7104:
7098:
7077:
7071:
7044:
7038:
6994:
6940:
6928:
6910:
6904:
6875:
6869:
6839:
6829:
6823:
6793:
6787:
6748:
6734:
6722:
6716:
6695:
6681:
6669:
6667:
6629:
6623:
6608:
6602:
6564:
6541:
6529:
6516:
6513:
6508:
6505:
6500:
6452:
6446:
6391:
6383:
6350:
6321:
6310:
6278:
6258:
6240:
6234:
6197:
6186:
6176:
6117:
6105:
6103:
6065:
6051:
6039:
6029:
6018:
6011:
5975:
5961:
5949:
5929:
5915:
5903:
5886:
5872:
5860:
5855:
5853:
5803:
5780:
5760:
5752:
5747:
5739:
5737:
5713:, each separated from the next by length
5644:
5625:
5587:
5579:
5547:
5535:
5492:
5490:
5446:
5434:
5395:
5354:
5343:
5311:
5299:
5256:
5254:
5210:
5198:
5177:
5152:
5127:
5108:
5065:
5063:
5025:
5006:
4967:
4947:
4923:
4898:
4879:
4836:
4834:
4810:
4797:
4791:
4740:
4732:
4730:
4678:
4643:
4635:
4621:
4614:
4603:
4581:
4580:
4578:
4523:
4521:
4492:
4486:
4464:
4458:
4436:
4421:
4410:
4397:
4372:
4368:
4354:
4337:
4329:
4307:
4289:
4258:
4257:
4255:
4203:
4201:
4173:
4167:
4145:
4127:
4121:
4095:
4043:
4041:
3973:
3972:
3970:
3920:
3908:
3906:
3820:is the total beam magnification given by
3787:
3762:
3760:
3717:{\displaystyle k=(\cos \psi /\cos \phi )}
3697:
3677:
3643:
3619:
3606:
3604:
3519:
3509:
3503:
3492:
3482:
3470:
3457:
3450:
3430:
3394:
3378:
3368:
3362:
3351:
3341:
3329:
3316:
3309:
3289:
3287:
3227:
3204:
3202:
3148:
3136:
3130:
3092:
3086:
3049:
3040:
3017:
3015:
2955:
2953:
2881:
2871:
2865:
2854:
2836:
2823:
2816:
2796:
2794:
2734:
2724:
2718:
2693:
2691:
2627:
2625:
2569:
2563:
2539:
2533:
2500:
2487:
2481:
2428:
2426:
2396:
2383:
2377:
2350:
2337:
2331:
2298:
2269:
2267:
2241:
2217:
2211:
2191:
2166:
2160:
2139:
2133:
2101:
2095:
2080:
2067:
2061:
2022:
2014:
1958:
1903:
1901:
1872:
1824:
1816:
1799:
1794:
1774:
1772:
1767:We compute the eigenvalues of the matrix
1747:
1742:
1725:
1711:
1699:
1663:
1646:
1632:
1620:
1618:
1554:
1532:
1518:
1492:
1469:
1433:
1422:
1420:
1378:
1360:
1337:
1298:
1275:
1252:
1244:
1239:
1237:
1179:
1156:
1148:
1146:
1110:
1090:
1083:
1082:
1069:
1055:
1039:
1022:
1014:
1012:
980:
966:
954:
949:
932:
918:
906:
904:
846:
838:
836:
747:
737:
731:
702:
694:
630:
625:
613:
603:
597:
572:
567:
555:
545:
539:
527:
495:
490:
478:
468:
462:
437:
432:
420:
410:
404:
392:
360:
346:
334:
298:
281:
267:
255:
253:
162:when the ray arrives at the output plane.
9222:Introduction to Matrix Methods in Optics
9023:, called the "optical direction-cosine".
9004:
5848:is equal to the output one. This gives:
4194:Fresnel free-space-propagation operator
4021:{\displaystyle {\mathcal {V}}u(x)=u(bx)}
3586:= Radius of curvature of Second surface.
3576:= Radius of curvature of First surface.
3555:= refractive index outside of the lens.
685:radiation can be used to show that the
121:
28:) is a mathematical form for performing
9127:
9123:
9119:
8996:
3272:for convex/positive (converging) lens.
1800:
1084:
803:but to the transverse component of the
9226:(Dover ed.). Dover Publications.
9061:
7762:, this can be equivalently written as
7581:which represents a periodic function.
7273:{\displaystyle c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-},}
6817:Then both eigenvalues are real. Since
4514:Normalized Fourier-transform operator
2600:Matrices for simple optical components
2591:. This case is similar to a separable
663:at the input and output planes by the
214:from the optical axis and at an angle
110:still need to be evaluated using full
9096:
9094:
9057:
9055:
9053:
9044:
8916:is affected: the wavefront curvature
8270:Consider a beam traveling a distance
6781:must not grow without limit. Suppose
3856:is defined in the previous entry and
7:
7343:waveguide sectors, the output reads
3165:{\displaystyle R_{e}=R/\cos \theta }
2049:{\displaystyle m={\frac {(A+D)}{2}}}
1137:Another simple example is that of a
9218:Gerrard, A.; Burch, J. M. (1994) .
