462:
2063:
The
Schouten–Nijenhuis bracket makes the multivector fields into a Lie superalgebra if the grading is changed to the one of opposite parity (so that the even and odd subspaces are switched), though with this new grading it is no longer a supercommutative ring. Accordingly, the Jacobi identity may
837:
291:
2374:
2391:
A version of the
Schouten–Nijenhuis bracket can also be defined for symmetric multivector fields in a similar way. The symmetric multivector fields can be identified with functions on the cotangent space
1001:
1802:
581:
457:{\displaystyle \omega (a_{1}a_{2}\dots a_{p})=\left\{{\begin{matrix}\omega (a_{1},\dots ,a_{p})&(\omega \in \Omega ^{p}M)\\0&(\omega \not \in \Omega ^{p}M)\end{matrix}}\right.}
1628:
1505:
282:
118:
1217:
47:
There are two different versions, both rather confusingly called by the same name. The most common version is defined on alternating multivector fields and makes them into a
524:
2503:
Dubois-Violette, Michel; Michor, Peter W. (1995). "A common generalization of the Frölicher–Nijenhuis bracket and the
Schouten bracket for symmetric multi vector fields".
1370:
1286:
1139:
1081:
241:
1964:
2482:
2421:
1031:
897:
868:
561:
1889:
213:
2443:
2056:
2034:
2012:
1990:
1914:
1849:
1827:
1051:
490:
188:
166:
144:
2070:
2633:
Vinogradov, A. M. (1990). "Unification of
Schouten–Nijenhuis and Frölicher–Nijenhuis brackets, cohomology and super differential operators".
2486:
2385:
72:
68:
2653:
2659:
2681:
2446:
that are polynomial in the fiber, and under this identification the symmetric
Schouten–Nijenhuis bracket corresponds to the
571:
to a graded bracket on the space of alternating multivector fields that makes the alternating multivector fields into a
568:
41:
906:
2624:
Schouten, J. A. (1953). "On the differential operators of the first order in tensor calculus". In
Cremonese (ed.).
51:, but there is also another version defined on symmetric multivector fields, which is more or less the same as the
2580:
Nijenhuis, A. (1955). "Jacobi-type identities for bilinear differential concomitants of certain tensor fields I".
1637:
832:{\displaystyle =\sum _{i,j}(-1)^{i+j}a_{1}\cdots a_{i-1}a_{i+1}\cdots a_{m}b_{1}\cdots b_{j-1}b_{j+1}\cdots b_{n}}
2485:. There is a common generalization of the Schouten–Nijenhuis bracket for symmetric multivector fields and the
2384:
There is a common generalization of the
Schouten–Nijenhuis bracket for alternating multivector fields and the
2535:
1514:
1379:
251:
2676:
2558:
90:
1148:
60:
17:
2550:
2490:
572:
48:
496:
2563:
2451:
1295:
1226:
2512:
1094:
1056:
29:
2059:
are vector fields then the
Schouten–Nijenhuis bracket is the usual Lie bracket of vector fields.
220:
245:
1921:
147:. The alternating multivector fields form a graded supercommutative ring with the product of
2597:
2589:
2568:
2522:
2457:
2396:
1084:
84:
64:
56:
33:
1009:
875:
846:
530:
2447:
52:
37:
2611:
2369:{\displaystyle (-1)^{(|a|-1)(|c|-1)}]+(-1)^{(|b|-1)(|a|-1)}]+(-1)^{(|c|-1)(|b|-1)}]=0.\,}
2554:
1856:
195:
2428:
2041:
2019:
1997:
1975:
1968:
1899:
1834:
1812:
1036:
475:
173:
151:
129:
122:
2593:
2572:
2670:
2526:
2602:
567:
The skew symmetric
Schouten–Nijenhuis bracket is the unique extension of the
2517:
63:(1940, 1953) and its properties were investigated by his student
575:. It is given in terms of the Lie bracket of vector fields by
1852:
are functions (multivectors homogeneous of degree 0), then
451:
2536:"The Schouten-Nijenhuis bracket and interior products"
345:
2460:
2431:
2399:
2073:
2044:
2022:
2000:
1978:
1924:
1902:
1859:
1837:
1815:
1640:
1517:
1382:
1373:(the Schouten–Nijenhuis bracket has degree −1);
1298:
1229:
1151:
1097:
1059:
1039:
1012:
909:
878:
849:
584:
533:
499:
478:
294:
254:
223:
198:
176:
154:
132:
93:
83:
An alternating multivector field is a section of the
2476:
2437:
2415:
2368:
2050:
2028:
2006:
1984:
1958:
1908:
1883:
1843:
1821:
1796:
1622:
1499:
1364:
1280:
1211:
1133:
1075:
1045:
1025:
995:
891:
862:
831:
555:
518:
484:
456:
276:
235:
207:
182:
160:
138:
112:
1805:(Jacobi identity for Schouten–Nijenhuis bracket);
67:(1955). It is related to but not the same as the
996:{\displaystyle =-\iota _{df}(a_{1}\cdots a_{m})}
1631:(antisymmetry of Schouten–Nijenhuis bracket);
8:
1797:{\displaystyle ,c]=]-(-1)^{(|a|-1)(|b|-1)}]}
1087:operator. It has the following properties.
