2548:
2334:
2289:
1944:
357:
857:
3015:
2543:{\displaystyle \exists R:C_{c}^{\infty }(SM\smallsetminus \partial _{0}SM)\rightarrow C^{\infty }(SM):XRf=-f{\text{ and }}Rf\vert _{\partial _{+}SM}=If\quad {\text{for all }}f\in C_{c}^{\infty }(SM\smallsetminus \partial _{0}SM)}
1689:
530:
1371:
2769:
1242:
3081:
1783:
2927:
1590:
2134:
2642:
2046:
The following proof is taken from , adapted to the (simpler) setting when conditions 1) and 2) from above are true. Santaló's formula follows from the following two ingredients, noting that
2167:
1818:
1475:
128:
1406:
136:
938:
1128:
1053:
403:
91:
1082:
3107:
Ilmavirta, Joonas, and François Monard. "4 Integral geometry on manifolds with boundary and applications." The Radon
Transform: The First 100 Years and Beyond 22 (2019): 43.
2815:
1976:
979:
670:
571:
1004:
743:
3134:
Guillarmou, Colin, Marco
Mazzucchelli, and Leo Tzou. "Boundary and lens rigidity for non-convex manifolds." American Journal of Mathematics 143 (2021), no. 2, 533-575.
748:
613:
2325:
1810:
2591:
716:
690:
593:
2932:
644:
2789:
2662:
2571:
2158:
2036:
2016:
1996:
893:
3116:
Santaló, Luis
Antonio. Measure of sets of geodesics in a Riemannian space and applications to integral formulas in elliptic and hyperbolic spaces. 1952
1595:
412:
1250:
2671:
1136:
3020:
1694:
2820:
1483:
2049:
2018:
or hit it non-transversely. In this case Santaló's formula only remains true for functions with support disjoint from this exceptional set
3153:
3098:
Croke, Christopher B. "A sharp four dimensional isoperimetric inequality." Commentarii
Mathematici Helvetici 59.1 (1984): 187–192.
3172:
3182:
2284:{\displaystyle \int _{SM}Xu~d\mu =-\int _{\partial _{+}SM}u~d\sigma _{\nu }\quad {\text{for all }}u\in C^{\infty }(SM)}
1939:{\displaystyle \int _{SM}f\,d\mu =\int _{\partial _{+}SM}If~d\sigma _{\nu }\quad {\text{for all }}f\in L^{1}(SM,\mu ).}
2596:
1411:
352:{\displaystyle \int _{SM}f(x,v)\,d\mu (x,v)=\int _{\partial _{+}SM}\left\langle v,\nu (x)\rangle \,d\sigma (x,v),}
96:
1376:
1011:
3143:
902:
616:
1091:
1016:
368:
17:
55:
1058:
29:
3177:
2794:
2665:
1952:
943:
649:
535:
986:
852:{\displaystyle \partial _{+}SM:=\{(x,v)\in SM:x\in \partial M,\langle v,\nu (x)\rangle \geq 0\}}
725:
3149:
3125:
Santaló, Luis A. Integral geometry and geometric probability. Cambridge university press, 2004
693:
37:
598:
3010:{\displaystyle C_{c}^{\infty }(SM\smallsetminus \partial _{0}SM)\rightarrow C^{\infty }(SM)}
2298:
1788:
2576:
701:
675:
578:
41:
626:
2774:
2647:
2556:
2143:
2021:
2001:
1981:
878:
40:
and has applications in isoperimetric and rigidity results. The formula is named after
3166:
620:
406:
25:
1949:
If the non-trapping or the convexity condition from above fail, then there is a set
1684:{\displaystyle I:L^{1}(SM,\mu )\rightarrow L^{1}(\partial _{+}SM,\sigma _{\nu })}
525:{\displaystyle \tau (x,v)=\sup\{t\geq 0:\forall s\in :~\varphi _{s}(x,v)\in SM\}}
1366:{\displaystyle \Omega =\{(x,v,t):(x,v)\in \partial _{+}SM,t\in (0,\tau (x,v))\}}
719:
2764:{\displaystyle \langle X(x,v),N(x,v)\rangle _{G}=\langle v,\nu (x)\rangle _{g}}
1237:{\displaystyle \Phi ^{*}d\mu (x,v,t)=\langle \nu (x),x\rangle d\sigma (x,v)dt,}
36:
separately and then over the space of all geodesics. It is a standard tool in
3148:. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 108. Cambridge University Press.
93:
be a compact, oriented
Riemannian manifold with boundary. Then for a function
3076:{\displaystyle \tau :SM\smallsetminus \partial _{0}SM\rightarrow [0,\infty )}
1778:{\displaystyle d\sigma _{\nu }(x,v)=\langle v,\nu (x)\rangle \,d\sigma (x,v)}
3083:, which is a consequence of the non-trapping and the convexity assumption.
