2598:
2248:
2880:
3935:
3542:
22:
2593:{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{\mu }T^{\mu \nu }&=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p\\\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }&=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\alpha }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\alpha }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\alpha }+\partial ^{\alpha }p\end{aligned}}}
2609:
3271:
3168:
1492:
2875:{\displaystyle u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }u^{\alpha }u_{\alpha }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }u^{\alpha }u_{\alpha }+wu^{\mu }u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }u^{\alpha }+u^{\nu }u_{\alpha }\partial ^{\alpha }p}
1264:
209:
For most fluids observable on Earth, traditional fluid mechanics based on
Newtonian mechanics is sufficient. However, as the fluid velocity approaches the speed of light or moves through strong gravitational fields, or the pressure approaches the energy density
1608:
3665:
3537:{\displaystyle (\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p=0}
2990:
959:
3263:
1836:
2084:
1925:
1338:
517:
1087:
2205:
1733:
2982:
1330:
1138:
2253:
1010:
791:
1500:
385:
720:
2929:
3553:
3163:{\displaystyle u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p}
1667:
1641:
1998:
847:
1126:
415:
625:
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2240:
234:
839:
3176:
1952:
1749:
591:
2104:
284:
2003:
1844:
257:
2124:
3737:
193:
1030:
657:
560:
540:
236:), these equations are no longer valid. Such situations occur frequently in astrophysical applications. For example, gamma-ray bursts often feature speeds only
39:
3976:
3713:
1487:{\displaystyle (e+p){\frac {\gamma }{c^{2}}}{\frac {d}{dt}}(\gamma v_{i})=-\partial _{i}p-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}{\frac {dp}{dt}}v_{i}}
4000:
86:
431:
58:
2126:
shows that the two completely cancel. This cancellation is the expected result of contracting a temporal tensor with a spatial tensor.
3891:
628:
3916:
3840:
3763:
105:
65:
1035:
2135:
131:
1259:{\displaystyle (e+p){\frac {\gamma }{c}}{\frac {du^{\mu }}{dt}}=-\partial ^{\mu }p-{\frac {\gamma }{c}}{\frac {dp}{dt}}u^{\mu }}
1672:
2934:
1272:
72:
3835:. Green, S. F., Jones, Mark H. (Mark Henry), Burnell, S. Jocelyn. (Co-published ed.). Cambridge: Open University. 2004.
43:
3969:
3681:
286:
times stronger than the Earth's. Under these extreme circumstances, only a relativistic treatment of fluids will suffice.
54:
3676:
967:
1743:
In order to determine the equations of motion, we take advantage of the following spatial projection tensor condition:
3995:
1603:{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}(e+p)=\gamma \rho +{\frac {1}{c^{2}}}\rho \epsilon +{\frac {1}{c^{2}}}p\approx \rho }
756:
3864:
632:
341:
673:
32:
4005:
3660:{\displaystyle (e+p)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }p-u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p}
303:
3962:
2888:
139:
1646:
1620:
954:{\displaystyle (e+p)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }p-u^{\nu }u^{\mu }\partial _{\mu }p}
79:
1957:
542:
is the total mass-energy density (including both rest mass and internal energy density) of the fluid,
3942:
3798:
1099:
418:
159:
143:
393:
1129:
726:
299:
295:
2984:. Note that the second identity follows from the first. Under these simplifications, we find that
600:
308:
3858:
3814:
3788:
3779:
Lithwick, Yoram; Sari, Re'em (July 2001). "Lower limits on
Lorentz factors in gamma-ray bursts".
3731:
3258:{\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0}
2213:
1831:{\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0}
213:
135:
259:
less than the speed of light, and neutron stars feature gravitational fields that are more than
2079:{\displaystyle u_{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \nu }-u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }}
1920:{\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }}
800:
3912:
3887:
3846:
3836:
3759:
3719:
3709:
1930:
734:
569:
197:
3946:
2089:
262:
3806:
794:
239:
1332:
to observe the behavior of the velocity itself, we see that the equations of motion become
2109:
147:
119:
172:
3802:
3880:
1015:
730:
725:
These equations reduce to the classical Euler equations if the fluid three-velocity is
660:
642:
563:
545:
525:
151:
3989:
1090:
636:
594:
422:
165:
155:
123:
3818:
733:, and the latter is dominated by the rest mass density. To close this system, an
1611:
21:
3934:
3723:
3850:
742:
738:
3793:
3758:. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. pp. 719–720.
664:
164:
Note: for consistency with the literature, this article makes use of
3810:
512:{\displaystyle T^{\mu \nu }\,=(e+p)u^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }.}
146:, where they are commonly used for describing phenomena such as
15:
1610:. This says that the energy of the fluid is dominated by its
1082:{\displaystyle u^{\mu }=\gamma (1,{\frac {\mathbf {v} }{c}})}
2200:{\displaystyle T^{\mu \nu }=wu^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }}
729:
than the speed of light, the pressure is much less than the
1728:{\displaystyle \rho {\frac {dv_{i}}{dt}}=-\partial _{i}p}
2977:{\displaystyle u^{\alpha }\partial _{\nu }u_{\alpha }=0}
1325:{\displaystyle u^{\nu }=u^{i}={\frac {\gamma }{c}}v_{i}}
3950:
1096:
Expanding out the sums and equations, we have, (using
3556:
3274:
3179:
2993:
2937:
2891:
2612:
2251:
2216:
2138:
2112:
2092:
2006:
1960:
1933:
1847:
1752:
1675:
1649:
1623:
1503:
1497:
Note that taking the non-relativistic limit, we have
1341:
1275:
1141:
1102:
1038:
1018:
970:
850:
803:
759:
676:
645:
603:
572:
548:
528:
434:
396:
344:
311:
265:
242:
216:
175:
1669:, and can see that we return the Euler Equation of
46:. Unsourced material may be challenged and removed.
