4077:
4087:
2166:
2319:
2608:
1773:
1906:
1701:
612:
1979:
2177:
2427:
2735:
1595:
1551:
1817:
498:
106: = 924 ways this could happen. Another often cited example is that of a dance school with 7 couples, where, after tea-break the participants are told to
464:
2864:
4131:
3347:
3255:
507:
132:
4042:
3908:
3120:
2879:
2728:
3803:
3567:
2521:
3241:
3562:
3506:
3166:
2804:
3312:
4121:
3848:
3582:
3435:
3110:
2854:
1716:
4090:
3307:
4080:
3752:
3728:
2721:
3949:
3577:
3826:
3787:
3759:
3733:
3651:
3000:
2748:
99:
For example, if seven presents are given to seven different people, but only two are destined to get the right present, there are
3937:
3903:
3769:
3764:
3609:
3417:
3115:
2869:
512:
Each entry in the table below on the left can be factored into two terms given in the table below on the right: the product of a
4116:
3687:
3600:
3572:
3481:
3430:
3404:
3302:
3085:
3050:
3701:
3618:
3455:
3202:
3080:
3055:
2919:
2914:
2909:
3379:
2889:
2884:
1825:
4126:
4017:
3883:
3591:
3440:
3372:
3357:
3250:
3224:
3156:
2995:
2826:
2811:
2673:
1601:
3534:
533:
3913:
3853:
3843:
3460:
3161:
3020:
2684:
3262:
3005:
2934:
3898:
3893:
3838:
3774:
3539:
3317:
3214:
2799:
2161:{\displaystyle D_{n,m}={\frac {n!}{m!}}{\frac {e^{-z}}{1-z}}={\frac {n!}{m!}}\sum _{k=0}^{n-m}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}
3718:
3526:
2314:{\displaystyle D_{n,m}={n \choose m}D_{n-m,0}\;\;{\mbox{ and }}\;\;{\frac {D_{n,m}}{n!}}\approx {\frac {e^{-1}}{m!}}}
446:
The usual way (table above) to show the rencontres numbers is in columns corresponding to the number of fixed points
4032:
3808:
3627:
3409:
3362:
3231:
3207:
3187:
3030:
2904:
2784:
2648:
4037:
2980:
3821:
3782:
3656:
3493:
3337:
3282:
3180:
3144:
3015:
41:
3723:
3511:
3277:
3236:
3151:
3105:
3045:
3010:
2899:
2794:
2744:
2363:
2836:
4022:
3964:
3635:
3422:
3332:
3287:
3272:
3192:
3090:
3040:
3035:
2816:
2625:
grows, the probability distribution of the number of fixed points of a random permutation of a set of size
3888:
3876:
3865:
3747:
3643:
3450:
2894:
2874:
2779:
2384:
4111:
4012:
3969:
3813:
3488:
3342:
3322:
3219:
2789:
4062:
4057:
4052:
4047:
3984:
3954:
3833:
3476:
3367:
3267:
2970:
2929:
2924:
2821:
2630:
2464:
2456:
513:
3996:
3521:
3501:
3471:
3445:
3399:
3327:
3139:
3075:
2642:
1946:
1557:
1513:
4027:
3516:
3297:
3292:
3197:
3134:
3129:
2985:
2975:
2859:
2669:
2500:
2367:
3925:
3352:
3095:
3025:
2990:
2939:
2696:
1796:
3100:
2774:
60:
25:
471:
2614:
2699:
3173:
2437:
449:
2440:
number of fixed points is 1 (a fact that follows from linearity of expectation).
4105:
3796:
3544:
2831:
468:
But one can also order them in columns corresponding to the number of moved elements
17:
2713:
1950:
521:
2645:, a different mathematical problem involving the arrangement of diners at tables
2496:
2479:
th moment is smaller than that of that
Poisson distribution. Specifically, for
1504:
47:
33:
117: = 924 possibilities that 2 previous couples meet again by chance.
2704:
1911:
The proof is easy after one knows how to enumerate derangements: choose the
2603:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{D_{n,k} \over n!}={e^{-1} \over k!}.}
2676:, volume 104, number 3, March 1997, pages 201–209.
29:
2346:" is the total number of permutations of { 1, ...,
1768:{\displaystyle D_{n,0}=\left\lceil {\frac {n!}{e}}\right\rfloor ,}
2717:
2374: }. The probability that the number of fixed points is
530:
In this order each column corresponds to one subfactorial:
502:
127:
88:
is the number of permutations of { 1, ...,
2366:
of the number of fixed points of a uniformly distributed
2613:
This is just the probability that a
Poisson-distributed
2247:
2524:
2387:
2340:
The sum of the entries in each row for the table in "
2180:
1982:
1901:{\displaystyle D_{n,k}={n \choose k}\cdot D_{n-k,0}.}
1828:
1799:
1719:
1604:
1560:
1516:
536:
474:
452:
110:
find a partner to continue, then once more there are
1696:{\displaystyle D_{n+2,0}=(n+1)(D_{n+1,0}+D_{n,0})\!}
4005:
3963:
3864:
3700:
3678:
3669:
3553:
3388:
3064:
2961:
2952:
2845:
2765:
2756:
2691:, New York, Wiley, 1958, pages 57, 58, and 65.
607:{\displaystyle ~~~T(n,i)={\binom {n}{i}}~\cdot ~!i}
2651:, a similar problem involving partial derangements
2602:
2421:
2313:
2160:
1900:
1811:
1767:
1695:
1589:
1545:
606:
492:
458:
59:. By some accounts, the problem is named after a
2216:
2203:
1864:
1851:
1790: ≥ 1, this gives the nearest integer.
