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Symplectization

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of this bundle is a coorienting form for the contact structure.
15: 601:{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\equiv \mathbb {R} -\{0\}} 453:{\displaystyle SV=\bigcup _{x\in V}S_{x}V\subset T^{*}V} 963: 943: 854: 715: 692: 672: 652: 625: 565: 542: 532:
supplies the symplectization with the structure of a
503: 491:, and thus possesses a natural symplectic structure. 477: 395: 365: 345: 217: 188: 156: 984: 949: 926: 837: 698: 678: 658: 631: 600: 548: 524: 483: 452: 378: 351: 324: 200: 174: 8: 808: 773: 767: 737: 595: 589: 298: 270: 264: 234: 50:. Unsourced material may be challenged and 957:is coorientable if and only if the bundle 962: 942: 912: 896: 891: 875: 859: 853: 823: 818: 798: 782: 777: 776: 755: 750: 725: 720: 714: 691: 671: 651: 624: 582: 581: 572: 568: 567: 564: 541: 502: 476: 441: 425: 409: 394: 370: 364: 344: 313: 308: 292: 252: 247: 222: 216: 187: 155: 114:Learn how and when to remove this message 7: 48:adding citations to reliable sources 142:which naturally corresponds to it. 14: 20: 359:, which have the contact plane 182:be a contact manifold, and let 976: 778: 516: 169: 157: 1: 985:{\displaystyle \pi :SV\to V} 525:{\displaystyle \pi :SV\to V} 386:as their kernel. The union 1039: 379:{\displaystyle \xi _{x}} 175:{\displaystyle (V,\xi )} 1018:Structures on manifolds 699:{\displaystyle \alpha } 659:{\displaystyle \alpha } 986: 951: 928: 839: 700: 680: 660: 633: 602: 550: 526: 485: 465:symplectic submanifold 454: 380: 353: 326: 202: 201:{\displaystyle x\in V} 176: 1013:Differential topology 987: 952: 929: 840: 701: 681: 661: 634: 612:The coorientable case 603: 551: 527: 486: 455: 381: 354: 327: 203: 177: 961: 950:{\displaystyle \xi } 941: 852: 713: 690: 679:{\displaystyle \xi } 670: 650: 632:{\displaystyle \xi } 623: 563: 540: 501: 475: 393: 363: 343: 215: 186: 154: 44:improve this article 1023:Symplectic geometry 901: 828: 760: 730: 318: 257: 208:. Consider the set 140:symplectic manifold 982: 947: 924: 887: 886: 835: 814: 746: 716: 696: 676: 656: 629: 598: 546: 522: 481: 450: 420: 376: 349: 322: 304: 243: 198: 172: 871: 618:contact structure 549:{\displaystyle V} 484:{\displaystyle V} 405: 352:{\displaystyle x} 124: 123: 116: 98: 63:"Symplectization" 1030: 991: 989: 988: 983: 956: 954: 953: 948: 933: 931: 930: 925: 917: 916: 900: 895: 885: 864: 863: 844: 842: 841: 836: 827: 822: 781: 759: 754: 729: 724: 706:are considered: 705: 703: 702: 697: 685: 683: 682: 677: 665: 663: 662: 657: 638: 636: 635: 630: 607: 605: 604: 599: 585: 577: 576: 571: 555: 553: 552: 547: 534:principal bundle 531: 529: 528: 523: 490: 488: 487: 482: 469:cotangent bundle 459: 457: 456: 451: 446: 445: 430: 429: 419: 385: 383: 382: 377: 375: 374: 358: 356: 355: 350: 331: 329: 328: 323: 317: 312: 297: 296: 256: 251: 