1251:
17:
3314:
452:
4135:
4522:
2764:
1493:
1406:
4286:
39:
to facilitate the proofs of many theorems and other results in geometry, especially in mathematical competitions and olympiads. Though the origin of this idea is not known, it was documented in 1967 by
3146:
635:
2884:
2824:
571:
4616:
4397:
2145:
2928:
2660:
2338:
2078:
2008:
351:
2264:
4569:
1596:
911:
874:
773:
736:
436:
964:
981:, any line segment can be mapped into any other through the series of plane transformations. We can find the center of the spiral similarity through the following construction:
1244:
275:
3012:
2980:
2616:
2584:
2529:
2497:
2465:
2433:
1740:
1708:
1209:
1047:
1015:
837:
805:
699:
667:
4809:
4780:
4211:
3605:
3576:
3441:
3412:
3175:
1128:
1099:
3842:
405:
4907:
4867:
4127:
4021:
3862:
1157:
371:
4407:
3064:
2381:
2215:
2180:
1838:
1783:
931:
477:
4344:
4315:
4176:
1315:
1286:
500:
167:
3888:
3706:
1549:
1523:
4751:
4728:
4685:
4662:
4107:
4084:
4001:
3978:
3955:
3792:
3769:
3547:
3524:
3383:
3360:
3307:
3284:
3241:
3218:
4887:
4829:
4705:
4639:
4061:
4041:
3932:
3908:
3746:
3726:
3665:
3645:
3625:
3501:
3481:
3461:
3337:
3261:
3195:
3084:
2948:
2552:
2401:
1938:
1918:
1898:
1878:
1858:
1803:
1676:
1656:
1636:
1616:
1177:
1067:
207:
187:
135:
115:
91:
2665:
1411:
1324:
5015:
4975:
4942:
4216:
3089:
41:
578:
2829:
2769:
212:
5086:
4574:
4355:
2083:
94:
2889:
2621:
2269:
32:
4753:. By the spiral similarity construction above, the spiral center must be the intersection of the circumcircles of
2013:
1943:
286:
2220:
1250:
522:
4527:
3313:
1554:
410:
978:
936:
1496:
138:
1214:
879:
842:
741:
704:
2985:
2953:
2589:
2557:
2502:
2470:
2438:
2406:
1713:
1681:
1182:
1020:
988:
810:
778:
672:
640:
1318:
4785:
4756:
4187:
3911:
3675:
Here is an example problem on the 2018 Japan MO Finals which can be solved using spiral similarity:
3581:
3552:
3417:
3388:
3151:
3028:
1104:
1075:
3797:
36:
5067:
4967:
4517:{\displaystyle \angle AXY=180^{\circ }-\angle AEY=\angle YEC=\angle PEC=\angle PBC=\angle ABC.}
380:
61:
Any two directly similar figures are related either by a translation or by a spiral similarity.
5011:
4971:
4938:
4892:
4834:
4112:
4006:
3847:
1136:
356:
4959:
3680:
3034:
2351:
2185:
2150:
1808:
1753:
916:
5063:
462:
16:
4995:(2 ed.). New York, London, Sydney and Toronto: John Wiley & Sons. pp. 72–75.
4320:
4291:
4152:
1291:
1262:
485:
143:
3867:
3685:
1528:
1502:
4733:
4710:
4667:
4644:
4089:
4066:
3983:
3960:
3937:
3774:
3751:
3529:
3506:
3365:
3342:
3289:
3266:
3223:
3200:
4872:
4814:
4690:
4624:
4046:
4026:
3917:
3893:
3731:
3711:
3650:
3630:
3610:
3486:
3466:
3446:
3322:
3246:
3180:
3069:
2933:
2537:
2386:
1923:
1903:
1883:
1863:
1843:
1788:
1661:
1641:
1621:
1601:
1162:
1052:
374:
192:
172:
120:
100:
76:
5080:
4960:
280:
2759:{\displaystyle \angle AXC=\angle AXB+\angle BXC=\angle CXD+\angle BXC=\angle BXD}
4134:
451:
64:(Hint: Directly similar figures are similar and have the same orientation)
28:
1488:{\displaystyle \angle ABX=\angle APX=180^{\circ }-\angle XPC=\angle XDC}
1401:{\displaystyle \angle XAB=180^{\circ }-\angle BPX=\angle XPD=\angle XCD}
509:
1860:, we can solve for the expression of the spiral similarity which takes
4966:. Toronto and New York: Mathematical Association of America. pp.
4317:
is cyclic, as desired. By symmetry, we can prove that quadrilateral
1805:
as points on the complex plane with corresponding complex numbers
450:
407:
is the dilation factor of the spiral similarity, and the argument
15:
5040:
Baca, Jafet (2019). "On a special center of spiral similarity".