1692:
1586:
1542:
583:
570:
2526:
2515:As the size of the permuted set grows, we get
125:Here is the beginning of this array (sequence
2729:
8:
2668:Jim Pitman, "Some Probabilistic Aspects of
1919:; then choose the derangement of the other
3675:
2958:
2762:
2736:
2722:
2714:
2354:!. If one divides all the entries in the
2254:
2253:
2245:
2244:
436:
2689:An Introduction to Combinatorial Analysis
2578:
2572:
2547:
2541:
2529:
2523:
2394:
2388:
2386:
2292:
2286:
2261:
2255:
2246:
2226:
2215:
2202:
2200:
2185:
2179:
2138:
2122:
2110:
2099:
2075:
2050:
2044:
2029:
2002:
1987:
1981:
1877:
1863:
1850:
1848:
1833:
1827:
1798:
1743:
1724:
1718:
1677:
1652:
1609:
1603:
1565:
1559:
1521:
1515:
582:
569:
567:
535:
473:
451:
2459:of this probability distribution is the
920:
619:
137:
2661:
1960:; accordingly, an explicit formula for
1778:where the ratio is rounded up for even
7:
4086:
440:ordered by number of moved elements
36:of the set { 1, ...,
4132:Theory of probability distributions
2422:{\displaystyle {D_{n,k} \over n!}.}
2617:with expected value 1 is equal to
2536:
2207:
1855:
574:
40: } with specified numbers of
14:
2511:Limiting probability distribution
2467:with expected value 1. For
4085:
4076:
4075:
1503: = 0 column enumerate
2533:
2171:This immediately implies that
2135:
2125:
2041:
2022:
1689:
1645:
1642:
1630:
561:
549:
1:
2674:American Mathematical Monthly
2633:with expected value 1.
2370:of { 1, ...,
1590:{\displaystyle D_{1,0}=0,\!}
1546:{\displaystyle D_{0,0}=1,\!}
1973:can be derived as follows:
4148:
4122:Fixed points (mathematics)
3909:Wrapped asymmetric Laplace
2880:Extended negative binomial
2499:, i.e. the number of
2350: }, and is therefore
92: } that have exactly
4071:
3568:Generalized extreme value
3348:Relativistic Breit–Wigner
2745:Probability distributions
1782:and rounded down for odd
444:
439:
2364:probability distribution
2336:Probability distribution
1793:More generally, for any
75:, the rencontres number
3563:Generalized chi-squared
3507:Normal-inverse Gaussian
1812:{\displaystyle k\geq 0}
67: ≥ 0 and 0 ≤
4117:Discrete distributions
3875:Univariate (circular)
3436:Generalized hyperbolic
2865:Conway–Maxwell–Poisson
2855:Beta negative binomial
2700:"Partial Derangements"
2621:. In other words, as
2604:
2423:
2315:
2162:
2121:
1902:
1813:
1769:
1697:
1591:
1547:
608:
494:
460:
3920:Bivariate (spherical)
3418:Kaniadakis Îş-Gaussian
2605:
2424:
2316:
2163:
2095:
1903:
1814:
1770:
1698:
1592:
1548:
609:
495:
493:{\displaystyle i=n-k}
461:
4127:Triangles of numbers
3985:Dirac delta function
3932:Bivariate (toroidal)
3889:Univariate von Mises
3760:Multivariate Laplace
3652:Shifted log-logistic
3001:Continuous Bernoulli
2649:Problème des ménages
2631:Poisson distribution
2522:
2465:Poisson distribution
2443:More generally, for
2436: ≥ 1, the
2385:
2178:
1980:
1915:fixed points out of
1826:
1797:
1717:
1710:. It turns out that
1602:
1558:
1514:
534:
514:binomial coefficient
472:
450:
4033:Natural exponential
3938:Bivariate von Mises
3904:Wrapped exponential
3770:Multivariate stable
3765:Multivariate normal
3086:Benktander 2nd kind
3081:Benktander 1st kind
2870:Discrete phase-type
2643:Oberwolfach problem
1923: −
1499:The numbers in the
3688:Rectified Gaussian
3573:Generalized Pareto
3431:Generalized normal
3303:Matrix-exponential
2697:Weisstein, Eric W.
2600:
2540:
2419:
2368:random permutation
2311:
2251:
2158:
1898:
1809:
1765:
1693:
1587:
1543:
604:
490:
456:
44:: in other words,
22:rencontres numbers
4099:
4098:
3696:
3695:
3665:
3664:
3556:whose type varies
3502:Normal (Gaussian)
3456:Hyperbolic secant
3405:Exponential power
3308:Maxwell–Boltzmann
3056:Wigner semicircle
2948:
2947:
2920:Parabolic fractal
2910:Negative binomial
2595:
2567:
2525:
2503:of a set of size
2491:th moment is the
2463:th moment of the
2414:
2309:
2281:
2250:
2214:
2153:
2093:
2070:
2020:
1862:
1756:
1706:for non-negative
1492:
1491:
1488:
1487:
917:
916:
597:
591:
581:
545:
542:
539:
524:(given second in
459:{\displaystyle k}
435:
434:
4139:
4089:
4088:
4079:
4078:
4018:Compound Poisson
3993:
3981:
3950:von Mises–Fisher
3946:
3934:
3922:
3884:Circular uniform
3880:
3800:
3744:
3715:
3676:
3578:Marchenko–Pastur
3441:Geometric stable
3358:Truncated normal
3251:Inverse Gaussian
3157:Hyperexponential
2996:Beta rectangular
2964:bounded interval
