5531:
2695:
1666:
257:. The strong dual space plays such an important role in modern functional analysis, that the continuous dual space is usually assumed to have the strong dual topology unless indicated otherwise. To emphasize that the continuous dual space,
996:
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2860:
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3512:
5709:
5474:
4944:. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY:
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2970:
2938:
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1887:
1691:
1661:{\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |,\qquad y\in Y,\qquad B\in {\mathcal {B}}.}
290:
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2039:
1902:
1431:
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3026:
17:
1670:
The definition of the strong dual topology now proceeds as in the case of a TVS. Note that if
5445:
5050:
5040:
5023:
5013:
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4983:
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4923:
4913:
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991:{\displaystyle \sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y.}
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5450:
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5337:
5317:
5302:
5297:
5292:
5129:
4817: – Dual space topology of uniform convergence on some sub-collection of bounded subsets
1466:
5687:
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5312:
5266:
5214:
5209:
5180:
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3956:
3209:
3162:{\displaystyle \left\|x^{\prime }\right\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|}
5139:
4770:
4319:
3962:
3233:
2529:
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2855:{\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{B}:=\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|}
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720:
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27:
Continuous dual space endowed with the topology of uniform convergence on bounded sets
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4798:
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3077:
2162:{\displaystyle |f|_{B}=\sup _{x\in B}|f(x)|,\qquad {\text{ where }}f\in X^{\prime },}
5545:
5496:
5149:
5119:
4982:. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer.
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3205:
3000:
3631:{\displaystyle X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}
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3509:
is usually assumed to be endowed with the strong dual topology induced on it by
3217:
2010:
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5595:
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5194:
5190:
4366:
3364:{\displaystyle X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}
5027:
4997:
4927:
4912:. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press.
5767:
5653:
5620:
4963:
2577:
498:
5054:
4370:
2742:
1859:{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x).}
1791:{\displaystyle \left(X,X^{\prime },\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}
1287:{\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty .}
359:
Throughout, all vector spaces will be assumed to be over the field
2741:). This is a locally convex topology that is given by the set of
3725:{\displaystyle b\left(X^{\prime \prime },X_{b}^{\prime }\right).}
5549:
5065:
4238:
is locally convex, then this topology is finer than all other
4004:
is a metrizable locally convex space, then the strong dual of
2009:
and it coincides with the topology of uniform convergence on
4720:
4678:
4651:
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4552:
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2151:
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1926:(that is, on the space of all continuous linear functionals
1911:
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1760:
1650:
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708:{\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |.}
336:
304:
269:
220:
174:
81:
4811: – List of concrete topologies and topological spaces
4114:{\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right)}
1345:{\displaystyle \beta (Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
4459:, then its topology coincides with the strong topology
130:
topology of uniform convergence on bounded subsets of
4773:
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4045:
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3909:'s topology is identical to the strong dual topology
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102:
75:
52:
5037:
Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products
5010:
Topological Vector Spaces, Distributions and
Kernels
1421:{\displaystyle b(Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
5776:
5755:
5739:
5718:
5639:
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5285:
5227:
5173:
5108:
490:{\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
5421:Spectral theory of ordinary differential equations
4782:
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3630:
3560:
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192:
145:
108:
88:
58:
4891:
2549:A basis of closed neighborhoods of the origin in
2002:{\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right),}
242:{\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right).}
4498:{\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right)}
3109:
2808:
2632:
2094:
1585:
1235:
924:
662:
4823: – Locally convex topological vector space
4908:Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011).
4420:{\displaystyle X_{b(X^{\prime },X)}^{\prime }}
2526:forms a fundamental system of bounded sets of
5561:
5077:
4879:
4867:
4855:
3479:Unless indicated otherwise, the vector space
1523:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
8:
4763:is identical to the topology induced by the
4636:with the strong topology coincides with the
4125:if and only if there exists a countable set
3472:{\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right).}
3119:
3113:
3036:
3030:
1780:
1768:
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1605:
1517:
1505:
1412:
1400:
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956:
944:
694:
682:
481:
469:
4736:{\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right).}
4568:{\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right).}
3948:{\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}
193:{\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}
5568:
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5084:
5070:
5062:
3196:is identical to the strong dual topology.