4281:{\displaystyle \angle BPC=\angle BAC=180^{\circ }-\angle BEC,}
48:. and 1969 - using the term "dilative rotation" - in his book
1678:. The dilation factor is then just the ratio of side lengths
2534:
This can be seen through the above construction. If we let
459:
Let T be a spiral similarity mapping circle k to k' with k
20:
A spiral similarity taking triangle ABC to triangle A'B'C'.
3141:{\displaystyle \triangle PAB,\triangle PDC,\triangle QAD,}
2950:
is also the center of the spiral similarity which takes
27:
is a plane transformation in mathematics composed of a
4895:
4875:
4837:
4817:
4788:
4759:
4736:
4713:
4693:
4670:
4647:
4627:
4577:
4530:
4410:
4358:
4323:
4294:
4219:
4190:
4155:
4115:
4092:
4069:
4049:
4029:
4009:
3986:
3963:
3940:
3920:
3896:
3870:
3850:
3800:
3777:
3754:
3734:
3714:
3688:
3653:
3633:
3613:
3584:
3555:
3532:
3509:
3489:
3469:
3449:
3420:
3391:
3368:
3345:
3325:
3292:
3269:
3249:
3226:
3203:
3183:
3154:
3092:
3072:
3037:
2988:
2956:
2936:
2892:
2832:
2772:
2668:
2624:
2592:
2560:
2540:
2505:
2473:
2441:
2409:
2389:
2354:
2272:
2223:
2188:
2153:
2086:
2016:
1946:
1926:
1906:
1886:
1866:
1846:
1811:
1791:
1756:
1716:
1684:
1664:
1644:
1624:
1604:
1557:
1531:
1505:
1414:
1327:
1294:
1265:
1217:
1185:
1165:
1139:
1107:
1078:
1055:
1023:
991:
939:
919:
882:
845:
813:
781:
744:
707:
675:
643:
581:
525:
488:
465:
413:
383:
359:
289:
283:, any spiral similarity can be expressed in the form
215:
195:
175:
146:
123:
103:
79:
5010:. Mathematical Association of America. p. 97].
3503:is also the center of the spiral similarity taking
3339:be the center of the spiral similarity which takes
973:
Center of a spiral similarity for two line segments
630:{\displaystyle \angle P'DC+\angle CDP=180^{\circ }}
4901:
4881:
4861:
4823:
4803:
4774:
4745:
4722:
4699:
4679:
4656:
4633:
4610:
4563:
4516:
4391:
4338:
4309:
4280:
4205:
4170:
4121:
4101:
4078:
4055:
4035:
4015:
3995:
3972:
3949:
3926:
3902:
3882:
3856:
3836:
3786:
3763:
3740:
3720:
3700:
3659:
3639:
3619:
3599:
3570:
3541:
3518:
3495:
3475:
3455:
3435:
3406:
3385:. By the above construction, the circumcircles of
3377:
3354:
3331:
3301:
3278:
3255:
3235:
3212:
3189:
3169:
3140:
3078:
3058:
3006:
2974:
2942:
2922:
2878:
2818:
2758:
2654:
2610:
2578:
2546:
2523:
2491:
2459:
2427:
2395:
2375:
2332:
2258:
2209:
2174:
2139:
2072:
2002:
1932:
1912:
1892:
1872:
1852:
1832:
1797:
1777:
1734:
1702:
1670:
1650:
1630:
1610:
1590:
1543:
1517:
1487:
1400:
1309:
1280:
1238:
1203:
1171:
1151:
1122:
1093:
1061:
1041:
1009:
958:
925:
905:
868:
831:
799:
767:
730:
693:
661:
629:
565:
494:
471:
430:
399:
365:
345:
269:
201:
181:
169:and the dilation as multiplying by a scale factor
161:
129:
109:
85:
2879:{\displaystyle {\frac {AX}{CX}}={\frac {BX}{DX}}}
2819:{\displaystyle {\frac {AX}{BX}}={\frac {CX}{DX}}}
2467:is also the center of a spiral similarity taking
510:construction of the center of a spiral similarity
4611:{\displaystyle \triangle AXY\sim \triangle ABC,}
4392:{\displaystyle \triangle AXY\sim \triangle ABC.}
2140:{\displaystyle {\frac {T(b)-T(a)}{b-a}}=\alpha }
2923:{\displaystyle \triangle AXC\sim \triangle BXD}
2655:{\displaystyle \triangle XAB\sim \triangle XCD}
4937:. United States: MAA Press. pp. 196–200.
2333:{\displaystyle x_{0}={\frac {ad-bc}{a+d-b-c}}}
1133:The circumcircles intersect at a second point
502:k the points P, T(P)= P' and D are collinear.
2403:, the center of the spiral similarity taking
573:, as rotation and dilation preserve angles.
