4220:
4244:
3022:
2669:
2848:
3551:
Note that there are examples of strictly singular operators whose adjoints are neither strictly singular nor strictly cosingular (see
Plichko, 2004). Similarly, there are strictly cosingular operators whose adjoints are not strictly singular, e.g. the inclusion map
1926:
2791:
3017:{\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{\infty })}
2534:
3177:
2382:
1808:
1151:
3596:
2843:
3111:
1988:
1264:
1005:
2314:
2469:
2420:
1507:
3479:
1715:
1050:
935:
2202:
2156:
2026:
1757:
756:
1796:
1670:
1307:
627:
2234:
3054:
2529:
890:
262:
3653:
3207:
1568:
192:
3623:
3234:
1595:
1435:
3319:
3258:
1619:
1538:
862:
375:
330:
2501:
4109:
3351:
127:
3708:
3538:
3392:
1196:
832:
706:
588:
504:
416:
1472:
1400:
1367:
2696:
2106:
2079:
547:
459:
101:
2052:
3434:
1085:
961:
791:
662:
218:
2261:
3772:
153:
2701:
4285:
3935:
4062:
3917:
3893:
2664:{\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})}
4319:
4304:
3785:
3874:
3765:
3735:
4144:
4278:
3789:
1338:
3940:
3116:
3996:
4223:
3945:
3930:
3758:
3960:
2319:
1921:{\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)\subset {\mathcal {FSS}}(X,Y)\subset {\mathcal {SS}}(X,Y)\subset {\mathcal {E}}(X,Y)}
1321:, as every compact operator is strictly singular. These two classes share some important properties. For example, if
4205:
3965:
2263:
is the Banach space of sequences converging to zero. This is a corollary of Pitt's theorem, which states that such
4271:
4159:
4083:
4200:
1093:
4314:
4016:
1509:
is an eigenvalue. This same "spectral theorem" consisting of (i)-(iv) is satisfied for inessential operators in
3950:
3555:
4309:
4052:
3853:
2800:
3925:
3071:
1947:
1205:
966:
2281:
4149:
2425:
2387:
1477:
68:
40:
3439:
1675:
1010:
903:
4180:
4124:
4088:
2161:
2115:
1993:
1720:
719:
1762:
1636:
1273:
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3027:
2506:
867:
223:
3628:
3182:
1543:
159:
4163:
3601:
3212:
1573:
1405:
3277:
3239:
1600:
1519:
841:
335:
290:
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4067:
3781:
3272:
2474:
60:
28:
3324:
106:
4154:
4021:
3672:
3502:
3356:
1802:, such that the classes are invariant under composition with arbitrary bounded linear operators.
1160:
796:
670:
552:
468:
380:
1448:
1376:
1343:
2674:
2084:
2057:
513:
425:
4134:
3731:
462:
74:
2031:
4139:
4057:
4026:
4006:
3991:
3986:
3981:
3818:
3409:
2531:, and hence are strictly singular but not finitely strictly singular. In this case we have
1318:
1055:
940:
761:
632:
197:
2239:
4001:
3955:
3903:
3898:
3869:
3750:
3828:
2786:{\displaystyle {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})={\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{q})}
4255:
4190:
4042:
3843:
2109:
1622:
138:
43:
between normed spaces which is not bounded below on any infinite-dimensional subspace.
4298:
4195:
4119:
3848:
3833:
3823:
3741:
Plichko, Anatolij, "Superstrictly
Singular and Superstrictly Cosingular Operators,"
4185:
3838:
3808:
1928:, and each of the inclusions may or may not be strict, depending on the choices of
1326:
17:
4114:
4104:
4011:
3813:
1442:
1370:
32:
4047:
3887:
3883:
3879:
712:
whenever it fails to be bounded below on any infinite-dimensional subspace of
2845:
any of which is inessential but not strictly singular. Thus, in particular,
4243:
3260:. To establish duality relations, we will introduce additional classes.
