2909:
2303:
2904:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x\in E}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x&\geq \int _{x\in E\setminus E_{\lambda }}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x\\&\geq \lambda ^{p}{\frac {1}{2}}\operatorname {mes} E\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {mes} E\left({\frac {\operatorname {mes} E}{2C\operatorname {mes} J}}\right)^{p(n-1)}e^{-p\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\max _{x\in J}|p(x)|^{p}\\&\geq {\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {mes} E}{\operatorname {mes} J}}\left({\frac {\operatorname {mes} E}{2C\operatorname {mes} J}}\right)^{p(n-1)}e^{-p\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\int _{x\in J}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x,\end{aligned}}}
1690:
1368:
1685:{\displaystyle \max _{x\in J}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\left({\frac {C\,\,\operatorname {mes} J}{\operatorname {mes} E_{\lambda }}}\right)^{n-1}\sup _{x\in E_{\lambda }}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\left({\frac {C\,\,\operatorname {mes} J}{\operatorname {mes} E_{\lambda }}}\right)^{n-1}\lambda }
1873:
951:
2143:
3103:
559:
1701:
752:
1177:
240:
1981:
2215:
2956:
1973:
2292:
1360:
2308:
422:
1252:
1868:{\displaystyle \operatorname {mes} E_{\lambda }\leq C\,\,\operatorname {mes} J\left({\frac {\lambda e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}}{\max _{x\in J}|p(x)|}}\right)^{\frac {1}{n-1}}}
712:
385:
946:{\displaystyle \max _{x\in J}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\left({\frac {C\,\,\operatorname {mes} J}{\operatorname {mes} E}}\right)^{n-1}\sup _{x\in E}|p(x)|~,}
1040:
1048:
2138:{\displaystyle \lambda =\left({\frac {\operatorname {mes} E}{2C\operatorname {mes} J}}\right)^{n-1}e^{-\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\max _{x\in J}|p(x)|}
150:
2154:
127:
1916:
3098:{\displaystyle \operatorname {mes} \left\{x\in \mathbb {R} :\left|P(x)\right|\leq a\right\}\leq 4\left({\frac {a}{2\mathrm {LC} (p)}}\right)^{1/n},\quad a>0~.}
1896:
1921:
311:
2221:
1274:
3227:
554:{\displaystyle \max _{x\in J}|p(x)|\leq \left({\frac {4\,\,\operatorname {mes} J}{\operatorname {mes} E}}\right)^{n}\sup _{x\in E}|p(x)|}
1204:
3190:(1993). "Local estimates for exponential polynomials and their applications to inequalities of the uncertainty principle type".
634:
319:
3258:
986:
1172:{\displaystyle \|p\|_{L^{p}(\mathbb {T} )}\leq e^{A(n-1)\operatorname {mes} (\mathbb {T} \setminus E)}\|p\|_{L^{p}(E)}}
3115:
593:
25:
607:
75:
33:
3263:
259:
133:
45:
235:{\displaystyle \sup _{p\in \pi _{n}(\sigma )}\left\|p\right\|_{\infty }=\left\|T_{n}\right\|_{\infty }}
3240:(1928). "Beitrag zur Verallgemeinerung des Verzerrungssatzes auf mehrfach zusammenhÀngende Gebiete".
3206:(2000). "Complete Version of Turan's Lemma for Trigonometric Polynomials on the Unit Circumference".