8:
4935:Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads
3549:, by similar reasoning the circumcircles of
977:Through a dilation of a line, rotation, and
2073:{\displaystyle T(b)=x_{0}+\alpha (b-x_{0})}
2003:{\displaystyle T(a)=x_{0}+\alpha (a-x_{0})}
346:{\displaystyle T(x)=x_{0}+\alpha (x-x_{0})}
137:in the plane. Expressing the rotation by a
3086:, the circumcircles of the four triangles
2554:be the center of spiral similarity taking
2259:{\displaystyle \alpha ={\frac {d-c}{b-a}}}
4894:
4874:
4836:
4816:
4787:
4758:
4735:
4712:
4692:
4669:
4646:
4626:
4576:
4529:
4430:
4409:
4357:
4322:
4293:
4254:
4218:
4189:
4154:
4114:
4091:
4068:
4048:
4028:
4008:
3985:
3962:
3939:
3919:
3895:
3869:
3849:
3799:
3776:
3753:
3733:
3713:
3687:
3652:
3632:
3612:
3583:
3554:
3531:
3508:
3488:
3468:
3448:
3419:
3390:
3367:
3344:
3324:
3291:
3268:
3248:
3225:
3202:
3182:
3153:
3091:
3071:
3036:
2989:
2987:
2957:
2955:
2935:
2891:
2856:
2833:
2831:
2796:
2773:
2771:
2667:
2623:
2593:
2591:
2561:
2559:
2539:
2506:
2504:
2474:
2472:
2442:
2440:
2410:
2408:
2388:
2353:
2286:
2277:
2271:
2230:
2222:
2187:
2152:
2087:
2085:
2061:
2036:
2015:
1991:
1966:
1945:
1925:
1905:
1885:
1865:
1845:
1810:
1790:
1755:
1717:
1715:
1685:
1683:
1663:
1643:
1623:
1603:
1556:
1530:
1504:
1449:
1413:
1347:
1326:
1293:
1264:
1218:
1216:
1186:
1184:
1164:
1138:
1106:
1077:
1054:
1024:
1022:
992:
990:
944:
938:
918:
883:
881:
846:
844:
814:
812:
782:
780:
745:
743:
708:
706:
676:
674:
644:
642:
621:
580:
524:
487:
464:
414:
412:
392:
384:
382:
358:
334:
309:
288:
214:
194:
174:
145:
122:
102:
78:
4918:
3027:Spiral similarity can be used to prove
3023:Proof of Miquel's Quadrilateral Theorem
566:{\displaystyle \angle CMP=\angle CM'P'}
4564:{\displaystyle \angle AYX=\angle ACB,}
3647:. Thus, all four circles intersect at
1591:{\displaystyle \angle AXB=\angle CXD,}
4143:We first prove the following claims:
3022:
2886:. So, by SAS similarity, we see that
1069:be the intersection of the two lines.
508:This property is the basis for the
431:{\displaystyle {\text{arg}}(\alpha )}
59:is important for the Euclidean plane:
7:
5057:
5055:
5035:
5033:
5031:
5029:
5027:
4928:
4926:
4924:
4922:
1072:Draw the circumcircles of triangles
959:{\displaystyle 180^{\circ }-\beta }
97:followed a dilation about a center
4789:
4760:
4593:
4578:
4546:
4531:
4499:
4484:
4469:
4454:
4439:
4411:
4374:
4359:
4263:
4235:
4220:
4191:
3585:
3556:
3421:
3392:
3155:
3123:
3108:
3093:
2908:
2893:
2744:
2729:
2714:
2699:
2684:
2669:
2640:
2625:
1573:
1558:
1473:
1458:
1430:
1415:
1386:
1371:
1356:
1328:
1108:
1079:
602:
582:
541:
526:
14:
3031:: given four noncollinear points
1239:{\displaystyle {\overline {CD}}.}
906:{\displaystyle {\overline {CP'}}}
869:{\displaystyle {\overline {M'D}}}
768:{\displaystyle {\overline {CP'}}}
731:{\displaystyle {\overline {M'D}}}
270:{\displaystyle S(p)=d(T(p-c))+c.}
93:is composed of a rotation of the
4288:thus proving that quadrilateral
4133:
3864:be the circumcircle of triangle
3312:
3007:{\displaystyle {\overline {BD}}}
2975:{\displaystyle {\overline {AC}}}
2611:{\displaystyle {\overline {CD}}}
2579:{\displaystyle {\overline {AB}}}
2524:{\displaystyle {\overline {BD}}}
2492:{\displaystyle {\overline {AC}}}
2460:{\displaystyle {\overline {CD}}}
2428:{\displaystyle {\overline {AB}}}
1735:{\displaystyle {\overline {AB}}}
1703:{\displaystyle {\overline {CD}}}
1249:
1204:{\displaystyle {\overline {AB}}}
1042:{\displaystyle {\overline {BD}}}
1010:{\displaystyle {\overline {AC}}}
832:{\displaystyle {\overline {CP}}}
800:{\displaystyle {\overline {MD}}}
694:{\displaystyle {\overline {CP}}}
662:{\displaystyle {\overline {MD}}}
4641:is the spiral center that maps
479:k' = {C, D} and fixed point C.