2064:also be expressed in the symmetrical form
2601:
2562:
2516:
2465:
2459:
2430:
2404:
2398:
2365:
2316:
2308:
2291:
2283:
2279:
2220:
2212:
2195:
2187:
2183:
2124:
2116:
2099:
2091:
2087:
2072:
2043:
2021:
1999:
1977:
1947:
1923:
1901:
1858:
1836:
1814:
1751:
1743:
1726:
1718:
1714:
1639:
1589:
1581:
1564:
1556:
1552:
1516:
1463:
1455:
1447:
1439:
1438:
1381:
1351:
1343:
1335:
1327:
1319:
1299:
1297:
1273:
1265:
1257:
1249:
1241:
1230:
1228:
1196:
1188:
1183:
1175:
1174:
1150:
1096:
1064:
1058:
1038:
1017:
1011:
984:
971:
955:
936:
923:
908:
883:
877:
854:
848:
823:
804:
788:
775:
765:
746:
730:
717:
704:
691:
672:
647:
631:
618:
605:
592:
583:
542:
534:
532:
504:
498:
477:
435:
401:
377:
358:
344:
328:
315:
305:
293:
259:
253:
222:
197:
175:
153:
131:
98:
92:
285:by the pairing on homogeneous elements:
244:). This is dual to the usual algebra of
1623:{\displaystyle =-(-1)^{(|a|-1)(|b|-1)}}
1500:{\displaystyle =c+(-1)^{|b|(|a|-1)}b}
1220:(the product is (super) commutative);
277:{\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M)}
7:
113:{\displaystyle \wedge ^{\bullet }TM}
1212:{\displaystyle ab=(-1)^{|a||b|}ba}
501:
432:
398:
256:
14:
2661:From Poisson to Quantum Geometry
2626:Convegno Int. Geom. Diff. Italia
2543:Journal of Geometry and Physics
2534:Marle, Charles-Michel (1997).
2356:
2353:
2341:
2332:
2327:
2317:
2309:
2305:
2302:
2292:
2284:
2280:
2276:
2266:
2260:
2257:
2245:
2236:
2231:
2221:
2213:
2209:
2206:
2196:
2188:
2184:
2180:
2170:
2164:
2161:
2149:
2140:
2135:
2125:
2117:
2113:
2110:
2100:
2092:
2088:
2084:
2074:
1937:
1925:
1872:
1860:
1791:
1788:
1776:
1767:
1762:
1752:
1744:
1740:
1737:
1727:
1719:
1715:
1711:
1701:
1695:
1692:
1680:
1671:
1665:
1656:
1644:
1641:
1617:
1605:
1600:
1590:
1582:
1578:
1575:
1565:
1557:
1553:
1549:
1539:
1530:
1518:
1494:
1482:
1474:
1464:
1456:
1452:
1448:
1440:
1435:
1425:
1416:
1404:
1398:
1383:
1352:
1344:
1336:
1328:
1320:
1316:
1304:
1300:
1274:
1266:
1258:
1250:
1242:
1231:
1197:
1189:
1184:
1176:
1171:
1161:
1128:
1119:
1107:
1098:
990:
964:
942:
910:
710:
684:
669:
659:
637:
585:
543:
535:
519:{\displaystyle \Lambda ^{p}TM}
444:
422:
410:
388:
383:
351:
334:
298:
271:
265:
1:
2594:10.1016/S1385-7258(55)50054-0
2573:10.1016/s0393-0440(97)80009-5
1142:(the product is associative);
2527:10.1016/0019-3577(95)98200-u
1365:{\displaystyle ||=|a|+|b|-1}
1281:{\displaystyle |ab|=|a|+|b|}
569:Lie bracket of vector fields
69:Nijenhuis–Richardson bracket
42:Lie bracket of vector fields
2489:due to Dubois-Violette and
2487:Frölicher–Nijenhuis bracket
2386:Frölicher–Nijenhuis bracket
1289:(the product has degree 0);
1134:{\displaystyle (ab)c=a(bc)}
1076:{\displaystyle \iota _{df}}
73:Frölicher–Nijenhuis bracket
2698:
2655:Schouten–Nijenhuis bracket
2388:due to Vinogradov (1990).
