778:
1159:
325:
923:
824:
1297:
1074:
608:
688:
648:
1196:
985:
559:
449:
505:
404:
952:
693:
364:
1222:
1011:
1090:
253:
832:
1445:
1418:
1338:
1472:
1396:
783:
1019:
1410:
568:
653:
613:
130:
1230:
146:
36:
957:
518:
1164:
91:
413:
470:
369:
239:
126:
1441:
1414:
1334:
773:{\displaystyle f\otimes 1,g\otimes 1:A\otimes _{k}B^{\text{op}}\to B\otimes _{k}B^{\text{op}}}
1451:
1424:
1384:
931:
342:
1455:
1428:
1388:
51:
1201:
990:
511:-modules. Since they have the same dimension, it follows that there is an isomorphism of
1376:
43:
1466:
231:
59:
28:
32:
20:
1400:
1154:{\displaystyle Z_{B\otimes B^{\text{op}}}(k\otimes B^{\text{op}})=B\otimes k}
320:{\displaystyle B=\operatorname {M} _{n}(k)=\operatorname {End} _{k}(k^{n})}
918:{\displaystyle (f\otimes 1)(a\otimes z)=b(g\otimes 1)(a\otimes z)b^{-1}}
1438:
Algebra. Volume II: Fields with
Structure, Algebras and Advanced Topics
1409:. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Cambridge:
16:
Theorem characterizing the automorphisms of simple rings
1379:(1927). "Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme".
1233:
1204:
1167:
1093:
1022:
993:
960:
934:
835:
786:
696:
656:
616:
571:
521:
473:
416:
372:
345:
256:
1291:
1216:
1190:
1153:
1068:
1005:
979:
946:
917:
818:
772:
682:
642:
602:
553:
499:
443:
398:
358:
319:
690:is simple. By the first part applied to the maps
819:{\displaystyle b\in B\otimes _{k}B^{\text{op}}}
1069:{\displaystyle 1\otimes z=b(1\otimes z)b^{-1}}
35:. It is a fundamental result in the theory of
1407:Central simple algebras and Galois cohomology
463:is also finite-dimensional. Hence two simple
8:
603:{\displaystyle \operatorname {M} _{n}(k)=B}
56:On the theory of associative number systems
683:{\displaystyle A\otimes _{k}B^{\text{op}}}
643:{\displaystyle B\otimes _{k}B^{\text{op}}}
48:Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme
1405:Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006).
1278:
1269:
1232:
1203:
1166:
1130:
1109:
1098:
1092:
1057:
1021:
992:
971:
959:
933:
906:
834:
810:
800:
785:
764:
754:
738:
728:
695:
674:
664:
655:
634:
624:
615:
576:
570:
545:
532:
520:
491:
478:
472:
415:
390:
377:
371:
350:
344:
308:
292:
267:
255:
106:implies that the nonzero two-sided ideal
1329:Farb, Benson; Dennis, R. Keith (1993).
1312:
1275:
7:
1292:{\displaystyle f(a)=b'g(a){b'^{-1}}}
42:The theorem was first published by
980:{\displaystyle z\in B^{\text{op}}}
573:
264:
14:
1353:Gille & Szamuely (2006) p. 40
507:are finite direct sums of simple
78:be simple unitary rings, and let
554:{\displaystyle b:V_{g}\to V_{f}}
23:, a branch of mathematics, the
1395:A discussion in Chapter IV of
1266:
1260:
1243:
1237:
1136:
1117:
1050:
1038:
899:
887:
884:
872:
863:
851:
848:
836:
744:
591:
585:
538:
455:is injective by simplicity of
426:
420:
410:-modules thus obtained. Since
314:
301:
282:
276:
70:In a general formulation, let
1:
1191:{\displaystyle b=b'\otimes 1}
650:is a matrix algebra and that
467:-modules are isomorphic and
444:{\displaystyle f(1)=1\neq 0}
58:) and later rediscovered by
500:{\displaystyle V_{f},V_{g}}
399:{\displaystyle V_{f},V_{g}}
1489:
1411:Cambridge University Press
1303:which is what was sought.
