3682:
2839:
2657:
3677:{\displaystyle {\begin{aligned}\int \chi _{n\ell m}^{*}(\mathbf {r} ){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}~\chi _{n'\ell 'm'}(\mathbf {r} ')~\mathrm {d} ^{3}r&=4\pi \int {\frac {1}{(2\pi )^{3}}}~\chi _{n\ell m}^{*}(\mathbf {k} )~{\frac {1}{k^{2}}}~\chi _{n'\ell 'm'}(\mathbf {k} )~\mathrm {d} ^{3}k\\&=8\,\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}~(n-\ell )!~(n'-\ell )!~{\frac {\,(2\zeta )^{n}\,}{\zeta ^{\ell }}}{\frac {\,(2\zeta ')^{n'}\,}{\zeta '^{\ell }}}\int _{0}^{\infty }k^{2\ell }\left\mathrm {d} k\end{aligned}}}
1754:
1373:
2187:
1749:{\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{n\ell m}({\mathbf {k} })&=\int e^{i{\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }}~\chi _{n\ell m}({\mathbf {r} })~\mathrm {d} ^{3}r\\&=4\pi ~(n-\ell )!~(2\zeta )^{n}~(ik/\zeta )^{\ell }~Y_{\ell }^{m}({\mathbf {k} })\sum _{s=0}^{\lfloor (n-\ell )/2\rfloor }{\frac {\omega _{s}^{n\ell }}{~(k^{2}+\zeta ^{2})^{n+1-s}}},\end{aligned}}}
3704:(STF) analogous to Slater type orbitals, but with variable exponents chosen to minimize the total molecular energy (rather than by Slater's rules as above). The fact that products of two STOs on distinct atoms are more difficult to express than those of Gaussian functions (which give a displaced Gaussian) has led many to expand them in terms of Gaussians.
2168:
2652:{\displaystyle {\begin{aligned}&\int \chi _{n\ell m}^{*}(r)~\left(-{\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}\right)\,\chi _{n'\ell 'm'}(r)~\mathrm {d} ^{3}r\\&={\frac {1}{2}}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}\,\int _{0}^{\infty }e^{-(\zeta +\zeta ')\,r}\left\,r^{n+n'-2}+2\zeta 'n'\,r^{n+n'-1}-\zeta '^{2}\,r^{n+n'}\right]~\mathrm {d} r~,\end{aligned}}}
2831:
518:
4453:
Guseinov, I. I.; Mamedov, B. A. (2002). "On the calculation of arbitrary multielectron molecular integrals over Slater-Type
Orbitals using recurrence relations for overlap integrals: IV. Use of recurrence relations for basic two-center overlap and hybrid integrals".
1932:
804:
1358:
331:
4319:
Ema, I.; García de La Vega, J. M.; Miguel, B.; Dotterweich, J.; Meißner, H.; Steinborn, E. O. (1999). "Exponential-type basis functions: single- and double-zeta B function basis sets for the ground states of neutral atoms from Z=2 to Z=36".
2668:
1079:
1943:
1230:
The fundamental mathematical properties are those associated with the kinetic energy, nuclear attraction and
Coulomb repulsion integrals for placement of the orbital at the center of a single nucleus. Dropping the normalization factor
342:
4178:
Grotendorst, J.; Weniger, E. J.; Steinborn, E. O. (1986). "Efficient evaluation of infinite-series representations for overlap, two-center nuclear attraction, and
Coulomb integrals using nonlinear convergence accelerators".
3728:, a least squares representation of the Slater atomic orbitals as a sum of Gaussian-type orbitals is used. In their 1969 paper, the fundamentals of this principle are discussed and then further improved and used in the
933:
4374:
Guseinov, I. I.; Mamedov, B. A. (2001). "On the calculation of arbitrary multielectron molecular integrals over Slater-Type
Orbitals using recurrence relations for overlap integrals: II. Two-center expansion method".
4421:
Guseinov, I. I.; Mamedov, B. A. (2002). "On the calculation of arbitrary multielectron molecular integrals over Slater-Type
Orbitals using recurrence relations for overlap integrals: III. auxiliary functions
57:
functions, i.e. the analytical solutions of the stationary Schrödinger equation for one electron atoms). Unlike the hydrogen-like ("hydrogenic") Schrödinger orbitals, STOs have no radial nodes (neither do
701:
39:
2844:
2192:
1785:
1378:
4218:
Grotendorst, J.; Steinborn, E. O. (1988). "Numerical evaluation of molecular one- and two-electron multicenter integrals with exponential-type orbitals via the
Fourier-transform method".
712:
139:
1217:
567:
4477:Özdogan, T.; Orbay, M. (2002). "Evaluation of two-center overlap and nuclear attraction integrals over Slater-type orbitals with integer and non-integer principal quantum numbers".
