2961:
2828:
2039:
2359:
of the base field. The real structure is the Galois action of this conjugation on the extension of the scheme over the algebraic closure of the base field. The real points are the points whose residue field is fixed (which may be empty).
1442:
1922:
3164:
2777:
2617:
3086:
2096:
526:
2320:
2696:
216:
377:
1579:
283:
2343:, the real structure is the complex conjugation acting on the points of the variety in complex projective or affine space. Its fixed locus is the space of real points of the variety (which may be empty).
1744:
712:
3226:
2456:
95:
2194:
1012:
951:
1197:
2956:{\displaystyle {\overline {\overline {v}}}=v,\quad {\overline {v+w}}={\overline {v}}+{\overline {w}},\quad {\text{and}}\quad {\overline {\alpha v}}={\overline {\alpha }}\,{\overline {v}}.}
811:
1131:
469:
2813:
1964:
1687:
1066:
139:
1811:
1640:
1956:
1860:
1778:
1504:
1308:
891:
2548:
2140:
764:
168:
434:
2999:
2248:
1525:
1347:
842:
571:
1607:
1474:
1257:
1229:
597:
642:
53:
vector spaces. The prototype of such a structure is the field of complex numbers itself, considered as a complex vector space over itself and with the conjugation
2215:
618:
1355:
3277:
1865:
3097:
2715:
2556:
3015:
2048:
477:
2256:
3449:
2641:
173:
288:
1530:
228:
3422:
3407:
1695:
658:
3475:
3175:
2405:
59:
3324:
2218:
2148:
3314:
956:
46:
896:
1136:
3441:
773:
2351:
For a scheme defined over a subfield of the real numbers, complex conjugation is in a natural way a member of the
1074:
3334:
2819:
1821:
439:
402:
2785:
2034:{\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,}
1645:
1024:
100:
543:
54:
1783:
1612:
1931:
1835:
1753:
1479:
1266:
847:
2524:
2112:
736:
148:
3349:
2377:
392:
407:
2969:
645:
2223:
1509:
1313:
3445:
3418:
3403:
3344:
3319:
2702:
2491:
2356:
2332:
820:
549:
1584:
1451:
1234:
1206:
576:
3433:
3329:
1829:
532:
3459:
1437:{\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }V^{+}=\dim _{\mathbb {R} }V^{-}=\dim _{\mathbb {C} }V\,}
3455:
3240:
2336:
623:
2199:
602:
3309:
3262:
2392:
767:
39:
1917:{\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,}
3469:
3429:
3159:{\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\left\{\operatorname {Re} \{v\}\mid v\in V\right\}.}
2772:{\displaystyle {\overline {v}}=\operatorname {Re} \{v\}-i\,\operatorname {Im} \{v\}}
3292:
itself, rather than the eigenspace decomposition it entails, is referred to as the
2479:
2352:
2340:
1260:
542:
has a realification obtained by taking the same vectors as in the original set and
42:
17:
2483:
2369:
50:
31:
3339:
3236:
2816:
2143:
1818:
1018:
725:". There is no canonical way of doing this: such a splitting is an additional
721:
as the direct sum of two real vector spaces, the "real and imaginary parts of
399:
222:
2612:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\oplus i\,\mathbb {R} ^{n}.}
2388:
3081:{\displaystyle \operatorname {Re} \{v\}={\frac {1}{2}}\left(v+c(v)\right),}
2091:{\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \to V\,}
521:{\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }{\mathbb {C} }\to V}
2315:{\displaystyle v\mapsto {\hat {\sigma }}(v):={\overline {\sigma (v)}}\,}
1928:
and hence is canonically isomorphic to the direct sum of two copies of
2691:{\displaystyle v=\operatorname {Re} \{v\}+i\,\operatorname {Im} \{v\}}
211:{\displaystyle {\mathbb {C} }={\mathbb {R} }\oplus i{\mathbb {R} }\,}
2626:
has a real part and an imaginary part, each of which is a vector in
372:{\displaystyle \sigma (z_{1}+z_{2})=\sigma (z_{1})+\sigma (z_{2})\,}
1574:{\displaystyle \sigma (V_{\mathbb {R} })\subset V_{\mathbb {R} }\,}
278:{\displaystyle \sigma (\lambda z)={\bar {\lambda }}\sigma (z)\,}
1739:{\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,}
707:{\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }V=2\dim _{\mathbb {C} }V}
3221:{\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.}
2451:{\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.}
2098:
between complex vector spaces with a given real structure.