863:, which should be thought of as parametrization of the space of geodesics.
33:
1130:. In this case it is equivalent to the following identity of measures:
2922:{\displaystyle Rf(x,v)=\int _{0}^{\tau (x,v)}f(\varphi _{t}(x,v))\,dt}
1585:{\displaystyle If(x,v)=\int _{0}^{\tau (x,v)}f(\varphi _{t}(x,v))\,dt}
2129:{\displaystyle \partial _{0}SM=\{(x,v):\langle \nu (x),v\rangle =0\}}
2140:
An integration by parts formula for the geodesic vector field
2295:
The construction of a resolvent for the transport equation
1978:
of positive measure, such that the geodesics emerging from
532:
is the exit time of the geodesic with initial conditions
3023:
2935:
2823:
2797:
2777:
2674:
2650:
2599:
2579:
2559:
2337:
2301:
2170:
2146:
2052:
2024:
2004:
1984:
1955:
1821:
1791:
1697:
1598:
1486:
1414:
1379:
1253:
1139:
1094:
1061:
1019:
989:
946:
905:
881:
751:
728:
704:
678:
652:
629:
601:
581:
538:
415:
371:
139:
99:
58:
2644:, the divergence with respect to the Sasaki-metric
3075:
3009:
2921:
2809:
2783:
2763:
2656:
2636:
2585:
2565:
2553:For the integration by parts formula, recall that
2542:
2319:
2283:
2152:
2128:
2030:
2010:
1990:
1970:
1938:
1804:
1777:
1683:
1584:
1469:
1400:
1365:
1236:
1122:
1076:
1047:
998:
973:
932:
887:
851:
737:
710:
684:
664:
638:
607:
587:
565:
524:
397:
351:
122:
85:
24:describes how to integrate a function on the unit
437:
2637:{\displaystyle Xu=\operatorname {div} _{G}(uX)}
3142:Isaac Chavel (1995). "5.2 Santalo's formula".
1470:{\displaystyle \Phi (x,v,t)=\varphi _{t}(x,v)}
8:
2752:
2730:
2718:
2675:
2451:
2123:
2114:
2093:
2072:
1750:
1729:
1360:
1260:
1201:
1180:
846:
837:
816:
771:
519:
440:
321:
300:
123:{\displaystyle f:SM\rightarrow \mathbb {C} }
1401:{\displaystyle \Phi :\Omega \rightarrow SM}
3145:Riemannian Geometry: A Modern Introduction
3043:
3022:
2989:
2967:
2945:
2940:
2934:
2912:
2888:
2857:
2852:
2822:
2796:
2776:
2755:
2721:
2673:
2649:
2613:
2598:
2578:
2558:
2525:
2503:
2498:
2483:
2459:
2454:
2439:
2400:
2378:
2356:
2351:
2336:
2300:
2263:
2248:
2241:
2214:
2209:
2175:
2169:
2145:
2057:
2051:
2023:
2003:
1983:
1954:
1909:
1894:
1887:
1857:
1852:
1838:
1826:
1820:
1796:
1790:
1753:
1705:
1696:
1672:
1653:
1640:
1609:
1597:
1575:
1551:
1520:
1515:
1485:
1446:
1413:
1378:
1309:
1252:
1144:
1138:
1105:
1093:
1060:
1027:
1018:
988:
945:
904:
880:
756:
750:
727:
703:
677:
651:
628:
600:
580:
537:
489:
414:
389:
379:
370:
324:
288:
264:
233:
228:
205:
200:
171:
144:
138:
116:
115:
98:
57:
3091:
2817:. The resolvent is explicitly given by
44:, who first proved the result in 1952.