4257:
Bunge, C. F.; Barrientos, J. A.; Bunge, A. V. (1993). "Roothaan-Hartree-Fock Ground-State Atomic Wave
Functions: Slater-Type Orbital Expansions and Expectation Values for Z=2–54".
4015:
Filter, E.; Steinborn, E. O. (1978). "Extremely compact formulas for molecular two-center and one-electron integrals and
Coulomb integrals over Slater-type atomic orbitals".
1241:
2826:{\displaystyle \chi _{n\ell m}^{*}({\mathbf {r} })=\int {\frac {~e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }~}{(2\pi )^{3}}}~\chi _{n\ell m}^{*}({\mathbf {k} })~\mathrm {d} ^{3}k}
589:
226:
2163:{\displaystyle \int \chi _{n\ell m}^{*}(r)~\chi _{n'\ell 'm'}(r)~\mathrm {d} ^{3}r=\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}\,{\frac {(n+n')!}{~(\zeta +\zeta ')^{n+n'+1}}}}
944:
4398:
Guseinov, I. I. (2001). "Evaluation of expansion coefficients for translation of Slater-Type orbitals using complete orthonormal sets of
Exponential-Type functions".
1777:
203:
3942:
Hehre, W. J.; Stewart, R. F.; Pople, J. A. (1969-09-15). "Self‐Consistent
Molecular‐Orbital Methods. I. Use of Gaussian Expansions of Slater‐Type Atomic Orbitals".
513:{\displaystyle N^{2}\int _{0}^{\infty }\left(r^{n-1}e^{-\zeta r}\right)^{2}r^{2}\,\mathrm {d} r=1\Longrightarrow N=(2\zeta )^{n}{\sqrt {\frac {2\zeta }{(2n)!}}}~.}
3713:
Various grid integration schemes have been developed, sometimes after analytical work for quadrature (Scrocco), most famously in the ADF suite of DFT codes.
3984:
Harris, F. E.; Michels, H. H. (1966). "Multicenter integrals in quantum mechanics. 2. Evaluation of electron-repulsion integrals for Slater-type orbitals".
4510:
4479:
4456:
4432:
4400:
4377:
4353:
3915:
3886:
4108:
Grotendorst, J.; Steinborn, E. O. (1985). "The Fourier transform of a two-center product of exponential-type functions and its efficient evaluation".
3847:
Cruz, S. A.; Cisneros, C.; Alvarez, I. (1978). "Individual orbit contribution to the electron stopping cross section in the low-velocity region".
815:
3913:
Bouferguene, A.; Fares, M.; Hoggan, P. E. (1996). "STOP: Slater Type Orbital Package for general molecular electronic structure calculations".
4351:
Fernández Rico, J.; Fernández, J. J.; Ema, I.; López, R.; Ramírez, G. (2001). "Four-center integrals for Gaussian and Exponential Functions".
3884:
Guseinov, I. I. (2002). "New complete orthonormal sets of exponential-type orbitals and their application to translation of Slater Orbitals".
4322:
4259:
4048:
3928:
209:
of the nucleus, the nuclear charge being partly shielded by electrons. Historically, the effective nuclear charge was estimated by
1222:
Angular dependent derivatives of the spherical harmonics don't depend on the radial function and have to be evaluated separately.
4547:
4110:
605:
4046:
McLean, A. D.; McLean, R. S. (1981). "Roothaan-Hartree-Fock Atomic Wave Functions, Slater Basis-Set Expansions for Z = 55–92".
3707:
Analytical ab initio software for polyatomic molecules has been developed, e.g., STOP: a Slater Type Orbital Package in 1996.
3685:
1927:{\displaystyle \omega _{s}^{n\ell }\equiv \left(-{\frac {1}{4\zeta ^{2}}}\right)^{s}\,{\frac {(n-s)!}{~s!~(n-\ell -2s)!~}}.}
4413:
4390:
4366:
3986:
799:{\displaystyle \nabla ^{2}={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial \over \partial r}\right)}
3710:
SMILES uses analytical expressions when available and Gaussian expansions otherwise. It was first released in 2000.
4542:
76:
1090:
156:
529:
3701:
4288:
Harris, F. E. (1997). "Analytic evaluation of three-electron atomic integrals with Slater wave functions".
3802:
Belkic, D.; Taylor, H. S. (1989). "A unified formula for the Fourier transform of Slater-type orbitals".
3741:
3725:
3721:
1353:{\displaystyle \chi _{n\ell m}({\mathbf {r} })=r^{n-1}~e^{-\zeta \,r}~Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })~.}
4331:
4299:
4268:
4229:
4190:
4150:
4119:
4088:
4079:
4057:
4026:
3995:
3951:
3858:
3813:
3776:
326:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-\alpha x}\,\mathrm {d} x={\frac {n!}{~\alpha ^{n+1}\,}}~.}
170:
524:
4504:
Computation of Two-Center Coulomb integrals over Slater-Type orbitals using elliptical coordinates
572:
3829:
1074:{\displaystyle \nabla ^{2}R(r)=\left({1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\right)\leftR(r)}
54:
4290:
4245:
4220:
4206:
4181:
4166:
4141:
4077:
Datta, S. (1985). "Evaluation of Coulomb integrals with hydrogenic and Slater-type orbitals".