531:
is an isomorphism. Conversely any vector space that is the
1817:. This construction strongly depends on the choice of an
90:{\displaystyle \sigma :{\mathbb {C} }\to {\mathbb {C} }\,}
2622:
In the presence of a reality structure, every vector in
813:, that is an antilinear involution of the complex space
45:
is a way to decompose the complex vector space in the
3265:
3178:
3100:
3018:
2972:
2831:
2788:
2718:
2644:
2559:
2527:
2408:
2259:
2226:
2202:
2151:
2115:
2051:
1967:
1934:
1868:
1838:
1786:
1756:
1698:
1648:
1615:
1587:
1533:
1512:
1482:
1454:
1358:
1316:
1269:
1237:
1209:
1139:
1077:
1027:
959:
899:
850:
823:
776:
739:
661:
626:
605:
579:
552:
535:
of a real vector space has a natural real structure.
480:
442:
410:
291:
231:
176:
151:
103:
62:
1349:, is an isomorphism of real vector spaces, whence:
3271:
3220:
3158:
3080:
3005:, it is possible to define a reality structure on
2993:
2955:
2807:
2771:
2690:
2611:
2542:
2450:
2314:
2242:
2209:
2189:{\displaystyle {\hat {\sigma }}:V\to {\bar {V}}\,}
2188:
2134:
2090:
2033:
1950:
1916:
1854:
1805:
1772:
1738:
1681:
1634:
1601:
1573:
1519:
1498:
1468:
1436:
1341:
1302:
1251:
1223:
1191:
1125:
1060:
1006:
945:
885:
836:
805:
758:
706:
636:
612:
591:
565:
520:
463:
428:
371:
277:
210:
162:
133:
89:
3425:. (antilinear maps are discussed in section 3.3).
3410:. (antilinear maps are discussed in section 4.6).
1007:{\displaystyle v^{-}={1 \over {2}}(v-\sigma v)\,}
3440:, Cambridge Monographs on Mathematical Physics,
2142:, may be equivalently described in terms of the
946:{\displaystyle v^{+}={1 \over {2}}(v+\sigma v)}
1192:{\displaystyle V^{-}=\{v\in V|\sigma v=-v\}\,}
806:{\displaystyle \sigma \circ \sigma =id_{V}\,}
8:
3133:
3127:
3031:
3025:
2766:
2760:
2744:
2738:
2685:
2679:
2663:
2657:
1185:
1153:
1120:
1091:
2966:Conversely, given an antilinear involution
1126:{\displaystyle V^{+}=\{v\in V|\sigma v=v\}}
436:. A real structure defines a real subspace
3288:, respectively. Typically, the operator
3264:
3209:
3208:
3207:
3191:
3190:
3189:
3177:
3107:
3106:
3105:
3099:
3037:
3017:
2971:
2940:
2939:
2929:
2911:
2905:
2891:
2878:
2857:
2832:
2830:
2795:
2787:
2753:
2719:
2717:
2672:
2643:
2600:
2596:
2595:
2593:
2581:
2577:
2576:
2566:
2562:
2561:
2558:
2534:
2530:
2529:
2526:
2439:
2438:
2437:
2421:
2420:
2419:
2407:
2311:
2290:
2267:
2266:
2258:
2239:
2228:
2227:
2225:
2206:
2201:
2185:
2174:
2173:
2153:
2152:
2150:
2131:
2114:
2087:
2077:
2076:
2070:
2069:
2068:
2058:
2057:
2056:
2050:
2030:
2024:
2023:
2022:
2006:
2005:
2004:
1993:
1992:
1986:
1985:
1984:
1974:
1973:
1972:
1966:
1947:
1941:
1940:
1939:
1933:
1913:
1909:
1908:
1902:
1901:
1900:
1890:
1889:
1888:
1875:
1874:
1873:
1867:
1851:
1845:
1844:
1843:
1837:
1802:
1796:
1795:
1794:
1785:
1769:
1763:
1762:
1761:
1755:
1735:
1729:
1728:
1727:
1711:
1710:
1709:
1697:
1678:
1672:
1659:
1647:
1631:
1625:
1624:
1623:
1614:
1598:
1592:
1586:
1570:
1564:
1563:
1562:
1546:
1545:
1544:
1532:
1516:
1511:
1495:
1489:
1488:
1487:
1481:
1465:
1459:
1453:
1433:
1421:
1420:
1419:
1406:
1393:
1392:
1391:
1378:
1365:
1364:
1363:
1357:
1338:
1315:
1299:
1293:
1280:
1268:
1248:
1242:
1236:
1220:
1214:
1208:
1188:
1165:
1144:
1138:
1103:
1082:
1076:
1057:
1051:
1038:
1026:
1003:
978:
973:
964:
958:
918:
913:
904:
898:
882:
875:
862:
851:
849:
833:
822:
802:
796:
775:
755:
738:
692:
691:
690:
668:
667:
666:
660:
633:
625:
609:
604:
578:
562:
551:
538:One first notes that every complex space
507:
506:
505:
499:
498:
497:
487:
486:
485:
479:
464:{\displaystyle V_{\mathbb {R} }\subset V}
