1671:
1834:
1946:
1492:
942:
795:
1380:
1503:
490:
1682:
1015:
658:
577:
1845:
806:
1391:
669:
377:
1295:
1960:
1666:{\displaystyle \rho _{1}\simeq \rho _{1}'\oplus \sigma _{1}'\oplus \rho _{2}'\oplus \sigma _{2}'\cdots \simeq (\oplus _{i\geq 1}\rho _{i}')\oplus (\oplus _{i\geq 1}\sigma _{i}'),}
272:
388:
2595:
2228:
1829:{\displaystyle \sigma _{1}\simeq \sigma _{1}'\oplus \rho _{2}'\oplus \sigma _{2}'\cdots \simeq (\oplus _{i\geq 2}\rho _{i}')\oplus (\oplus _{i\geq 1}\sigma _{i}').}
2233:
2006:
953:
2580:
588:
2473:
2326:
2124:
2321:
1273:
A proof that resembles the previous argument can be outlined. The assumption implies that there exist surjective partial isometries from
1965:
17:
2478:
1941:{\displaystyle \rho _{i}'\simeq \rho _{j}'\quad {\mbox{and}}\quad \sigma _{i}'\simeq \sigma _{j}'\quad {\mbox{for all}}\quad i,j\;.}
937:{\displaystyle N_{0}=\oplus _{i\geq 1}(M_{i}\ominus N_{i})\quad \oplus \quad \oplus _{j\geq 0}(N_{j}\ominus M_{j+1})\quad \oplus R.}
501:
2296:
2265:
1487:{\displaystyle \rho _{1}\simeq \rho _{1}'\oplus (\sigma _{1}'\oplus \rho _{2})\quad {\mbox{where}}\quad \rho _{2}\simeq \rho .}
790:{\displaystyle M=\oplus _{i\geq 0}(M_{i}\ominus N_{i})\quad \oplus \quad \oplus _{j\geq 0}(N_{j}\ominus M_{j+1})\quad \oplus R}
2255:
2250:
2243:
2179:
2063:
2661:
2488:
1999:
2651:
2114:
320:
2625:
2099:
1839:
Now each additional summand in the direct sum expression is obtained using one of the two fixed partial isometries, so
2545:
1375:{\displaystyle \rho =\rho _{1}\simeq \rho _{1}'\oplus \sigma _{1}\quad {\mbox{where}}\quad \sigma _{1}\simeq \sigma .}
2600:
2498:
2378:
1269:
respectively, are each unitarily equivalent to a subrepresentation of the other, then they are unitarily equivalent.
2094:
2605:
2468:
2301:
2286:
2058:
2187:
2656:
2197:
2068:
1992:
2560:
2535:
2353:
2342:
2053:
1038:
2411:
2401:
2396:
2104:
231:
2156:
485:{\displaystyle M=M_{0}\supset N_{0}\supset M_{1}\supset N_{1}\supset M_{2}\supset N_{2}\supset \cdots .}
2646:
2570:
2549:
2463:
2348:
2311:
209:
A proof, one that is similar to a set-theoretic argument, can be sketched as follows. Colloquially,
2373:
2109:
57:
41:
2503:
2432:
2363:
2207:
2169:
2610:
2585:
2270:
2192:
25:
2615:
2316:
2164:
2119:
2043:
2590:
2575:
2483:
2446:
2442:
2406:
2368:
2306:
2291:
2260:
2202:
2161:
2148:
2073:
2015:
2540:
2519:
2437:
2427:
2238:
2145:
2078:
2038:
2640:
2358:
2212:
2153:
1984:
2555:
2140:
1029:
1010:{\displaystyle M_{i}\ominus N_{i}\sim M\ominus N\quad {\mbox{for all}}\quad i.}
2048:
21:
2033:
2019:
653:{\displaystyle M\ominus N{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}M\cap (N)^{\perp }.}
2620:
2565:
1028:
There is also an analog of Schröder–Bernstein for representations of
1147:
then can be expressed as a direct sum of two subrepresentations
64:. Define a partial order « on the family of projections by
1988:
1020:
The theorem now follows from the countable additivity of ~.
1289:. Fix two such partial isometries for the argument. One has
572:{\displaystyle R=\cap _{i\geq 0}M_{i}=\cap _{i\geq 0}N_{i}.}
28:. This article discusses such operator-algebraic results.
