706:
393:
506:
194:
701:{\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0}
388:{\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}
903:
999:
791:
492:
1078:
1145:
96:
43:, motivated by the intuition that all of the homology groups of a single point should be equal to zero. This modification allows more concise statements to be made (as in
803:
912:
713:
401:
1008:
1196:
1083:
1212:
1199:. Detailed discussion of homology theories for simplicial complexes and manifolds, singular homology, etc.
181:
48:
1154:
Armed with this modified complex, the standard ways to obtain homology with coefficients by applying the
99:
79:
150:
131:
40:
1192:
44:
1162:
1187:
1166:
177:
of connected components, but as such a formal sum where the coefficients add up to zero.
154:
36:
1155:
898:{\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})}
1206:
1182:
58:
is a single-point space, then with the usual definitions the integral homology group
17:
1170:
994:{\displaystyle {\tilde {H}}_{0}(X)=\ker(\epsilon )/\mathrm {im} (\partial _{1})}
28:
786:{\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}
174:
135:
487:{\displaystyle H_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})}
161:
as generators. The reduced homology should replace this group, of rank
169:− 1. Otherwise the homology groups should remain unchanged. An
1073:{\displaystyle H_{0}(X)={\tilde {H}}_{0}(X)\oplus \mathbb {Z} }
173:
way to do this is to think of a 0-th homology class not as a
1086:
1011:
915:
806:
716:
509:
404:
197:
82:
1139:
1072:
993:
897:
785:
700:
486:
387:
90:
47:) and eliminates many exceptional cases (as in
497:To define reduced homology, we start with the
8:
1140:{\displaystyle H_{n}(X)={\tilde {H}}_{n}(X)}
1122:
1111:
1110:
1091:
1085:
1066:
1065:
1047:
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1035:
1016:
1010:
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967:
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917:
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687:
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398:and define the homology groups by
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341:
311:
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188:, we consider the chain complex
35:is a minor modification made to
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49:the homology groups of spheres
1:
1191:Cambridge University Press,
91:{\displaystyle \mathbb {Z} }
180:In the usual definition of
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100:infinite cyclic group
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913:
804:
797:homology groups by
793:. Now we define the
714:
507:
402:
195:
165:say, by one of rank
155:connected components
80:
1188:Algebraic Topology
1173:, can be applied.
1137:
1070:
1005:One can show that
991:
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772:
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151:free abelian group
138:, then the group
132:simplicial complex
126:More generally if
88:
41:algebraic topology
18:Reduced cohomology
1163:cohomology groups
1147:for all positive
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255:
225:
76:is isomorphic to
45:Alexander duality
16:(Redirected from
1220:
1169:made by using a
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1143:
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102:), while for
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1080:; evidently
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106:≥ 1 we have
103:
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69:
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55:
53:
32:
26:
1183:Hatcher, A.
1171:Hom functor
184:of a space
29:mathematics
1177:References
175:formal sum
136:CW complex
134:or finite
1185:, (2002)
1165:from the
1117:~
1063:⊕
1042:~
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924:~
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815:~
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747:σ
727:∑
718:ϵ
693:→
683:ϵ
678:⟶
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648:⟶
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618:⟶
612:⋯
602:−
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589:⟶
578:−
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553:⟶
523:∂
517:⟶
511:⋯
499:augmented
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431:
372:∂
366:⟶
342:∂
336:⟶
312:∂
306:⟶
300:⋯
290:−
283:∂
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