2149:
1706:
1765:
1370:
1099:
886:
1309:
2905:
mentioned this expansion, among other
Boolean identities, in a 1949 paper, and showed the switching network interpretations of the identity. In the literature of computer design and switching theory, the identity is often incorrectly attributed to Shannon.
2144:{\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{1},X_{2})&=(X_{1}+f(0,X_{2}))\cdot (X_{1}'+f(1,X_{2}))\\&=(X_{1}+X_{2}+f(0,0))\cdot (X_{1}+X_{2}'+f(0,1))\cdot (X_{1}'+X_{2}+f(1,0))\cdot (X_{1}'+X_{2}'+f(1,1))\end{aligned}}}
2748:
1701:{\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{1},X_{2})&=X_{1}\cdot f(1,X_{2})+X_{1}'\cdot f(0,X_{2})\\&=X_{1}X_{2}\cdot f(1,1)+X_{1}X_{2}'\cdot f(1,0)+X_{1}'X_{2}\cdot f(0,1)+X_{1}'X_{2}'\cdot f(0,0)\end{aligned}}}
108:
1770:
1375:
2814:
2660:
534:
490:
913:
2880:
2592:
700:
1111:
2513:
2339:
2426:
2252:
2460:
664:
398:
256:
2286:
2209:
177:
1757:
2373:
612:
366:
224:
1362:
1737:
1336:
684:
632:
585:
442:
422:
336:
316:
296:
276:
197:
152:
128:
3014:
3083:, Version IV, Functional Decomposition Group, Department of Electrical Engineering, Portland University, Portland, Oregon, USA, p. 21,
2685:
3146:
564:
3119:
2893:
presented this expansion as his
Proposition II, "To expand or develop a function involving any number of logical symbols", in his
552:
3044:
2677:
547:
It has been called the "fundamental theorem of
Boolean algebra". Besides its theoretical importance, it paved the way for
1094:{\displaystyle f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=X_{1}\cdot f(1,X_{2},\dots ,X_{n})\oplus X_{1}'\cdot f(0,X_{2},\dots ,X_{n})}
495:
451:
45:
3107:
3021:
2984:
An
Investigation of the Laws of Thought: On which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities
2762:
881:{\displaystyle f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=X_{1}\cdot f(1,X_{2},\dots ,X_{n})+X_{1}'\cdot f(0,X_{2},\dots ,X_{n})}
3079:
Perkowski, Marek A.; Grygiel, Stanislaw (1995-11-20), "6. Historical
Overview of the Research on Decomposition",
1304:{\displaystyle f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=(X_{1}+f(0,X_{2},\dots ,X_{n}))\cdot (X_{1}'+f(1,X_{2},\dots ,X_{n}))}
3141:
3006:
2922:
2915:
2828:
2465:
2947:
2603:
2291:
548:
2540:
3084:
563:
of digital circuits. In such engineering contexts (especially in BDDs), the expansion is interpreted as a
39:
3125:
1716:
2378:
556:
3089:
2895:
560:
541:
2214:
2433:
2259:
3061:
3010:
537:
2982:
3053:
1742:
637:
371:
229:
131:
3036:
2346:
590:
344:
202:
2183:
1712:
1315:
1341:
157:
3057:
3032:
2902:
2527:
1722:
1321:
1106:
There is a dual form of the
Shannon expansion (which does not have a related XOR form):
669:
617:
570:
427:
407:
321:
301:
281:
261:
182:
137:
113:
3135:
2899:(1854), and it was "widely applied by Boole and other nineteenth-century logicians".