449:
448:
447:
441:
409:
368:
359:
337:
315:
302:
290:
274:
251:
250:
230:
207:
202:
201:
200:
189:
188:
187:
179:
178:
177:
175:
159:
154:
153:
152:
150:
120:
119:
102:
86:
81:
80:
79:
71:
70:
69:
61:
2808:{\displaystyle v\mapsto {\overline {v}}}
2045:It follows a natural linear isomorphism
3361:
733:. It may be introduced as follows. Let
717:Naturally, one would wish to represent
471:, its fixed locus, and the natural map
3250:are +1 and −1, with eigenspaces
3231:This is actually the decomposition of
1750:i.e. as the direct sum of the "real"
1682:{\displaystyle V=V^{+}\oplus V^{-}\,}
1061:{\displaystyle V=V^{+}\oplus V^{-}\,}
134:{\displaystyle \sigma (z)={\bar {z}}}
7:
2387:into two real subspaces, called the
2109:, that is an antilinear involution
1806:{\displaystyle iV_{\mathbb {R} }\,}
1635:{\displaystyle iV_{\mathbb {R} }\,}
3402:Cambridge University Press, 1985.
1951:{\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}
1855:{\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}
1773:{\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}
1499:{\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}
1303:{\displaystyle K:V^{+}\to V^{-}\,}
25:
3315:Canonical complex conjugation map
886:{\displaystyle {v=v^{+}+v^{-}}\,}
2543:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
2135:{\displaystyle \sigma :V\to V\,}
759:{\displaystyle \sigma :V\to V\,}
163:{\displaystyle {\mathbb {C} }\,}
3385:. Springer-Verlag, 1988, p. 29.
3372:. Springer-Verlag, 1988, p. 29.
2910:
2904:
2856:
3438:Spinors and space-time. Vol. 2
3413:Budinich, P. and Trautman, A.
3381:Budinich, P. and Trautman, A.
3368:Budinich, P. and Trautman, A.
3325:Complex conjugate vector space
3067:
3061:
2988:
2982:
2976:
2792:
2302:
2296:
2284:
2278:
2272:
2263:
2233:
2219:complex conjugate vector space
2179:
2170:
2158:
2125:
2081:
1552:
1537:
1326:
1320:
1286:
1166:
1104:
1000:
985:
940:
925:
749:
512:
429:{\displaystyle \sigma :V\to V}
420:
365:
352:
343:
330:
321:
295:
271:
265:
256:
244:
235:
125:
113:
107:
76:
1:
2994:{\displaystyle v\mapsto c(v)}
2945:
2934:
2921:
2896:
2883:
2870:
2842:
2838:
2800:
2724:
2306:
2243:{\displaystyle {\bar {V}}\,}
1824:of the complex vector space
3492:
3442:Cambridge University Press
3001:on a complex vector space
2519:standard reality structure
2105:on a complex vector space
3417:. Springer-Verlag, 1988.
2510:must have real dimension
1832:of the real vector space
1520:{\displaystyle \sigma \,}
1506:and is left invariant by
1342:{\displaystyle K(t)=it\,}
141:, giving the "canonical"
3415:The Spinorial Chessboard
3383:The Spinorial Chessboard
3370:The Spinorial Chessboard
3335:Linear complex structure
837:{\displaystyle v\in V\,}
648:in the realification of
566:{\displaystyle t\in V\,}
3476:Structures on manifolds
2709:is defined as follows:
1609:is usually denoted by
1602:{\displaystyle V^{-}\,}
1469:{\displaystyle V^{+}\,}
1252:{\displaystyle V^{-}\,}
1224:{\displaystyle V^{+}\,}
592:{\displaystyle t\neq 0}
544:restricting the scalars
221:The conjugation map is
3273:
3246:. The eigenvalues of
3222:
3160:
3082:
2995:
2957:
2809:
2773:
2692:
2613:
2544:
2470:is a real subspace of
2452:
2383:is a decomposition of
2316:
2244:
2211:
2196:from the vector space
2190:
2136:
2092:
2035:
1952:
1918:
1856:
1807:
1774:
1740:
1683:
1636:
1603:
1575:
1521:
1500:
1470:
1438:
1343:
1304:
1253:
1225:
1193:
1127:
1062:
1017:Therefore, one gets a
1008:
947:
887:
838:
807:
760:
708:
638:
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