1693:
1347:
1688:{\displaystyle {\begin{aligned}\tau (X,Y)&=\operatorname {E} {\Bigl (}\operatorname {sgn}(X_{1}-X_{2})\operatorname {sgn}(Y_{1}-Y_{2}){\Bigr )}\\&=\operatorname {P} {\Bigl (}\operatorname {sgn}(X_{1}-X_{2})\operatorname {sgn}(Y_{1}-Y_{2})=1{\Bigr )}-\operatorname {P} {\Bigl (}\operatorname {sgn}(X_{1}-X_{2})\operatorname {sgn}(Y_{1}-Y_{2})=-1{\Bigr )},\\\end{aligned}}}
2000:
830:
2268:
2769:
2589:
2514:
947:
2688:
2140:
1352:
1782:
1090:
1336:
1294:
631:
591:
551:
511:
379:
339:
299:
259:
1264:
1218:
471:
425:
215:
169:
1865:
711:
671:
1148:
1812:
2298:
1004:
977:
861:
64:
84:
1900:
2883:
2057:
1339:
841:
1823:
97:
plays a central role in rank statistics and is the parameter behind many nonparametric methods. It is also used as a quality measure of
719:
2170:
2878:
2077:
2049:
2703:
2525:
2450:
2053:
869:
2600:
2086:
1713:
1021:
1311:
1269:
1158:
is the difference between the number of concordant and discordant pairs, divided by the number of pairs with
2594:
The number of pairs tied is equal to the total number of pairs minus the concordant and discordant pairs
2030:
596:
556:
516:
476:
344:
304:
264:
224:
2068:
is probably the most widely used of the available ordinal association statistics. Identical to the
2038:
2034:
1223:
1177:
430:
384:
174:
128:
106:
28:
1829:
2805:
2019:
676:
636:
102:
1118:
2152:
2042:
2797:
2069:
1787:
2831:
2276:
982:
955:
846:
2026:
218:
46:
2788:
Somers, R. H. (1962). "A new asymmetric measure of association for ordinal variables".
1995:{\displaystyle D_{YX}=\operatorname {P} (Y=1\mid X=1)-\operatorname {P} (Y=1\mid X=0).}
69:
2048:
Several statistics can be used to quantify the quality of such models: area under the
2872:
98:
1698:
or the difference between the probabilities of concordance and discordance. Somers’
2300:
is the number of neither concordant nor discordant pairs that are tied on variable
110:
1814:
is the difference between the two corresponding probabilities, conditional on the
2809:
2832:"Parameters behind "nonparametric" statistics: Kendall's tau, Somers'
2801:
832:
be a set of observations of two possibly dependent random vectors
825:{\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}
2263:{\displaystyle D_{XY}={\frac {N_{C}-N_{D}}{N_{C}+N_{D}+N_{T}}},}
1875:
normalizes
Kendall's tau for possible mass points of variable
473:
are discordant, if the ranks of both elements disagree, or if
2764:{\displaystyle D_{XY}={\frac {69-21}{69+21+50}}\approx 0.34.}
90:
is named after Robert H. Somers, who proposed it in 1962.
2859:
Logistic
Regression Models for Ordinal Response Variables
2037:
in econometrics. Methods for fitting such models include
1300:, which measures ordinal association of random variables
2584:{\displaystyle N_{D}=1\times 5+1\times 2+7\times 2=21.}
2509:{\displaystyle N_{C}=3\times 7+3\times 6+5\times 6=69.}
2146:
In the case where the independent (predictor) variable
2078:
area under the receiver operating characteristic curve
942:{\displaystyle \tau ={\frac {N_{C}-N_{D}}{n(n-1)/2}},}
2706:
2603:
2528:
2453:
2279:
2173:
2089:
1903:
1832:
1790:
1716:
1350:
1314:
1272:
1226:
1180:
1121:
1024:
985:
958:
872:
849:
722:
679:
639:
599:
559:
519:
479:
433:
387:
347:
307:
267:
227:
177:
131:
72:
49:
2683:{\displaystyle N_{T}=(3+5+2)\times (1+7+6)-69-21=50}
2344:. The table below contains observed combinations of
2135:{\displaystyle \mathrm {AUC} ={\frac {D_{XY}+1}{2}}}
2763:
2682:
2583:
2508:
2316:Suppose that the independent (predictor) variable
2292:
2262:
2134:
1994:
1890:are both binary with values 0 and 1, then Somers’
1859:
1806:
1776:
1687:
1330:
1288:
1258:
1212:
1142:
1084:
998:
971:
941:
855:
824:
705:
665:
625:
585:
545:
505:
465:
419:
373:
333:
293:
253:
209:
163:
78:
58:
1673:
1587:
1571:
1488:
1465:
1388:
713:, the pair is neither concordant nor discordant.
