4209:
4233:
3011:
2658:
2837:
3540:
Note that there are examples of strictly singular operators whose adjoints are neither strictly singular nor strictly cosingular (see
Plichko, 2004). Similarly, there are strictly cosingular operators whose adjoints are not strictly singular, e.g. the inclusion map
1915:
2780:
3006:{\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{\infty })}
2523:
3166:
2371:
1797:
1140:
3585:
2832:
3100:
1977:
1253:
994:
2303:
2458:
2409:
1496:
3468:
1704:
1039:
924:
2191:
2145:
2015:
1746:
745:
1785:
1659:
1296:
616:
2223:
3043:
2518:
879:
251:
3642:
3196:
1557:
181:
3612:
3223:
1584:
1424:
3308:
3247:
1608:
1527:
851:
364:
319:
2490:
4098:
3340:
116:
3697:
3527:
3381:
1185:
821:
695:
577:
493:
405:
1461:
1389:
1356:
2685:
2095:
2068:
536:
448:
90:
2041:
3423:
1074:
950:
780:
651:
207:
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3761:
142:
2690:
4274:
3924:
4051:
3906:
3882:
2653:{\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})}
4308:
4293:
3774:
3863:
3754:
3724:
4133:
4267:
3778:
1327:
3929:
3105:
3985:
4212:
3934:
3919:
3747:
3949:
2308:
1910:{\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)\subset {\mathcal {FSS}}(X,Y)\subset {\mathcal {SS}}(X,Y)\subset {\mathcal {E}}(X,Y)}
1310:, as every compact operator is strictly singular. These two classes share some important properties. For example, if
4194:
3954:
2252:
is the Banach space of sequences converging to zero. This is a corollary of Pitt's theorem, which states that such
4260:
4148:
4072:
4189:
1082:
4303:
4005:
1498:
is an eigenvalue. This same "spectral theorem" consisting of (i)-(iv) is satisfied for inessential operators in
3939:
3544:
4298:
4041:
3842:
2789:
3914:
3060:
1936:
1194:
955:
2270:
4138:
2414:
2376:
1466:
57:
29:
3428:
1664:
999:
892:
4169:
4113:
4077:
2150:
2104:
1982:
1709:
708:
1751:
1625:
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582:
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2196:
3016:
2495:
856:
212:
3617:
3171:
1532:
148:
4152:
3590:
3201:
1562:
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3228:
1589:
1508:
830:
324:
279:
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4056:
3770:
3261:
2463:
49:
17:
3313:
95:
4143:
4010:
3661:
3491:
3345:
1791:, such that the classes are invariant under composition with arbitrary bounded linear operators.
1149:
785:
659:
541:
457:
369:
1437:
1365:
1332:
2663:
2073:
2046:
502:
414:
4123:
3720:
451:
63:
4244:
2020:
4128:
4046:
4015:
3995:
3980:
3975:
3970:
3807:
3398:
2520:, and hence are strictly singular but not finitely strictly singular. In this case we have
1307:
1044:
929:
750:
621:
186:
2228:
3990:
3944:
3892:
3887:
3858:
3739:
3817:
2775:{\displaystyle {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})={\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{q})}
4179:
4031:
3832:
2098:
1611:
127:
32:
between normed spaces which is not bounded below on any infinite-dimensional subspace.
4287:
4184:
4108:
3837:
3822:
3812:
3730:
Plichko, Anatolij, "Superstrictly
Singular and Superstrictly Cosingular Operators,"
4174:
3827:
3797:
1917:, and each of the inclusions may or may not be strict, depending on the choices of
1315:
4103:
4093:
4000:
3802:
1431:
1359:
21:
4036:
3876:
3872:
3868:
701:
whenever it fails to be bounded below on any infinite-dimensional subspace of
2834:
any of which is inessential but not strictly singular. Thus, in particular,
4232:
3249:. To establish duality relations, we will introduce additional classes.