227: 226: 207: 205: 204: 199: 181: 179: 178: 173: 136:contact manifold 119: 112: 108: 105: 99: 97: 56: 24: 16: 1038: 1037: 1033: 1032: 1031: 1029: 1028: 1027: 1003: 1002: 959: 958: 939: 938: 908: 855: 850: 849: 711: 710: 688: 687: 668: 667: 648: 647: 621: 620: 614: 566: 561: 560: 558:structure group 538: 537: 499: 498: 473: 472: 437: 421: 391: 390: 366: 361: 360: 341: 340: 335:of all nonzero 288: 218: 213: 212: 184: 183: 152: 151: 148: 132:symplectization 120: 109: 103: 100: 57: 55: 41: 25: 12: 11: 5: 1036: 1034: 1026: 1025: 1020: 1015: 1005: 1004: 981: 978: 975: 972: 969: 966: 946: 935: 934: 923: 920: 915: 911: 907: 904: 899: 894: 890: 884: 881: 878: 874: 870: 867: 862: 858: 846: 845: 834: 831: 826: 821: 817: 813: 810: 807: 804: 801: 797: 794: 791: 788: 785: 780: 775: 772: 769: 766: 763: 758: 753: 749: 745: 742: 739: 736: 733: 728: 723: 719: 695: 675: 655: 643:by means of a 628: 613: 610: 597: 594: 591: 588: 584: 580: 575: 570: 545: 521: 518: 515: 512: 509: 506: 480: 461: 460: 449: 444: 440: 436: 433: 428: 424: 418: 415: 412: 408: 404: 401: 398: 373: 369: 348: 333: 332: 321: 316: 311: 307: 303: 300: 295: 291: 287: 284: 281: 278: 275: 272: 269: 266: 263: 260: 255: 250: 246: 242: 239: 236: 233: 230: 225: 221: 197: 194: 191: 171: 168: 165: 162: 159: 147: 144: 122: 121: 28: 26: 19: 13: 10: 9: 6: 4: 3: 2: 1035: 1024: 1021: 1019: 1016: 1014: 1011: 1010: 1008: 1001: 999: 995: 979: 973: 970: 967: 964: 944: 921: 918: 913: 909: 905: 902: 897: 892: 888: 882: 879: 876: 872: 868: 865: 860: 856: 848: 847: 832: 829: 824: 819: 815: 811: 805: 802: 799: 795: 792: 789: 786: 783: 770: 764: 761: 756: 751: 747: 743: 740: 734: 731: 726: 721: 717: 709: 708: 707: 693: 673: 653: 646: 642: 626: 619: 611: 609: 592: 586: 578: 573: 559: 543: 535: 519: 513: 510: 507: 504: 497: 492: 478: 470: 466: 447: 442: 438: 434: 431: 426: 422: 416: 413: 410: 406: 402: 399: 396: 389: 388: 387: 371: 367: 346: 338: 319: 314: 309: 305: 301: 293: 289: 285: 282: 279: 276: 273: 267: 261: 258: 253: 248: 244: 240: 237: 231: 228: 223: 219: 211: 210: 209: 195: 192: 189: 166: 163: 160: 145: 143: 141: 137: 133: 129: 118: 115: 107: 104:December 2020 96: 93: 89: 86: 82: 79: 75: 72: 68: 65: –  64: 60: 59:Find sources: 53: 49: 45: 39: 38: 34: 29:This article 27: 23: 18: 17: 936: 645:contact form 615: 493: 462: 334: 149: 131: 125: 110: 101: 91: 84: 77: 70: 58: 42:Please help 30: 128:mathematics 1007:Categories 937:Note that 641:cooriented 496:projection 146:Definition 74:newspapers 977:→ 965:π 945:ξ 914:∗ 906:⊂ 880:∈ 873:⋃ 825:∗ 812:⊂ 800:λ 793:α 790:λ 784:β 765:− 757:∗ 744:∈ 741:β 694:α 674:ξ 654:α 627:ξ 616:When the 587:− 579:≡ 574:∗ 517:→ 505:π 443:∗ 435:⊂ 414:∈ 407:⋃ 368:ξ 315:∗ 302:⊂ 290:ξ 283:β 280:⁡ 274:∣ 262:− 254:∗ 241:∈ 238:β 193:∈ 167:ξ 31:does not 998:section 994:trivial 467:of the 337:1-forms 88:scholar 52:removed 37:sources 996:. 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