3177:intersect at one point, where
3029:Miquel's Quadrilateral Theorem
2198:
2192:
2163:
2157:
2114:
2108:
2099:
2093:
2067:
2048:
2026:
2020:
1997:
1978:
1956:
1950:
969:So P, P' and D are collinear.
425:
419:
393:
385:
340:
321:
299:
293:
255:
252:
240:
234:
225:
219:
156:
150:
1:
4804:{\displaystyle \triangle FBC}
4775:{\displaystyle \triangle FXY}
4206:{\displaystyle \triangle BAE}
3600:{\displaystyle \triangle QBC}
3571:{\displaystyle \triangle QAD}
3436:{\displaystyle \triangle PDC}
3407:{\displaystyle \triangle PAB}
3170:{\displaystyle \triangle QBC}
1746:Solution with complex numbers
1179:is the spiral center mapping
1123:{\displaystyle \triangle PCD}
1094:{\displaystyle \triangle PAB}
2999:
2967:
2603:
2571:
2516:
2484:
2452:
2420:
2344:Pairs of spiral similarities
1727:
1695:
1598:so a rotation angle mapping
1228:
1196:
1034:
1002:
913:, so one of these angles is
898:
861:
824:
792:
760:
723:
686:
654:
4213:is isosceles, we note that
4063:, respectively. Prove that
3837:{\displaystyle CA=CD,BA=BE}
5103:
4869:must be concyclic. Hence,
438:is the angle of rotation.
4811:. However, this point is
400:{\displaystyle |\alpha |}
5064:Three Lemmas in Geometry
5042:Mathematical Reflections
5006:Coxeter, H.S.M. (1967).
4993:Introduction to Geometry
4991:Coxeter, H.S.M. (1969).
4958:Coxeter, H.S.M. (1967).
3794:, respectively, so that
50:Introduction to Geometry
4902:{\displaystyle \omega }
4862:{\displaystyle A,F,X,Y}
4707:be the intersection of
4122:{\displaystyle \omega }
4016:{\displaystyle \omega }
3857:{\displaystyle \omega }
3263:is the intersection of
3197:is the intersection of
2266:, from which we obtain
2217:, we plug in to obtain
1152:{\displaystyle X\neq P}
366:{\displaystyle \alpha }
35:. It is used widely in
4903:
4883:
4863:
4825:
4805:
4776:
4747:
4724:
4701:
4681:
4658:
4635:
4612:
4565:
4524:By similar reasoning,
4518:
4393:
4340:
4311:
4282:
4207:
4172:
4131:
4123:
4103:
4080:
4057:
4037:
4017:
3997:
3974:
3951:
3928:
3904:
3884:
3858:
3838:
3788:
3765:
3748:be points on segments
3742:
3722:
3702:
3661:
3641:
3621:
3601:
3572:
3543:
3520:
3497:
3477:
3457:
3437:
3408:
3379:
3356:
3333:
3303:
3280:
3257:
3237:
3214:
3191:
3171:
3142:
3080:
3060:
3059:{\displaystyle A,B,C,}
3008:
2976:
2944:
2924:
2880:
2820:
2760:
2656:
2612:
2580:
2548:
2525:
2493:
2461:
2429:
2397:
2377:
2376:{\displaystyle A,B,C,}
2334:
2260:
2211:
2210:{\displaystyle T(b)=d}
2176:
2175:{\displaystyle T(a)=c}
2141:
2074:
2004:
1934:
1914:
1894:
1874:
1854:
1834:
1833:{\displaystyle a,b,c,}
1799:
1779:
1778:{\displaystyle A,B,C,}
1736:
1704:
1672:
1652:
1632:
1612:
1592:
1545:
1519:
1489:
1402:
1311:
1282:
1240:
1205:
1173:
1153:
1124:
1095:
1063:
1043:
1011:
960:
927:
926:{\displaystyle \beta }
907:
870:
833:
801:
769:
732:
695:
663:
631:
567:
512:for two linesegments.