2786:
is any separable Banach space then there exists a bounded below operator
3717:
Fredholm and Local
Spectral Theory, with Applications to Multipliers
1306:
Strictly singular operators can be viewed as a generalization of
3743:
3629:
3626:
3623:
3599:
3596:
3440:
3437:
3434:
3234:
3210:
3207:
3183:
3180:
3177:
3124:
3072:
2969:
2930:
2927:
2888:
2885:
2882:
2843:
2738:
2699:
2696:
2616:
2613:
2574:
2571:
2568:
2529:
1887:
1862:
1859:
1834:
1831:
1828:
1803:
1757:
1718:
1715:
1676:
1673:
1670:
1631:
1595:
1571:
1568:
1544:
1541:
1538:
1514:
1268:
1011:
1008:
1005:
717:
714:
588:
3387:
whenever given an infinite-codimensional closed subspace
1430:
is finite-dimensional); (iii) zero is the only possible
4248:
1041:
the set of all finitely strictly singular operators in
366:
denote the respective identity operators. An operator
3533:
is strictly singular (resp. strictly cosingular) then
3664:
3620:
3593:
3547:
3494:
3431:
3401:
3348:
3316:
3269:
3231:
3204:
3174:
3108:
3063:
3019:
2840:
2792:
2693:
2666:
2660:. However, every inessential operator with codomain
2526:
2498:
2466:
2417:
2379:
2311:
2273:
2231:
2199:
2153:
2107:
2076:
2049:
2023:
1985:
1939:
1800:
1754:
1712:
1667:
1628:
1592:
1565:
1535:
1511:
1469:
1440:
1397:
1368:
1335:
1265:
1197:
1152:
1085:
1047:
1002:
958:
932:
895:
859:
833:
788:
753:
711:
662:
624:
585:
544:
505:
460:
417:
372:
327:
282:
215:
189:
151:
130:
98:
66:
3161:{\displaystyle T^{*}\in {\mathcal {K}}(Y^{*},X^{*})}
1787:
are each closed subspaces (in the operator norm) of
4162:
4086:
4065:
4024:
3963:
3905:
3851:
3786:
2373:is finitely strictly singular but not compact. If
4099:Spectral theory of ordinary differential equations
3691:
3636:
3606:
3579:
3537:is strictly cosingular (resp. strictly singular).
3521:
3462:
3417:
3375:
3334:
3302:
3241:
3217:
3190:
3160:
3094:
3037:
3005:
2826:
2774:
2679:
2652:
2512:
2484:
2452:
2403:
2365:
2297:
2244:
2217:
2185:
2139:
2089:
2062:
2035:
2009:
1971:
1909:
1779:
1740:
1698:
1653:
1602:
1578:
1551:
1521:
1490:
1455:
1418:
1383:
1350:
1290:
1247:
1179:
1134:
1068:
1033:
988:
944:
918:
873:
845:
815:
774:
739:
689:
645:
610:
571:
530:
487:
442:
399:
358:
313:
245:
201:
175:
136:
110:
84:
3470:the subspace of strictly cosingular operators in
2366:{\displaystyle I_{p,q}\in B(\ell _{p},\ell _{q})}
2460:which are uniformly bounded below on copies of
1358:satisfies the following properties: (i) the
747:the set of all strictly singular operators in
4268:
3755:
3168:. However, this is not the case for classes
8:
1242:
1214:
1135:{\displaystyle B_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}
1129:
1120:
1114:
1099:
983:
977:
968:
959:
240:
234:
225:
216:
2411:then there exist "Pelczynski operators" in
1426:(except possibly in the trivial case where
4275:
4261:
3790:
3762:
3748:
3740:
3580:{\displaystyle I:c_{0}\to \ell _{\infty }}
3663:
3622:
3621:
3619:
3595:
3594:
3592:
3571:
3558:
3546:
3493:
3433:
3432:
3430:
3406:
3400:
3347:
3315:
3292:
3274:
3268:
3233:
3232:
3230:
3206:
3205:
3203:
3176:
3175:
3173:
3149:
3136:
3123:
3122:
3113:
3107:
3071:
3070:
3062:
3018:
2994:
2981:
2968:
2967:
2955:
2942:
2926:
2925:
2913:
2900:
2881:
2880:
2868:
2855:
2842:
2841:
2839:
2827:{\displaystyle T\in B(X,\ell _{\infty })}
2815:
2791:
2763:
2750:
2737:
2736:
2724:
2711:
2695:
2694:
2692:
2671:
2665:
2641:
2628:
2612:
2611:
2599:
2586:
2567:
2566:
2554:
2541:
2528:
2527:
2525:
2506:
2505:
2497:
2476:
2471:
2465:
2441:
2428:
2416:
2378:
2354:
2341:
2316:
2310:
2272:
2236:
2230:
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2131:
2118:
2106:
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2075:
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2022:
1984:
1963:
1950:
1938:
1886:
1885:
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1857:
1827:
1826:
1802:
1801:
1799:
1756:
1755:
1753:
1714:
1713:
1711:
1669:
1668:
1666:
1630:
1629:
1627:
1594:
1593:
1591:
1567:
1566:
1564:
1537:
1536:
1534:
1513:
1512:
1510:
1468:
1439:
1396:
1367:
1334:
1267:
1266:
1264:
1236:
1205:
1196:
1151:
1090:
1084:
1046:
1004:
1003:
1001:
957:
931:
896:
894:
867:
866:
858:
832:
787:
752:
713:
712:
710:
661:
623:
587:
586:
584:
543:
513:
504:
459:
425:
416:
371:
335:
326:
290:
281:
214:
188:
150:
129:
97:
65:
4052:Group algebra of a locally compact group
3095:{\displaystyle T\in {\mathcal {K}}(X,Y)}
1972:{\displaystyle T:\ell _{p}\to \ell _{q}}
1622:are Banach spaces, the component spaces
1248:{\displaystyle TB_{X}=\{Tx:x\in B_{X}\}}
989:{\displaystyle \|Tx\|<\epsilon \|x\|}
618:the set of all inessential operators in
3256:is a closed subspace of a Banach space
2298:{\displaystyle 1\leq p<q<\infty }
2101:. Similarly, every bounded linear map
1298:the set of all such compact operators.