3879:
3659:
3547:We have two cancellations, and are thus left with
3536:
3257:
3162:
2976:
2923:
2874:
2592:
2234:
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2118:
2098:
2078:
1992:
1946:
1919:
1830:
1727:
1661:
1635:
1602:
1486:
1324:
1258:
1120:
1081:
1024:
1005:{\displaystyle e=\gamma \rho c^{2}+\rho \epsilon }
1004:
953:
833:
785:
714:
651:
619:
585:
554:
534:
511:
409:
379:
327:
278:
251:
228:
187:
786:{\displaystyle \nabla _{\mu }=\partial _{\mu }}
3970:
380:{\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0,}
8:
3754:Thorne, Kip S.; Blandford, Roger D. (2017).
715:{\displaystyle \nabla _{\mu }(nu^{\mu })=0.}
3977:
3963:
3736:: CS1 maint: location missing publisher (
1012:is the energy density of the system, with
635:is usually added, usually conservation of
3792:
3648:
3638:
3628:
3612:
3596:
3586:
3576:
3555:
3519:
3509:
3499:
3486:
3473:
3463:
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3434:
3418:
3399:
3386:
3376:
3366:
3350:
3337:
3327:
3308:
3298:
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3273:
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3131:
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3076:
3066:
3050:
3028:
3018:
3008:
2998:
2992:
2962:
2952:
2942:
2936:
2924:{\displaystyle u^{\alpha }u_{\alpha }=-1}
2906:
2896:
2890:
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2843:
2830:
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2800:
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2617:
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2564:
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2270:
2260:
2252:
2250:
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2172:
2162:
2143:
2137:
2111:
2091:
2067:
2057:
2047:
2031:
2021:
2011:
2005:
1975:
1965:
1959:
1938:
1932:
1908:
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1888:
1878:
1862:
1852:
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1813:
1803:
1793:
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1757:
1751:
1716:
1689:
1679:
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1557:
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1167:
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1064:
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870:
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401:
395:
359:
349:
343:
316:
310:
270:
264:
241:
215:
174:
106:Learn how and when to remove this message
3911:(2nd ed.). Elsevier. p. 508.
3704:Rezzolla, L. (Luciano) (14 June 2018).
3693:
3856:
3729:
2210:where we have implicitly defined that
3907:Lifshitz, L.D.; Landau, E.M. (1987).
1739:Derivation of the Equations of Motion
7:
3931:
3929:
3882:A First Course in General Relativity
3833:An introduction to the sun and stars
3749:
3747:
3699:
3697:
1662:{\displaystyle c\rightarrow \infty }
1636:{\displaystyle \gamma \rightarrow 1}
44:adding citations to reliable sources
1993:{\displaystyle u^{\mu }u_{\mu }=-1}
1954:. Upon doing this, and noting that
753:In the case of flat space, that is
3949:. You can help Knowledge (XXG) by
3645:
3609:
3583:
3516:
3460:
3415:
3396:
3373:
3324:
3279:
3227:
3181:
3148:
3092:
3047:
3015:
2949:
2860:
2817:
2728:
2663:
2634:
2574:
2551:
2502:
2457:
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2407:
2384:
2335:
2290:
2257:
2054:
2018:
1927:and then multiplying each side by
1895:
1849:
1800:
1754:
1713:
1656:
1415:
1201:
939:
903:
877:
774:
761:
678:
398:
346:
246:
14:
749:Equations of Motion in Flat Space
3933:
1067:
134:that account for the effects of
20:
2885:Then, let's note the fact that
1121:{\displaystyle {\frac {d}{dt}}}
841:, the equations of motion are,
158:, often with the addition of a
31:needs additional citations for
3886:. Cambridge University Press.
3569:
3557:
3479:
3456:
3427:
3411:
3343:
3320:
3291:
3275:
3111:
3088:
3059:
3043:
2747:
2724:
2675:
2659:
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2469:
2453:
2354:
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1627:
1533:
1521:
1405:
1389:
1354:
1342:
1154:
1142:
1076:
1055:
863:
851:
828:
804:
703:
687:
464:
452:
410:{\displaystyle \nabla _{\mu }}
55:"Relativistic Euler equations"
1:
3682:Equation of state (cosmology)
198:Einstein summation convention
3677:Relativistic heat conduction
1841:We prove this by looking at
631:. To the above equations, a
620:{\displaystyle g^{\mu \nu }}
328:{\displaystyle T^{\mu \nu }}
138:. They have applications in
130:are a generalization of the
128:relativistic Euler equations
4001:Equations of fluid dynamics
3708:. Zanotti, Olindo. Oxford.
2235:{\displaystyle w\equiv e+p}
229:{\displaystyle P\sim \rho }
168:, namely the speed of light
4022:
3928:
3706:Relativistic hydrodynamics
3781:The Astrophysical Journal
2086:. Relabeling the indices
834:{\displaystyle (-,+,+,+)}
633:statement of conservation
3878:Schutz, Bernard (2009).
3756:Modern Classical Physics
2242:, we can calculate that
1947:{\displaystyle u_{\nu }}
1032:being the pressure, and
586:{\displaystyle u^{\mu }}
140:high-energy astrophysics
2129:Now, when we note that
2099:{\displaystyle \alpha }
1617:In this limit, we have
279:{\displaystyle 10^{11}}
3945:-related article is a
3863:: CS1 maint: others (
3661:
3538:
3259:
3164:
2978:
2925:
2876:
2594:
2236:
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2120:
2100:
2080:
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253:
252:{\displaystyle 0.01\%}
230:
189:
3662:
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298:are contained in the
281:
254:
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