4017:
3967:
3849:
2174:
1364:
210:
59:
2662:
The Coulomb repulsion integral can be evaluated using the Fourier representation (see above)
1762:
4519:
4488:
4465:
4441:
4409:
4386:
4362:
4339:
4307:
4276:
4237:
4198:
4158:
4127:
4096:
4065:
4034:
4003:
3959:
3924:
3895:
3866:
3821:
3784:
188:
3804:
3767:
206:
4335:
4303:
4272:
4233:
4194:
4154:
4123:
4092:
4061:
4030:
3999:
3955:
3862:
3817:
3780:
2181:
218:
180:
152:
43:
35:
4536:
4131:
4100:
4069:
3833:
3825:
2173:
of which the normalization integral is a special case. The superscript star denotes
50:
938:
The total Laplace operator yields after applying the second differential operator
3717:
17:
4311:
4241:
4202:
4162:
3971:
3762:
3870:
928:{\displaystyle \left(r^{2}{\partial \over \partial r}\right)R(r)=\leftR(r)}
4343:
4280:
599:
The first radial derivative of the radial part of a Slater-type orbital is
4249:
4210:
4170:
4038:
3788:
4139:
Tai, H. (1986). "Analytic evaluation of two-center molecular integrals".
3729:
3929:
10.1002/(SICI)1097-461X(1996)57:4<801::AID-QUA27>3.0.CO;2-0
4524:
4501:
4492:
4469:
4445:
4007:
3963:
3899:
706:
The radial Laplace operator is split in two differential operators
4414:
10.1002/1097-461X(2001)81:2<126::AID-QUA2>3.0.CO;2-K
4391:
10.1002/1097-461X(2001)81:2<117::AID-QUA1>3.0.CO;2-L
4367:
10.1002/1097-461X(2001)81:1<16::AID-QUA5>3.0.CO;2-A
809:
The first differential operator of the Laplace operator yields
40:
linear combination of atomic orbitals molecular orbital method
2659:
a sum over three overlap integrals already computed above.
696:{\displaystyle {\partial R(r) \over \partial r}=\leftR(r)}
569:
depending on the polar coordinates of the position vector
2243:
2842:
2671:
2190:
1946:
1788:
1765:
1376:
1244:
1093:
947:
818:
715:
608:
575:
532:
345:
229:
191:
79:
3684:These are either individually calculated with the
3676:
2825:
2651:
2162:
1926:
1771:
1748:
1352:
1211:
1073:
927:
798:
695:
583:
561:
512:
325:
197:
133:
49:They possess exponential decay at long range and
1235:, the representation of the orbitals below is
3700:Some quantum chemistry software uses sets of
8:
3541:
3510:
3412:
3386:
1659:
1633:
217:The normalization constant is computed from
591:as the angular part of the Slater orbital.
134:{\displaystyle R(r)=Nr^{n-1}e^{-\zeta r}\,}
4511:International Journal of Quantum Chemistry
4480:International Journal of Quantum Chemistry
4457:International Journal of Quantum Chemistry
4433:International Journal of Quantum Chemistry
4401:International Journal of Quantum Chemistry
4378:International Journal of Quantum Chemistry
4354:International Journal of Quantum Chemistry
3916:International Journal of Quantum Chemistry
3887:International Journal of Quantum Chemistry
3742:Basis sets used in computational chemistry
4523:
3662:
3623:
3612:
3595:
3562:
3552:
3546:
3533:
3509:
3493:
3468:
3458:
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3428:
3423:
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3404:
3385:
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3341:
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3307:
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3271:
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3160:
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2697:
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2032:
2027:
1987:
1965:
1954:
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1853:
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1675:
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1212:{\displaystyle \nabla ^{2}R(r)=\leftR(r)}
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239:
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228:
190:
179:is the distance of the electron from the
130:
118:
102:
78:
3753:
3609:
3325:
2591:
562:{\displaystyle Y_{l}^{m}(\mathbf {r} )}
205:is a constant related to the effective
70:STOs have the following radial part:
42:. They are named after the physicist
7:
4323:Atomic Data and Nuclear Data Tables
4260:Atomic Data and Nuclear Data Tables
4049:Atomic Data and Nuclear Data Tables
3688:or recursively as proposed by Cruz
3663:
3347:
3134:
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629:
612:
432:
366:
273:
240:
25:
53:at short range (when combined as
4111:Journal of Computational Physics
3122:
3057:
2956:
2902:
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2875:
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1440:
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1402:
1336:
1266:
577:
552:
3944:The Journal of Chemical Physics
46:, who introduced them in 1930.
3620:
3588:
3530:
3513:
3465:
3438:
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