496:
482:Then for each point P
473:
456:
432:
401:
367:
347:
271:
203:
183:
163:
131:
111:
87:
21:
4904:
4884:
4864:
4826:
4806:
4777:
4748:
4725:
4702:
4682:
4659:
4636:
4613:
4571:so by AA similarity,
4566:
4519:
4394:
4341:
4312:
4283:
4208:
4173:
4124:
4104:
4081:
4058:
4038:
4018:
3998:
3975:
3952:
3929:
3905:
3885:
3859:
3839:
3789:
3766:
3743:
3723:
3703:
3677:
3662:
3642:
3622:
3602:
3573:
3544:
3521:
3498:
3478:
3458:
3438:
3409:
3380:
3357:
3334:
3304:
3281:
3258:
3238:
3215:
3192:
3172:
3143:
3081:
3061:
3009:
2977:
2945:
2925:
2881:
2821:
2761:
2657:
2613:
2581:
2549:
2526:
2494:
2462:
2430:
2398:
2378:
2335:
2261:
2212:
2177:
2142:
2075:
2005:
1935:
1915:
1895:
1875:
1855:
1835:
1800:
1780:
1737:
1705:
1673:
1653:
1633:
1613:
1593:
1546:
1520:
1490:
1403:
1319:cyclic quadrilaterals
1312:
1283:
1241:
1206:
1174:
1154:
1125:
1096:
1064:
1044:
1012:
961:
928:
908:
871:
834:
802:
770:
733:
696:
669:intersects the chord
664:
632:
568:
497:
474:
472:{\displaystyle \cap }
454:
433:
402:
368:
348:
272:
204:
184:
164:
139:linear transformation
132:
112:
88:
19:
4893:
4873:
4835:
4815:
4786:
4757:
4734:
4711:
4691:
4668:
4645:
4625:
4575:
4528:
4408:
4356:
4339:{\displaystyle PBDC}
4321:
4310:{\displaystyle PBEC}
4292:
4217:
4188:
4171:{\displaystyle PBEC}
4153:
4113:
4090:
4067:
4047:
4027:
4007:
3984:
3961:
3938:
3918:
3894:
3868:
3848:
3798:
3775:
3752:
3732:
3712:
3686:
3651:
3631:
3611:
3582:
3553:
3530:
3507:
3487:
3467:
3447:
3418:
3389:
3366:
3343:
3323:
3290:
3267:
3247:
3224:
3201:
3181:
3152:
3090:
3070:
3035:
2986:
2954:
2934:
2890:
2830:
2770:
2666:
2622:
2590:
2558:
2538:
2503:
2471:
2439:
2407:
2387:
2352:
2270:
2221:
2186:
2151:
2084:
2014:
1944:
1924:
1904:
1884:
1864:
1844:
1809:
1789:
1754:
1714:
1682:
1662:
1642:
1622:
1602:
1555:
1529:
1503:
1412:
1325:
1310:{\displaystyle XPCD}
1292:
1281:{\displaystyle ABPX}
1263:
1215:
1183:
1163:
1137:
1105:
1076:
1053:
1021:
989:
937:
917:
880:
843:
811:
779:
742:
705:
673:
641:
579:
523:
495:{\displaystyle \in }
486:
463:
411:
381:
357:
287:
213:
193:
173:
162:{\displaystyle T(x)}
144:
121:
101:
77:
73:A spiral similarity
4933:Chen, Evan (2016).
3883:{\displaystyle ADE}
3701:{\displaystyle ABC}
1551:are similar. Thus,
1544:{\displaystyle XCD}
1518:{\displaystyle XAB}
637:, as if the radius
5087:Euclidean geometry
5008:Geometry Revisited
4962:Geometry Revisited
4899:
4879:
4859:
4821:
4801:
4772:
4746:{\displaystyle CY}
4743:
4723:{\displaystyle BX}
4720:
4697:
4680:{\displaystyle BC}
4677:
4657:{\displaystyle XY}
4654:
4631:
4608:
4561:
4514:
4389:
4336:
4307:
4278:
4203:
4168:
4119:
4102:{\displaystyle CY}
4099:
4079:{\displaystyle BX}
4076:
4053:
4033:
4013:
3996:{\displaystyle PE}
3993:
3973:{\displaystyle PD}
3970:
3950:{\displaystyle BC}
3947:
3924:
3900:
3880:
3854:
3834:
3787:{\displaystyle AC}
3784:
3764:{\displaystyle AB}
3761:
3738:
3718:
3698:
3657:
3637:
3617:
3597:
3568:
3542:{\displaystyle BC}
3539:
3519:{\displaystyle DA}
3516:
3493:
3473:
3453:
3433:
3404:
3378:{\displaystyle DC}
3375:
3355:{\displaystyle AB}
3352:
3329:
3302:{\displaystyle CD}
3299:
3279:{\displaystyle AB}
3276:
3253:
3236:{\displaystyle BC}
3233:
3213:{\displaystyle AD}
3210:
3187:
3167:
3138:
3076:
3056:
3004:
2972:
2940:
2920:
2876:
2816:
2756:
2652:
2608:
2576:
2544:
2521:
2489:
2457:
2425:
2393:
2373:
2330:
2256:
2207:
2172:
2137:
2070:
2000:
1930:
1910:
1890:
1870:
1850:
1830:
1795:
1775:
1732:
1700:
1668:
1648:
1628:
1608:
1588:
1541:
1515:
1485:
1398:
1307:
1278:
1236:
1201:
1169:
1149:
1120:
1091:
1059:
1039:
1007:
956:
923:
903:
866:
829:
807:doesn't intersect
797:
765:
728:
691:
659:
627:
563:
492:
469:
457:
428:
397:
363:
343:
267:
199:
179:
159:
127:
107:
83:
46:Geometry Revisited
37:Euclidean geometry
22:
5061:Zhao, Y. (2010).
