1417:
1304:
519:
1745:
1229:
2441:
352:
2621:
137:
886:
755:
2254:
1466:
2553:
2088:
1673:
636:
2314:
2157:
396:
1520:
1991:
1953:
2478:
2035:
181:
1915:
1078:
1595:
214:
562:
2353:
1832:
440:
973:
285:
1635:
1312:
1113:
1035:
918:
668:
247:
2288:
1003:
1780:
1547:
812:
785:
589:
1861:
1162:
79:
2678:
1234:
2757:
449:
1686:
1171:
314:
2776:
96:
2635:
817:
687:
2749:
2213:
1425:
2558:
2483:
2362:
25:
1640:
594:
2293:
361:
1471:
2097:
2044:
1958:
1920:
146:
1044:
1555:
186:
17:
1412:{\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to I(D)^{-1}\to I(D)^{-1}\otimes {\mathcal {O}}_{D}\to 0}
528:
2446:
2003:
412:
2753:
946:
252:
1889:
1608:
1086:
1008:
891:
641:
219:
2267:
982:
1758:
1525:
790:
763:
567:
2327:
2183:
1837:
1806:
1138:
55:
85:
is locally free of rank one (i.e., invertible sheaf). Equivalently, a closed subscheme
2657:
2770:
2199:
45:
399:
2741:
2737:
1127:. Furthermore, this construction exhausts all effective Cartier divisors on
295:
An effective
Cartier divisor as the zero-locus of a section of a line bundle
1299:{\displaystyle 0\to I(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0}
2638:
if and only if it is an effective
Cartier divisor that is proper over
93:
is an effective
Cartier divisor if there is an open affine cover
814:. This is well-defined (i.e., they agree on the overlaps) since
927:
can be constructed as a fiber of a morphism; namely, viewing
888:
is a unit element. For the same reason, the closed subscheme
2232:
1444:
1392:
1325:
1279:
1262:
1205:
601:
514:{\displaystyle L|_{U_{i}}\simeq {\mathcal {O}}_{X}|_{U_{i}}}
481:
368:
327:
2555:. On the other hand, a base change does not change degree:
2654:, there are two equivalent ways to associate Weil divisor
2260:-module of finite rank. This rank is called the degree of
760:
where the right-hand side means the closed subscheme of
1740:{\displaystyle L|_{U}=Af^{-1}{\overset {\sim }{\to }}A}
1224:{\displaystyle I(D)^{-1}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}-}
920:
is independent of the choice of local trivializations.
2646:
Weil divisors associated to effective
Cartier divisors
28:. Precisely, an effective Cartier divisor in a scheme
2660:
2561:
2486:
2449:
2365:
2330:
2296:
2270:
2216:
2100:
2047:
2006:
1961:
1923:
1892:
1840:
1809:
1761:
1689:
1643:
1611:
1558:
1528:
1474:
1428:
1315:
1237:
1174:
1141:
1089:
1047:
1011:
985:
949:
894:
820:
793:
766:
690:
644:
597:
570:
531:
452:
415:
364:
347:{\displaystyle s:{\mathcal {O}}_{X}\hookrightarrow L}
317:
255:
222:
189:
149:
99:
58:
1834:
is the effective
Cartier divisor defined locally as
2672:
2615:
2547:
2472:
2435:
2347:
2308:
2282:
2248:
2151:
2082:
2029:
1985:
1947:
1909:
1855:
1826:
1774:
1739:
1667:
1629:
1589:
1541:
1514:
1460:
1411:
1298:
1223:
1156:
1107:
1072:
1029:
997:
967:
912:
880:
806:
779:
749:
662:
630:
583:
556:
513:
434:
390:
346:
279:
241:
208:
175:
131:
73:
132:{\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec} A_{i}}
2174:Effective Cartier divisors on a relative curve
881:{\displaystyle f_{i}/f_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}
750:{\displaystyle \{s=0\}\cap U_{i}=\{f_{i}=0\},}
2249:{\displaystyle \Gamma (D,{\mathcal {O}}_{D})}
1803:are effective Cartier divisors, then the sum
1461:{\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}
8:
2616:{\displaystyle \deg(D\times _{R}R')=\deg(D)}