2210:{\displaystyle \operatorname {mes} E\setminus E_{\lambda }\geq {\tfrac {1}{2}}\operatorname {mes} E.}
87:
3148:
603:
3223:
1901:
3215:
3173:
3140:
615:
137:
3237:
2927:
1968:{\displaystyle \operatorname {mes} E_{\lambda }\leq {\tfrac {1}{2}}\operatorname {mes} E}
977:
1881:
411:
281:
3252:
3203:
3187:
611:
390:
The R.i., combined with an estimate on
Chebyshev polynomials, implies the following
3219:
2943:
17:
3178:
3161:
41:
391:
2934:), and states that the Lebesgue measure of a sub-level set of a polynomial
37:
2287:{\displaystyle \forall x\in E\setminus E_{\lambda }:|p(x)|>\lambda .}
1355:{\displaystyle E=E_{\lambda }=\{x:|p(x)|\leq \lambda \},\ \lambda >0}
60:
be an arbitrary fixed positive number. Define the class of polynomials Ï
3152:
610:, and are known as Remez-type inequalities. One important example is
3144:
3131:
Bojanov, B. (May 1993). "Elementary Proof of the Remez
Inequality".
1247:{\displaystyle \operatorname {mes} E<1-{\frac {\log n}{n}}}
3118:(1936). "Sur une propriété des polynÎmes de Tchebyscheff".
1265:= â there is an extension to multidimensional polynomials.
707:{\displaystyle p(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}e^{\lambda _{k}x}}
2885:
2434:
2358:
2184:
1945:
2959:
2306:
2224:
2157:
1984:
1924:
1904:
1884:
1704:
1371:
1277:
1207:
1051:
989:
755:
637:
425:
380:{\displaystyle \|T_{n}\|_{\infty }=T_{n}(1+\sigma ).}
322:
284:
266:, and the supremum norm is taken over the interval .
153:
90:
976:
is itself an interval, the inequality was proved by
3139:(5). Mathematical Association of America: 483â485.
1035:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {T} ),\ 0\leq p\leq 2}
3097:
2903:
2286:
2209:
2137:
1967:
1910:
1890:
1867:
1684:
1354:
1246:
1171:
1034:
945:
706:
553:
379:
305:
234:
121:
2794:
2630:
2585:
2098:
2053:
1802:
1755:
1576:
1523:
1419:
1373:
900:
803:
757:
514:
427:
155:
3208:Complex Analysis, Operators, and Related Topics
972:are pure imaginary and integer, and the subset
3162:"A multidimensional version of Turan's lemma"
8:
1334:
1297:
1144:
1137:
1059:
1052:
337:
323:
2922:One of the corollaries of the R.i. is the
3177:
3066:
3062:
3038:
3029:
2978:
2977:
2958:
2884:
2883:
2877:
2872:
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2842:
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2821:
2815:
2803:
2797:
2786:
2761:
2725:
2694:
2684:
2668:
2663:
2645:
2633:
2617:
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2606:
2594:
2588:
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2552:
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2463:
2457:
2433:
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2426:
2421:
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2357:
2356:
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2305:
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2156:
2130:
2113:
2101:
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2074:
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2056:
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2032:
1996:
1983:
1944:
1935:
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1805:
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1776:
1764:
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1654:
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1631:
1625:
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1603:
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1585:
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1545:
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1417:
1405:
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1376:
1370:
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1276:
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1206:
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1076:
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478:
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430:
424:
353:
340:
330:
321:
283:
226:
216:
198:
169:
158:
152:
108:
91:
89:
24:, discovered by the Soviet mathematician
2388:
2237:
2167:
1126:
619:
718:be an exponential sum (with arbitrary
2931:
29:
7:
416:
2942:is bounded in terms of the leading
747:âan arbitrary measurable set. Then
3042:
3039:
2808:
2599:
2225:
2067:
1769:
1590:
1433:
817:
341:
297:
227:
199:
44:, the bound being attained by the
14:
3133:The American Mathematical Monthly
983:This inequality also extends to
3166:Journal of Approximation Theory
3079:
1257:a similar inequality holds for
980:and is known as TurĂĄn's lemma.
961:> 0 is a numerical constant.
