25:
3006:
1180:
3177:
854:
361:
1396:
3398:
1726:
2625:
2708:
2285:
1319:
2427:
2875:
3073:
2915:
1045:
2542:
2486:
669:
1074:
601:
973:
453:
226:
1764:
913:
1078:
3078:
1534:
753:
1986:
1865:
3487:
3555:
One can check that this function is additive by using the linearity of the limit. That this function is not σ-additive follows by considering the sequence of disjoint sets
1323:
3516:
3648:
2807:
2199:
741:
2055:
3604:
3309:
3304:
3215:
2763:
1939:
1818:
1243:
940:
3728:
3551:
3418:
2146:
1617:
715:
692:
2172:
1574:
1269:
3442:
1436:
3692:
3672:
3279:
2902:
2028:
1913:
1885:
1792:
1594:
1554:
1488:
1456:
1416:
1200:
512:
420:
259:
3235:
2339:
2118:
2096:
1644:
2316:
568:
548:
150:
488:
42:
381:) of a set sum when considering multiple objects. Additivity is a weaker condition than σ-additivity; that is, σ-additivity implies additivity.
3075:
is a sequence of disjoint sets of real numbers, then either none of the sets contains 0, or precisely one of them does. In either case, the equality
2204:
1648:
228:
If this additivity property holds for any two sets, then it also holds for any finite number of sets, namely, the function value on the union of
2547:
2630:
89:
61:
3882:
606:
108:
1281:
68:
2343:
3763:
244:(the terms are equivalent). However, a finitely additive set function might not have the additivity property for a union of an
75:
46:
2812:
57:
3781:
3013:
985:
3917:
2491:
2435:
3558:
2002:
1050:
577:
952:
491:
432:
163:
3814:
2719:
1731:
859:
3912:
3808:
2713:
35:
1501:
3001:{\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}0\in A\\0&{\mbox{ if }}0\notin A.\end{cases}}}
1944:
1823:
747:
130:
3451:
82:
3790:
3183:
1459:
366:
3492:
3609:
2768:
2177:
2067:
1996:
720:
2939:
2727:
Note that modularity has a different and unrelated meaning in the context of complex functions; see
2036:
3796:
3751:
3743:
2627:
where all sets in the union are disjoint. Additivity implies that both sides of the equality equal
3287:
3200:
2742:
1918:
1797:
3837:
3697:
1221:
918:
253:
153:
3521:
1175:{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}),}
3172:{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}
3888:
3878:
3403:
2122:
1599:
1246:
849:{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu \left(A_{n}\right)}
697:
674:
2151:
1559:
356:{\textstyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}).}
3755:
3421:
1251:
3427:
3261:
An example of an additive function which is not σ-additive is obtained by considering
1421:
1391:{\displaystyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {G}}\right)=\sup _{G\in {\mathcal {G}}}\mu (G),}
3677:
3657:
3264:
2887:
2013:
1898:
1870:
1777:
1579:
1539:
1473:
1441:
1401:
1185:
497:
405:
3819:
3220:
2321:
2100:
2078:
1626:
3802:
3759:
3651:
3187:
2301:
2031:
553:
533:
3393:{\displaystyle \mu (A)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{k}}\cdot \lambda (A\cap (0,k)),}
458:
135:
3906:
976:
427:
236:
is a finite number) equals the sum of its values on the sets. Therefore, an additive
3775:
3747:
3445:
2728:
2008:
1272:
571:
423:
237:
157:
3282:
2909:
122:
24:
3833:
1210:. Every 𝜎-additive function is additive but not vice versa, as shown below.
3892:
2905:
1721:{\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cup \varnothing )=\mu (A)+\mu (\varnothing ).}
3872:
3824:
3238:
1276:
980:
365:
Additivity and sigma-additivity are particularly important properties of
2620:{\displaystyle A\cup B=(A\cap B)\cup (A\setminus B)\cup (B\setminus A),}
3739:
2703:{\displaystyle \mu (A\setminus B)+\mu (B\setminus A)+2\mu (A\cap B).}
378:
370:
1766:
then this equality can be satisfied only by plus or minus infinity.
671:
A consequence of this is that an additive function cannot take both
3750:). For sigma-additivity, one needs in addition that the concept of
2295:
and the argument below proves that additivity implies modularity.
374:
2280:{\displaystyle \phi (A\cup B)+\phi (A\cap B)=\phi (A)+\phi (B)}
152:
mapping sets to numbers, with the property that its value on a
3738:
One may define additive functions with values in any additive
1314:{\textstyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {A}}\cap \tau ,}
18:
3694:
applied to any of the individual sets is zero, so the sum of
369:. They are abstractions of how intuitive properties of size (
3197:
is defined to be a finitely additive set function that maps
2422:{\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B).}
2183:
2042:
1366:
1340:
1297:
1287:
1227:
1057:
959:
924:
584:
439:
2994:
1462:(with respect to compact sets) then it is τ-additive.
160:
sets equals the sum of its values on these sets, namely,
3874:
Theory of charges: a study of finitely additive measures
252:
is a function that has the additivity property even for
3793: – Generalization of mass, length, area and volume
3786:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
3762:. Another example, also from quantum mechanics, is the
2973:
2948:
1284:
1224:
1054:
956:
921:
581:
436:
262:
166:
138:
3827:– The set of bounded charges on a given sigma-algebra
3700:
3680:
3660:
3612:
3561:
3524:
3495:
3454:
3430:
3406:
3312:
3290:
3267:
3223:
3203:
3081:
3016:
2918:
2890:
2884:
An example of a 𝜎-additive function is the function
2815:
2771:
2745:
2633:
2550:
2494:
2438:
2346:
2324:
2304:
2207:
2180:
2154:
2125:
2103:
2081:
2039:
2016:
1947:
1921:
1901:
1873:
1826:
1800:
1780:
1734:
1651:
1629:
1602:
1582:
1562:
1542:
1504:
1476:
1444:
1424:
1404:
1326:
1254:
1188:
1081:
1053:
988:
955:
862:
756:
723:
700:
677:
609:
580:
556:
536:
500:
461:
435:
408:
3832:
This article incorporates material from additive on
3805: – Generalized notion of measure in mathematics
2870:{\displaystyle \mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A).}
49:. Unsourced material may be challenged and removed.