2324:are proper effective Cartier divisors, then
1624:
1612:
1102:
1090:
1024:
1012:
907:
895:
741:
722:
703:
691:
657:
645:
525:, through the isomorphisms, the restriction
429:
416:
2548:{\displaystyle \deg(f^{*}D)=\deg(f)\deg(D)}
2436:{\displaystyle \deg(D+D')=\deg(D)+\deg(D')}
1037:may be constructed as the fiber product of
1668:{\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}
1552:Now we can repeat the early argument with
2720:
2708:
2696:
2659:
2578:
2560:
2500:
2485:
2448:
2364:
2329:
2295:
2269:
2237:
2231:
2230:
2215:
2125:
2099:
2066:
2046:
2005:
1969:
1960:
1931:
1922:
1891:
1839:
1808:
1766:
1760:
1724:
1715:
1699:
1694:
1688:
1642:
1610:
1578:
1557:
1533:
1527:
1500:
1473:
1449:
1443:
1442:
1427:
1397:
1391:
1390:
1377:
1352:
1330:
1324:
1323:
1314:
1284:
1278:
1277:
1267:
1261:
1260:
1236:
1210:
1204:
1203:
1201:
1188:
1173:
1140:
1088:
1052:
1046:
1010:
984:
948:
893:
870:
857:
852:
847:
840:
831:
825:
819:
798:
792:
771:
765:
729:
713:
689:
643:
631:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U_{i})}
619:
606:
600:
599:
596:
575:
569:
546:
541:
536:
530:
503:
498:
493:
486:
480:
479:
467:
462:
457:
451:
423:
414:
373:
367:
366:
363:
332:
326:
325:
316:
268:
259:
254:
227:
221:
200:
188:
167:
154:
148:
123:
104:
98:
57:
1119:, it is an effective Cartier divisor on
2689:
2290:. It is a locally constant function on
2309:{\displaystyle \operatorname {Spec} R}
1168:. Because of locally-freeness, taking
931:as the total space of it, the section
787:given by the ideal sheaf generated by
391:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}
7:
2746:Arithmetic Moduli of Elliptic Curves
2000:is an effective Cartier divisor and
1886:is an effective Cartier divisor and
1515:{\displaystyle \Gamma (X,I(D)^{-1})}
1468:can be identified with a section in
1135:be an effective Cartier divisor and
2650:Given an effective Cartier divisor
2194:be an effective Cartier divisor in
2090:is an effective Cartier divisor in
1955:is an effective Cartier divisor in
638:. Now, define the closed subscheme
291:and such that they are compatible.
2217:
1751:; in particular, 1 corresponds to
1475:
1429:
22:relative effective Cartier divisor
14:
2152:{\displaystyle I(D')=f^{*}(I(D))}
2083:{\displaystyle D'=D\times _{X}X'}
1601:is an effective Cartier divisor,
2480:be a finite flat morphism. Then
923:Equivalently, the zero locus of
564:corresponds to a nonzerodivisor
1041:and the zero-section embedding
2667:
2661:
2610:
2604:
2592:
2568:
2542:
2536:
2527:
2521:
2509:
2493:
2464:
2430:
2419:
2407:
2401:
2389:
2372:
2243:
2220:
2146:
2143:
2137:
2131:
2115:
2104:
2021:
1986:{\displaystyle X\times _{R}R'}
1948:{\displaystyle D\times _{R}R'}
1896:
1747:is given by multiplication by
1726:
1695:
1662:
1656:
1575:
1568:
1509:
1497:
1490:
1478:
1455:
1432:
1403:
1374:
1367:
1361:
1349:
1342:
1336:
1319:
1290:
1273:
1256:
1253:
1247:
1241:
1185:
1178:
1151:
1145:
1064:
989:
959:
848:
625:
612:
537:
494:
458:
385:
379:
338:
176:{\displaystyle f_{i}\in A_{i}}
68:
62:
1:
1917:is a ring homomorphism, then
1115:is flat over the base scheme
249:(called local equations) and
1073:{\displaystyle s_{0}:X\to L}
1755:. Hence, the zero-locus of
1590:{\displaystyle L=I(D)^{-1}}
209:{\displaystyle D\cap U_{i}}
183:such that the intersection
2793:
2750:Princeton University Press
1164:denote the ideal sheaf of
557:{\displaystyle s|_{U_{i}}}
311:a section of it such that