589:Extensions: NazarovâTurĂĄn lemma
3052:
3046:
2999:
2993:
2873:
2868:
2862:
2855:
2822:
2804:
2777:
2765:
2664:
2659:
2653:
2646:
2613:
2595:
2568:
2556:
2422:
2417:
2411:
2404:
2346:
2341:
2335:
2328:
2271:
2267:
2261:
2254:
2131:
2127:
2121:
2114:
2081:
2063:
1835:
1831:
1825:
1818:
1783:
1765:
1604:
1586:
1563:
1559:
1553:
1546:
1447:
1429:
1406:
1402:
1396:
1389:
1324:
1320:
1314:
1307:
1164:
1158:
1132:
1118:
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1073:
1008:
1000:
933:
929:
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916:
831:
813:
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786:
780:
773:
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543:
537:
530:
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456:
450:
443:
371:
359:
300:
285:
222:
209:
194:
188:
181:
175:
109:
105:
99:
92:
1:
3242:Sitzungsberichte Akad. Berlin
3220:10.1007/978-3-0348-8378-8_20
1271:Applying Nazarov's lemma to
122:{\displaystyle |p(x)|\leq 1}
2914:which completes the proof.
598:
3280:
402:is a finite interval, and
70:) to be those polynomials
3179:10.1016/j.jat.2005.11.012
2148:Note that this implies:
965:In the special case when
606:for different classes of
3160:Fontes-Merz, N. (2006).
3120:Comm. Inst. Sci. Kharkow
1911:{\displaystyle \lambda }
26:Evgeny Yakovlevich Remez
3099:
2926:, which was proved by
2905:
2288:
2211:
2139:
1969:
1912:
1892:
1869:
1686:
1356:
1248:
1186:> 0 independent of
1173:
1036:
947:
739:be a finite interval,
708:
673:
555:
381:
307:
236:
123:
3100:
2906:
2289:
2212:
2140:
1970:
1913:
1893:
1870:
1687:
1357:
1249:
1174:
1042:in the following way
1037:
948:
709:
653:
556:
382:
308:
237:
136:â„ 2 contained in the
124:
46:Chebyshev polynomials
3259:Theorems in analysis
2957:
2304:
2222:
2155:
1982:
1922:
1902:
1882:
1702:
1369:
1275:
1205:
1049:
987:
753:
635:
627:Nazarov's inequality
423:
320:
282:
260:Chebyshev polynomial
151:
88:
577:for any polynomial
3095:
2901:
2899:
2889:
2802:
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2593:
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2284:
2207:
2193:
2135:
2112:
2061:
1965:
1954:
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1865:
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1763:
1682:
1584:
1544:
1427:
1387:
1352:
1244:
1169:
1032:
943:
914:
811:
771:
704:
614:'s inequality for
551:
528:
441:
377:
303:
232:
185:
119:
3229:978-3-0348-9541-5
3091:
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2755:
2718:
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2629:
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2500:
2471:
2437:
2361:
2192:
2097:
2052:
2026:
1953:
1891:{\displaystyle E}
1862:
1840:
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1754:
1661:
1575:
1522:
1504:
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899:
881:
802:
756:
575:
574:
513:
501:
426:
278:is increasing on
154:
3271:
3245:
3233:
3199:
3192:Algebra i Analiz
3183:
3181:
3156:
3127:
3104:
3102:
3101:
3096:
3089:
3075:
3074:
3070:
3061:
3057:
3055:
3045:
3030:
3017:
3013:
3006:
3002:
2981:
2924:PĂłlya inequality
2918:PĂłlya inequality
2910:
2908:
2907:
2902:
2900:
2890:
2886:
2882:
2881:
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2858:
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2852:
2837:
2836:
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2820:
2819:
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2719:
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2706:
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2693:
2685:
2677:
2673:
2672:
2667:
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2627:
2616:
2611:
2610:
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2592:
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2571:
2551:
2547:
2545:
2528:
2517:
2501:
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2485:
2472:
2464:
2462:
2461:
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2425:
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2402:
2401:
2400:
2399:
2363:
2359:
2355:
2354:
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2326:
2325:
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2290:
2285:
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2213:
2208:
2194:
2185:
2179:
2178:
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2136:
2134:
2117:
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2095:
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2079:
2078:
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1997:
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