149:of finite dimension, and
610:. For the general case,
1473:Theorems in ring theory
161:-algebra homomorphisms
37:central simple algebras
1436:Lorenz, Falko (2008).
1383:(in German) (12): 50.
1331:Noncommutative Algebra
1293:
1218:
1192:
1155:
1070:
1007:
981:
948:
947:{\displaystyle a\in A}
919:
820:
774:
684:
644:
604:
565:must be an element of
555:
501:
445:
400:
360:
335:define the actions of
321:
147:central simple algebra
25:Skolem–Noether theorem
1399:, class field theory
1294:
1219:
1193:
1156:
1071:
1008:
982:
949:
920:
821:
775:
685:
645:
605:
556:
502:
446:
401:
361:
359:{\displaystyle k^{n}}
322:
230:In particular, every
157:-algebra, then given
46:in 1927 in his paper
1362:Lorenz (2008) p. 174
1231:
1202:
1165:
1161:and so we can write
1091:
1020:
991:
958:
932:
833:
784:
694:
654:
614:
569:
519:
471:
414:
370:
343:
254:
234:of a central simple
184:there exists a unit
102:, the simplicity of
1319:Lorenz (2008) p.173
1217:{\displaystyle z=1}
1006:{\displaystyle a=1}
141:is finite, i.e. if
1289:
1224:this time we find
1214:
1188:
1151:
1083:. That is to say,
1066:
1003:
977:
944:
915:
816:
770:
680:
640:
600:
551:
497:
441:
396:
356:
317:
240:inner automorphism
192:such that for all
27:characterizes the
1447:978-0-387-72487-4
1133:
1112:
974:
813:
767:
741:
677:
637:
121:, and hence that
82:be the center of
1480:
1459:
1432:
1392:
1363:
1360:
1354:
1351:
1345:
1344:
1326:
1320:
1317:
1298:
1296:
1295:
1290:
1288:
1287:
1286:
1285:
1256:
1223:
1221:
1220:
1215:
1197:
1195:
1194:
1189:
1181:
1160:
1158:
1157:
1152:
1135:
1134:
1131:
1116:
1115:
1114:
1113:
1110:
1075:
1073:
1072:
1067:
1065:
1064:
1012:
1010:
1009:
1004:
986:
984:
983:
978:
976:
975:
972:
953:
951:
950:
945:
924:
922:
921:
916:
914:
913:
825:
823:
822:
817:
815:
814:
811:
805:
804:
779:
777:
776:
771:
769:
768:
765:
759:
758:
743:
742:
739:
733:
732:
689:
687:
686:
681:
679:
678:
675:
669:
668:
649:
647:
646:
641:
639:
638:
635:
629:
628:
609:
607:
606:
601:
581:
580:
560:
558:
557:
552:
550:
549:
537:
536:
506:
504:
503:
498:
496:
495:
483:
482:
450:
448:
447:
442:
405:
403:
402:
397:
395:
394:
382:
381:
365:
363:
362:
357:
355:
354:
326:
324:
323:
318:
313:
312:
297:
296:
272:
271:
117:is the whole of
116:
1488:
1487:
1483:
1482:
1481:
1479:
1478:
1477:
1463:
1462:
1448:
1435:
1421:
1404:
1377:Skolem, Thoralf
1375:
1372:
1367:
1366:
1361:
1357:
1352:
1348:
1341:
1328:
1327:
1323:
1318:
1314:
1309:
1274:
1270:
1249:
1229:
1228:
1200:
1199:
1174:
1163:
1162:
1126:
1105:
1094:
1089:
1088:
1053:
1018:
1017:
989:
988:
967:
956:
955:
930:
929:
902:
831:
830:
806:
796:
782:
781:
780:, there exists
760:
750:
734:
724:
692:
691:
670:
660:
652:
651:
630:
620:
612:
611:
572:
567:
566:
541:
528:
517:
516:
487:
474:
469:
468:
412:
411:
386:
373:
368:
367:
346:
341:
340:
304:
288:
263:
252:
251:
248:
238:-algebra is an
107:
68:
17:
12:
11:
5:
1486:
1484:
1476:
1475:
1465:
1464:
1461:
1460:
1446:
1433:
1419:
1402:
1393:
1371:
1368:
1365:
1364:
1355:
1346:
1339:
1321:
1311:
1310:
1308:
1305:
1301:
1300:
1284:
1281:
1277:
1273:
1268:
1265:
1262:
1259:
1255:
1252:
1248:
1245:
1242:
1239:
1236:
1213:
1210:
1207:
1187:
1184:
1180:
1177:
1173:
1170:
1150:
1147:
1144:
1141:
1138:
1129:
1125:
1122:
1119:
1108:
1104:
1101:
1097:
1077:
1076:
1063:
1060:
1056:
1052:
1049:
1046:
1043:
1040:
1037:
1034:
1031:
1028:
1025:
1002:
999:
996:
970:
966:
963:
943:
940:
937:
926:
925:
912:
909:
905:
901:
898:
895:
892:
889:
886:
883:
880:
877:
874:
871:
868:
865:
862:
859:
856:
853:
850:
847:
844:
841:
838:
809:
803:
799:
795:
792:
789:
763:
757:
753:
749:
746:
737:
731:
727:
723:
720:
717:
714:
711:
708:
705:
702:
699:
673:
667:
663:
659:
633:
627:
623:
619:
599:
596:
593:
590:
587:
584:
579:
575:
548:
544:
540:
535:
531:
527:
524:
494:
490:
486:
481:
477:
440:
437:
434:
431:
428:
425:
422:
419:
393:
389:
385:
380:
376:
353:
349:
316:
311:
307:
303:
300:
295:
291:
287:
284:
281:
278:
275:
270:
266:
262:
259:
250:First suppose
247:
244:
228:
227:
182:
181:
67:
64:
44:Thoralf Skolem
15:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
1485:
1474:
1471:
1470:
1468:
1457:
1453:
1449:
1443:
1439:
1434:
1430:
1426:
1422:
1420:0-521-86103-9
1416:
1412:
1408:
1403:
1401:
1398:
1394:
1390:
1386:
1382:
1381:Skrifter Oslo
1378:
1374:
1373:
1369:
1359:
1356:
1350:
1347:
1342:
1340:9780387940571
1336:
1332:
1325:
1322:
1316:
1313:
1306:
1304:
1282:
1279:
1271:
1263:
1257:
1253:
1250:
1246:
1240:
1234:
1227:
1226:
1225:
1211:
1208:
1205:
1185:
1182:
1178:
1175:
1171:
1168:
1148:
1145:
1142:
1139:
1127:
1123:
1120:
1106:
1102:
1099:
1095:
1086:
1082:
1061:
1058:
1054:
1047:
1044:
1041:
1035:
1032:
1029:
1026:
1023:
1016:
1015:
1014:
1000:
997:
994:
968:
964:
961:
941:
938:
935:
910:
907:
903:
896:
893:
890:
881:
878:
875:
869:
866:
860:
857:
854:
845:
842:
839:
829:
828:
827:
807:
801:
797:
793:
790:
787:
761:
755:
751:
747:
735:
729:
725:
721:
718:
715:
712:
709:
706:
703:
700:
697:
671:
665:
661:
657:
631:
625:
621:
617:
597:
594:
588:
582:
577:
564:
546:
542:
533:
529:
525:
522:
514:
510:
492:
488:
484:
479:
475:
466:
462:
458:
454:
438:
435:
432:
429:
423:
417:
409:
391:
387:
383:
378:
374:
351:
347:
338:
334:
330:
309:
305:
298:
293:
289:
285:
279:
273:
268:
260:
257:
245:
243:
241:
237:
233:
225:
221:
217:
213:
209:
205:
202:
201:
200:
199:
195:
191:
187:
179:
175:
171:
167:
164:
163:
162:
160:
156:
152:
148:
144:
140:
136:
132:
128:
124:
120:
114:
110:
105:
101:
97:
93:
89:
86:. The center
85:
81:
77:
73:
65:
63:
61:
57:
53:
49:
45:
40:
38:
34:
30:
29:automorphisms
26:
22:
1440:. Springer.
1437:
1406:
1380:
1358:
1349:
1333:. Springer.