31:between two possibly dependent random variables
2005:
1174:Let two independent bivariate random variables
86:when all pairs of the variables agree. Somers’
23:, sometimes incorrectly referred to as Somer’s
1894:is the difference between two probabilities:
66:when all pairs of the variables disagree and
8:
1777:{\displaystyle D_{YX}=\tau (X,Y)/\tau (X,X)}
1150:quantifies the number of pairs with unequal
1085:{\displaystyle D_{YX}=\tau (X,Y)/\tau (X,X)}
2033:or prediction of binary outcomes including
1006:is the number of discordant pairs. Somers’
2354:
1092:. Note that Kendall's tau is symmetric in
2723:
2711:
2705:
2608:
2602:
2533:
2527:
2458:
2452:
2284:
2278:
2248:
2235:
2222:
2210:
2197:
2190:
2178:
2172:
2111:
2104:
2090:
2088:
1908:
1902:
1831:
1795:
1789:
1751:
1721:
1715:
1672:
1671:
1653:
1640:
1618:
1605:
1586:
1585:
1570:
1569:
1554:
1541:
1519:
1506:
1487:
1486:
1464:
1463:
1454:
1441:
1419:
1406:
1387:
1386:
1351:
1349:
1319:
1313:
1277:
1271:
1247:
1234:
1225:
1201:
1188:
1179:
1120:
1059:
1029:
1023:
990:
984:
963:
957:
925:
899:
886:
879:
871:
848:
813:
800:
775:
762:
743:
730:
721:
697:
684:
678:
657:
644:
638:
617:
604:
598:
577:
564:
558:
537:
524:
518:
497:
484:
478:
454:
441:
432:
408:
395:
386:
365:
352:
346:
325:
312:
306:
285:
272:
266:
245:
232:
226:
198:
185:
176:
152:
139:
130:
71:
48:
2825:
2823:
2821:
2819:
842:Kendall tau rank correlation coefficient
221:if the ranks of both elements agree, or
2780:
2519:The number of discordant pairs equals
2444:The number of concordant pairs equals
1331:{\displaystyle \operatorname {P} _{XY}}
1289:{\displaystyle \operatorname {P} _{XY}}
1266:have the same probability distribution
979:is the number of concordant pairs and
2156:and the dependent (outcome) variable
7:
2332:, and dependent (outcome) variable
1824:continuous probability distribution
2097:
2094:
2091:
1956:
1920:
1579:
1480:
1380:
1316:
1274:
1162:values in the pair being unequal.
14:
2884:Independence (probability theory)
2050:receiver operating characteristic
2659:
2641:
2635:
2617:
2010:for binary dependent variables
1986:
1962:
1950:
1926:
1867:and Kendall's tau and Somers’
1848:
1836:
1771:
1759:
1748:
1736:
1659:
1633:
1624:
1598:
1560:
1534:
1525:
1499:
1460:
1434:
1425:
1399:
1370:
1358:
1253:
1227:
1207:
1181:
1137:
1125:
1079:
1067:
1056:
1044:
922:
910:
819:
793:
781:
755:
749:
723:
626:{\displaystyle y_{i}>y_{j}}
586:{\displaystyle x_{i}<x_{j}}
546:{\displaystyle y_{i}<y_{j}}
506:{\displaystyle x_{i}>x_{j}}
460:
434:
414:
388:
374:{\displaystyle y_{i}<y_{j}}
334:{\displaystyle x_{i}<x_{j}}
294:{\displaystyle y_{i}>y_{j}}
254:{\displaystyle x_{i}>x_{j}}
204:
178:
158:
132:
1:
1259:{\displaystyle (X_{2},Y_{2})}
1213:{\displaystyle (X_{1},Y_{1})}
466:{\displaystyle (x_{j},y_{j})}
420:{\displaystyle (x_{i},y_{i})}
210:{\displaystyle (x_{j},y_{j})}
164:{\displaystyle (x_{i},y_{i})}
2790:American Sociological Review
2018:is most often used when the
1860:{\displaystyle \tau (X,X)=1}
2054:Goodman and Kruskal's gamma
1818:values not being equal. If
706:{\displaystyle y_{i}=y_{j}}
666:{\displaystyle x_{i}=x_{j}}
2900:
1338:, can be defined through
1143:{\displaystyle \tau (X,X)}
2857:O'Connell, A. A. (2006).
