1590:
3922:
4848:
40:, and thus provides equivalent information; the advantage of the Segre class is that it generalizes to more general cones, while the Chern class does not. The Segre class was introduced in the non-singular case by Segre (1953). In the modern treatment of
2950:
2151:
520:
1305:
4106:
1847:
824:
3741:
3288:
6353:
5213:
3733:
3655:
5143:
3989:
6139:
2650:
4596:
5365:
5049:
5448:
4433:
4608:
3746:
6001:
4954:
1294:
1202:
6196:
4901:
3544:
5933:
3588:
6428:
5530:
1676:
5889:
320:
864:
361:
268:
154:
2430:
4166:
2031:
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5587:
5291:
4325:
4249:
2724:
1947:
1639:
995:
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5242:
4983:
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4500:
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6235:
3437:
3165:
2772:
3398:
3126:
6529:
5692:
3353:
3081:
2482:
1979:
6807:
3323:
2987:
2546:
579:
4299:
1696:
6590:
6503:
2508:
965:
5666:
1877:
6619:
6457:
5616:
4186:
1110:
1078:
628:
5774:
5748:
5722:
5078:
2761:
3457:
3185:
3055:
3035:
3015:
1901:
1720:
1049:
1026:
688:
668:
648:
599:
543:
381:
194:
174:
114:
94:
70:
6555:
2039:
1585:{\displaystyle c_{1}(E)=-s_{1}(E),\quad c_{2}(E)=s_{1}(E)^{2}-s_{2}(E),\quad \dots ,\quad c_{n}(E)=-s_{1}(E)c_{n-1}(E)-s_{2}(E)c_{n-2}(E)-\cdots -s_{n}(E)}
389:
2243:
3997:
3917:{\displaystyle {\begin{aligned}s(E,{\widetilde {X}})&=c({\mathcal {O}}_{E}(E))^{-1}\\&=-E\cdot +E\cdot (E\cdot )+\cdots ,\end{aligned}}}
1731:
696:
6819:
3193:
6300:
5151:
3660:
3600:
5083:
3930:
6017:
2553:
4505:
968:
6873:
5296:
4991:
1880:
117:
5377:
4333:
4843:{\displaystyle s(C_{Z/X})=c(N_{Z/X})^{-1}=\prod _{i=1}^{d}(1-c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D_{i})))=-\sum _{i=1}^{n}D_{i}\cdot .}
5695:
230:
44:
in algebraic geometry, as developed e.g. in the definitive book of Fulton (1998), Segre classes play a fundamental role.
6868:
5946:
4909:
1213:
1121:
6147:
4868:
3465:
1006:
73:
29:
5897:
3552:
6460:
6370:
5459:
1699:
1644:
5798:
4858:
The following is
Example 3.2.22. of Fulton (1998). It recovers some classical results from Schubert's book on
276:
832:
329:
236:
122:
2370:
4114:
3329:
of constant relative dimension between pure-dimensional algebraic schemes, then, for each closed subscheme
5618:
have the enumerative geometric meanings; for example, 92 is the number of conics meeting 8 general lines.
1984:
6248:
5538:
5247:
5622:
4304:
4208:
2668:
1906:
1598:
974:
2307:
2249:
2159:
199:
5218:
4959:
2202:
4859:
4449:
2945:{\displaystyle s_{p}(E\otimes L)=\sum _{i=0}^{p}(-1)^{p-i}{\binom {e+p}{e+i}}s_{i}(E)c_{1}(L)^{p-i}.}
869:
25:
900:
3595:
41:
6201:
3403:
3131:
2957:
A key property of a Segre class is birational invariance: this is contained in the following. Let
3358:
3086:
6508:
5671:
3332:
3060:
2445:
1957:
6815:
5146:
3296:
2960:
2515:
548:
4269:
1681:
6560:
6473:
4904:
2994:
2487:
1029:
935:
6852:
6829:
5639:
1855:
6848:
6836:
6825:
6811:
6595:
6433:
5592:
4171:
2990:
1086:
1054:
604:
5753:
5727:
5701:
5057:
2740:
3442:
3170:
3040:
3020:
3000:
1886:
1705:
1034:
1011:
673:
653:
633:
584:
528:
366:
179:
159:
99:
79:
55:
6534:
6862:
3326:
2146:{\displaystyle s(E^{\vee })=\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-x_{i}}}=s_{0}+s_{1}+\cdots }
897:
is that this makes the total Segre class stable under addition of the trivial bundle
33:
515:{\displaystyle s(C)=q_{*}\left(\sum _{i\geq 0}c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{i}\right).}
5368:
4599:
4264:
4205:
be a smooth curve that is a complete intersection of effective
Cartier divisors
3657:
is an effective
Cartier divisor and the normal cone (or normal bundle) to it is
1952:
1081:
271:
37:
17:
323:
6839:(1953), "Nuovi metodi e resultati nella geometria sulle varietà algebriche",
4101:{\displaystyle s(Z,X)=g_{*}\left(\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}E^{k}\right)}
1842:{\displaystyle c(E)=\prod _{i=1}^{k}(1+x_{i})=c_{0}+c_{1}+\cdots +c_{k}\,}
819:{\displaystyle s_{i}(C)=q_{*}\left(c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{r+i}\right).}
5623:
Residual intersection § Example: conics tangent to given five conics
5750:(viewing those divisors as closed subschemes). For simplicity, suppose
3549:
A basic example of birational invariance is provided by a blow-up. Let
3283:{\displaystyle {p_{V}}_{*}(s(V,X))=\operatorname {deg} (p)\,s(W,Y).}
36:. For vector bundles the total Segre class is inverse to the total
6348:{\displaystyle \operatorname {length} _{A}(A/{\mathfrak {m}}^{t})}
5208:{\displaystyle q:X=\mathbb {P} (E)\to {\breve {\mathbb {P} ^{3}}}}
3728:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{E}(E):={\mathcal {O}}_{X}(E)|_{E}}
3650:{\displaystyle E:=\pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X}}}
5138:{\displaystyle E=\operatorname {Sym} ^{2}(S^{*}\otimes Q^{*})}
3984:{\displaystyle D\cdot \alpha =c_{1}({\mathcal {O}}(D))\alpha }
6134:{\displaystyle s(Z,X)=g_{*}()-g_{*}({\widetilde {Z}}\cdot ).}
2645:{\displaystyle s_{i}(E)\circ s_{j}(F)=s_{j}(F)\circ s_{i}(E)}
4737:
4591:{\displaystyle N_{Z/X}=\bigoplus _{i=1}^{n}N_{D_{i}/X}|_{Z}}
3961:
3792:
3693:
3667:
906:
752:
454:
295:
205:
6810:. 3. Folge., vol. 2 (2nd ed.), Berlin, New York:
5360:{\displaystyle c(S^{*}\otimes Q^{*})=2\beta +2\beta ^{2}}
5044:{\displaystyle 0\to S\to p^{*}\mathbb {C} ^{3}\to Q\to 0}
5443:{\displaystyle c(E)=1+8\beta +30\beta ^{2}+60\beta ^{3}}
4428:{\displaystyle s(C_{Z/X})=-\sum _{i=1}^{n}D_{i}\cdot .}
6598:
6563:
6537:
6511:
6476:
6436:
6373:
6303:
6251:
6204:
6150:
6020:
5949:
5900:
5801:
5756:
5730:
5704:
5674:
5642:
5595:
5541:
5462:
5380:
5299:
5250:
5221:
5154:
5086:
5060:
4994:
4962:
4912:
4871:
4611:
4508:
4452:
4336:
4307:
4272:
4211:
4174:
4117:
4000:
3933:
3744:
3663:
3603:
3555:
3468:
3445:
3406:
3361:
3335:
3299:
3196:
3173:
3134:
3089:
3063:
3043:
3023:
3003:
2963:
2775:
2743:
2671:
2556:
2518:
2490:
2448:
2373:
2310:
2252:
2205:
2162:
2042:
1987:
1960:
1909:
1889:
1858:
1734:
1708:
1684:
1647:
1601:
1308:
1216:
1124:
1089:
1057:
1037:
1014:
977:
938:
903:
872:
835:
699:
676:
656:
636:
607:
587:
551:
531:
392:
369:
332:
279:
239:
202:
182:
162:
125:
102:
82:
58:
5080:
are the tautological sub and quotient bundles. With
6613:
6584:
6549:
6523:
6497:
6451:
6422:
6347:
6273:
6229:
6190:
6133:
5996:{\displaystyle g:{\widetilde {Z}}=\pi ^{-1}Z\to Z}
5995:
5927:
5883:
5768:
5742:
5716:
5686:
5660:
5610:
5581:
5524:
5442:
5359:
5285:
5236:
5207:
5137:
5072:
5043:
4977:
4949:{\displaystyle p:{\breve {\mathbb {P} ^{3}}}\to *}
4948:
4895:
4842:
4590:
4494:
4427:
4319:
4293:
4243:
4180:
4160:
4100:
3983:
3916:
3727:
3649:
3582:
3538:
3451:
3431:
3392:
3347:
3317:
3282:
3179:
3159:
3120:
3075:
3049:
3029:
3009:
2981:
2944:
2755:
2718:
2644:
2540:
2502:
2476:
2424:
2346:
2281:
2234:
2191:
2145:
2025:
1973:
1941:
1895:
1871:
1841:
1714:
1690:
1670:
1633:
1584:
1289:{\displaystyle s(E)=1+s_{1}(E)+s_{2}(E)+\cdots \,}
1288:
1197:{\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots \,}
1196:
1104:
1072:
1043:
1020:
989:
959:
913:
889:
858:
818:
682:
662:
642:
622:
593:
573:
537:
514:
375:
355:
314:
262:
221:
188:
168:
148:
108:
88:
64:
3017:is irreducible and each irreducible component of
2882:
2853:
6808:Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete
6531:encodes this multiplicity: the coefficient of
6647:
6645:
6191:{\displaystyle {\widetilde {Z}}=\pi ^{*}D+mE}
928:is a closed subscheme of an algebraic scheme
8:
2156:Expanding the above expression in powers of
1001:Relation to Chern classes for vector bundles
4985:, consider the tautological exact sequence
4896:{\displaystyle {\breve {\mathbb {P} ^{3}}}}
3539:{\displaystyle {f_{V}}^{*}(s(W,Y))=s(V,X).}
1641:be Chern roots, i.e. formal eigenvalues of
5928:{\displaystyle \pi :{\widetilde {X}}\to X}
3583:{\displaystyle \pi :{\widetilde {X}}\to X}
6597:
6562:
6536:
6510:
6475:
6435:
6423:{\displaystyle {e(A)^{n} \over n!}t^{n}+}
6411:
6390:
6374:
6372:
6336:
6330:
6329:
6323:
6308:
6302:
6262:
6261:
6250:
6215:
6203:
6170:
6152:
6151:
6149:
6111:
6110:
6093:
6092:
6083:
6059:
6058:
6046:
6019:
5975:
5957:
5956:
5948:
5908:
5907:
5899:
5842:
5800:
5755:
5729:
5703:
5673:
5641:
5594:
5561:
5540:
5525:{\displaystyle s(E)=1+8h+34h^{2}+92h^{3}}
5516:
5500:
5461:
5434:
5418:
5379:
5351:
5323:
5310:
5298:
5274:
5261:
5249:
5228:
5224:
5223:
5220:
5193:
5189:
5188:
5185:
5184:
5168:
5167:
5153:
5126:
5113:
5097:
5085:
5059:
5023:
5019:
5018:
5011:
4993:
4969:
4965:
4964:
4961:
4928:
4924:
4923:
4920:
4919:
4911:
4881:
4877:
4876:
4873:
4872:
4870:
4819:
4809:
4798:
4755:
4742:
4736:
4735:
4725:
4706:
4695:
4670:
4656:
4652:
4626:
4622:
4610:
4582:
4577:
4566:
4560:
4555:
4545:
4534:
4517:
4513:
4507:
4482:
4478:
4461:
4457:
4451:
4404:
4394:
4383:
4351:
4347:
4335:
4306:
4281:
4277:
4271:
4235:
4216:
4210:
4173:
4134:
4116:
4087:
4071:
4052:
4041:
4026:
3999:
3960:
3959:
3950:
3932:
3816:
3797:
3791:
3790:
3762:
3761:
3745:
3743:
3719:
3714:
3698:
3692:
3691:
3672:
3666:
3665:
3662:
3636:
3635:
3614:
3602:
3590:be a blow-up along some closed subscheme