2959:
2827:Discrete uniform
2812:Poisson binomial
2763:
2738:
2731:
2724:
2715:
2710:
2709:
2677:
2666:
2609:
2607:
2606:
2601:
2596:
2594:
2586:
2585:
2573:
2568:
2566:
2558:
2557:
2542:
2539:
2471: >
2428:
2426:
2425:
2420:
2415:
2413:
2405:
2404:
2389:
2362:!, one gets the
2343:Numerical Values
2320:
2318:
2317:
2312:
2310:
2308:
2300:
2299:
2287:
2282:
2280:
2272:
2271:
2256:
2252:
2248:
2243:
2242:
2221:
2220:
2219:
2206:
2196:
2195:
2167:
2165:
2164:
2159:
2154:
2152:
2144:
2143:
2142:
2123:
2120:
2109:
2094:
2092:
2084:
2076:
2071:
2069:
2058:
2057:
2045:
2040:
2039:
2021:
2019:
2011:
2003:
1998:
1997:
1959:
1944:
1907:
1905:
1904:
1899:
1894:
1893:
1869:
1868:
1867:
1854:
1844:
1843:
1818:
1816:
1815:
1810:
1774:
1772:
1771:
1766:
1761:
1757:
1752:
1744:
1735:
1734:
1702:
1700:
1699:
1694:
1688:
1687:
1669:
1668:
1626:
1625:
1596:
1594:
1593:
1588:
1576:
1575:
1552:
1550:
1549:
1544:
1532:
1531:
1484:
1480:
1475:
1471:
1466:
1462:
1457:
1453:
1448:
1444:
1439:
1435:
1430:
1426:
1421:
1417:
1412:
1408:
1396:
1392:
1387:
1383:
1378:
1374:
1369:
1365:
1360:
1356:
1351:
1347:
1342:
1338:
1333:
1329:
1315:
1311:
1306:
1302:
1297:
1293:
1288:
1284:
1279:
1275:
1270:
1266:
1261:
1257:
1241:
1237:
1232:
1228:
1223:
1219:
1214:
1210:
1205:
1201:
1196:
1192:
1174:
1170:
1165:
1161:
1156:
1152:
1147:
1143:
1138:
1134:
1114:
1110:
1105:
1101:
1096:
1092:
1087:
1083:
1061:
1057:
1052:
1048:
1043:
1039:
1015:
1011:
1006:
1002:
976:
972:
933:
928:
921:
632:
627:
620:
613:
611:
610:
605:
595:
589:
588:
587:
586:
573:
543:
540:
537:
527:
519:
516:(given first in
505:
499:
497:
496:
491:
465:
463:
462:
457:
437:
150:
145:
138:
130:
121:Numerical values
26:triangular array
4147:
4146:
4142:
4141:
4140:
4138:
4137:
4136:
4102:
4101:
4100:
4095:
4067:
4043:Maximum entropy
4001:
3989:
3977:
3967:
3959:
3942:
3930:
3918:
3873:
3860:
3797:Matrix-valued:
3794:
3740:
3711:
3703:
3692:
3680:
3671:
3661:
3555:
3549:
3466:
3392:
3390:
3384:
3313:Maxwell–Jüttner
3162:Hypoexponential
3068:
3066:
3065:supported on a
3060:
3021:Noncentral beta
2981:Balding–Nichols
2963:
2962:supported on a
2954:
2944:
2847:
2841:
2837:Zipf–Mandelbrot
2767:
2758:
2752:
2742:
2695:
2694:
2681:
2680:
2667:
2663:
2658:
2639:
2629:approaches the
2615:random variable
2587:
2574:
2559:
2543:
2520:
2519:
2513:
2406:
2390:
2383:
2382:
2338:
2301:
2288:
2273:
2257:
2249: and
2222:
2201:
2181:
2176:
2175:
2145:
2134:
2124:
2085:
2077:
2059:
2046:
2025:
2012:
2004:
1983:
1978:
1977:
1972:
1957:
1953:
1942:
1938:
1936:
1931:
1873:
1849:
1829:
1824:
1823:
1795:
1794:
1745:
1739:
1720:
1715:
1714:
1673:
1648:
1605:
1600:
1599:
1561:
1556:
1555:
1517:
1512:
1511:
1497:
1482:
1478:
1473:
1469:
1464:
1460:
1455:
1451:
1446:
1442:
1437:
1433:
1428:
1424:
1419:
1415:
1410:
1406:
1394:
1390:
1385:
1381:
1376:
1372:
1367:
1363:
1358:
1354:
1349:
1345:
1340:
1336:
1331:
1327:
1313:
1309:
1304:
1300:
1295:
1291:
1286:
1282:
1277:
1273:
1268:
1264:
1259:
1255:
1239:
1235:
1230:
1226:
1221:
1217:
1212:
1208:
1203:
1199:
1194:
1190:
1172:
1168:
1163:
1159:
1154:
1150:
1145:
1141:
1136:
1132:
1112:
1108:
1103:
1099:
1094:
1090:
1085:
1081:
1059:
1055:
1050:
1046:
1041:
1037:
1013:
1009:
1004:
1000:
974:
970:
935:
931:
929:
926:
634:
630:
628:
625:
568:
532:
531:
529:
525:
517:
511:
501:
470:
469:
467:
448:
447:
152:
148:
146:
143:
126:
123:
116:
105:
87:
32:that enumerate
12:
11:
5:
4145:
4143:
4135:
4134:
4129:
4124:
4119:
4114:
4104:
4103:
4097:
4096:
4094:
4093:
4083:
4072:
4069:
4068:
4066:
4065:
4060:
4055:
4050:
4045:
4040:
4038:Location–scale
4035:
4030:
4025:
4020:
4015:
4009:
4007:
4003:
4002:
4000:
3999:
3994:
3987:
3982:
3974:
3972:
3961:
3960:
3958:
3957:
3952:
3947:
3940:
3935:
3928:
3923:
3916:
3911:
3906:
3901:
3899:Wrapped Cauchy
3896:
3894:Wrapped normal
3891:
3886:
3881:
3870:
3868:
3862:
3861:
3859:
3858:
3857:
3856:
3851:
3849:Normal-inverse
3846:
3841:
3831:
3830:
3829:
3819:
3811:
3806:
3801:
3792:
3791:
3790:
3780:
3772:
3767:
3762:
3757:
3756:
3755:
3745:
3738:
3737:
3736:
3731:
3721:
3716:
3708:
3706:
3698:
3697:
3694:
3693:
3691:
3690:
3684:
3682:
3673:
3667:
3666:
3663:
3662:
3660:
3659:
3654:
3649:
3641:
3633:
3625:
3616:
3607:
3598:
3589:
3580:
3575:
3570:
3565:
3559:
3557:
3551:
3550:
3548:
3547:
3542:
3540:Variance-gamma
3537:
3532:
3524:
3519:
3514:
3509:
3504:
3499:
3491:
3486:
3485:
3484:
3474:
3469:
3464:
3458:
3453:
3448:
3443:
3438:
3433:
3428:
3420:
3415:
3407:
3402:
3396:
3394:
3386:
3385:
3383:
3382:
3380:Wilks's lambda
3377:
3376:
3375:
3365:
3360:
3355:
3350:
3345:
3340:
3335:
3330:
3325:
3320:
3318:Mittag-Leffler
3315:
3310:
3305:
3300:
3295:
3290:
3285:
3280:
3275:
3270:
3265:
3260:
3259:
3258:
3248:
3239:
3234:
3229:
3228:
3227:
3217:
3215:gamma/Gompertz
3212:
3211:
3210:
3205:
3195:
3190:
3185:
3184:
3183:
3171:
3170:
3169:
3164:
3159:
3149:
3148:
3147:
3137:
3132:
3127:
3126:
3125:
3124:
3123:
3113:
3103:
3098:
3093:
3088:
3083:
3078:
3072:
3070:
3067:semi-infinite
3062:
3061:
3059:
3058:
3053:
3048:
3043:
3038:
3033:
3028:
3023:
3018:
3013:
3008:
3003:
2998:
2993:
2988:
2983:
2978:
2973:
2967:
2965:
2956:
2950:
2949:
2946:
2945:
2943:
2942:
2937:
2932:
2927:
2922:
2917:
2912:
2907:
2902:
2897:
2892:
2887:
2882:
2877:
2872:
2867:
2862:
2857:
2851:
2849:
2846:with infinite
2843:
2842:
2840:
2839:
2834:
2829:
2824:
2819:
2814:
2809:
2808:
2807:
2800:Hypergeometric
2797:
2792:
2787:
2782:
2777:
2771:
2769:
2760:
2754:
2753:
2743:
2741:
2740:
2733:
2726:
2718:
2712:
2711:
2692:
2679:
2678:
2670:Set Partitions
2660:
2659:
2657:
2654:
2653:
2652:
2646:
2638:
2635:
2611:
2610:
2599:
2593:
2590:
2584:
2581:
2577:
2571:
2565:
2562:
2556:
2553:
2550:
2546:
2538:
2535:
2532:
2528:
2512:
2509:
2430:
2429:
2418:
2412:
2409:
2403:
2400:
2397:
2393:
2337:
2334:
2322:
2321:
2307:
2304:
2298:
2295:
2291:
2285:
2279:
2276:
2270:
2267:
2264:
2260:
2241:
2238:
2235:
2232:
2229:
2225:
2218:
2213:
2210:
2205:
2199:
2194:
2191:
2188:
2184:
2169:
2168:
2157:
2151:
2148:
2141:
2137:
2133:
2130:
2127:
2119:
2116:
2113:
2108:
2105:
2102:
2098:
2091:
2088:
2083:
2080:
2074:
2068:
2065:
2062:
2056:
2053:
2049:
2043:
2038:
2035:
2032:
2028:
2024:
2018:
2015:
2010:
2007:
2001:
1996:
1993:
1990:
1986:
1964:
1955:
1940:
1934:
1933:
1909:
1908:
1897:
1892:
1889:
1886:
1883:
1880:
1876:
1872:
1866:
1861:
1858:
1853:
1847:
1842:
1839:
1836:
1832:
1808:
1805:
1802:
1776:
1775:
1764:
1760:
1755:
1751:
1748:
1742:
1738:
1733:
1730:
1727:
1723:
1704:
1703:
1691:
1686:
1683:
1680:
1676:
1672:
1667:
1664:
1661:
1658:
1655:
1651:
1647:
1644:
1641:
1638:
1635:
1632:
1629:
1624:
1621:
1618:
1615:
1612:
1608:
1597:
1585:
1582:
1579:
1574:
1571:
1568:
1564:
1553:
1541:
1538:
1535:
1530:
1527:
1524:
1520:
1496:
1493:
1490:
1489:
1486:
1485:
1476:
1467:
1458:
1449:
1440:
1431:
1422:
1413:
1404:
1400:
1399:
1397:
1388:
1379:
1370:
1361:
1352:
1343:
1334:
1325:
1321:
1320:
1318:
1316:
1307:
1298:
1289:
1280:
1271:
1262:
1253:
1249:
1248:
1246:
1244:
1242:
1233:
1224:
1215:
1206:
1197:
1188:
1184:
1183:
1181:
1179:
1177:
1175:
1166:
1157:
1148:
1139:
1130:
1126:
1125:
1123:
1121:
1119:
1117:
1115:
1106:
1097:
1088:
1079:
1075:
1074:
1072:
1070:
1068:
1066:
1064:
1062:
1053:
1044:
1035:
1031:
1030:
1028:
1026:
1024:
1022:
1020:
1018:
1016:
1007:
998:
994:
993:
991:
989:
987:
985:
983:
981:
979:
977:
968:
964:
963:
960:
957:
954:
951:
948:
945:
942:
939:
936:
930:
924:
918:
915:
914:
911:
908:
905:
902:
899:
896:
893:
890:
887:
883:
882:
880:
877:
874:
871:
868:
865:
862:
859:
856:
852:
851:
849:
847:
844:
841:
838:
835:
832:
829:
826:
822:
821:
819:
817:
815:
812:
809:
806:
803:
800:
797:
793:
792:
790:
788:
786:
784:
781:
778:
775:
772:
769:
765:
764:
762:
760:
758:
756:
754:
751:
748:
745:
742:
738:
737:
735:
733:
731:
729:
727:
725:
722:
719:
716:
712:
711:
709:
707:
705:
703:
701:
699:
697:
694:
691:
687:
686:
684:
682:
680:
678:
676:
674:
672:
670:
667:
663:
662:
659:
656:
653:
650:
647:
644:
641:
638:
635:
629:
623:
616:
615:
603:
600:
594:
585:
580:
577:
572:
566:
563:
560:
557:
554:
551:
548:
489:
486:
483:
480:
477:
455:
442:
441:
433:
432:
429:
426:
423:
420:
417:
414:
411:
408:
405:
401:
400:
398:
395:
392:
389:
386:
383:
380:
377:
374:
370:
369:
367:
365:
362:
359:
356:
353:
350:
347:
344:
340:
339:
337:
335:
333:
330:
327:
324:
321:
318:
315:
311:
310:
308:
306:
304:
302:
299:
296:
293:
290:
287:
283:
282:
280:
278:
276:
274:
272:
269:
266:
263:
260:
256:
255:
253:
251:
249:
247:
245:
243:
240:
237:
234:
230:
229:
227:
225:
223:
221:
219:
217:
215:
212:
209:
205:
204:
202:
200:
198:
196:
194:
192:
190:
188:
185:
181:
180:
177:
174:
171:
168:
165:
162:
159:
156:
153:
147:
141:
122:
119:
114:
103:
96:fixed points.