1918:
1880:
1458:
1346:
994:
1848:
1685:
1506:
1394:
1298:
956:
809:
672:
591:
504:
391:
323:
234:
2528:
2512:
2456:
2420:
2389:
2335:
2279:
2221:
2178:
2133:
2087:
2026:
2596:Spectral theory of ordinary differential equations
1940:
1828:
1665:
1486:
1374:
1009:
936:
789:
652:
571:
484:
372:{\displaystyle M=M_{0}\supset N_{0}\supset M_{1}.}
371:
266:
2494:Schröder–Bernstein theorems for operator algebras
1961:Schröder–Bernstein theorem for measurable spaces
1062:), the bounded operators on some Hilbert space
2000:
8:
2007:
1993:
1985:
1934:
1917:
1907:
1891:
1879:
1869:
1853:
1847:
1811:
1795:
1773:
1757:
1735:
1719:
1703:
1690:
1684:
1648:
1632:
1610:
1594:
1572:
1556:
1540:
1524:
1511:
1505:
1469:
1457:
1447:
1431:
1412:
1399:
1393:
1357:
1345:
1338:
1322:
1309:
1297:
993:
974:
961:
955:
909:
896:
877:
859:
846:
827:
814:
808:
765:
752:
733:
715:
702:
683:
671:
641:
610:
609:
604:
602:
601:
590:
560:
544:
531:
515:
503:
467:
454:
441:
428:
415:
402:
390:
360:
347:
334:
322:
258:
245:
233:
292:. By assumption, it is also true that,
58:Murray-von Neumann equivalence relation
2327:Spectral theory of normal C*-algebras
2125:Spectral theory of normal C*-algebras
7:
2322:Spectral theory of compact operators
267:{\displaystyle M=M_{0}\supset N_{0}}
1194:if there exists a unitary operator
92:if there exists a partial isometry
2474:Cohen–Hewitt factorization theorem
617:
614:
611:
14:
2479:Extensions of symmetric operators
1123:can be defined in a natural way:
221:can be isometrically embedded in
2297:Positive operator-valued measure
2581:Rayleigh–Faber–Krahn inequality
1924:
1916:
1886:
1878:
1464:
1456:
1352:
1344:
1000:
992:
924:
872:
868:
780:
728:
724:
1820:
1788:
1782:
1750:
1657:
1625:
1619:
1587:
1453:
1424:
1024:Representations of C*-algebras
921:
889:
865:
839:
777:
745:
721:
695:
638:
631:
149:respectively, are elements of
1:
2489:Limiting absorption principle
1190:respectively, are said to be
1139:) restricted to the range of
1069:If there exists a projection
303:, contains an isometric copy
2115:Singular value decomposition
2546:Hearing the shape of a drum
2229:Decomposition of a spectrum
1966:Schröder–Bernstein property
314:. Therefore, one can write
24:has analogs in the context
2678:
2134:Special Elements/Operators
1247:Schröder–Bernstein theorem
180:Schröder–Bernstein theorem
18:Schröder–Bernstein theorem
2606:Superstrong approximation
2469:Banach algebra cohomology
2302:Projection-valued measure
2287:Borel functional calculus
2059:Projection-valued measure
1951:This proves the theorem.
2198:Spectrum of a C*-algebra
2069:Spectrum of a C*-algebra
284:is an isometric copy of
32:For von Neumann algebras
2626:Wiener–Khinchin theorem
2561:Kuznetsov trace formula
2536:Almost Mathieu operator
2354:Banach function algebra
2343:Amenable Banach algebra
2100:Gelfand–Naimark theorem
2054:Noncommutative topology
1253:If two representations
2601:Sturm–Liouville theory
2499:Sherman–Takeda theorem
2379:Tomita–Takesaki theory
2154:Hermitian/Self-adjoint
2105:Gelfand representation
1942:
1830:
1667:
1488:
1376:
1011:
938:
791:
654:
573:
486:
373:
268:
2095:Gelfand–Mazur theorem
1943:
1831:
1668:
1489:
1377:
1245:In this setting, the
1012:
939:
792:
655:
574:
487:
374:
269:
119:For closed subspaces
2662:Von Neumann algebras
2571:Proto-value function
2550:Dirichlet eigenvalue
2464:Abstract index group
2349:Approximate identity
2312:Rigged Hilbert space
2188:Krein–Rutman theorem
2034:Involution/*-algebra
1846:
1683:
1504:
1392:
1296:
1261:, on Hilbert spaces
1192:unitarily equivalent
1162:Two representations
1046:is a *-homomorphism
954:
807:
670:
589:
502:
389:
321:
232:
2652:Functional analysis
2374:Von Neumann algebra
2110:Polar decomposition
1915:
1899:
1877:
1861:
1819:
1781:
1743:
1727:
1711:
1656:
1618:
1580:
1564:
1548:
1532:
1439:
1420:
1330:
1036:is a C*-algebra, a
56:. Let ~ denote the
52:are projections in
42:von Neumann algebra
2504:Unbounded operator
2433:Essential spectrum
2412:Schur–Horn theorem
2402:Bauer–Fike theorem
2397:Alon–Boppana bound
2390:Finite-Dimensional
2364:Nuclear C*-algebra
2208:Spectral asymmetry
1938:
1922:
1903:
1887:
1884:
1865:
1849:
1826:
1807:
1769:
1731:
1715:
1699:
1663:
1644:
1606:
1568:
1552:
1536:
1520:
1484:
1462:
1427:
1408:
1372:
1350:
1318:
1007:
998:
934:
787:
650:
569:
482:
369:
264:
127:where projections
84:. In other words,
2634:
2633:
2611:Transfer operator
2586:Spectral geometry
2271:Spectral abscissa
2251:Approximate point
2193:Normal eigenvalue
1981:, Springer, 2006.