3563:
3562:
3554:
3482:
3475:
3470:
3467:
3444:
3411:
3405:
3372:
3360:
3334:
3298:
3258:
3210:
3203:
3198:
3195:
3172:
3139:
3133:
3100:
3088:
3062:
3042:
3022:
3002:
2962:
2927:
2911:
2892:
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2850:
2838:
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2808:
2780:
2774:
2742:
2701:
2676:
2670:
2627:
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2309:
2273:
2257:
2251:
2244:complete homogeneous symmetric polynomial
2223:
2210:
2204:
2183:
2167:
2161:
2131:
2118:
2102:
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2080:
2069:
2053:
2041:
2017:
1995:
1986:
1965:
1959:
1933:
1914:
1908:
1888:
1863:
1857:
1838:
1832:
1813:
1800:
1784:
1765:
1754:
1733:
1725:While the Chern class c(E) is written as
1707:
1683:
1671:{\displaystyle {\frac {i\Omega }{2\pi }}}
1648:
1646:
1625:
1606:
1600:
1567:
1533:
1514:
1486:
1467:
1442:
1412:
1399:
1383:
1361:
1338:
1313:
1307:
1285:
1264:
1242:
1215:
1193:
1172:
1150:
1123:
1088:
1056:
1036:
1013:
976:
937:
905:
904:
902:
874:
873:
871:
837:
836:
834:
786:
785:
770:
751:
750:
741:
726:
704:
698:
675:
655:
635:
606:
586:
556:
550:
530:
482:
481:
472:
453:
452:
443:
427:
412:
391:
368:
334:
333:
331:
294:
293:
284:
278:
241:
240:
238:
204:
203:
201:
181:
161:
127:
126:
124:
101:
81:
57:
6697:
6695:
5884:{\displaystyle s(Z,X)=+(m^{2}-D\cdot ).}
315:{\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(1))}
6630:
6430:the lower-degree terms and the integer
859:{\displaystyle \mathbb {P} (C\oplus 1)}
356:{\displaystyle \mathbb {P} (C\oplus 1)}
263:{\displaystyle \mathbb {P} (C\oplus 1)}
149:{\displaystyle \mathbb {P} (C\oplus 1)}
6785:
6773:
6761:
6749:
6737:
6725:
6713:
6701:
6686:
6674:
6662:
6651:
5668:effective Cartier divisors on it. Let
2425:{\displaystyle c(E)s(C\oplus E)=s(C).}
6637:
4161:{\displaystyle g:E=\pi ^{-1}(Z)\to Z}
7:
2026:{\displaystyle -x_{1},\dots ,-x_{k}}
1115:Explicitly, for a total Chern class
6331:
6274:{\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}
6263:
5582:{\displaystyle h=-\beta =c_{1}(Q).}
5286:{\displaystyle \beta =c_{1}(Q^{*})}
5894:To see this, consider the blow-up
4865:Viewing the dual projective space
4320:{\displaystyle Z\hookrightarrow X}
4244:{\displaystyle D_{1},\dots ,D_{n}}
4053:
3057:. Then, for each closed subscheme
2857:
2719:{\displaystyle s_{1}(L)=-c_{1}(L)}
1942:{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}
1685:
1654:
1634:{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}
990:{\displaystyle Z\hookrightarrow X}
14:
4263:+ 1. Then the Segre class of the
2726:, minus the first Chern class of
2347:{\displaystyle s(C\oplus 1)=s(C)}
2282:{\displaystyle x_{1},\dots x_{k}}
2192:{\displaystyle x_{1},\dots x_{k}}
222:{\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}
5369:Chern class#Computation formulae
5237:{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}
4978:{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}
2296:Here are some basic properties.