7819:{\displaystyle q=(z-z_{0})+iz_{R}.}
3749:Multiple prism beam expander using
3116:{\displaystyle R_{e}=R\cos \theta }
2262:. This case represents a magnifier
1228:followed by a lens of focal length
9357:. New York: John Wiley & Sons.
8547:{\displaystyle q=(z-z_{0})+iz_{R}}
6523:
6520:
6517:
5717:. This construction is known as a
4644:
4639:
4338:
4333:
14:
6118:
2787:Refraction at a curved interface
9271:Nussbaum, Allen (1 March 1992).
7352:
6542:
6392:
6322:
6279:
6259:
6198:
6187:
6106:
6030:
6019:
5856:
5753:
5748:
5740:
4733:
3008:Reflection from a curved mirror
1873:
1817:
1775:
1748:
1743:
1426:
1423:
1245:
1240:
1149:
950:
839:
703:
9245:(4th ed.). Addison Wesley.
8985:Linear canonical transformation
8980:Transfer-matrix method (optics)
6154:{\textstyle \mathbf {I} =\left}
3873:Linear canonical transformation
2684:Refraction at a flat interface
1896:by calculating the determinant
1611:linear canonical transformation
814:matrices describing electronic
586:
451:
9213:. New York: Elsevier-Academic.
8934:, while the lateral beam size
8525:
8506:
8063:
8041:
8021:
7999:
7794:
7775:
7408:
7362:
6984:
6978:
6963:
6957:
6546:
6538:
6396:
6388:
6326:
6318:
6283:
6275:
6263:
6255:
4270:
4264:
4106:
4100:
4015:
4006:
3997:
3991:
3985:
3979:
3711:
3685:
2946:Reflection from a flat mirror
2037:
2025:
1979:
1967:
1813:
1796:
707:
699:
1:
9369:Thick lenses (Matrix methods)
9317:10.1088/2040-8978/15/3/035202
9103:"Physics 4510 Optics webpage"
9074:Nazarathy & Shamir (1982)
9033:Bastiaans & Alieva (2007)
8568:. The ray transfer matrix is
7635:, it is possible to define a
6219:{\displaystyle \det \left=0,}
5698:, separated by some distance
3888:Matrix in geometrical optics
3265:= focal length of lens where
2584:{\displaystyle e^{-i\theta }}
7614:{\displaystyle \lambda _{0}}
7167:{\displaystyle \lambda _{-}}
7140:{\displaystyle \lambda _{+}}
3755:
3736:is the angle of refraction,
3599:
3591:= center thickness of lens.
3282:
3197:
3010:
2948:
2789:
2686:
2620:
2593:Fractional Fourier Transform
2551:{\displaystyle e^{i\theta }}
2186:A pair of real eigenvalues:
2175:{\displaystyle \lambda _{2}}
2148:{\displaystyle \lambda _{1}}
1782:{\displaystyle \mathbf {T} }
183:(below we only consider the
22:Ray transfer matrix analysis
9338:Optics of Charged Particles
7968:, this equation expands as
6890:{\displaystyle g^{2}\leq 1}
6662:passes through the system:
4819:{\displaystyle n_{1}=n_{2}}
4480:: coordinate of the source
3732:is the angle of incidence,
2128:According to the values of
1789:that satisfy eigenequation
9417:
9017:Gerrard & Burch (1994)
7059:{\displaystyle g^{2}<1}
6808:{\displaystyle g^{2}>1}
6658:Now, consider a ray after
2940:= final refractive index.
2930:= initial refractive index
2781:= final refractive index.
2770:= initial refractive index
2056:, and we have eigenvalues
9355:Fundamentals of Photonics
7743:direction, with waist at
4513:
4508:: coordinate of the goal
4193:
4033:
3898:
3893:
3890:
3887:
3884:
6438:
6375:
5836:
5729:
3891:Operator in wave optics
9174:10.1364/josaa.24.001053
6228:characteristic equation
4034:Quadratic phase factor
3177:= radius of curvature,
2912:= radius of curvature,
2255:{\displaystyle r\neq 1}
1141:. Its RTM is given by:
144:at the input plane and
90:remains valid. A small
46:describing an incoming
9374:ABCD Matrices Tutorial
9264:10.1364/josa.72.000356
9241:Hecht, Eugene (2002).
9193:. New York: Benjamin.
8909:Only the real part of
8903:
8789:
8668:
8548:
8486:
8363:
8257:
8159:
8078:
7950:
7820:
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7637:complex beam parameter
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