2797:
is any separable Banach space then there exists a bounded below operator
3728:
Fredholm and Local
Spectral Theory, with Applications to Multipliers
1317:
Strictly singular operators can be viewed as a generalization of
3754:
3640:
3637:
3634:
3610:
3607:
3451:
3448:
3445:
3245:
3221:
3218:
3194:
3191:
3188:
3135:
3083:
2980:
2941:
2938:
2899:
2896:
2893:
2854:
2749:
2710:
2707:
2627:
2624:
2585:
2582:
2579:
2540:
1898:
1873:
1870:
1845:
1842:
1839:
1814:
1768:
1729:
1726:
1687:
1684:
1681:
1642:
1606:
1582:
1579:
1555:
1552:
1549:
1525:
1279:
1022:
1019:
1016:
728:
725:
599:
3398:
whenever given an infinite-codimensional closed subspace
1441:
is finite-dimensional); (iii) zero is the only possible
4259:
1052:
the set of all finitely strictly singular operators in
377:
denote the respective identity operators. An operator
3544:
is strictly singular (resp. strictly cosingular) then
3675:
3631:
3604:
3558:
3505:
3442:
3412:
3359:
3327:
3280:
3242:
3215:
3185:
3119:
3074:
3030:
2851:
2803:
2704:
2677:
2671:. However, every inessential operator with codomain
2537:
2509:
2477:
2428:
2390:
2322:
2284:
2242:
2210:
2164:
2118:
2087:
2060:
2034:
1996:
1950:
1811:
1765:
1723:
1678:
1639:
1603:
1576:
1546:
1522:
1480:
1451:
1408:
1379:
1346:
1276:
1208:
1163:
1096:
1058:
1013:
969:
943:
906:
870:
844:
799:
764:
722:
673:
635:
596:
555:
516:
471:
428:
383:
338:
293:
226:
200:
162:
141:
109:
77:
3172:{\displaystyle T^{*}\in {\mathcal {K}}(Y^{*},X^{*})}
1798:
are each closed subspaces (in the operator norm) of
4173:
4097:
4076:
4035:
3974:
3916:
3862:
3797:
2384:is finitely strictly singular but not compact. If
4110:Spectral theory of ordinary differential equations
3702:
3647:
3617:
3590:
3548:is strictly cosingular (resp. strictly singular).
3532:
3473:
3428:
3386:
3345:
3313:
3252:
3228:
3201:
3171:
3105:
3048:
3016:
2837:
2785:
2690:
2663:
2523:
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2463:
2414:
2376:
2308:
2255:
2228:
2196:
2150:
2100:
2073:
2046:
2020:
1982:
1920:
1790:
1751:
1709:
1664:
1613:
1589:
1562:
1532:
1501:
1466:
1429:
1394:
1361:
1301:
1258:
1190:
1145:
1079:
1044:
999:
955:
929:
884:
856:
826:
785:
750:
700:
656:
621:
582:
541:
498:
453:
410:
369:
324:
256:
212:
186:
147:
121:
95:
3481:the subspace of strictly cosingular operators in
2377:{\displaystyle I_{p,q}\in B(\ell _{p},\ell _{q})}
2471:which are uniformly bounded below on copies of
1369:satisfies the following properties: (i) the
758:the set of all strictly singular operators in
4279:
3766:
3179:. However, this is not the case for classes
8:
1253:
1225:
1146:{\displaystyle B_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}
1140:
1131:
1125:
1110:
994:
988:
979:
970:
251:
245:
236:
227:
2422:then there exist "Pelczynski operators" in
1437:(except possibly in the trivial case where
4286:
4272:
3801:
3773:
3759:
3751:
3591:{\displaystyle I:c_{0}\to \ell _{\infty }}
3674:
3633:
3632:
3630:
3606:
3605:
3603:
3582:
3569:
3557:
3504:
3444:
3443:
3441:
3417:
3411:
3358:
3326:
3303:
3285:
3279:
3244:
3243:
3241:
3217:
3216:
3214:
3187:
3186:
3184:
3160:
3147:
3134:
3133:
3124:
3118:
3082:
3081:
3073:
3029:
3005:
2992:
2979:
2978:
2966:
2953:
2937:
2936:
2924:
2911:
2892:
2891:
2879:
2866:
2853:
2852:
2850:
2838:{\displaystyle T\in B(X,\ell _{\infty })}
2826:
2802:
2774:
2761:
2748:
2747:
2735:
2722:
2706:
2705:
2703:
2682:
2676:
2652:
2639:
2623:
2622:
2610:
2597:
2578:
2577:
2565:
2552:
2539:
2538:
2536:
2517:
2516:
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2476:
2452:
2439:
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2327:
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2065:
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2033:
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1974:
1961:
1949:
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1896:
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1868:
1838:
1837:
1813:
1812:
1810:
1767:
1766:
1764:
1725:
1724:
1722:
1680:
1679:
1677:
1641:
1640:
1638:
1605:
1604:
1602:
1578:
1577:
1575:
1548:
1547:
1545:
1524:
1523:
1521:
1479:
1450:
1407:
1378:
1345:
1278:
1277:
1275:
1247:
1216:
1207:
1162:
1101:
1095:
1057:
1015:
1014:
1012:
968:
942:
907:
905:
878:
877:
869:
843:
798:
763:
724:
723:
721:
672:
634:
598:
597:
595:
554:
524:
515:
470:
436:
427:
382:
346:
337:
301:
292:
225:
199:
161:
140:
108:
76:
4063:Group algebra of a locally compact group
3106:{\displaystyle T\in {\mathcal {K}}(X,Y)}
1983:{\displaystyle T:\ell _{p}\to \ell _{q}}
1633:are Banach spaces, the component spaces
1259:{\displaystyle TB_{X}=\{Tx:x\in B_{X}\}}
1000:{\displaystyle \|Tx\|<\epsilon \|x\|}
629:the set of all inessential operators in
3267:is a closed subspace of a Banach space
2309:{\displaystyle 1\leq p<q<\infty }
2112:. Similarly, every bounded linear map
1309:the set of all such compact operators.