2235:{\displaystyle s_{i}(E^{\vee })}
6281:be the local ring of a variety
6241:Multiplicity along a subvariety
6008:
4495:{\displaystyle C_{Z/X}=N_{Z/X}}
1881:elementary symmetric polynomial
1437:
1430:
1356:
1207:one gets the total Segre class
890:{\displaystyle \mathbb {P} (C)}
322:as a group endomorphism of the
6608:
6602:
6579:
6567:
6544:
6538:
6492:
6480:
6446:
6440:
6387:
6380:
6342:
6317:
6268:
6252:
6125:
6122:
6107:
6089:
6073:
6070:
6055:
6052:
6036:
6024:
5987:
5919:
5875:
5872:
5866:
5854:
5848:
5835:
5829:
5823:
5817:
5805:
5605:
5599:
5573:
5567:
5472:
5466:
5390:
5384:
5329:
5303:
5280:
5267:
5181:
5178:
5172:
5132:
5106:
5035:
5029:
5004:
4998:
4956:parametrizing the 2-planes in
4940:
4834:
4828:
4788:
4782:
4776:
4770:
4767:
4764:
4761:
4748:
4731:
4712:
4685:
4679:
4667:
4645:
4636:
4615:
4578:
4419:
4413:
4373:
4367:
4361:
4340:
4311:
4152:
4149:
4143:
4068:
4058:
4016:
4004:
3975:
3972:
3966:
3956:
3898:
3895:
3889:
3880:
3868:
3862:
3850:
3844:
3831:
3825:
3813:
3809:
3803:
3786:
3773:
3752:
3715:
3710:
3704:
3684:
3678:
3632:
3629:
3623:
3574:
3530:
3518:
3509:
3506:
3494:
3488:
3423:
3387:
3381:
3309:
3274:
3262:
3255:
3249:
3237:
3234:
3222:
3216:
3151:
3115:
3109:
2973:
2924:
2917:
2904:
2898:
2835:
2825:
2798:
2786:
2713:
2707:
2688:
2682:
2639:
2633:
2617:
2611:
2595:
2589:
2573:
2567:
2535:
2529:
2465:
2459:
2416:
2410:
2401:
2389:
2383:
2377:
2341:
2335:
2326:
2314:
2229:
2216:
2059:
2046:
1790:
1771:
1744:
1738:
1579:
1573:
1551:
1545:
1526:
1520:
1504:
1498:
1479:
1473:
1454:
1448:
1424:
1418:
1396:
1389:
1373:
1367:
1350:
1344:
1325:
1319:
1276:
1270:
1254:
1248:
1226:
1220:
1184:
1178:
1162:
1156:
1134:
1128:
1099:
1093:
1067:
1061:
981:
967:denote the Segre class of the
954:
942:
914:{\displaystyle {\mathcal {O}}}
884:
878:
853:
841:
805:
802:
790:
782:
767:
763:
757:
747:
716:
710:
617:
611:
568:
562:
501:
498:
486:
478:
469:
465:
459:
449:
402:
396:
350:
338:
309:
306:
300:
290:
257:
245:
216:
210:
143:
131:
1:
6367:; i.e., it can be written as
6297:can be a closed point). Then
6237:, the formula above results.
5696:scheme-theoretic intersection
231:anti-tautological line bundle
6230:{\displaystyle E=\pi ^{-1}P}
5776:meet only at a single point
5215:is the variety of conics in
3432:{\displaystyle f_{V}:V\to W}
3160:{\displaystyle p_{V}:V\to W}
1080:is the inverse to the total
5780:with the same multiplicity
4442:is regularly embedded into
3927:where we used the notation
3393:{\displaystyle V=f^{-1}(W)}
3121:{\displaystyle V=p^{-1}(W)}
2737:is a vector bundle of rank
363:, the total Segre class of
116:is the projection from the
6890:
6524:{\displaystyle V\subset X}
6355:is a polynomial of degree
6003:, the strict transform of
5687:{\displaystyle Z\subset X}
5620:
4255:. Assume the dimension of
3348:{\displaystyle W\subset Y}
3076:{\displaystyle W\subset Y}
2763:, then, for a line bundle
2652:for another vector bundle
2477:{\displaystyle s_{i}(E)=0}
1112:, see e.g. Fulton (1998).
4502:is the normal bundle and
2548:is the identity operator.
2440:is a vector bundle, then
2304:(e.g., a vector bundle),
1974:{\displaystyle E^{\vee }}
1007:holomorphic vector bundle
6802:Fulton, William (1998),
4438:Indeed, for example, if
3318:{\displaystyle f:X\to Y}
2982:{\displaystyle p:X\to Y}
2541:{\displaystyle s_{0}(E)}
574:{\displaystyle s_{i}(C)}
6285:at a closed subvariety
4294:{\displaystyle C_{Z/X}}
2665:is a line bundle, then
1691:{\displaystyle \Omega }
690:then this is given by:
6874:Characteristic classes
6740:, Proposition 4.2. (b)
6728:, Proposition 4.2. (a)
6615:
6586:
6585:{\displaystyle s(V,X)}
6551:
6525:
6499:
6498:{\displaystyle s(V,X)}
6453:
6424:
6349:
6275:
6231:
6192:
6135:
5997:
5929:
5885:
5770:
5744:
5718:
5688:
5662:
5612:
5583:
5526:
5444:
5361:
5287:
5238:
5209:
5139:
5074:
5045:
4979:
4950:
4897:
4844:
4814:
4711:
4600:Normal cone#Properties
4592:
4550:
4496:
4429:
4399:
4321:
4295:
4245:
4182:
4162:
4102:
4057:
3985:
3918:
3729:
3651:
3584:
3540:
3453:
3433:
3394:
3349:
3319:
3284:
3181:
3161:
3122:
3077:
3051:
3031:
3011:
2983:
2946:
2824:
2757:
2720:
2646:
2542:
2504:
2503:{\displaystyle i<0}
2478:
2426:
2348:
2283:
2236:
2193:
2147:
2085:
2027:
1981:which has Chern roots
1975:
1943:
1897:
1873:
1843:
1770:
1716:
1692:
1672:
1635:
1586:
1290:
1198:
1106:
1074:
1045:
1022:
991:
961:
960:{\displaystyle s(Z,X)}
915:
891:
860:
820:
684:
664:
644:
624:
595:
575:
539:
516:
377:
357:
316:
264:
223:
190:
170:
150:
110:
90:
66:
32:, a generalization of
6616:
6587:
6552:
6526:
6500:
6454:
6425:
6350:
6276:
6232:
6193:
6136:
5998:
5930:
5886:
5788:is a smooth point of
5771:
5745:
5719:
5689:
5663:
5661:{\displaystyle A,B,D}
5613:
5584:
5527:
5445:
5362:
5288:
5239:
5210:
5140:
5075:
5046:
4980:
4951:
4898:
4845:
4794:
4691:
4593:
4530:
4497:
4430:
4379:
4322:
4296:
4246:
4183:
4163:
4103:
4037:
3986:
3919:
3730:
3652:
3585:
3541:
3454:
3434:
3395:
3350:
3320:
3285:
3182:
3162:
3123:
3078:
3052:
3032:
3012:
2984:
2947:
2804:
2758:
2721:
2647:
2543:
2505:
2479:
2427:
2349:
2284:
2237:
2194:
2148:
2065:
2028:
1976:
1944:
1898:
1874:
1872:{\displaystyle c_{i}}
1844:
1750:
1717:
1693:
1673:
1636:
1587:
1291:
1199:
1107:
1075:
1046:
1023:
992:
962:
916:
892:
861:
829:The reason for using
821:
685:
665:
650:is of pure dimension
645:
625:
596:
576:
540:
517:
378:
358:
317:
265:
224:
191:
171:
151:
118:projective completion
111:
91:
67:
28:used in the study of
6841:Ann. Mat. Pura Appl.
6614:{\displaystyle e(A)}
6596:
6561:
6535:
6509:
6474:
6452:{\displaystyle e(A)}
6434:
6371:
6301:
6249:
6202:
6148:
6018:
6007:. By the formula at
5947:
5898:
5799:
5754:
5728:
5702:
5672:
5640:
5611:{\displaystyle s(E)}
5593:
5589:The coefficients in
5539:
5460:
5378:
5297:
5248:
5219:
5152:
5084:
5058:
4992:
4960:
4910:
4869:
4860:enumerative geometry
4609:
4506:
4450:
4334:
4305:
4270:
4209:
4181:{\displaystyle \pi }
4172:
4115:
3998:
3931:
3742:
3661:
3601:
3553:
3466:
3443:
3404:
3359:
3333:
3297:
3194:
3171:
3132:
3087:
3061:
3041:
3021:
3001:
2961:
2773:
2741:
2669:
2554:
2516:
2488:
2446:
2371:
2361:and a vector bundle
2308:
2250:
2242:is represented by a
2203:
2160:
2040:
1985:
1958:
1907:
1887:
1856:
1732:
1706:
1698:is a curvature of a
1682:
1645:
1599:
1306:
1214:
1122:
1105:{\displaystyle c(E)}
1087:
1073:{\displaystyle s(E)}
1055:
1051:a total Segre class
1035:
1012:
975:
936:
901:
870:
833:
697:
674:
654:
634:
623:{\displaystyle s(C)}
605:
585:
549:
529:
390:
367:
330:
277:
237:
200:
180:
160:
123:
100:
80:
56:
26:characteristic class
6869:Intersection theory
6804:Intersection theory
5769:{\displaystyle A,B}
5743:{\displaystyle B+D}
5717:{\displaystyle A+D}
5073:{\displaystyle S,Q}
3596:exceptional divisor
3439:the restriction of
3167:the restriction of
2756:{\displaystyle e+1}
601:th graded piece of
42:intersection theory
6704:, Proposition 3.1.
6611:
6582:
6547:
6521:
6495:
6449:
6420:
6345:
6271:
6227:
6188:
6131:
5993:
5925:
5881:
5766:
5740:
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