79:
55:is French for
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
4144:
4133:
4130:
4128:
4125:
4123:
4120:
4118:
4115:
4113:
4110:
4109:
4107:
4092:
4084:
4082:
4074:
4073:
4070:
4064:
4061:
4059:
4056:
4054:
4051:
4049:
4046:
4044:
4041:
4039:
4036:
4034:
4031:
4029:
4026:
4024:
4021:
4019:
4016:
4014:
4011:
4010:
4008:
4004:
3998:
3995:
3992:
3988:
3986:
3983:
3980:
3976:
3975:
3973:
3971:
3966:
3962:
3956:
3953:
3951:
3948:
3945:
3941:
3939:
3936:
3933:
3929:
3927:
3924:
3921:
3917:
3915:
3912:
3910:
3907:
3905:
3902:
3900:
3897:
3895:
3892:
3890:
3887:
3885:
3882:
3879:
3878:
3872:
3871:
3869:
3867:
3863:
3855:
3852:
3850:
3847:
3845:
3842:
3840:
3837:
3836:
3835:
3832:
3828:
3825:
3824:
3823:
3820:
3818:
3817:
3812:
3810:
3809:Matrix normal
3807:
3805:
3802:
3799:
3798:
3793:
3789:
3786:
3785:
3784:
3781:
3779:
3778:
3775:Multivariate
3773:
3771:
3768:
3766:
3763:
3761:
3758:
3754:
3751:
3750:
3749:
3746:
3743:
3739:
3735:
3732:
3730:
3727:
3726:
3725:
3722:
3720:
3717:
3714:
3710:
3709:
3707:
3705:
3702:Multivariate
3699:
3689:
3686:
3685:
3683:
3677:
3674:
3668:
3658:
3655:
3653:
3650:
3648:
3646:
3642:
3640:
3638:
3634:
3632:
3630:
3626:
3624:
3622:
3617:
3615:
3613:
3608:
3606:
3604:
3599:
3597:
3595:
3590:
3588:
3586:
3581:
3579:
3576:
3574:
3571:
3569:
3566:
3564:
3561:
3560:
3558:
3554:with support
3552:
3546:
3543:
3541:
3538:
3536:
3533:
3531:
3530:
3525:
3523:
3520:
3518:
3515:
3513:
3510:
3508:
3505:
3503:
3500:
3498:
3497:
3492:
3490:
3487:
3483:
3480:
3479:
3478:
3475:
3473:
3470:
3468:
3467:
3459:
3457:
3454:
3452:
3449:
3447:
3444:
3442:
3439:
3437:
3434:
3432:
3429:
3427:
3426:
3421:
3419:
3416:
3414:
3413:
3408:
3406:
3403:
3401:
3398:
3397:
3395:
3391:on the whole
3387:
3381:
3378:
3374:
3371:
3370:
3369:
3366:
3364:
3363:type-2 Gumbel
3361:
3359:
3356:
3354:
3351:
3349:
3346:
3344:
3341:
3339:
3336:
3334:
3331:
3329:
3326:
3324:
3321:
3319:
3316:
3314:
3311:
3309:
3306:
3304:
3301:
3299:
3296:
3294:
3291:
3289:
3286:
3284:
3281:
3279:
3276:
3274:
3271:
3269:
3266:
3264:
3261:
3257:
3254:
3253:
3252:
3249:
3247:
3245:
3240:
3238:
3235:
3233:
3232:Half-logistic
3230:
3226:
3223:
3222:
3221:
3218:
3216:
3213:
3209:
3206:
3204:
3201:
3200:
3199:
3196:
3194:
3191:
3189:
3188:Folded normal
3186:
3182:
3179:
3178:
3177:
3176:
3172:
3168:
3165:
3163:
3160:
3158:
3155:
3154:
3153:
3150:
3146:
3143:
3142:
3141:
3138:
3136:
3133:
3131:
3128:
3122:
3119:
3118:
3117:
3114:
3112:
3109:
3108:
3107:
3104:
3102:
3099:
3097:
3094:
3092:
3089:
3087:
3084:
3082:
3079:
3077:
3074:
3073:
3071:
3063:
3057:
3054:
3052:
3049:
3047:
3044:
3042:
3039:
3037:
3034:
3032:
3031:Raised cosine
3029:
3027:
3024:
3022:
3019:
3017:
3014:
3012:
3009:
3007:
3004:
3002:
2999:
2997:
2994:
2992:
2989:
2987:
2984:
2982:
2979:
2977:
2974:
2972:
2969:
2968:
2966:
2960:
2957:
2951:
2941:
2938:
2936:
2933:
2931:
2928:
2926:
2923:
2921:
2918:
2916:
2913:
2911:
2908:
2906:
2905:Mixed Poisson
2903:
2901:
2898:
2896:
2893:
2891:
2888:
2886:
2883:
2881:
2878:
2876:
2873:
2871:
2868:
2866:
2863:
2861:
2858:
2856:
2853:
2852:
2850:
2844:
2838:
2835:
2833:
2830:
2828:
2825:
2823:
2820:
2818:
2815:
2813:
2810:
2806:
2803:
2802:
2801:
2798:
2796:
2793:
2791:
2788:
2786:
2785:Beta-binomial
2783:
2781:
2778:
2776:
2773:
2772:
2770:
2764:
2761:
2755:
2750:
2746:
2739:
2734:
2732:
2727:
2725:
2720:
2719:
2716:
2707:
2706:
2701:
2698:
2693:
2690:
2686:
2685:Riordan, John
2683:
2682:
2675:
2671:
2665:
2662:
2655:
2650:
2647:
2644:
2641:
2640:
2636:
2634:
2632:
2628:
2624:
2620:
2616:
2597:
2591:
2588:
2582:
2579:
2575:
2569:
2563:
2560:
2554:
2551:
2548:
2544:
2530:
2518:
2517:
2516:
2510:
2508:
2506:
2502:
2498:
2494:
2490:
2486:
2483: ≤
2482:
2478:
2474:
2470:
2466:
2462:
2458:
2454:
2450:
2447: ≤
2446:
2441:
2439:
2435:
2416:
2410:
2407:
2401:
2398:
2395:
2391:
2381:
2380:
2379:
2377:
2373:
2369:
2365:
2361:
2357:
2353:
2349:
2345:
2344:
2335:
2333:
2331:
2327:
2305:
2302:
2296:
2293:
2289:
2283:
2277:
2274:
2268:
2265:
2262:
2258:
2239:
2236:
2233:
2230:
2227:
2223:
2211:
2208:
2197:
2192:
2189:
2186:
2182:
2174:
2173:
2172:
2155:
2149:
2146:
2139:
2131:
2128:
2117:
2114:
2111:
2106:
2103:
2100:
2096:
2089:
2086:
2081:
2078:
2072:
2066:
2063:
2060:
2054:
2051:
2047:
2036:
2033:
2030:
2026:
2016:
2013:
2008:
2005:
1999:
1994:
1991:
1988:
1984:
1976:
1975:
1974:
1971:
1967:
1963:
1954:e/(1 −
1952:
1948:
1928:
1926:
1922:
1918:
1914:
1895:
1890:
1887:
1884:
1881:
1878:
1874:
1870:
1859:
1856:
1845:
1840:
1837:
1834:
1830:
1822:
1821:
1820:
1806:
1803:
1800:
1791:
1789:
1785:
1781:
1762:
1758:
1753:
1749:
1746:
1740:
1736:
1731:
1728:
1725:
1721:
1713:
1712:
1711:
1709:
1684:
1681:
1678:
1674:
1670:
1665:
1662:
1659:
1656:
1653:
1649:
1639:
1636:
1633:
1627:
1622:
1619:
1616:
1613:
1610:
1606:
1598:
1583:
1580:
1577:
1572:
1569:
1566:
1562:
1554:
1539:
1536:
1533:
1528:
1525:
1522:
1518:
1510:
1509:
1508:
1506:
1502:
1494:
1477:
1468:
1459:
1450:
1441:
1432:
1423:
1414:
1405:
1402:
1401:
1398:
1389:
1380:
1371:
1362:
1353:
1344:
1335:
1326:
1323:
1322:
1319:
1317:
1308:
1299:
1290:
1281:
1272:
1263:
1254:
1251:
1250:
1247:
1245:
1243:
1234:
1225:
1216:
1207:
1198:
1189:
1186:
1185:
1182:
1180:
1178:
1176:
1167:
1158:
1149:
1140:
1131:
1128:
1127:
1124:
1122:
1120:
1118:
1116:
1107:
1098:
1089:
1080:
1077:
1076:
1073:
1071:
1069:
1067:
1065:
1063:
1054:
1045:
1036:
1033:
1032:
1029:
1027:
1025:
1023:
1021:
1019:
1017:
1008:
999:
996:
995:
992:
990:
988:
986:
984:
982:
980:
978:
969:
966:
965:
961:
958:
955:
952:
949:
946:
943:
940:
937:
923:
922:
919:
912:
909:
906:
903:
900:
897:
894:
891:
888:
885:
884:
881:
878:
875:
872:
869:
866:
863:
860:
857:
854:
853:
850:
848:
845:
842:
839:
836:
833:
830:
827:
824:
823:
820:
818:
816:
813:
810:
807:
804:
801:
798:
795:
794:
791:
789:
787:
785:
782:
779:
776:
773:
770:
767:
766:
763:
761:
759:
757:
755:
752:
749:
746:
743:
740:
739:
736:
734:
732:
730:
728:
726:
723:
720:
717:
714:
713:
710:
708:
706:
704:
702:
700:
698:
695:
692:
689:
688:
685:
683:
681:
679:
677:
675:
673:
671:
668:
665:
664:
660:
657:
654:
651:
648:
645:
642:
639:
636:
622:
621:
618:
617:
614:
601:
598:
592:
578:
575:
564:
558:
555:
552:
546:
523:
515:
509:
504:
487:
484:
481:
478:
475:
453:
443:
438:
430:
427:
424:
421:
418:
415:
412:
409:
406:
403:
402:
399:
396:
393:
390:
387:
384:
381:
378:
375:
372:
371:
368:
366:
363:
360:
357:
354:
351:
348:
345:
342:
341:
338:
336:
334:
331:
328:
325:
322:
319:
316:
313:
312:
309:
307:
305:
303:
300:
297:
294:
291:
288:
285:
284:
281:
279:
277:
275:
273:
270:
267:
264:
261:
258:
257:
254:
252:
250:
248:
246:
244:
241:
238:
235:
232:
231:
228:
226:
224:
222:
220:
218:
216:
213:
210:
207:
206:
203:
201:
199:
197:
195:
193:
191:
189:
186:
183:
182:
178:
175:
172:
169:
166:
163:
160:
157:
154:
140:
139:
136:
134:
129:
120:
118:
113:
109:
102:
97:
95:
91:
86:
82:
78:
74:
71: ≤
70:
66:
62:
58:
54:
50:
49:
43:
39:
35:
31:
27:
23:
19:
18:combinatorics
4112:Permutations
3990:
3978:
3944:Multivariate
3943:
3931:
3919:
3914:Wrapped LĂ©vy
3874:
3822:Matrix gamma
3815:
3795:
3783:Normal-gamma
3776:
3742:Continuous:
3741:
3712:
3657:Tukey lambda
3644:
3636:
3631:-exponential
3628:
3620:
3611:
3602:
3593:
3587:-exponential
3584:
3528:
3495:
3462:
3424:
3411:
3338:Poly-Weibull
3283:Log-logistic
3243:
3242:Hotelling's
3174:
3016:Logit-normal
2890:Gauss–Kuzmin
2885:Flory–Schulz
2766:with finite
2703:
2688:
2664:
2626:
2622:
2618:
2612:
2514:
2504:
2492:
2488:
2484:
2480:
2476:
2472:
2468:
2460:
2452:
2448:
2444:
2442:
2433:
2431:
2375:
2371:
2359:
2355:
2351:
2347:
2342:
2341:
2339:
2329:
2325:
2323:
2170:
1969:
1965:
1961:
1951:power series
1930:The numbers
1929:
1924:
1920:
1916:
1912:
1910:
1792:
1787:
1783:
1779:
1777:
1707:
1705:
1505:derangements
1500:
1498:
522:subfactorial
445:
124:
111:
107:
100:
98:
93:
89:
84:
80:
76:
72:
68:
64:
63:game.) For
56:
52:
48:derangements
45:
42:fixed points
37:
34:permutations
21:
15:
4028:Exponential
3877:directional
3866:Directional
3753:Generalized
3724:Multinomial
3679:continuous-
3619:Kaniadakis
3610:Kaniadakis
3601:Kaniadakis
3592:Kaniadakis
3583:Kaniadakis
3535:Tracy–Widom
3512:Skew normal
3494:Noncentral
3278:Log-Laplace
3256:Generalized
3237:Half-normal
3203:Generalized
3167:Logarithmic
3152:Exponential
3106:Chi-squared
3046:U-quadratic
3011:Kumaraswamy
2953:Continuous
2900:Logarithmic
2795:Categorical
2497:Bell number
4106:Categories
4023:Elliptical
3979:Degenerate
3965:Degenerate
3713:Discrete:
3672:univariate
3527:Student's
3482:Asymmetric
3461:Johnson's
3389:supported
3333:Phase-type
3288:Log-normal
3273:Log-Cauchy
3263:Kolmogorov
3181:Noncentral
3111:Noncentral
3091:Beta prime
3041:Triangular
3036:Reciprocal
3006:Irwin–Hall
2955:univariate
2935:Yule–Simon
2817:Rademacher
2759:univariate
2656:References
2501:partitions
2358:th row by
1819:, we have
500:(sequence
3748:Dirichlet
3729:Dirichlet
3639:-Gaussian
3614:-Logistic
3451:Holtsmark
3423:Gaussian
3410:Fisher's
3393:real line
2895:Geometric
2875:Delaporte
2780:Bernoulli
2757:Discrete
2705:MathWorld
2580:−
2537:∞
2534:→
2294:−
2284:≈
2231:−
2129:−
2115:−
2097:∑
2064:−
2052:−
2034:−
1947:generated
1882:−
1871:⋅
1804:≥
593:⋅
485:−
115:7, 2
104:7, 2
61:solitaire
57:encounter
53:Rencontre
4081:Category
4013:Circular
4006:Families
3991:Singular
3970:singular
3734:Negative
3681:discrete
3647:-Weibull
3605:-Weibull
3489:Logistic
3373:Discrete
3343:Rayleigh
3323:Nakagami
3246:-squared
3220:Gompertz
3069:interval
2805:Negative
2790:Binomial
2637:See also
2438:expected
1927:points.
1759:⌋
1741:⌈
1507:. Thus
1495:Formulas
520:) and a
108:randomly
46:partial
30:integers
4091:Commons
4063:Wrapped
4058:Tweedie
4053:Pearson
4048:Mixture
3955:Bingham
3854:Complex
3844:Inverse
3834:Wishart
3827:Inverse
3814:Matrix
3788:Inverse
3704:(joint)
3623:-Erlang
3477:Laplace
3368:Weibull
3225:Shifted
3208:Inverse
3193:Fréchet
3116:Inverse
3051:Uniform
2971:Arcsine
2930:Skellam
2925:Poisson
2848:support
2822:Soliton
2775:Benford
2768:support
2332:fixed.
2328:large,
1968:,
1949:by the
506:in the
503:A098825
131:in the
128:A008290
83:,
3997:Cantor
3839:Normal
3670:Mixed
3596:-Gamma
3522:Stable
3472:Landau
3446:Gumbel
3400:Cauchy
3328:Pareto
3140:Erlang
3121:Scaled
3076:Benini
2915:Panjer
2487:, the
2475:, the
2457:moment
2451:, the
1786:. For
934:
925:
913:14833
910:14832
633:
624:
596:
590:
544:
541:
538:
410:14832
407:14833
151:
142:
24:are a
20:, the
3719:Ewens
3545:Voigt
3517:Slash
3298:Lomax
3293:Log-t
3198:Gamma
3145:Hyper
3135:Davis
3130:Dagum
2986:Bates
2976:ARGUS
2860:Borel
1483:14833
907:7420
904:2464
879:1854
876:1855
416:2464
413:7420
379:1855
376:1854
3968:and
3926:Kent
3353:Rice
3268:LĂ©vy
3096:Burr
3026:PERT
2991:Beta
2940:Zeta
2832:Zipf
2749:list
2432:For
2324:for
1945:are
1474:1854
1395:1854
901:630
898:112
873:924
870:315
846:265
843:264
840:135
526:blue
508:OEIS
422:112
419:630
385:315
382:924
352:135
349:264
346:265
133:OEIS
51:. (
3804:LKJ
3101:Chi
2672:",
2527:lim
2495:th
2455:th
2378:is
1465:265
1386:265
1314:265
895:28
867:70
864:21
837:40
834:15
814:44
811:45
808:20
805:10
518:red
425:28
391:21
388:70
358:15
355:40
326:10
323:20
320:45
317:44
135:):
28:of
16:In
4108::
2702:.