3169:; the topology that this norm induces on
998:This is equivalent to the usual notion of
4772:
4748:
4719:
4702:
4677:
4671:
4650:
4644:
4620:
4614:
4587:
4551:
4534:
4510:
4484:
4464:
4440:
4411:
4395:
4384:
4378:
4346:
4321:
4300:
4299:
4297:
4276:
4270:
4247:
4246:
4244:
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4197:
4196:
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4132:
4130:
4095:
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4044:
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3964:
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3776:
3744:
3708:
3703:
3687:
3673:
3668:is endowed with the strong dual topology
3649:
3643:
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3617:
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3602:
3592:
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3484:
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3414:
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3355:
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3340:
3330:
3326:
3317:
3311:
3291:
3286:is the strong dual of the strong dual of
3264:
3258:
3235:
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3174:
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1945:
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1559:
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1209:
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652:
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303:
298:
292:
268:
262:
219:
205:
173:
159:
135:
101:
80:
74:
51:
5374:Group algebra of a locally compact group
4848:
2063:generated by the seminorms of the form
1554:generated by the seminorms of the form
3430:endowed with the strong dual topology
1022:is given the weak topology induced by
5012:. Mineola, N.Y.: Dover Publications.
4059:is Hausdorff locally convex TVS then
2506:; the set of all bounded subsets of
2297:{\displaystyle X_{\beta }^{\prime }.}
1690:is a TVS whose continuous dual space
7:
5039:. Berlin New York: Springer-Verlag.
4946:McGraw-Hill Science/Engineering/Math
1960:) is defined as the strong topology
344:{\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}
5631:Topologies on spaces of linear maps
4837:Topologies on spaces of linear maps
3279:{\displaystyle X^{\prime \prime },}
2499:{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}
1953:{\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }
1737:is part of a canonical dual system
4169:such that every bounded subset of
3661:{\displaystyle X^{\prime \prime }}
3502:{\displaystyle X^{\prime \prime }}
2456:such that every bounded subset of
1278:
967:
850:{\displaystyle |y|_{B}<\infty }
844:
154:where this topology is denoted by
25:
4693:with the topology induced by the
1530:is understood, is defined as the
5530:
5529:
5456:Topological quantum field theory
4189:is contained in some element of
3826:{\displaystyle X_{b}^{\prime }.}
3537:{\displaystyle X_{b}^{\prime },}
501:of vector spaces over the field
18:Strong topology (polar topology)
4209:{\displaystyle {\mathcal {B}}.}
3835:Every weakly bounded subset of
3544:in which case it is called the
3396:{\displaystyle X_{b}^{\prime }}
2992:{\displaystyle X_{b}^{\prime }}
2960:{\displaystyle X_{b}^{\prime }}
2902:{\displaystyle {\mathcal {B}}.}
2134:
1641:
1628:
970:
757:has a topology so say a subset
312:{\displaystyle X_{b}^{\prime }}
4407:
4388:
4309:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
4256:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
4142:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
3151:
3145:
3101:
3088:
2844:
2838:
2734:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
2668:
2662:
2425:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
2377:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
2127:
2123:
2117:
2110:
2080:
2071:
1942:
1850:
1844:
1621:
1601:
1571:
1562:
1485:
1473:
1450:
1438:
1415:
1385:
1339:
1309:
1271:
1251:
1221:
1212:
1143:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
1069:{\displaystyle {\mathcal {B}}}
960:
940:
831:
822:
698:
678:
648:
639:
484:
454:
287:has the strong dual topology,
1:
5252:Uniform boundedness principle
4892:Narici & Beckenstein 2011
4529:on generated by the pairing
4316:'s whose sets are subsets of
2384:be any fundamental system of
2353:{\displaystyle \mathbb {F} .}
2243:with this topology is called
569:{\displaystyle \mathbb {C} .}
437:Definition from a dual system
427:{\displaystyle \mathbb {C} .}
4974:; Wolff, Manfred P. (1999).