3784: – Theorem extending pre-measures to measures
3722:
3686:
3666:
3642:
3598:
3545:
3510:
3481:
3436:
3412:
3392:
3298:
3273:
3229:
3209:
3171:
3067:
3000:
2896:
2869:
2801:
2757:
2702:
2619:
2536:
2480:
2421:
2333:
2310:
2279:
2193:
2166:
2140:
2112:
2090:
2049:
2022:
1980:
1933:
1907:
1879:
1859:
1812:
1786:
1758:
1720:
1638:
1611:
1588:
1568:
1548:
1528:
1482:
1450:
1430:
1410:
1390:
1313:
1263:
1237:
1194:
1174:
1068:
1039:
967:
934:
907:
848:
735:
709:
686:
663:
595:
562:
542:
506:
482:
447:
414:
355:
220:
144:
3871:Bhaskara Rao, K. P. S.; Bhaskara Rao, M. (1983).
3257:An additive function which is not σ-additive
3068:{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }
1040:{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }
3838:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
3811: – Set-to-real map with diminishing returns
3496:
3431:
3329:
1354:
3730:is also zero, which proves the counterexample.
3758:are sigma-additive functions with values in a
2537:{\displaystyle B=(A\cap B)\cup (B\setminus A)}
2481:{\displaystyle A=(A\cap B)\cup (A\setminus B)}
1470:Useful properties of an additive set function
664:{\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}
398:Additive (or finitely additive) set functions
8:
3190:for more examples of 𝜎-additive functions.
1218:Suppose that in addition to a sigma algebra
1069:{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}
596:{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}
390:is equivalent to additive set function; see
968:{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}
448:{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}
221:{\textstyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}
3711:
3699:
3679:
3659:
3611:
3566:
3560:
3523:
3494:
3453:
3429:
3405:
3344:
3332:
3311:
3292:
3291:
3289:
3266:
3249:to mean its range is a bounded subset of
3222:
3202:
3160:
3144:
3133:
3115:
3105:
3094:
3080:
3053:
3034:
3021:
3015:
2972:
2947:
2934:
2917:
2889:
2814:
2770:
2744:
2632:
2549:
2493:
2437:
2345:
2323:
2303:
2206:
2182:
2181:
2179:
2153:
2124:
2102:
2080:
2041:
2040:
2038:
2015:
1946:
1920:
1900:
1872:
1825:
1799:
1779:
1759:{\displaystyle \mu (\varnothing )\neq 0,}
1733:
1650:
1628:
1601:
1581:
1561:
1541:
1503:
1475:
1443:
1423:
1403:
1365:
1364:
1357:
1339:
1338:
1325:
1296:
1295:
1286:
1285:
1283:
1253:
1226:
1225:
1223:
1187:
1160:
1144:
1133:
1115:
1105:
1094:
1080:
1056:
1055:
1052:
1025:
1006:
993:
987:
958:
957:
954:
923:
922:
920:
908:{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}}
899:
880:
867:
861:
836:
819:
808:
790:
780:
769:
755:
722:
699:
676:
608:
583:
582:
579:
555:
535:
499:
460:
438:
437:
434:
407:
386:
341:
325:
314:
296:
286:
275:
261:
165:
137:
109:Learn how and when to remove this message
3674:applied to the union is then one, while
3281:, defined over the Lebesgue sets of the
1623:: additivity implies that for every set
3850:
3204:
2825:
2664:
2643:
2605:
2587:
2525:
2469:
1741:
1709:
1679:
1511:
3877:. London: Academic Press. p. 35.
3754:be defined on that set. For example,
1529:{\displaystyle \mu (\varnothing )=0,}
7:
1981:{\displaystyle \mu (A)\geq \mu (B).}
1860:{\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B).}
750:that an additive function satisfies
47:adding citations to reliable sources
3482:{\displaystyle 0\leq \mu (A)\leq 1}
2712:However, the related properties of
3505:
3339:
3245:charges, where we say a charge is
3145:
3106:
2724:are not equivalent to each other.
1606:
1563:
1145:
1106:
730:
724:
704:
681:
474:
468:
326:
287:
14:
3799: – Concept in measure theory
3511:{\displaystyle \sup A<\infty }
3764:positive operator-valued measure
23:
3650:The union of these sets is the
3643:{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }
2802:{\displaystyle \mu (B)-\mu (A)}
2194:{\displaystyle {\mathcal {S}},}
736:{\displaystyle \infty -\infty }
391:
34:needs additional citations for
3836:, which is licensed under the
3717:
3704:
3593:
3575:
3534:
3528:
3470:
3464:
3384:
3381:
3369:
3360:
3336:
3322:
3316:
3166:
3153:
2928:
2922:
2861:
2855:
2846:
2840:
2831:
2819:
2796:
2790:
2781:
2775:
2694:
2682:
2670:
2658:
2649:
2637:
2611:
2599:
2593:
2581:
2575:
2563:
2531:
2519:
2513:
2501:
2475:
2463:
2457:
2445:
2413:
2407:
2398:
2392:
2383:
2371:
2362:
2350:
2274:
2268:
2259:
2253:
2244:
2232:
2223:
2211:
2050:{\displaystyle {\mathcal {S}}}
1972:
1966:
1957:
1951:
1851:
1845:
1836:
1830:
1744:
1738:
1712:
1706:
1697:
1691:
1682:
1670:
1661:
1655:
1576:to all sets in its domain, or
1514:
1508:
1382:
1376:
1166:
1153:
717:as values, for the expression
655:
649:
640:
634:
625:
613:
477:
462:
347:
334:
242:finitely additive set function
212:
206:
197:
191:
182:
170:
1:
3778: – Z-module homomorphism
3599:{\displaystyle A_{n}=[n,n+1)}
2287:The above property is called
1438:-additive. In particular, if
1214:τ-additive set functions
1047:of pairwise disjoint sets in
945:σ-additive set functions
58:"Sigma-additive set function"
3299:{\displaystyle \mathbb {R} }
3210:{\displaystyle \varnothing }
2758:{\displaystyle A\subseteq B}
1934:{\displaystyle A\subseteq B}
1813:{\displaystyle A\subseteq B}
1238:{\textstyle {\mathcal {A}},}
935:{\textstyle {\mathcal {A}}.}
250:σ-additive set function
3723:{\displaystyle \mu (A_{n})}
1619:to all sets in its domain.