22:Schouten–Nijenhuis bracket
2582:Indagationes Mathematicae
1971:of the multivector field
236:{\displaystyle a\wedge b}
79:Definition and properties
1917:is a vector field, then
2015:, and in particular if
1959:{\displaystyle =L_{a}b}
2478:
2477:{\displaystyle T^{*}M}
2439:
2417:
2416:{\displaystyle T^{*}M}
2370:
2052:
2030:
2008:
1986:
1960:
1910:
1885:
1845:
1823:
1798:
1624:
1501:
1366:
1282:
1213:
1135:
1077:
1047:
1027:
997:
893:
864:
833:
557:
520:
486:
458:
278:
237:
209:
184:
162:
140:
114:
2682:Differential geometry
2479:
2440:
2418:
2371:
2053:
2031:
2009:
1987:
1961:
1911:
1886:
1846:
1824:
1799:
1625:
1502:
1367:
1283:
1214:
1136:
1078:
1048:
1028:
1026:{\displaystyle a_{i}}
998:
894:
892:{\displaystyle b_{j}}
865:
863:{\displaystyle a_{i}}
834:
558:
556:{\displaystyle |A|=p}
521:
487:
459:
279:
238:
210:
185:
163:
141:
115:
61:Jan Arnoldus Schouten
59:. It was invented by
18:differential geometry
2458:
2450:of functions on the
2429:
2397:
2071:
2042:
2020:
1998:
1976:
1922:
1900:
1857:
1835:
1813:
1638:
1515:
1380:
1296:
1227:
1149:
1095:
1057:
1037:
1033:and smooth function
1010:
907:
876:
847:
582:
573:Gerstenhaber algebra
531:
497:
476:
292:
252:
221:
196:
174:
152:
130:
91:
49:Gerstenhaber algebra
24:, also known as the
2555:1997JGP....23..350M
2452:symplectic manifold
1508:(Poisson identity);
2635:Sov. Math. Zametki
2603:10338.dmlcz/102420
2474:
2435:
2413:
2366:
2048:
2026:
2004:
1982:
1956:
1906:
1884:{\displaystyle =0}
1881:
1841:
1819:
1794:
1620:
1497:
1362:
1278:
1209:
1131:
1073:
1043:
1023:
1006:for vector fields
993:
889:
860:
842:for vector fields
829:
658:
553:
516:
482:
454:
449:
274:
246:differential forms
233:
216:(some authors use
208:{\displaystyle ab}
205:
180:
158:
136:
110:
34:multivector fields
30:graded Lie bracket
2438:{\displaystyle M}
2051:{\displaystyle b}
2029:{\displaystyle a}
2007:{\displaystyle a}
1985:{\displaystyle b}
1909:{\displaystyle a}
1844:{\displaystyle g}
1822:{\displaystyle f}
1046:{\displaystyle f}
643:
526:is defined to be
485:{\displaystyle A}
471:of a multivector
183:{\displaystyle b}
161:{\displaystyle a}
139:{\displaystyle M}
2689:
2642:
2629:
2620:
2607:
2605:
2576:
2566:
2549:(3–4): 350–359.
2540:
2530:
2520:
2518:alg-geom/9401006
2483:
2481:
2480:
2475:
2470:
2469:
2444:
2442:
2441:
2436:
2422:
2420:
2419:
2414:
2409:
2408:
2375:
2373:
2372:
2367:
2331:
2330:
2320:
2312:
2295:
2287:
2235:
2234:
2224:
2216:
2199:
2191:
2139:
2138:
2128:
2120:
2103:
2095:
2057:
2055:
2054:
2049:
2035:
2033:
2032:
2027:
2013:
2011:
2010:
2005:
1991:
1989:
1988:
1983:
1965:
1963:
1962:
1957:
1952:
1951:
1915:
1913:
1912:
1907:
1890:
1888:
1887:
1882:
1850:
1848:
1847:
1842:
1828:
1826:
1825:
1820:
1803:
1801:
1800:
1795:
1766:
1765:
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1730:
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1629:
1627:
1626:
1621:
1604:
1603:
1593:
1585:
1568:
1560:
1506:
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1503:
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