2978:
2890:
905:
2926:
901:
17:
3126:
Optimizing
Sequential Cycles Through Shannon Decomposition and Retiming (PDF)
3065:
2743:{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=F_{x}\oplus F_{x'}}
2680:
of the function F with respect to the literal x is defined as:
587:
being the condition and the cofactors being the branches (
2921:
Any
Boolean function can be implemented directly in a
2831:
2765:
2688:
2606:
2543:
2468:
2436:
2381:
2349:
2294:
2262:
2217:
2186:
1768:
1745:
1725:
1373:
1344:
1324:
1114:
916:
703:
672:
640:
620:
593:
573:
498:
454:
430:
410:
374:
347:
324:
304:
284:
264:
232:
205:
185:
160:
140:
116:
48:
1711:
Likewise, application of the dual form leads to the
1314:
Repeated application for each argument leads to the
3037:"The Synthesis of Two-Terminal Switching Circuits"
3003:Boolean Reasoning - The Logic of Boolean Equations
2874:
2823:The existential quantification of F is defined as:
2808:
2742:
2654:
2586:
2507:
2454:
2420:
2367:
2333:
2280:
2246:
2203:
2143:
1751:
1731:
1700:
1356:
1330:
1303:
1093:
880:
678:
658:
626:
606:
579:
528:
484:
436:
416:
392:
360:
330:
310:
290:
270:
250:
218:
191:
171:
146:
122:
102:
3081:A Survey of Literature on Function Decomposition
2757:The universal quantification of F is defined as:
529:{\displaystyle \operatorname {restrict} (F,x,1)}
485:{\displaystyle \operatorname {restrict} (F,x,0)}
694:A more explicit way of stating the theorem is:
400:are sometimes called the positive and negative
3005:(reissue of 2nd ed.). Mineola, New York:
1318:(SoP) canonical form of the Boolean function
103:{\displaystyle F=x\cdot F_{x}+x'\cdot F_{x'}}
8:
2996:
2994:
2809:{\displaystyle \forall xF=F_{x}\cdot F_{x'}}
2966:Logic Synthesis and Verification Algorithms
2918:follow from systematic use of this theorem
2169:which is made up of two Boolean functions
3088:
2861:
2848:
2830:
2795:
2782:
2764:
2729:
2716:
2689:
2687:
2641:
2617:
2605:
2573:
2560:
2542:
2499:
2486:
2473:
2467:
2435:
2412:
2399:
2386:
2380:
2348:
2325:
2312:
2299:
2293:
2261:
2235:
2222:
2216:
2185:
2104:
2088:
2048:
2032:
1989:
1976:
1936:
1923:
1894:
1866:
1844:
1819:
1796:
1783:
1769:
1767:
1744:
1724:
1664:
1651:
1617:
1604:
1567:
1557:
1523:
1513:
1490:
1462:
1446:
1421:
1401:
1388:
1374:
1372:
1343:
1323:
1289:
1270:
1242:
1220:
1201:
1176:
1157:
1138:
1125:
1113:
1082:
1063:
1035:
1019:
1000:
975:
959:
940:
927:
915:
869:
850:
822:
806:
787:
762:
746:
727:
714:
702:
671:
645:
639:
619:
598:
592:
572:
497:
453:
429:
409:
379:
373:
352:
346:
323:
303:
283:
263:
237:
231:
210:
204:
184:
159:
139:
115:
89:
65:
47:
2929:by repeated application of this theorem.
555:, and many other techniques relevant to
2939:
2875:{\displaystyle \exists xF=F_{x}+F_{x'}}
2508:{\displaystyle F_{x}=G_{x}\oplus H_{x}}
2655:{\displaystyle F=F_{x}+x'\cdot F_{x'}}
2334:{\displaystyle F_{x}=G_{x}\cdot H_{x}}
2964:G. D. Hachtel and F. Somenzi (1996),
2587:{\displaystyle F=x\cdot F_{x}+F_{x'}}
7:
2518:Characteristics of unate functions:
444:. These are functions, computed by
3058:10.1002/j.1538-7305.1949.tb03624.x
2952:The Elements of Mathematical Logic
2832:
2766:
2700:
2692:
900:The statement also holds when the
25:
2910:Application to switching circuits
2421:{\displaystyle F_{x}=G_{x}+H_{x}}
1715:(PoS) canonical form (using the
2161:Linear properties of cofactors:
3001:Brown, Frank Markham (2012) .
2134:
2131:
2119:
2081:
2075:
2072:
2060:
2025:
2019:
2016:
2004:
1969:
1963:
1960:
1948:
1916:
1903:
1900:
1881:
1859:
1853:
1850:
1831:
1812:
1802:
1776:
1691:
1679:
1641:
1629:
1594:
1582:
1547:
1535:
1496:
1477:
1452:
1433:
1407:
1381:
1298:
1295:
1257:
1235:
1229:
1226:
1188:
1169:
1163:
1118:
1088:
1050:
1025:
987:
965:
920:
875:
837:
812:
774:
752:
707:
523:
505:
479:
461:
1:
3045:Bell System Technical Journal
2247:{\displaystyle F_{x}=H'_{x}}
2925:using a hierarchy of basic
2819:Existential quantification:
2455:{\displaystyle F=G\oplus H}
892:Variations and implications
30:, often referred to as the
3163:
3147:Theorems in lattice theory
3122:Example with multiplexers.
2676:The Boolean difference or
2281:{\displaystyle F=G\cdot H}
2753:Universal quantification:
2666:Operations with cofactors
634:is true and respectively
28:Boole's expansion theorem
3007:Dover Publications, Inc.