1255:is a relatively norm-compact subset of
2453:{\displaystyle B(\ell _{p},\ell _{q})}
2404:{\displaystyle 1<p<q<\infty }
1491:{\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}
3463:{\displaystyle {\mathcal {SCS}}(X,Y)}
1699:{\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}
1034:{\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}
919:{\displaystyle {\text{dim}}(E)\geq n}
7:
4229:
4227:
2186:{\displaystyle T:\ell _{p}\to c_{0}}
2140:{\displaystyle T:c_{0}\to \ell _{p}}
2010:{\displaystyle 1\leq q,p<\infty }
1741:{\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}
740:{\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}
3425:fails to be surjective. Denote by
1780:{\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)}
1654:{\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}
1322:is a strictly singular operator in
1291:{\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}
611:{\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)}
4247:. You can help Knowledge (XXG) by
3572:
3032:
2995:
2956:
2914:
2869:
2816:
2398:
2305:then the formal identity operator
2292:
2218:{\displaystyle 1\leq p<\infty }
2212:
2004:
167:
14:
3732:North-Holland Mathematics Studies
3038:{\displaystyle 1<p<\infty }
2513:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
874:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
246:{\displaystyle \|Tx\|\geq c\|x\|}
4231:
4208:
4207:
4134:Topological quantum field theory
3637:{\displaystyle {\mathcal {SCS}}}
3310:defined via the natural mapping
3260:then there exists a "canonical"
3191:{\displaystyle {\mathcal {FSS}}}
1552:{\displaystyle {\mathcal {FSS}}}
176:{\displaystyle c\in (0,\infty )}
3607:{\displaystyle {\mathcal {SS}}}
3218:{\displaystyle {\mathcal {SS}}}
1579:{\displaystyle {\mathcal {SS}}}
1419:{\displaystyle 0\in \sigma (T)}
1142:denote the closed unit ball in
3686:
3674:
3564:
3516:
3504:
3457:
3445:
3370:
3358:
3320:
3303:{\displaystyle Q_{Z}:Y\to Y/Z}
3286:
3242:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
3155:
3129:
3089:
3077:
3000:
2974:
2961:
2935:
2919:
2893:
2874:
2848:
2821:
2802:
2769:
2743:
2730:
2704:
2687:is strictly singular, so that
2647:
2621:
2605:
2579:
2560:
2534:
2447:
2421:
2360:
2334:
2225:, is strictly singular. Here
2170:
2124:
2043:, is strictly singular. Here,
1956:
1904:
1892:
1879:
1867:
1851:
1839:
1820:
1808:
1774:
1762:
1735:
1723:
1693:
1681:
1648:
1636:
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1:
3930:Uniform boundedness principle
3053:The compact operators form a
2485:{\displaystyle \ell _{2}^{n}}
881:such that for every subspace
145:whenever there is a constant
3614:is not in full duality with
3335:{\displaystyle y\mapsto y+Z}
118:be any subset. We say that
111:{\displaystyle A\subseteq X}
4309:Mathematical analysis stubs
3692:{\displaystyle T\in B(X,Y)}
3522:{\displaystyle T\in B(X,Y)}
3376:{\displaystyle T\in B(X,Y)}
1391:is at most countable; (ii)
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816:{\displaystyle T\in B(X,Y)}
690:{\displaystyle T\in B(X,Y)}
572:{\displaystyle S\in B(Y,X)}
488:{\displaystyle S\in B(Y,X)}
400:{\displaystyle T\in B(X,Y)}
276:are Banach spaces, and let
4325:
4226:
4073:Invariant subspace problem
3703:is inessential then so is
3658:be Banach spaces, and let
3488:be Banach spaces, and let
1456:{\displaystyle \sigma (T)}
1384:{\displaystyle \sigma (T)}
1351:{\displaystyle \sigma (T)}
825:finitely strictly singular
26:strictly singular operator
4294:Compactness (mathematics)
4203:
3793:
2782:. On the other hand, if
2680:{\displaystyle \ell _{q}}
2090:{\displaystyle \ell _{q}}
2063:{\displaystyle \ell _{p}}
1933:Every bounded linear map
1463:; and (iv) every nonzero
531:{\displaystyle Id_{Y}-TS}
443:{\displaystyle Id_{X}-ST}
4042:Spectrum of a C*-algebra
1614:. This means, whenever
85:{\displaystyle T:X\to Y}
4139:Noncommutative geometry
3734:197 (2004), pp239-255.
2036:{\displaystyle p\neq q}
30:bounded linear operator
4243:–related article is a
4195:Tomita–Takesaki theory
4170:Approximation property
4114:Calculus of variations
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3608:
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