1330:
1324:
1315:
1302:
1084:
1080:
1078:
927:
562:
512:
508:
464:
460:
456:
452:
407:
336:
332:
328:
249:
235:
232:automorphism
229:
223:
219:
215:
211:
207:
203:
197:
193:
189:
185:
183:
177:
173:
169:
165:
158:
154:
150:
142:
138:
134:
122:
118:
112:
108:
103:
99:
95:
94:since given
87:
83:
79:
75:
71:
69:
60:Emmy Noether
55:
47:
41:
33:simple rings
24:
18:
561:. But such
406:denote the
98:nonzero in
21:ring theory
1456:1130.12001
1429:1137.12001
1389:54.0154.02
1370:References
1013:, we find
826:such that
153:is also a
1280:−
1198:. Taking
1183:⊗
1146:⊗
1124:⊗
1103:⊗
1059:−
1045:⊗
1027:⊗
987:. Taking
965:∈
939:∈
908:−
894:⊗
879:⊗
858:⊗
843:⊗
798:⊗
791:∈
752:⊗
745:→
726:⊗
713:⊗
701:⊗
662:⊗
622:⊗
583:
539:→
515:-modules
436:≠
299:
274:
131:dimension
129:. If the
66:Statement
1467:Category
1276:′
1254:′
1179:′
1079:for all
928:for all
451:the map
172: :
327:. Then
1454:
1444:
1427:
1417:
1387:
1337:
1087:is in
366:; let
52:German
1397:Milne
1307:Notes
459:, so
246:Proof
145:is a
137:over
125:is a
92:field
90:is a
1442:ISBN
1415:ISBN
1335:ISBN
954:and
331:and
222:) ·
210:) =
127:unit
74:and
1452:Zbl
1425:Zbl
1385:JFM
339:on
290:End
196:in
188:in
133:of
111:= (
109:BxB
31:of
19:In
1469::
1450:.
1423:.
1413:.
1132:op
1111:op
973:op
812:op
766:op
740:op
676:op
636:op
242:.
214:·
176:→
168:,
62:.
54::
39:.
1458:.
1431:.
1391:.
1343:.
1299:,
1283:1
1272:b
1267:)
1264:a
1261:(
1258:g
1251:b
1247:=
1244:)
1241:a
1238:(
1235:f
1212:1
1209:=
1206:z
1186:1
1176:b
1172:=
1169:b
1149:k
1143:B
1140:=
1137:)
1128:B
1121:k
1118:(
1107:B
1100:B
1096:Z
1085:b
1081:z
1062:1
1055:b
1051:)
1048:z
1042:1
1039:(
1036:b
1033:=
1030:z
1024:1
1001:1
998:=
995:a
969:B
962:z
942:A
936:a
911:1
904:b
900:)
897:z
891:a
888:(
885:)
882:1
876:g
873:(
870:b
867:=
864:)
861:z
855:a
852:(
849:)
846:1
840:f
837:(
808:B
802:k
794:B
788:b
762:B
756:k
748:B
736:B
730:k
722:A
719::
716:1
710:g
707:,
704:1
698:f
672:B
666:k
658:A
632:B
626:k
618:B
598:B
595:=
592:)
589:k
586:(
578:n
574:M
563:b
547:f
543:V
534:g
530:V
526::
523:b
513:A
509:A
493:g
489:V
485:,
480:f
476:V
465:A
461:A
457:A
453:f
439:0
433:1
430:=
427:)
424:1
421:(
418:f
408:A
392:g
388:V
384:,
379:f
375:V
352:n
348:k
337:A
333:g
329:f
315:)
310:n
306:k
302:(
294:k
286:=
283:)
280:k
277:(
269:n
265:M
261:=
258:B
236:k
226:.
224:b
220:a
218:(
216:f
212:b
208:a
206:(
204:g
198:A
194:a
190:B
186:b
180:,
178:B
174:A
170:g
166:f
159:k
155:k
151:A
143:B
139:k
135:B
123:x
119:B
115:)
113:x
104:B
100:k
96:x
88:k
84:B
80:k
76:B
72:A
50:(
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.