1979:Operator Algebras
1921:
1883:
1461:
1349:
1114:subrepresentation
997:
622:
495:It is clear that
26:operator algebras
2669:
2616:Transform theory
2336:Special algebras
2317:Spectral theorem
2280:Spectral Theorem
2120:Spectral theorem
2009:
2002:
1995:
1986:
1947:
1945:
1944:
1939:
1923:
1919:
1911:
1895:
1885:
1881:
1873:
1857:
1835:
1833:
1832:
1827:
1815:
1806:
1805:
1777:
1768:
1767:
1739:
1723:
1707:
1695:
1694:
1672:
1670:
1669:
1664:
1652:
1643:
1642:
1614:
1605:
1604:
1576:
1560:
1544:
1528:
1516:
1515:
1493:
1491:
1490:
1485:
1474:
1473:
1463:
1459:
1452:
1451:
1435:
1416:
1404:
1403:
1381:
1379:
1378:
1373:
1362:
1361:
1351:
1347:
1343:
1342:
1326:
1314:
1313:
1016:
1014:
1013:
1008:
999:
995:
979:
978:
966:
965:
943:
941:
940:
935:
920:
919:
901:
900:
888:
887:
864:
863:
851:
850:
838:
837:
819:
818:
796:
794:
793:
788:
776:
775:
757:
756:
744:
743:
720:
719:
707:
706:
694:
693:
659:
657:
656:
651:
646:
645:
624:
623:
621:
620:
608:
603:
578:
576:
575:
570:
565:
564:
555:
554:
536:
535:
526:
525:
491:
489:
488:
483:
472:
471:
459:
458:
446:
445:
433:
432:
420:
419:
407:
406:
378:
376:
375:
370:
365:
364:
352:
351:
339:
338:
273:
271:
270:
265:
263:
262:
250:
249:
2677:
2676:
2672:
2671:
2670:
2668:
2667:
2666:
2657:Operator theory
2637:
2636:
2635:
2630:
2591:Spectral method
2576:Ramanujan graph
2524:
2508:
2484:Fredholm theory
2452:
2447:Shilov boundary
2443:Structure space
2421:Generalizations
2416:
2407:Numerical range
2385:
2369:Uniform algebra
2331:
2307:Riesz projector
2292:Min-max theorem
2275:
2261:Direct integral
2217:
2203:Spectral radius
2174:
2129:
2083:
2074:Spectral radius
2022:
2016:Spectral theory
2013:
1974:
1957:
1844:
1843:
1791:
1753:
1686:
1681:
1680:
1628:
1590:
1507:
1502:
1501:
1465:
1443:
1395:
1390:
1389:
1353:
1334:
1305:
1294:
1293:
1233:
1218:
1211:
1204:
1189:
1182:
1175:
1168:
1026:
970:
957:
952:
951:
905:
892:
873:
855:
842:
823:
810:
805:
804:
761:
748:
729:
711:
698:
679:
668:
667:
637:
587:
586:
556:
540:
527:
511:
500:
499:
463:
450:
437:
424:
411:
398:
387:
386:
356:
343:
330:
319:
318:
309:
302:
283:
254:
241:
230:
229:
182:states that if
173:
166:
139:
132:
34:
12:
11:
5:
2675:
2673:
2665:
2664:
2659:
2654:
2649:
2639:
2638:
2632:
2631:
2629:
2628:
2623:
2618:
2613:
2608:
2603:
2598:
2593:
2588:
2583:
2578:
2573:
2568:
2563:
2558:
2553:
2543:
2541:Corona theorem
2538:
2532:
2530:
2526:
2525:
2523:
2522:
2520:Wiener algebra
2516:
2514:
2510:
2509:
2507:
2506:
2501:
2496:
2491:
2486:
2481:
2476:
2471:
2466:
2460:
2458:
2454:
2453:
2451:
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