2948:Rosenbloom, Paul Charles
2916:Binary decision diagrams
690:Statement of the theorem
549:binary decision diagrams
3120:Shannon’s Decomposition
2600:is negative unate then
2537:is positive unate then
2177:the following are true:
2165:For a Boolean function
2155:Properties of cofactors
904:"+" is replaced by the
2876:
2810:
2744:
2656:
2588:
2509:
2456:
2422:
2369:
2335:
2282:
2248:
2205:
2145:
1753:
1752:{\displaystyle \cdot }
1733:
1702:
1358:
1332:
1305:
1095:
882:
680:
660:
659:{\displaystyle F_{x'}}
628:
608:
581:
553:satisfiability solvers
530:
486:
438:
418:
394:
393:{\displaystyle F_{x'}}
362:
332:
312:
292:
272:
252:
251:{\displaystyle F_{x'}}
220:
193:
173:
148:
124:
104:
3128:Paper on application.
3108:Reed–Muller expansion
2877:
2811:
2745:
2657:
2589:
2510:
2457:
2423:
2370:
2368:{\displaystyle F=G+H}
2336:
2283:
2249:
2206:
2146:
1754:
1734:
1703:
1359:
1333:
1306:
1096:
883:
681:
661:
629:
609:
607:{\displaystyle F_{x}}
582:
531:
487:
439:
419:
395:
363:
361:{\displaystyle F_{x}}
333:
313:
293:
273:
253:
221:
219:{\displaystyle F_{x}}
194:
179:is the complement of
174:
149:
125:
105:
2829:
2763:
2686:
2604:
2541:
2466:
2434:
2379:
2347:
2292:
2260:
2215:
2204:{\displaystyle F=H'}
2184:
1766:
1743:
1723:
1371:
1342:
1322:
1112:
914:
701:
670:
638:
618:
591:
571:
567:, with the variable
557:computer engineering
496:
452:
428:
408:
372:
345:
322:
302:
282:
262:
230:
203:
183:
158:
138:
114:
46:
2672:Boolean difference:
2243:
2112:
2096:
2040:
1997:
1874:
1672:
1659:
1612:
1575:
1470:
1357:{\displaystyle n=2}
1250:
1043:
830:
561:formal verification
542:partial application
404:, respectively, of
2872:
2806:
2740:
2678:Boolean derivative
2652:
2584:
2505:
2452:
2418:
2365:
2331:
2278:
2244:
2231:
2201:
2141:
2139:
2100:
2084:
2028:
1985:
1862:
1749:
1729:
1717:distributivity law
1698:
1696:
1660:
1647:
1600:
1563:
1458:
1354:
1338:. For example for
1328:
1301:
1238:
1091:
1031:
878:
818:
676:
656:
624:
604:
577:
526:
482:
434:
414:
390:
358:
328:
308:
288:
278:with the argument
268:
248:
216:
189:
172:{\displaystyle x'}
169:
144:
120:
100:
3016:978-0-486-42785-0
2923:switching circuit
2707:
1732:{\displaystyle +}
1331:{\displaystyle f}
679:{\displaystyle x}
627:{\displaystyle x}
580:{\displaystyle x}
538:valuation (logic)
437:{\displaystyle x}
417:{\displaystyle F}
402:Shannon cofactors
331:{\displaystyle 0}
311:{\displaystyle 1}
291:{\displaystyle x}
271:{\displaystyle F}
192:{\displaystyle x}
147:{\displaystyle x}
123:{\displaystyle F}
32:Shannon expansion
16:(Redirected from
3154:
3095:
3093:
3092:
3076:
3070:
3069:
3041:
3035:(January 1949).
3029:
3023:
3020:
2998:
2989:
2988:
2975:
2969:
2962:
2956:
2955:
2944:
2881:
2879:
2878:
2873:
2871:
2870:
2869:
2853:
2852:
2815:
2813:
2812:
2807:
2805:
2804:
2803:
2787:
2786:
2749:
2747:
2746:
2741:
2739:
2738:
2737:
2721:
2720:
2708:
2706:
2698:
2690:
2661:
2659:
2658:
2653:
2651:
2650:
2649:
2633:
2622:
2621:
2593:
2591:
2590:
2585:
2583:
2582:
2581:
2565:
2564:
2514:
2512:
2511:
2506:
2504:
2503:
2491:
2490:
2478:
2477:
2461:
2459:
2458:
2453:
2427:
2425:
2424:
2419:
2417:
2416:
2404:
2403:
2391:
2390:
2374:
2372:
2371:
2366:
2340:
2338:
2337:
2332:
2330:
2329:
2317:
2316:
2304:
2303:
2287:
2285:
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