2687:,
2507:.
1943:!)
1939:/(
1937:,0
1461:28
1456:44
1452:56
1443:70
1434:56
1425:28
1403:8
1377:44
1373:21
1364:35
1355:35
1346:21
1324:7
1305:44
1292:15
1283:20
1274:15
1252:6
1240:44
1218:10
1209:10
1187:5
1129:4
1078:3
1034:2
997:1
967:0
962:8
892:0
889:1
886:8
861:0
858:1
855:7
831:0
828:1
825:6
802:0
799:1
796:5
783:9
780:8
777:6
774:0
771:1
768:4
753:2
750:3
747:0
744:1
741:3
724:1
721:0
718:1
715:2
696:0
693:1
690:1
669:1
666:0
661:8
528:).
510:).
431:1
428:0
404:8
397:1
394:0
373:7
364:1
361:0
343:6
332:1
329:0
314:5
301:1
298:0
295:6
292:8
289:9
286:4
271:1
268:0
265:3
262:2
259:3
242:1
239:0
236:1
233:2
214:1
211:0
208:1
187:1
184:0
179:8
3816:t
3777:t
3645:q
3637:q
3629:q
3621:Îş
3612:Îş
3603:Îş
3594:Îş
3585:Îş
3529:t
3496:t
3465:U
3463:S
3425:q
3412:z
3244:T
3175:F
2751:)
2747:(
2737:e
2730:t
2723:v
2708:.
2627:n
2623:n
2619:k
2598:.
2592:!
2589:k
2583:1
2576:e
2570:=
2564:!
2561:n
2555:k
2552:,
2549:n
2545:D
2531:n
2505:i
2493:i
2489:i
2485:n
2481:i
2477:i
2473:n
2469:i
2461:i
2453:i
2449:n
2445:i
2434:n
2417:.
2411:!
2408:n
2402:k
2399:,
2396:n
2392:D
2376:k
2372:n
2360:n
2356:n
2352:n
2348:n
2330:m
2326:n
2306:!
2303:m
2297:1
2290:e
2278:!
2275:n
2269:m
2266:,
2263:n
2259:D
2240:0
2237:,
2234:m
2228:n
2224:D
2217:)
2212:m
2209:n
2204:(
2198:=
2193:m
2190:,
2187:n
2183:D
2156:.
2150:!
2147:k
2140:k
2136:)
2132:1
2126:(
2118:m
2112:n
2107:0
2104:=
2101:k
2090:!
2087:m
2082:!
2079:n
2073:=
2067:z
2061:1
2055:z
2048:e
2042:]
2037:m
2031:n
2027:z
2023:[
2017:!
2014:m
2009:!
2006:n
2000:=
1995:m
1992:,
1989:n
1985:D
1970:m
1966:n
1962:D
1958:)
1956:z
1941:n
1935:n
1932:D
1925:k
1921:n
1917:n
1913:k
1896:.
1891:0
1888:,
1885:k
1879:n
1875:D
1865:)
1860:k
1857:n
1852:(
1846:=
1841:k
1838:,
1835:n
1831:D
1807:0
1801:k
1788:n
1784:n
1780:n
1763:,
1754:e
1750:!
1747:n
1737:=
1732:0
1729:,
1726:n
1722:D
1708:n
1690:)
1685:0
1682:,
1679:n
1675:D
1671:+
1666:0
1663:,
1660:1
1657:+
1654:n
1650:D
1646:(
1643:)
1640:1
1637:+
1634:n
1631:(
1628:=
1623:0
1620:,
1617:2
1614:+
1611:n
1607:D
1584:,
1581:0
1578:=
1573:0
1570:,
1567:1
1563:D
1540:,
1537:1
1534:=
1529:0
1526:,
1523:0
1519:D
1501:k
1481:â‹…
1479:1
1472:â‹…
1470:8
1463:â‹…
1454:â‹…
1447:9
1445:â‹…
1438:2
1436:â‹…
1429:1
1427:â‹…
1420:0
1418:â‹…
1416:8
1411:1
1409:â‹…
1407:1
1393:â‹…
1391:1
1384:â‹…
1382:7
1375:â‹…
1368:9
1366:â‹…
1359:2
1357:â‹…
1350:1
1348:â‹…
1341:0
1339:â‹…
1337:7
1332:1
1330:â‹…
1328:1
1312:â‹…
1310:1
1303:â‹…
1301:6
1296:9
1294:â‹…
1287:2
1285:â‹…
1278:1
1276:â‹…
1269:0
1267:â‹…
1265:6
1260:1
1258:â‹…
1256:1
1238:â‹…
1236:1
1231:9
1229:â‹…
1227:5
1222:2
1220:â‹…
1213:1
1211:â‹…
1204:0
1202:â‹…
1200:5
1195:1
1193:â‹…
1191:1
1173:9
1171:â‹…
1169:1
1164:2
1162:â‹…
1160:4
1155:1
1153:â‹…
1151:6
1146:0
1144:â‹…
1142:4
1137:1
1135:â‹…
1133:1
1113:2
1111:â‹…
1109:1
1104:1
1102:â‹…
1100:3
1095:0
1093:â‹…
1091:3
1086:1
1084:â‹…
1082:1
1060:1
1058:â‹…
1056:1
1051:0
1049:â‹…
1047:2
1042:1
1040:â‹…
1038:1
1014:0
1012:â‹…
1010:1
1005:1
1003:â‹…
1001:1
975:1
973:â‹…
971:1
959:7
956:6
953:5
950:4
947:3
944:2
941:1
938:0
932:n
927:i
658:7
655:6
652:5
649:4
646:3
643:2
640:1
637:0
631:n
626:i
602:i
599:!
584:)
579:i
576:n
571:(
565:=
562:)
559:i
556:,
553:n
550:(
547:T
488:k
482:n
479:=
476:i
466:.
454:k
176:7
173:6
170:5
167:4
164:3
161:2
158:1
155:0
149:n
144:k
112:D
101:D
94:k
90:n
85:k
81:n
77:D
73:n
69:k
65:n
38:n
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.