3934:
3546:{\displaystyle \mu (A)=0.}
2003:Valuation (measure theory)
2000:
1994:
492:extended real number line
3859:Measure Theory, Volume 4
3815:Subadditive set function
3413:{\displaystyle \lambda }
2141:{\displaystyle A\cup B,}
1612:{\displaystyle -\infty }
710:{\displaystyle +\infty }
687:{\displaystyle -\infty }
3861:, Torres Fremlin, 2003.
3809:Submodular set function
3782:Hahn–Kolmogorov theorem
2167:{\displaystyle A\cap B}
1569:{\displaystyle \infty }
1490:include the following.
3724:
3688:
3668:
3644:
3600:
3547:
3512:
3483:
3438:
3414:
3394:
3300:
3275:
3241:for information about
3231:
3211:
3173:
3149:
3110:
3069:
3002:
2898:
2871:
2803:
2759:
2704:
2621:
2538:
2482:
2423:
2335:
2312:
2281:
2195:
2168:
2142:
2114:
2092:
2051:
2024:
1982:
1935:
1909:
1881:
1861:
1814:
1788:
1760:
1722:
1640:
1613:
1590:
1570:
1550:
1530:
1484:
1452:
1432:
1412:
1392:
1315:
1265:
1264:{\displaystyle \tau .}
1239:
1196:
1176:
1149:
1110:
1070:
1041:
969:
936:
909:
850:
824:
785:
748:mathematical induction
737:
711:
688:
665:
597:
564:
544:
508:
484:
449:
416:
357:
330:
291:
222:
146:
3791:Measure (mathematics)
3725:
3689:
3669:
3645:
3601:
3548:
3513:
3484:
3439:
3437:{\displaystyle \lim }
3415:
3395:
3301:
3276:
3232:
3212:
3174:
3129:
3090:
3070:
3003:
2899:
2872:
2804:
2760:
2705:
2622:
2539:
2483:
2424:
2336:
2313:
2282:
2196:
2169:
2143:
2115:
2093:
2052:
2025:
1983:
1936:
1910:
1891:monotone set function
1882:
1862:
1815:
1789:
1761:
1723:
1641:
1614:
1591:
1571:
1551:
1531:
1485:
1453:
1433:
1431:{\displaystyle \tau }
1413:
1393:
1316:
1275:family of measurable
1266:
1240:
1197:
1177:
1129:
1090:
1071:
1042:
970:
937:
910:
851:
804:
765:
738:
712:
689:
666:
598:
565:
545:
509:
485:
450:
417:
358:
310:
271:
232:disjoint sets (where
223:
147:
127:additive set function
3698:
3687:{\displaystyle \mu }
3678:
3667:{\displaystyle \mu }
3658:
3610:
3559:
3522:
3493:
3452:
3428:
3404:
3310:
3288:
3274:{\displaystyle \mu }
3265:
3221:
3201:
3079:
3014:
2916:
2897:{\displaystyle \mu }
2888:
2813:
2769:
2743:
2631:
2548:
2492:
2436:
2344:
2322:
2302:
2205:
2178:
2152:
2123:
2101:
2079:
2061:modular set function
2037:
2023:{\displaystyle \mu }
2014:
1997:Valuation (geometry)
1945:
1919:
1915:is non-positive and
1908:{\displaystyle \mu }
1899:
1880:{\displaystyle \mu }
1871:
1824:
1798:
1794:is non-negative and
1787:{\displaystyle \mu }
1778:
1732:
1649:
1627:
1600:
1589:{\displaystyle \mu }
1580:
1560:
1549:{\displaystyle \mu }
1540:
1502:
1483:{\displaystyle \mu }
1474:
1451:{\displaystyle \mu }
1442:
1422:
1411:{\displaystyle \mu }
1402:
1324:
1282:
1252:
1222:
1195:{\displaystyle \mu }
1186:
1079:
1051:
986:
953:
919:
860:
754:
721:
698:
675:
607:
578:
554:
534:
507:{\displaystyle \mu }
498:
459:
433:
415:{\displaystyle \mu }
406:
387:modular set function
260:
256:many sets, that is,
164:
136:
43:improve this article
3752:limit of a sequence
3746:or more commonly a
3918:Additive functions
3720:
3684:
3664:
3640:
3596:
3543:
3508:
3479:
3434:
3410:
3390:
3343:
3296:
3271:
3230:{\displaystyle 0.}
3227:
3207:
3169:
3065:
2998:
2993:
2977:
2952:
2894:
2867:
2799:
2755:
2700:
2617:
2534:
2478:
2419:
2334:{\displaystyle B,}
2331:
2308:
2277:
2191:
2164:
2138:
2113:{\displaystyle B,}
2110:
2091:{\displaystyle A,}
2088:
2047:
2020:
1978:
1931:
1905:
1877:
1857:
1810:
1784:
1756:
1718:
1639:{\displaystyle A,}
1636:
1609:
1586:
1566:
1546:
1526:
1494:Value of empty set
1480:
1448:
1428:
1408:
1388:
1372:
1311:
1261:
1235:
1204:countably additive
1192:
1172:
1066:
1065:
1037:
965:
964:
932:
905:
846:
733:
707:
684:
661:
593:
592:
560:
540:
504:
480:
445:
444:
412:
353:
254:countably infinite
248:number of sets. A
218:
142:
3756:spectral measures
3742:(for example any
3352:
3328:
2976:
2951:
2904:defined over the
2809:is defined, then
2311:{\displaystyle A}
1353:
915:disjoint sets in
746:One can prove by
563:{\displaystyle B}
543:{\displaystyle A}
526:finitely additive
240:is also called a
145:{\textstyle \mu }
119:
118:
111:
93:
3925:
3897:
3896:
3868:
3862:
3855:
3797:σ-finite measure
3787:
3729:
3727:
3726:
3721:
3716:
3715:
3693:
3691:
3690:
3685:
3673:
3671:
3670:
3665:
3649:
3647:
3646:
3641:
3605:
3603:
3602:
3597:
3571:
3570:
3552:
3550:
3549:
3544:
3517:
3515:
3514:
3509:
3488:
3486:
3485:
3480:
3443:
3441:
3440:
3435:
3422:Lebesgue measure
3419:
3417:
3416:
3411:
3399:
3397:
3396:
3391:
3353:
3345:
3342:
3305:
3303:
3302:
3297:
3295:
3280:
3278:
3277:
3272:
3236:
3234:
3233:
3228:
3216:
3214:
3213:
3208:
3178:
3176:
3175:
3170:
3165:
3164:
3148:
3143:
3125:
3121:
3120:
3119:
3109:
3104:
3074:
3072:
3071:
3066:
3058:
3057:
3039:
3038:
3026:
3025:
3007:
3005:
3004:
2999:
2997:
2996:
2978:
2974:
2953:
2949:
2903:
2901:
2900:
2895:
2876:
2874:
2873:
2868:
2808:
2806:
2805:
2800:
2764:
2762:
2761:
2756:
2709:
2707:
2706:
2701:
2626:
2624:
2623:
2618:
2543:
2541:
2540:
2535:
2487:
2485:
2484:
2479:
2428:
2426:
2425:
2420:
2340:
2338:
2337:
2332:
2317:
2315:
2314:
2309:
2293:
2292:
2286:
2284:
2283:
2278:
2200:
2198:
2197:
2192:
2187:
2186:
2174:are elements of
2173:
2171:
2170:
2165:
2147:
2145:
2144:
2139:
2119:
2117:
2116:
2111:
2097:
2095:
2094:
2089:
2072:
2071:
2063:
2062:
2056:
2054:
2053:
2048:
2046:
2045:
2029:
2027:
2026:
2021:
1987:
1985:
1984:
1979:
1940:
1938:
1937:
1932:
1914:
1912:
1911:
1906:
1895:. Similarly, If
1893:
1892:
1886:
1884:
1883:
1878:
1866:
1864:
1863:
1858:
1819:
1817:
1816:
1811:
1793:
1791:
1790:
1785:
1765:
1763:
1762:
1757:
1727:
1725:
1724:
1719:
1645:
1643:
1642:
1637:
1618:
1616:
1615:
1610:
1595:
1593:
1592:
1587:
1575:
1573:
1572:
1567:
1555:
1553:
1552:
1547:
1535:
1533:
1532:
1527:
1489:
1487:
1486:
1481:
1457:
1455:
1454:
1449:
1437:
1435:
1434:
1429:
1417:
1415:
1414:
1409:
1397:
1395:
1394:
1389:
1371:
1370:
1369:
1349:
1345:
1344:
1343:
1320:
1318:
1317:
1312:
1301:
1300:
1291:
1290:
1270:
1268:
1267:
1262:
1244:
1242:
1241:
1236:
1231:
1230:
1201:
1199:
1198:
1193:
1181:
1179:
1178:
1173:
1165:
1164:
1148:
1143:
1125:
1121:
1120:
1119:
1109:
1104:
1075:
1073:
1072:
1067:
1061:
1060:
1046:
1044:
1043:
1038:
1030:
1029:
1011:
1010:
998:
997:
974:
972:
971:
966:
963:
962:
941:
939:
938:
933:
928:
927:
914:
912:
911:
906:
904:
903:
885:
884:
872:
871:
855:
853:
852:
847:
845:
841:
840:
823:
818:
800:
796:
795:
794:
784:
779:
742:
740:
739:
734:
716:
714:
713:
708:
693:
691:
690:
685:
670:
668:
667:
662:
602:
600:
599:
594:
588:
587:
569:
567:
566:
561:
549:
547:
546:
541:
528:
527:
520:
519:
513:
511:
510:
505:
494:). The function
489:
487:
486:
483:{\displaystyle }
481:
454:
452:
451:
446:
443:
442:
421:
419:
418:
413:
362:
360:
359:
354:
346:
345:
329:
324:
306:
302:
301:
300:
290:
285:
227:
225:
224:
219:
151:
149:
148:
143:
114:
107:
103:
100:
94:
92:
51:
27:
19:
16:Mapping function
3933:
3932:
3928:
3927:
3926:
3924:
3923:
3922:
3903:
3902:
3901:
3900:
3885:
3870:
3869:
3865:
3856:
3852:
3847:
3785:
3772:
3736:
3734:Generalizations
3707:
3696:
3695:
3676:
3675:
3656:
3655:
3608:
3607:
3562:
3557:
3556:
3520:
3519:
3491:
3490:
3450:
3449:
3448:. It satisfies
3426:
3425:
3402:
3401:
3308:
3307:
3306:by the formula
3286:
3285:
3263:
3262:
3259:
3219:
3218:
3199:
3198:
3156:
3111:
3089:
3085:
3077:
3076:
3049:
3030:
3017:
3012:
3011:
2992:
2991:
2970:
2964:
2963:
2945:
2935:
2914:
2913:
2886:
2885:
2882:
2811:
2810:
2767:
2766:
2741:
2740:
2737:
2629:
2628:
2546:
2545:
2490:
2489:
2434:
2433:
2342:
2341:
2320:
2319:
2300:
2299:
2290:
2289:
2203:
2202:
2176:
2175:
2150:
2149:
2121:
2120:
2099:
2098:
2077:
2076:
2069:
2068:
2060:
2059:
2035:
2034:
2012:
2011:
2005:
1999:
1993:
1943:
1942:
1917:
1916:
1897:
1896:
1890:
1889:
1869:
1868:
1822:
1821:
1796:
1795:
1776:
1775:
1772:
1730:
1729:
1647:
1646:
1625:
1624:
1598:
1597:
1578:
1577:
1558:
1557:
1538:
1537:
1500:
1499:
1496:
1472:
1471:
1468:
1440:
1439:
1420:
1419:
1400:
1399:
1334:
1330:
1322:
1321:
1280:
1279:
1250:
1249:
1220:
1219:
1216:
1184:
1183:
1156:
1111:
1089:
1085:
1077:
1076:
1049:
1048:
1021:
1002:
989:
984:
983:
979:. If for every
951:
950:
947:
917:
916:
895:
876:
863:
858:
857:
832:
828:
786:
764:
760:
752:
751:
719:
718:
696:
695:
673:
672:
605:
604:
576:
575:
552:
551:
532:
531:
525:
524:
517:
516:
496:
495:
457:
456:
455:with values in
431:
430:
428:algebra of sets
404:
403:
400:
337:
292:
270:
266:
258:
257:
162:
161:
134:
133:
115:
104:
98:
95:
52:
50:
40:
28:
17:
12:
11:
5:
3931:
3929:
3921:
3920:
3915:
3913:Measure theory
3905:
3904:
3899:
3898:
3883:
3863:
3857:D. H. Fremlin
3849:
3848:
3846:
3843:
3829:
3828:
3822:
3817:
3812:
3806:
3803:Signed measure
3800:
3794:
3788:
3779:
3771:
3768:
3760:Banach algebra
3735:
3732:
3719:
3714:
3710:
3706:
3703:
3683:
3663:
3652:positive reals
3639:
3636:
3633:
3630:
3627:
3624:
3621:
3618:
3615:
3595:
3592:
3589:
3586:
3583:
3580:
3577:
3574:
3569:
3565:
3542:
3539:
3536:
3533:
3530:
3527:
3507:
3504:
3501:
3498:
3478:
3475:
3472:
3469:
3466:
3463:
3460:
3457:
3433:
3409:
3389:
3386:
3383:
3380:
3377:
3374:
3371:
3368:
3365:
3362:
3359:
3356:
3351:
3348:
3341:
3338:
3335:
3331:
3327:
3324:
3321:
3318:
3315:
3294:
3270:
3258:
3255:
3226:
3206:
3188:signed measure
3168:
3163:
3159:
3155:
3152:
3147:
3142:
3139:
3136:
3132:
3128:
3124:
3118:
3114:
3108:
3103:
3100:
3097:
3093:
3088:
3084:
3064:
3061:
3056:
3052:
3048:
3045:
3042:
3037:
3033:
3029:
3024:
3020:
2995:
2990:
2987:
2984:
2981:
2975: if
2971:
2969:
2966:
2965:
2962:
2959:
2956:
2950: if
2946:
2944:
2941:
2940:
2938:
2933:
2930:
2927:
2924:
2921:
2893:
2881:
2878:
2866:
2863:
2860:
2857:
2854:
2851:
2848:
2845:
2842:
2839:
2836:
2833:
2830:
2827:
2824:
2821:
2818:
2798:
2795:
2792:
2789:
2786:
2783:
2780:
2777:
2774:
2754:
2751:
2748:
2736:
2735:Set difference
2733:
2699:
2696:
2693:
2690:
2687:
2684:
2681:
2678:
2675:
2672:
2669:
2666:
2663:
2660:
2657:
2654:
2651:
2648:
2645:
2642:
2639:
2636:
2616:
2613:
2610:
2607:
2604:
2601:
2598:
2595:
2592:
2589:
2586:
2583:
2580:
2577:
2574:
2571:
2568:
2565:
2562:
2559:
2556:
2553:
2533:
2530:
2527:
2524:
2521:
2518:
2515:
2512:
2509:
2506:
2503:
2500:
2497:
2477:
2474:
2471:
2468:
2465:
2462:
2459:
2456:
2453:
2450:
2447:
2444:
2441:
2418:
2415:
2412:
2409:
2406:
2403:
2400:
2397:
2394:
2391:
2388:
2385:
2382:
2379:
2376:
2373:
2370:
2367:
2364:
2361:
2358:
2355:
2352:
2349:
2330:
2327:
2307:
2276:
2273:
2270:
2267:
2264:
2261:
2258:
2255:
2252:
2249:
2246:
2243:
2240:
2237:
2234:
2231:
2228:
2225:
2222:
2219:
2216:
2213:
2210:
2190:
2185:
2163:
2160:
2157:
2137:
2134:
2131:
2128:
2109:
2106:
2087:
2084:
2044:
2032:family of sets
2019:
1992:
1989:
1977:
1974:
1971:
1968:
1965:
1962:
1959:
1956:
1953:
1950:
1930:
1927:
1924:
1904:
1876:
1856:
1853:
1850:
1847:
1844:
1841:
1838:
1835:
1832:
1829:
1809:
1806:
1803:
1783:
1771:
1768:
1755:
1752:
1749:
1746:
1743:
1740:
1737:
1717:
1714:
1711:
1708:
1705:
1702:
1699:
1696:
1693:
1690:
1687:
1684:
1681:
1678:
1675:
1672:
1669:
1666:
1663:
1660:
1657:
1654:
1635:
1632:
1608:
1605:
1585:
1565:
1545:
1525:
1522:
1519:
1516:
1513:
1510:
1507:
1495:
1492:
1479:
1467:
1464:
1447:
1427:
1407:
1387:
1384:
1381:
1378:
1375:
1368:
1363:
1360:
1356:
1352:
1348:
1342:
1337:
1333:
1329:
1310:
1307:
1304:
1299:
1294:
1289:
1260:
1257:
1234:
1229:
1215:
1212:
1209:
1205:
1202:is said to be
1191:
1171:
1168:
1163:
1159:
1155:
1152:
1147:
1142:
1139:
1136:
1132:
1128:
1124:
1118:
1114:
1108:
1103:
1100:
1097:
1093:
1088:
1084:
1064:
1059:
1036:
1033:
1028:
1024:
1020:
1017:
1014:
1009:
1005:
1001:
996:
992:
977:σ-algebra
961:
946:
943:
931:
926:
902:
898:
894:
891:
888:
883:
879:
875:
870:
866:
844:
839:
835:
831:
827:
822:
817:
814:
811:
807:
803:
799:
793:
789:
783:
778:
775:
772:
768:
763:
759:
743:is undefined.
732:
729:
726:
706:
703:
683:
680:
660:
657:
654:
651:
648:
645:
642:
639:
636:
633:
630:
627:
624:
621:
618:
615:
612:
591:
586:
559:
539:
530:, if whenever
503:
479:
476:
473:
470:
467:
464:
441:
426:defined on an
411:
399:
396:
352:
349:
344:
340:
336:
333:
328:
323:
320:
317:
313:
309:
305:
299:
295:
289:
284:
281:
278:
274:
269:
265:
217:
214:
211:
208:
205:
202:
199:
196:
193:
190:
187:
184:
181:
178:
175:
172:
169:
141:
117:
116:
31:
29:
22:
15:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
3930:
3919:
3916:
3914:
3911:
3910:
3908:
3894:
3890:
3886:
3884:0-12-095780-9
3880:
3876:
3875:
3867:
3864:
3860:
3854:
3851:
3844:
3842:
3841:
3839:
3835:
3826:
3823:
3821:
3818:
3816:
3813:
3810:
3807:
3804:
3801:
3798:
3795:
3792:
3789:
3783:
3780:
3777:
3774:
3773:
3769:
3767:
3765:
3761:
3757:
3753:
3749:
3745:
3741:
3733:
3731:
3712:
3708:
3701:
3681:
3661:
3653:
3637:
3634:
3631:
3628:
3625:
3622:
3619:
3616:
3613:
3590:
3587:
3584:
3581:
3578:
3572:
3567:
3563:
3553:
3540:
3537:
3531:
3525:
3502:
3499:
3476:
3473:
3467:
3461:
3458:
3455:
3447:
3423:
3407:
3387:
3378:
3375:
3372:
3366:
3363:
3357:
3354:
3349:
3346:
3333:
3325:
3319:
3313:
3284:
3268:
3256:
3254:
3252:
3248:
3244:
3240:
3224:
3196:
3191:
3189:
3185:
3180:
3161:
3157:
3150:
3140:
3137:
3134:
3130:
3126:
3122:
3116:
3112:
3101:
3098:
3095:
3091:
3086:
3082:
3062:
3059:
3054:
3050:
3046:
3043:
3040:
3035:
3031:
3027:
3022:
3018:
3008:
2988:
2985:
2982:
2979:
2967:
2960:
2957:
2954:
2942:
2936:
2931:
2925:
2919:
2912:, such that
2911:
2907:
2891:
2879:
2877:
2864:
2858:
2852:
2849:
2843:
2837:
2834:
2828:
2822:
2816:
2793:
2787:
2784:
2778:
2772:
2752:
2749:
2746:
2734:
2732:
2730:
2725:
2723:
2722:
2721:subadditivity
2717:
2716:
2715:submodularity
2710:
2697:
2691:
2688:
2685:
2679:
2676:
2673:
2667:
2661:
2655:
2652:
2646:
2640:
2634:
2614:
2608:
2602:
2596:
2590:
2584:
2578:
2572:
2569:
2566:
2560:
2557:
2554:
2551:
2528:
2522:
2516:
2510:
2507:
2504:
2498:
2495:
2472:
2466:
2460:
2454:
2451:
2448:
2442:
2439:
2431:
2416:
2410:
2404:
2401:
2395:
2389:
2386:
2380:
2377:
2374:
2368:
2365:
2359:
2356:
2353:
2347:
2328:
2325:
2305:
2296:
2294:
2271:
2265:
2262:
2256:
2250:
2247:
2241:
2238:
2235:
2229:
2226:
2220:
2217:
2214:
2208:
2188:
2161:
2158:
2155:
2135:
2132:
2129:
2126:
2107:
2104:
2085:
2082:
2074:
2073:
2064:
2033:
2017:
2010:
2004:
1998:
1990:
1988:
1975:
1969:
1963:
1960:
1954:
1948:
1928:
1925:
1922:
1902:
1894:
1874:
1854:
1848:
1842:
1839:
1833:
1827:
1807:
1804:
1801:
1781:
1769:
1767:
1753:
1750:
1747:
1735:
1715:
1703:
1700:
1694:
1688:
1685:
1676:
1673:
1667:
1664:
1658:
1652:
1633:
1630:
1622:
1603:
1583:
1543:
1523:
1520:
1517:
1505:
1493:
1491:
1477:
1465:
1463:
1461:
1460:inner regular
1445:
1425:
1405:
1385:
1379:
1373:
1361:
1358:
1350:
1346:
1335:
1331:
1327:
1308:
1305:
1302:
1292:
1278:
1274:
1271:If for every
1258:
1255:
1248:
1232:
1213:
1211:
1207:
1203:
1189:
1169:
1161:
1157:
1150:
1140:
1137:
1134:
1130:
1126:
1122:
1116:
1112:
1101:
1098:
1095:
1091:
1086:
1082:
1062:
1034:
1031:
1026:
1022:
1018:
1015:
1012:
1007:
1003:
999:
994:
990:
982:
978:
949:Suppose that
944:
942:
929:
900:
896:
892:
889:
886:
881:
877:
873:
868:
864:
842:
837:
833:
829:
825:
820:
815:
812:
809:
805:
801:
797:
791:
787:
781:
776:
773:
770:
766:
761:
757:
749:
744:
727:
701:
678:
658:
652:
646:
643:
637:
631:
628:
622:
619:
616:
610:
589:
573:
572:disjoint sets
557:
537:
529:
521:
501:
493:
471:
465:
429:
425:
409:
397:
395:
393:
389:
388:
382:
380:
376:
372:
368:
363:
350:
342:
338:
331:
321:
318:
315:
311:
307:
303:
297:
293:
282:
279:
276:
272:
267:
263:
255:
251:
247:
243:
239:
235:
231:
215:
209:
203:
200:
194:
188:
185:
179:
176:
173:
167:
159:
155:
139:
132:
128:
124:
113:
110:
102:
91:
88:
84:
81:
77:
74:
70:
67:
63:
60: –
59:
55:
54:Find sources:
48:
44:
38:
37:
32:This article
30:
26:
21:
20:
3873:
3866:
3858:
3853:
3831:
3830:
3820:τ-additivity
3776:Additive map
3748:vector space
3737:
3554:
3446:Banach limit
3420:denotes the
3283:real numbers
3260:
3250:
3246:
3242:
3194:
3192:
3181:
3009:
2910:real numbers
2883:
2738:
2729:modular form
2726:
2720:
2714:
2711:
2429:
2297:
2288:
2075:if whenever
2066:
2058:
2057:is called a
2009:set function
2006:
1888:
1773:
1770:Monotonicity
1620:
1497:
1469:
1398:we say that
1217:
948:
745:
523:
515:
424:set function
401:
385:
383:
364:
249:
245:
241:
238:set function
233:
229:
126:
120:
105:
96:
86:
79:
72:
65:
53:
41:Please help
36:verification
33:
1208:𝜎-additive
1182:holds then
123:mathematics
3907:Categories
3845:References
3834:PlanetMath
2291:modularity
2001:See also:
1995:See also:
1991:Modularity
1466:Properties
1245:we have a
514:is called
392:modularity
99:April 2024
69:newspapers
3702:μ
3682:μ
3662:μ
3638:…
3526:μ
3506:∞
3474:≤
3462:μ
3459:≤
3408:λ
3367:∩
3358:λ
3355:⋅
3340:∞
3337:→
3314:μ
3269:μ
3205:∅
3151:μ
3146:∞
3131:∑
3107:∞
3092:⋃
3083:μ
3063:…
3044:…
2983:∉
2958:∈
2920:μ
2906:power set
2892:μ
2853:μ
2850:−
2838:μ
2826:∖
2817:μ
2788:μ
2785:−
2773:μ
2750:⊆
2689:∩
2680:μ
2665:∖
2656:μ
2644:∖
2635:μ
2606:∖
2597:∪
2588:∖
2579:∪
2570:∩
2555:∪
2526:∖
2517:∪
2508:∩
2470:∖
2461:∪
2452:∩
2405:μ
2390:μ
2378:∩
2369:μ
2357:∪
2348:μ
2266:ϕ
2251:ϕ
2239:∩
2230:ϕ
2218:∪
2209:ϕ
2159:∩
2130:∪
2070:valuation
2018:μ
1964:μ
1961:≥
1949:μ
1926:⊆
1903:μ
1875:μ
1867:That is,
1843:μ
1840:≤
1828:μ
1805:⊆
1782:μ
1748:≠
1742:∅
1736:μ
1710:∅
1704:μ
1689:μ
1680:∅
1677:∪
1668:μ
1653:μ
1607:∞
1604:−
1584:μ
1564:∞
1544:μ
1512:∅
1506:μ
1478:μ
1446:μ
1426:τ
1406:μ
1374:μ
1362:∈
1336:⋃
1328:μ
1306:τ
1303:∩
1293:⊆
1277:open sets
1256:τ
1190:μ
1151:μ
1146:∞
1131:∑
1107:∞
1092:⋃
1083:μ
1035:…
1016:…
890:…
826:μ
806:∑
767:⋃
758:μ
731:∞
728:−
725:∞
705:∞
682:∞
679:−
647:μ
632:μ
620:∪
611:μ
502:μ
490:(see the
475:∞
469:∞
466:−
410:μ
384:The term
332:μ
327:∞
312:∑
288:∞
273:⋃
264:μ
204:μ
189:μ
177:∪
168:μ
140:μ
3893:21196971
3825:ba space
3770:See also
3239:ba space
2880:Examples
2432:: write
1596:assigns
1556:assigns
1273:directed
1247:topology
981:sequence
856:for any
518:additive
367:measures
246:infinite
158:disjoint
131:function
3489:and if
3247:bounded
3243:bounded
3184:measure
3179:holds.