1266:is a relatively norm-compact subset of
2464:{\displaystyle B(\ell _{p},\ell _{q})}
2415:{\displaystyle 1<p<q<\infty }
1502:{\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}
3474:{\displaystyle {\mathcal {SCS}}(X,Y)}
1710:{\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}
1045:{\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}
930:{\displaystyle {\text{dim}}(E)\geq n}
7:
4240:
4238:
2197:{\displaystyle T:\ell _{p}\to c_{0}}
2151:{\displaystyle T:c_{0}\to \ell _{p}}
2021:{\displaystyle 1\leq q,p<\infty }
1752:{\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}
751:{\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}
3436:fails to be surjective. Denote by
1791:{\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)}
1665:{\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}
1333:is a strictly singular operator in
1302:{\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}
622:{\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)}
3583:
3043:
3006:
2967:
2925:
2880:
2827:
2409:
2316:then the formal identity operator
2303:
2229:{\displaystyle 1\leq p<\infty }
2223:
2015:
178:
25:
3743:North-Holland Mathematics Studies
3049:{\displaystyle 1<p<\infty }
2524:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
885:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
257:{\displaystyle \|Tx\|\geq c\|x\|}
4242:
4219:
4218:
4145:Topological quantum field theory
3648:{\displaystyle {\mathcal {SCS}}}
3321:defined via the natural mapping
3271:then there exists a "canonical"
3202:{\displaystyle {\mathcal {FSS}}}
1563:{\displaystyle {\mathcal {FSS}}}
187:{\displaystyle c\in (0,\infty )}
3618:{\displaystyle {\mathcal {SS}}}
3229:{\displaystyle {\mathcal {SS}}}
1590:{\displaystyle {\mathcal {SS}}}
1430:{\displaystyle 0\in \sigma (T)}
1153:denote the closed unit ball in
3697:
3685:
3575:
3527:
3515:
3468:
3456:
3381:
3369:
3331:
3314:{\displaystyle Q_{Z}:Y\to Y/Z}
3297:
3253:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
3166:
3140:
3100:
3088:
3011:
2985:
2972:
2946:
2930:
2904:
2885:
2859:
2832:
2813:
2780:
2754:
2741:
2715:
2698:is strictly singular, so that
2658:
2632:
2616:
2590:
2571:
2545:
2458:
2432:
2371:
2345:
2236:, is strictly singular. Here
2181:
2135:
2054:, is strictly singular. Here,
1967:
1915:
1903:
1890:
1878:
1862:
1850:
1831:
1819:
1785:
1773:
1746:
1734:
1704:
1692:
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1647:
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3941:Uniform boundedness principle
3064:The compact operators form a
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892:such that for every subspace
156:whenever there is a constant
4258:. You can help Knowledge by
3625:is not in full duality with
3346:{\displaystyle y\mapsto y+Z}
129:be any subset. We say that
122:{\displaystyle A\subseteq X}
4320:Mathematical analysis stubs
3703:{\displaystyle T\in B(X,Y)}
3533:{\displaystyle T\in B(X,Y)}
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287:are Banach spaces, and let
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4237:
4084:Invariant subspace problem
3714:is inessential then so is
3669:be Banach spaces, and let
3499:be Banach spaces, and let
1467:{\displaystyle \sigma (T)}
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1362:{\displaystyle \sigma (T)}
836:finitely strictly singular
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4305:Compactness (mathematics)
4214:
3804:
2793:. On the other hand, if
2691:{\displaystyle \ell _{q}}
2101:{\displaystyle \ell _{q}}
2074:{\displaystyle \ell _{p}}
1944:Every bounded linear map
1474:; and (iv) every nonzero
542:{\displaystyle Id_{Y}-TS}
454:{\displaystyle Id_{X}-ST}
4053:Spectrum of a C*-algebra
1625:. This means, whenever
96:{\displaystyle T:X\to Y}
4150:Noncommutative geometry
3745:197 (2004), pp239-255.
2047:{\displaystyle p\neq q}
41:bounded linear operator
4254:–related article is a
4206:Tomita–Takesaki theory
4181:Approximation property
4125:Calculus of variations
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