26:effective Cartier divisors
2473:{\displaystyle f:X'\to X}
2030:{\displaystyle f:X'\to X}
1871:give local equations for
1306:gives the exact sequence
676:zero-locus of the section
435:{\displaystyle \{U_{i}\}}
216:is given by the equation
1675:for some nonzerodivisor
968:{\displaystyle s:X\to L}
280:{\displaystyle A/f_{i}A}
52:and (2) the ideal sheaf
2206:(which is immediate if
1910:{\displaystyle R\to R'}
1630:{\displaystyle \{f=0\}}
1605:is locally of the form
1108:{\displaystyle \{s=0\}}
1030:{\displaystyle \{s=0\}}
913:{\displaystyle \{s=0\}}
663:{\displaystyle \{s=0\}}
409:Choose some open cover
242:{\displaystyle f_{i}=0}
24:is roughly a family of
2674:
2636:of finite presentation
2617:
2549:
2474:
2437:
2349:
2310:
2284:
2283:{\displaystyle \deg D}
2250:
2153:
2084:
2031:
1987:
1949:
1911:
1857:
1828:
1776:
1741:
1669:
1631:
1591:
1543:
1516:
1462:
1413:
1300:
1225:
1158:
1109:
1074:
1031:
1005:is the identity. Then
999:
998:{\displaystyle L\to X}
969:
914:
882:
808:
781:
751:
664:
632:
585:
558:
515:
436:
392:
348:
281:
243:
210:
177:
133:
75:
36:is a closed subscheme
2721:Katz & Mazur 1985
2709:Katz & Mazur 1985
2697:Katz & Mazur 1985
2675:
2618:
2550:
2475:
2438:
2350:
2311:
2285:
2251:
2154:
2094:with the ideal sheaf
2085:
2037:a flat morphism over
2032:
1988:
1950:
1912:
1858:
1829:
1777:
1775:{\displaystyle s_{D}}
1742:
1683:. The trivialization
1670:
1632:
1592:
1544:
1542:{\displaystyle s_{D}}
1522:, which we denote by
1517:
1463:
1414:
1301:
1226:
1159:
1110:
1075:
1032:
1000:
970:
915:
883:
809:
807:{\displaystyle f_{i}}
782:
780:{\displaystyle U_{i}}
752:
665:
633:
586:
584:{\displaystyle f_{i}}
559:
516:
437:
393:
349:
282:
244:
211:
178:
134:
76:
2658:
2634:is finite, flat and
2559:
2484:
2447:
2363:
2348:{\displaystyle D+D'}
2328:
2294:
2268:
2214:
2178:From now on suppose
2098:
2045:
2004:
1959:
1921:
1890:
1856:{\displaystyle fg=0}
1838:
1827:{\displaystyle D+D'}
1807:
1759:
1687:
1641:
1609:
1556:
1526:
1472:
1426:
1422:In particular, 1 in
1313:
1235:
1172:
1157:{\displaystyle I(D)}
1139:
1087:
1045:
1009:
983:
947:
892:
818:
791:
764:
688:
642:
595:
568:
529:
450:
413:
402:for any open subset
362:
315:
303:be a line bundle on
253:
220:
187:
147:
143:and nonzerodivisors
97:
74:{\displaystyle I(D)}
56:
2626:A closed subscheme
2777:Algebraic geometry
2670:
2613:
2545:
2470:
2433:
2345:
2306:
2280:
2264:and is denoted by
2256:is a locally free
2246:
2186:curve (still over
2149:
2080:
2027:
1983:
1945:
1907:
1853:
1824:
1772:
1737:
1665:
1627:
1587:
1539:
1512:
1458:
1409:
1296:
1221:
1154:
1105:
1070:
1027:
995:
965:
910:
878:
804:
777:
747:
660:
628:
581:
554:
511:
432:
388:
344:
277:
239:
206:
173:
129:
71:
18:algebraic geometry
2210:is proper.) Then
2198:and assume it is
2169:Hyperplane bundle
1732:
354:(in other words,
2784:
2763:
2738:Katz, Nicholas M
2724:
2718:
2712:
2706:
2700:
2694:
2679:
2677:
2676:
2673:{\displaystyle }
2671:
2622:
2620:
2619:
2614:
2591:
2583:
2582:
2554:
2552:
2551:
2546:
2505:
2504:
2479:
2477:
2476:
2471:
2463:
2442:
2440:
2439:
2434:
2429:
2388:
2354:
2352:
2351:
2346:
2344:
2315:
2313:
2312:
2307:
2289:
2287:
2286:
2281:
2255:
2253:
2252:
2247:
2242:
2241:
2236:
2235:
2158:
2156:
2155:
2150:
2130:
2129:
2114:
2089:
2087:
2086:
2081:
2079:
2071:
2070:
2055:
2036:
2034:
2033:
2028:
2020:
1992:
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