5017:978-0-88385-619-2
4977:978-0-88385-619-2
4944:978-0-88385-839-4
4882:{\displaystyle F}
4831:, so thus points
4824:{\displaystyle A}
4700:{\displaystyle F}
4634:{\displaystyle A}
4621:We now note that
4056:{\displaystyle Y}
4036:{\displaystyle X}
3927:{\displaystyle A}
3903:{\displaystyle P}
3741:{\displaystyle E}
3721:{\displaystyle D}
3660:{\displaystyle M}
3640:{\displaystyle M}
3620:{\displaystyle Q}
3496:{\displaystyle M}
3476:{\displaystyle P}
3456:{\displaystyle M}
3332:{\displaystyle M}
3256:{\displaystyle Q}
3190:{\displaystyle P}
3079:{\displaystyle D}
3002:
2970:
2943:{\displaystyle X}
2874:
2851:
2814:
2791:
2606:
2574:
2547:{\displaystyle X}
2519:
2487:
2455:
2423:
2396:{\displaystyle D}
2328:
2254:
2129:
1933:{\displaystyle D}
1913:{\displaystyle B}
1893:{\displaystyle C}
1873:{\displaystyle A}
1853:{\displaystyle d}
1798:{\displaystyle D}
1730:
1698:
1671:{\displaystyle D}
1651:{\displaystyle C}
1631:{\displaystyle B}
1611:{\displaystyle A}
1231:
1199:
1172:{\displaystyle X}
1062:{\displaystyle P}
1037:
1005:
933:and the other is
901:
864:
827:
795:
763:
726:
689:
657:
455:Spiral similarity
417:
202:{\displaystyle p}
182:{\displaystyle d}
130:{\displaystyle c}
117:with coordinates
110:{\displaystyle O}
86:{\displaystyle S}
25:Spiral similarity
5094:
5071:
5059:
5050:
5049:
5037:
5022:
5021:
5003:
4997:
4996:
4988:
4982:
4981:
4965:
4955:
4949:
4948:
4930:
4908:
4906:
4905:
4900:
4888:
4886:
4885:
4880:
4868:
4866:
4865:
4860:
4830:
4828:
4827:
4822:
4810:
4808:
4807:
4802:
4781:
4779:
4778:
4773:
4752:
4750:
4749:
4744:
4729:
4727:
4726:
4721:
4706:
4704:
4703:
4698:
4686:
4684:
4683:
4678:
4663:
4661:
4660:
4655:
4640:
4638:
4637:
4632:
4617:
4615:
4614:
4609:
4570:
4568:
4567:
4562:
4523:
4521:
4520:
4515:
4435:
4434:
4398:
4396:
4395:
4390:
4345:
4343:
4342:
4337:
4316:
4314:
4313:
4308:
4287:
4285:
4284:
4279:
4259:
4258:
4212:
4210:
4209:
4204:
4177:
4175:
4174:
4169:
4149:: Quadrilateral
4137:
4128:
4126:
4125:
4120:
4108:
4106:
4105:
4100:
4085:
4083:
4082:
4077:
4062:
4060:
4059:
4054:
4042:
4040:
4039:
4034:
4022:
4020:
4019:
4014:
4002:
4000:
3999:
3994:
3979:
3977:
3976:
3971:
3956:
3954:
3953:
3948:
3933:
3931:
3930:
3925:
3909:
3907:
3906:
3901:
3889:
3887:
3886:
3881:
3863:
3861:
3860:
3855:
3843:
3841:
3840:
3835:
3793:
3791:
3790:
3785:
3770:
3768:
3767:
3762:
3747:
3745:
3744:
3739:
3727:
3725:
3724:
3719:
3707:
3705:
3704:
3699:
3681:scalene triangle
3666:
3664:
3663:
3658:
3646:
3644:
3643:
3638:
3626:
3624:
3623:
3618:
3606:
3604:
3603:
3598:
3577:
3575:
3574:
3569:
3548:
3546:
3545:
3540:
3525:
3523:
3522:
3517:
3502:
3500:
3499:
3494:
3482:
3480:
3479:
3474:
3462:
3460:
3459:
3454:
3442:
3440:
3439:
3434:
3413:
3411:
3410:
3405:
3384:
3382:
3381:
3376:
3361:
3359:
3358:
3353:
3338:
3336:
3335:
3330:
3316:
3308:
3306:
3305:
3300:
3285:
3283:
3282:
3277:
3262:
3260:
3259:
3254:
3242:
3240:
3239:
3234:
3219:
3217:
3216:
3211:
3196:
3194:
3193:
3188:
3176:
3174:
3173:
3168:
3147:
3145:
3144:
3139:
3085:
3083:
3082:
3077:
3065:
3063:
3062:
3057:
3013:
3011:
3010:
3005:
3003:
2998:
2990:
2981:
2979:
2978:
2973:
2971:
2966:
2958:
2949:
2947:
2946:
2941:
2929:
2927:
2926:
2921:
2885:
2883:
2882:
2877:
2875:
2873:
2865:
2857:
2852:
2850:
2842:
2834:
2825:
2823:
2822:
2817:
2815:
2813:
2805:
2797:
2792:
2790:
2782:
2774:
2765:
2763:
2762:
2757:
2661:
2659:
2658:
2653:
2617:
2615:
2614:
2609:
2607:
2602:
2594:
2585:
2583:
2582:
2577:
2575:
2570:
2562:
2553:
2551:
2550:
2545:
2530:
2528:
2527:
2522:
2520:
2515:
2507:
2498:
2496:
2495:
2490:
2488:
2483:
2475:
2466:
2464:
2463:
2458:
2456:
2451:
2443:
2434:
2432:
2431:
2426:
2424:
2419:
2411:
2402:
2400:
2399:
2394:
2382:
2380:
2379:
2374:
2339:
2337:
2336:
2331:
2329:
2327:
2304:
2287:
2282:
2281:
2265:
2263:
2262:
2257:
2255:
2253:
2242:
2231:
2216:
2214:
2213:
2208:
2181:
2179:
2178:
2173:
2146:
2144:
2143:
2138:
2130:
2128:
2117:
2088:
2079:
2077:
2076:
2071:
2066:
2065:
2041:
2040:
2009:
2007:
2006:
2001:
1996:
1995:
1971:
1970:
1939:
1937:
1936:
1931:
1919:
1917:
1916:
1911:
1899:
1897:
1896:
1891:
1879:
1877:
1876:
1871:
1859:
1857:
1856:
1851:
1839:
1837:
1836:
1831:
1804:
1802:
1801:
1796:
1784:
1782:
1781:
1776:
1741:
1739:
1738:
1733:
1731:
1726:
1718:
1709:
1707:
1706:
1701:
1699:
1694:
1686:
1677:
1675:
1674:
1669:
1657:
1655:
1654:
1649:
1637:
1635:
1634:
1629:
1617:
1615:
1614:
1609:
1597:
1595:
1594:
1589:
1550:
1548:
1547:
1542:
1524:
1522:
1521:
1516:
1495:. Therefore, by
1494:
1492:
1491:
1486:
1454:
1453:
1407:
1405:
1404:
1399:
1352:
1351:
1316:
1314:
1313:
1308:
1287:
1285:
1284:
1279:
1253:
1245:
1243:
1242:
1237:
1232:
1227:
1219:
1210:
1208:
1207:
1202:
1200:
1195:
1187:
1178:
1176:
1175:
1170:
1158:
1156:
1155:
1150:
1129:
1127:
1126:
1121:
1100:
1098:
1097:
1092:
1068:
1066:
1065:
1060:
1048:
1046:
1045:
1040:
1038:
1033:
1025:
1016:
1014:
1013:
1008:
1006:
1001:
993:
965:
963:
962:
957:
949:
948:
932:
930:
929:
924:
912:
910:
909:
904:
902:
897:
896:
884:
875:
873:
872:
867:
865:
860:
856:
847:
838:
836:
835:
830:
828:
823:
815:
806:
804:
803:
798:
796:
791:
783:
774:
772:
771:
766:
764:
759:
758:
746:
737:
735:
734:
729:
727:
722:
718:
709:
700:
698:
697:
692:
690:
685:
677:
668:
666:
665:
660:
658:
653:
645:
636:
634:
633:
628:
626:
625:
592:
572:
570:
569:
564:
562:
554:
501:
499:
498:
493:
478:
476:
475:
470:
437:
435:
434:
429:
418:
415:
406:
404:
403:
398:
396:
388:
377:. The magnitude
372:
370:
369:
364:
352:
350:
349:
344:
339:
338:
314:
313:
276:
274:
273:
268:
208:
206:
205:
200:
188:
186:
185:
180:
168:
166:
165:
160:
136:
134:
133:
128:
116:
114:
113:
108:
92:
90:
89:
84:
5102:
5101:
5097:
5096:
5095:
5093:
5092:
5091:
5077:
5076:
5075:
5074:
5060:
5053:
5039:
5038:
5025:
5018:
5005:
5004:
5000:
4990:
4989:
4985:
4978:
4957:
4956:
4952:
4945:
4932:
4931:
4920:
4915:
4891:
4890:
4871:
4870:
4833:
4832:
4813:
4812:
4784:
4783:
4755:
4754:
4732:
4731:
4709:
4708:
4689:
4688:
4666:
4665:
4643:
4642:
4623:
4622:
4573:
4572:
4526:
4525:
4426:
4406:
4405:
4354:
4353:
4319:
4318:
4290:
4289:
4250:
4215:
4214:
4186:
4185:
4151:
4150:
4111:
4110:
4088:
4087:
4065:
4064:
4045:
4044:
4025:
4024:
4005:
4004:
3982:
3981:
3959:
3958:
3936:
3935:
3916:
3915:
3892:
3891:
3866:
3865:
3846:
3845:
3796:
3795:
3773:
3772:
3750:
3749:
3730:
3729:
3710:
3709:
3684:
3683:
3673:
3671:Example problem
3649:
3648:
3629:
3628:
3609:
3608:
3580:
3579:
3551:
3550:
3528:
3527:
3505:
3504:
3485:
3484:
3465:
3464:
3445:
3444:
3416:
3415:
3387:
3386:
3364:
3363:
3341:
3340:
3321:
3320:
3309:(see diagram).