2908:of the
1498:Either
394:below.
156:of two
83:scholar
3891:
3881:
3740:monoid
3654:, and
3400:where
3195:charge
2298:Given
2065:and a
379:volume
371:length
85:
78:
71:
64:
56:
3744:group
3518:then
3237:(Cf.
2430:Proof
2201:then
2030:on a
1941:then
1887:is a
1820:then
1621:Proof
975:is a
603:then
422:be a
154:union
129:is a
125:, an
90:JSTOR
76:books
3889:OCLC
3879:ISBN
3606:for
3503:<
3444:the
3424:and
3186:and
3182:See
2765:and
2718:and
2544:and
2488:and
2318:and
2148:and
694:and
570:are
550:and
402:Let
375:area
62:news
3497:sup
3432:lim
3330:lim
3253:.)
3217:to
3010:If
2739:If
1774:If
1728:If
1536:or
1458:is
1418:is
1355:sup
1206:or
574:in
522:or
121:In
45:by
3909::
3887:.
3766:.
3541:0.
3225:0.
3193:A
2731:.
2007:A
377:,
373:,
3895:.
3840:.
3718:)
3713:n
3709:A
3705:(
3635:,
3632:2
3629:,
3626:1
3623:,
3620:0
3617:=
3614:n
3594:)
3591:1
3588:+
3585:n
3582:,
3579:n
3576:[
3573:=
3568:n
3564:A
3538:=
3535:)
3532:A
3529:(
3500:A
3477:1
3471:)
3468:A
3465:(
3456:0
3388:,
3385:)
3382:)
3379:k
3376:,
3373:0
3370:(
3364:A
3361:(
3350:k
3347:1
3334:k
3326:=
3323:)
3320:A
3317:(
3293:R
3251:R
3167:)
3162:n
3158:A
3154:(
3141:1
3138:=
3135:n
3127:=
3123:)
3117:n
3113:A
3102:1
3099:=
3096:n
3087:(
3060:,
3055:n
3051:A
3047:,
3041:,
3036:2
3032:A
3028:,
3023:1
3019:A
2989:.
2986:A
2980:0
2968:0
2961:A
2955:0
2943:1
2937:{
2932:=
2929:)
2926:A
2923:(
2865:.
2862:)
2859:A
2856:(
2847:)
2844:B
2841:(
2835:=
2832:)
2829:A
2823:B
2820:(
2797:)
2794:A
2791:(
2782:)
2779:B
2776:(
2753:B
2747:A
2698:.
2695:)
2692:B
2686:A
2683:(
2677:2
2674:+
2671:)
2668:A
2662:B
2659:(
2653:+
2650:)
2647:B
2641:A
2638:(
2615:,
2612:)
2609:A
2603:B
2600:(
2594:)
2591:B
2585:A
2582:(
2576:)
2573:B
2567:A
2564:(
2561:=
2558:B
2552:A
2532:)
2529:A
2523:B
2520:(
2514:)
2511:B
2505:A
2502:(
2499:=
2496:B
2476:)
2473:B
2467:A
2464:(
2458:)
2455:B
2449:A
2446:(
2443:=
2440:A
2417:.
2414:)
2411:B
2408:(
2402:+
2399:)
2396:A
2393:(
2387:=
2384:)
2381:B
2375:A
2372:(
2366:+
2363:)
2360:B
2354:A
2351:(
2329:,
2326:B
2306:A
2275:)
2272:B
2269:(
2263:+
2260:)
2257:A
2254:(
2248:=
2245:)
2242:B
2236:A
2233:(
2227:+
2224:)
2221:B
2215:A
2212:(
2189:,
2184:S
2162:B
2156:A
2136:,
2133:B
2127:A
2108:,
2105:B
2086:,
2083:A
2043:S
1976:.
1973:)
1970:B
1967:(
1958:)
1955:A
1952:(
1929:B
1923:A
1855:.
1852:)
1849:B
1846:(
1837:)
1834:A
1831:(
1808:B
1802:A
1754:,
1751:0
1745:)
1739:(
1716:.
1713:)
1707:(
1701:+
1698:)
1695:A
1692:(
1686:=
1683:)
1674:A
1671:(
1665:=
1662:)
1659:A
1656:(
1634:,
1631:A
1524:,
1521:0
1518:=
1515:)
1509:(
1386:,
1383:)
1380:G
1377:(
1367:G
1359:G
1351:=
1347:)
1341:G
1332:(
1309:,
1298:A
1288:G
1259:.
1233:,
1228:A
1170:,
1167:)
1162:n
1158:A
1154:(
1141:1
1138:=
1135:n
1127:=
1123:)
1117:n
1113:A
1102:1
1099:=
1096:n
1087:(
1063:,
1058:A
1032:,
1027:n
1023:A
1019:,
1013:,
1008:2
1004:A
1000:,
995:1
991:A
960:A
930:.
925:A
901:N
897:A
893:,
887:,
882:2
878:A
874:,
869:1
865:A
843:)
838:n
834:A
830:(
821:N
816:1
813:=
810:n
802:=
798:)
792:n
788:A
782:N
777:1
774:=
771:n
762:(
702:+
659:.
656:)
653:B
650:(
644:+
641:)
638:A
635:(
629:=
626:)
623:B
617:A
614:(
590:,
585:A
558:B
538:A
478:]
472:,
463:[
440:A
351:.
348:)
343:n
339:A
335:(
322:1
319:=
316:n
308:=
304:)
298:n
294:A
283:1
280:=
277:n
268:(
234:k
230:k
216:.
213:)
210:B
207:(
201:+
198:)
195:A
192:(
186:=
183:)
180:B
174:A
171:(
112:)
106:(
101:)
97:(
87:·
80:·
73:·
66:·
39:.
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