2879:Nonparametric statistics
381:. We say that two pairs
2836:and median differences"
2830:Newson, Roger (2002).
2765:
2684:
2585:
2510:
2294:
2264:
2136:
1996:
1861:
1808:
1807:{\displaystyle D_{YX}}
1778:
1689:
1332:
1290:
1260:
1214:
1144:
1086:
1000:
973:
943:
857:
826:
707:
667:
627:
587:
547:
507:
467:
421:
375:
335:
295:
255:
211:
165:
125:We say that two pairs
80:
60:
2766:
2685:
2586:
2511:
2295:
2293:{\displaystyle N_{T}}
2265:
2137:
2058:Kendall's tau (Tau-a)
2031:binary classification
2014:In practice, Somers'
1997:
1862:
1809:
1779:
1690:
1333:
1291:
1261:
1215:
1145:
1087:
1001:
999:{\displaystyle N_{D}}
974:
972:{\displaystyle N_{C}}
944:
858:
856:{\displaystyle \tau }
827:
708:
668:
628:
588:
548:
508:
468:
422:
376:
336:
296:
256:
212:
166:
81:
61:
43:takes values between
2861:. SAGE Publications.
2704:
2601:
2526:
2451:
2320:takes three values,
2304:and not on variable
2277:
2171:
2087:
2035:binary choice models
1901:
1830:
1788:
1714:
1348:
1312:
1270:
1224:
1178:
1119:
1022:
983:
956:
870:
847:
720:
677:
637:
597:
557:
517:
477:
431:
385:
345:
305:
265:
225:
175:
129:
107:logistic regressions
70:
47:
2366:
2160:is binary, Somers’
29:ordinal association
2761:
2680:
2581:
2506:
2355:
2336:takes two values,
2290:
2260:
2132:
2076:is related to the
2020:dependent variable
1992:
1871:coincide. Somers’
1857:
1804:
1774:
1685:
1683:
1328:
1286:
1256:
1210:
1140:
1100:, whereas Somers’
1082:
996:
969:
939:
853:
822:
703:
663:
623:
583:
543:
503:
463:
417:
371:
331:
291:
251:
207:
161:
103:ordinal regression
76:
59:{\displaystyle -1}
56:
27:, is a measure of
2753:
2442:
2441:
2255:
2130:
2043:probit regression
1296:. Again, Somers’
1104:is asymmetric in
934:
79:{\displaystyle 1}
2891:
2863:
2862:
2854:
2848:
2847:
2827:
2814:
2813:
2785:
2770:
2768:
2767:
2762:
2754:
2752:
2735:
2724:
2719:
2718:
2689:
2687:
2686:
2681:
2613:
2612:
2590:
2588:
2587:
2582:
2538:
2537:
2515:
2513:
2512:
2507:
2463:
2462:
2438:
2433:
2428:
2423:
2416:
2411:
2406:
2401:
2394:
2389:
2384:
2378:
2373:
2367:
2364:
2360:
2351:
2347:
2343:
2339:
2335:
2331:
2327:
2323:
2319:
2307:
2303:
2299:
2297:
2296:
2291:
2289:
2288:
2269:
2267:
2266:
2261:
2256:
2254:
2253:
2252:
2240:
2239:
2227:
2226:
2216:
2215:
2214:
2202:
2201:
2191:
2186:
2185:
2159:
2149:
2141:
2139:
2138:
2133:
2131:
2126:
2119:
2118:
2105:
2100:
2070:Gini coefficient
2001:
1999:
1998:
1993:
1916:
1915:
1889:
1885:
1878:
1866:
1864:
1863:
1858:
1821:
1817:
1813:
1811:
1810:
1805:
1803:
1802:
1783:
1781:
1780:
1775:
1755:
1729:
1728:
1709:
1706:with respect to
1705:
1694:
1692:
1691:
1686:
1684:
1677:
1676:
1658:
1657:
1645:
1644:
1623:
1622:
1610:
1609:
1591:
1590:
1575:
1574:
1559:
1558:
1546:
1545:
1524:
1523:
1511:
1510:
1492:
1491:
1473:
1469:
1468:
1459:
1458:
1446:
1445:
1424:
1423:
1411:
1410:
1392:
1391:
1337:
1335:
1334:
1329:
1327:
1326:
1307:
1303:
1295:
1293:
1292:
1287:
1285:
1284:
1265:
1263:
1262:
1257:
1252:
1251:
1239:
1238:
1219:
1217:
1216:
1211:
1206:
1205:
1193:
1192:
1170:for distribution
1161:
1154:values, Somers’
1153:
1149:
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