2791:is the inward-pointing unit-normal to
1477:. In particular this implies that the
933:{\displaystyle \tau (x,v)<\infty }
7:
2664:. The result thus follows from the
1998:either fail to hit the boundary of
1123:{\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}
1088:Santaló's formula is valid for all
130:, Santaló's formula takes the form
3067:
3040:
2990:
2964:
2946:
2798:
2522:
2504:
2456:
2401:
2375:
2357:
2338:
2264:
2211:
2054:
1854:
1650:
1415:
1386:
1380:
1306:
1254:
1141:
1106:
1068:
1048:{\displaystyle II_{\partial M}(x)}
1028:
990:
927:
807:
753:
729:
653:
455:
398:{\displaystyle (\varphi _{t})_{t}}
202:
68:
14:
1785:and thus there is the following,
32:by first integrating along every
1592:extends to a bounded linear map
86:{\displaystyle (M,\partial M,g)}
3017:follows from the smoothness of
2482:
2247:
1893:
1812:-version of Santaló's formula:
1077:{\displaystyle x\in \partial M}
1055:is positive definite for every
3070:
3058:
3055:
3004:
2995:
2982:
2979:
2951:
2909:
2906:
2894:
2881:
2873:
2861:
2842:
2830:
2748:
2742:
2714:
2702:
2693:
2681:
2631:
2622:
2537:
2509:
2415:
2406:
2393:
2390:
2362:
2278:
2269:
2105:
2099:
2087:
2075:
1930:
1915:
1772:
1760:
1747:
1741:
1723:
1711:
1678:
1646:
1633:
1630:
1615:
1572:
1569:
1557:
1544:
1536:
1524:
1505:
1493:
1464:
1452:
1436:
1418:
1389:
1357:
1354:
1342:
1330:
1299:
1287:
1281:
1263:
1222:
1210:
1192:
1186:
1174:
1156:
1117:
1111:
1042:
1036:
959:
947:
921:
909:
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828:
786:
774:
551:
539:
507:
495:
476:
464:
431:
419:
386:
372:
343:
331:
318:
312:
285:
282:
270:
257:
249:
237:
190:
178:
168:
156:
112:
80:
59:
1:
2573:leaves the Liouville-measure
872:Under the assumptions that
2810:{\displaystyle \partial SM}
1971:{\displaystyle E\subset SM}
974:{\displaystyle (x,v)\in SM}
665:{\displaystyle \partial SM}
566:{\displaystyle (x,v)\in SM}
3199:
2929:and the mapping property
999:{\displaystyle \partial M}
738:{\displaystyle \partial M}
2668:and the observation that
1479:geodesic X-ray transform
1012:second fundamental form
718:is the inward-pointing
617:Riemannian volume forms
608:{\displaystyle \sigma }
3077:
3011:
2923:
2811:
2785:
2765:
2658:
2638:
2587:
2567:
2544:
2321:
2285:
2154:
2130:
2032:
2012:
1992:
1972:
1940:
1806:
1779:
1685:
1586:
1471:
1402:
1367:
1238:
1124:
1078:
1049:
1000:
975:
934:
889:
853:
739:
712:
686:
666:
640:
609:
589:
567:
526:
399:
353:
124:
87:
3173:Differential geometry
3078:
3012:
2924:
2812:
2786:
2766:
2659:
2639:
2588:
2568:
2545:
2322:
2320:{\displaystyle Xu=-f}
2286:
2155:
2131:
2033:
2013:
1993:
1973:
1941:
1807:
1805:{\displaystyle L^{1}}
1780:
1686:
1587:
1472:
1403:
1368:
1239:
1125:
1079:
1050:
1001:
976:
935:
890:
854:
740:
713:
687:
667:
641:
610:
590:
568:
527:
400:
354:
125:
88:
18:differential geometry
3021:
2933:
2821:
2795:
2775:
2672:
2648:
2597:
2593:invariant and hence
2586:{\displaystyle \mu }
2577:
2557:
2335:
2299:
2168:
2144:
2050:
2022:
2002:
1982:
1953:
1819:
1789:
1695:
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1484:
1412:
1377:
1251:
1137:
1092:
1059:
1017:
987:
944:
903:
879:
749:
726:
711:{\displaystyle \nu }
702:
685:{\displaystyle \mu }
676:
650:
627:
619:with respect to the
599:
588:{\displaystyle \mu }
579:
536:
413:
369:
137:
97:
56:
3183:Riemannian geometry
2950:
2877:
2508:
2361:
1540:
253:
30:Riemannian manifold
3073:
3007:
2936:
2919:
2848:
2807:
2781:
2761:
2666:divergence theorem
2654:
2634:
2583:
2563:
2540:
2494:
2347:
2317:
2281:
2150:
2136:has measure zero.
2126:
2028:
2008:
1988:
1968:
1936:
1802:
1775:
1681:
1582:
1511:
1467:
1398:
1363:
1234:
1120:
1074:
1045:
996:
971:
930:
885:
849:
735:
708:
682:
662:
639:{\displaystyle SM}
636:
605:
585:
563:
522:
395:
349:
224:
120:
83:
2784:{\displaystyle N}
2657:{\displaystyle G}
2566:{\displaystyle X}
2486:
2442:
2251:
2233:
2192:
2153:{\displaystyle X}
2031:{\displaystyle E}
2011:{\displaystyle M}
1991:{\displaystyle E}
1897:
1879:
888:{\displaystyle M}
694:Liouville measure
484:
38:integral geometry
22:Santaló's formula
3190:
3159:
3135:
3132:
3126:
3123:
3117:
3114:
3108:
3105:
3099:
3096:
3082:
3080:
3079:
3074:
3048:
3047:
3016:
3014:
3013:
3008:
2994:
2993:
2972:
2971:
2949:
2944:
2928:
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