3023:is a normed space with norm
2189:runs over the family of all
1169:{\displaystyle B\subseteq X}
1099:{\displaystyle B\subseteq X}
905:{\displaystyle B\subseteq X}
805:{\displaystyle C\subseteq Y}
776:{\displaystyle B\subseteq X}
595:{\displaystyle B\subseteq X}
541:{\displaystyle \mathbb {R} }
516:{\displaystyle \mathbb {F} }
399:{\displaystyle \mathbb {R} }
374:{\displaystyle \mathbb {F} }
280:{\displaystyle X^{\prime },}
5810:Topology of function spaces
4686:{\displaystyle X^{\prime }}
4659:{\displaystyle X^{\prime }}
4629:{\displaystyle X^{\prime }}
4285:{\displaystyle X^{\prime }}
3855:{\displaystyle X^{\prime }}
3791:{\displaystyle X^{\prime }}
3423:{\displaystyle X^{\prime }}
3189:{\displaystyle X^{\prime }}
3069:{\displaystyle X^{\prime }}
2765:{\displaystyle X^{\prime }}
2569:{\displaystyle X^{\prime }}
2236:{\displaystyle X^{\prime }}
2056:{\displaystyle X^{\prime }}
1919:{\displaystyle X^{\prime }}
1456:{\displaystyle \beta (Y,X)}
89:{\displaystyle X^{\prime }}
5831:
5395:Invariant subspace problem
4666:; that is, with the space
3206:Banach space § Bidual
3203:
3076:has a canonical norm (the
3042:{\displaystyle \|\cdot \|}
2036:i.e. with the topology on
1150:is the set of all subsets
440:
5747:Transpose of a linear map
5525:
5115:
4976:Topological Vector Spaces
4910:Topological Vector Spaces
4880:Schaefer & Wolff 1999
4868:Schaefer & Wolff 1999
4856:Schaefer & Wolff 1999
4032:, if and only if it is a
3771:weakly compact subset of
1866:In the special case when
253:polar topology is called
5364:Spectrum of a C*-algebra
4028:if and only if it is an
2333:topological vector space
44:topological vector space
5461:Noncommutative geometry
4608:(continuous) dual space
3638:where the vector space
1198:{\displaystyle y\in Y,}
1106:bounded by elements of
879:{\displaystyle y\in C.}
624:{\displaystyle y\in Y,}
5517:Tomita–Takesaki theory
5492:Approximation property
5436:Calculus of variations
4784:
4757:
4737:
4687:
4660:
4630:
4596:
4569:
4519:
4499:
4449:
4421:
4355:
4333:
4310:
4292:when considering only
4286:
4257:
4232:
4210:
4183:
4163:
4149:of bounded subsets of
4143:
4115:
4053:
4018:
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3792:
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3726:
3662:
3632:
3562:
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3473:
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3397:
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3190:
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2856:
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2520:
2500:
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2450:
2436:of bounded subsets of
2426:
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2030:
2003:
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1711:
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1548:
1524:
1492:
1491:{\displaystyle b(Y,X)}
1457:
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1369:
1346:
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1199:
1170:
1144:
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1070:
1039:
1016:
992:
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731:
709:
625:
596:
570:
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517:
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400:
375:
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313:
281:
243:
194:
147:
110:
90:
60:
5512:Banach–Mazur distance
5475:Generalized functions
4785:
4758:
4738:
4688:
4661:
4631:
4597:
4570:
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4356:
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3977:
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3793:
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3727:
3663:
3633:
3563:
3539:
3504:
3474:
3425:
3398:
3366:
3301:
3281:
3248:
3191:
3164:
3071:
3044:
3018:
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2962:
2926:
2904:
2877:
2857:
2767:
2736:
2712:
2692:
2571:
2544:
2521:
2501:
2471:
2451:
2427:
2403:
2379:
2355:
2335:(TVS) over the field
2326:
2299:
2264:
2238:
2211:
2184:
2164:
2058:
2031:
2004:
1955:
1921:
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1861:
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1712:
1685:
1663:
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1525:
1493:
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1423:
1370:
1347:
1289:
1200:
1171:
1145:
1121:
1101:
1071:
1045:which is a Hausdorff
1040:
1017:
993:
907:
881:
852:
807:
778:
752:
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518:
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429:
401:
376:
346:
314:
282:
244:
195:
148:
111:
91:
68:continuous dual space
61:
34:and related areas of
5257:Kakutani fixed-point
5242:Riesz representation
4827:Semi-reflexive space
4771:
4747:
4701:
4670:
4643:
4613:
4586:
4533:
4509:
4463:
4439:
4377:
4345:
4320:
4296:
4269:
4243:
4222:
4193:
4173:
4153:
4129:
4063:
4043:
4008:
3988:
3963:
3913:
3893:
3869:
3862:is strongly bounded.
3839:
3802:
3775:
3743:
3672:
3642:
3572:
3552:
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3407:
3375:
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3290:
3257:
3234:
3214:Semi-reflexive space
3173:
3084:
3053:
3027:
3007:
2971:
2939:
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2866:
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2701:
2584:
2553:
2530:
2510:
2480:
2476:is a subset of some
2460:
2440:
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2273:
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2067:
2040:
2017:
1964:
1930:
1903:
1896:on the (continuous)
1888:locally convex space
1870:
1802:
1741:
1721:
1698:
1674:
1558:
1538:
1502:
1467:
1432:
1379:
1356:
1303:
1208:
1180:
1176:such that for every
1154:
1130:
1110:
1084:
1056:
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1006:
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861:
818:
790:
786:bounded by a subset
761:
741:
721:
635:
606:
580:
555:
530:
505:
451:
413:
388:
363:
355:Strong dual topology
323:
291:
261:
204:
158:
134:
100:
73:
50:
5805:Functional analysis
5784:Biorthogonal system
5616:Operator topologies
5441:Functional calculus
5400:Mahler's conjecture
5379:Von Neumann algebra
5093:Functional analysis
4972:Schaefer, Helmut H.
4941:Functional Analysis
4894:, pp. 225–273.
4604:normed vector space
4416:
4030:infrabarreled space
3819:
3713:
3627:
3612:
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