3288:
3287:
3265:
3264:
3245:
3244:
3222:
3221:
3199:
3198:
3179:
3178:
3150:
3149:
3088:
3087:
3068:
3067:
3033:
3032:
3025:
3020:
2991:
2984:
2983:
2959:
2952:
2951:
2932:
2931:
2888:
2887:
2866:
2858:
2843:
2835:
2828:
2827:
2806:
2798:
2783:
2775:
2768:
2767:
2664:
2663:
2620:
2619:
2595:
2588:
2587:
2563:
2556:
2555:
2536:
2535:
2508:
2501:
2500:
2476:
2469:
2468:
2444:
2437:
2436:
2412:
2405:
2404:
2385:
2384:
2350:
2349:
2348:For any points
2346:
2305:
2288:
2273:
2268:
2267:
2243:
2232:
2219:
2218:
2184:
2183:
2149:
2148:
2118:
2089:
2082:
2081:
2057:
2032:
2012:
2011:
1987:
1962:
1942:
1941:
1922:
1921:
1902:
1901:
1882:
1881:
1862:
1861:
1842:
1841:
1807:
1806:
1787:
1786:
1752:
1751:
1748:
1719:
1712:
1711:
1687:
1680:
1679:
1660:
1659:
1640:
1639:
1620:
1619:
1600:
1599:
1553:
1552:
1527:
1526:
1501:
1500:
1445:
1410:
1409:
1343:
1323:
1322:
1290:
1289:
1261:
1260:
1220:
1213:
1212:
1188:
1181:
1180:
1161:
1160:
1135:
1134:
1103:
1102:
1074:
1073:
1051:
1050:
1026:
1019:
1018:
994:
987:
986:
975:
940:
935:
934:
915:
914:
889:
885:
878:
877:
849:
848:
841:
840:
816:
809:
808:
784:
777:
776:
751:
747:
740:
739:
711:
710:
703:
702:
678:
671:
670:
646:
639:
638:
617:
585:
577:
576:
555:
547:
521:
520:
484:
483:
461:
460:
449:
444:
409:
408:
379:
378:
355:
354:
330:
305:
285:
284:
211:
210:
209:gets mapped to
191:
190:
171:
170:
142:
141:
119:
118:
99:
98:
75:
74:
71:
62:
60:
12:
11:
5:
5100:
5098:
5090:
5089:
5079:
5078:
5073:
5072:
5051:
5023:
5016:
4998:
4983:
4976:
4950:
4943:
4917:
4916:
4914:
4911:
4909:, as desired.
4898:
4878:
4858:
4855:
4852:
4849:
4846:
4843:
4840:
4820:
4800:
4797:
4794:
4791:
4771:
4768:
4765:
4762:
4742:
4739:
4719:
4716:
4696:
4676:
4673:
4653:
4650:
4630:
4607:
4604:
4601:
4598:
4595:
4592:
4589:
4586:
4583:
4580:
4560:
4557:
4554:
4551:
4548:
4545:
4542:
4539:
4536:
4533:
4513:
4510:
4507:
4504:
4501:
4498:
4495:
4492:
4489:
4486:
4483:
4480:
4477:
4474:
4471:
4468:
4465:
4462:
4459:
4456:
4453:
4450:
4447:
4444:
4441:
4438:
4433:
4429:
4425:
4422:
4419:
4416:
4413:
4388:
4385:
4382:
4379:
4376:
4373:
4370:
4367:
4364:
4361:
4335:
4332:
4329:
4326:
4306:
4303:
4300:
4297:
4277:
4274:
4271:
4268:
4265:
4262:
4257:
4253:
4249:
4246:
4243:
4240:
4237:
4234:
4231:
4228:
4225:
4222:
4202:
4199:
4196:
4193:
4167:
4164:
4161:
4158:
4118:
4098:
4095:
4075:
4072:
4052:
4032:
4012:
3992:
3989:
3969:
3966:
3946:
3943:
3923:
3899:
3879:
3876:
3873:
3853:
3833:
3830:
3827:
3824:
3821:
3818:
3815:
3812:
3809:
3806:
3803:
3783:
3780:
3760:
3757:
3737:
3717:
3697:
3694:
3691:
3672:
3669:
3656:
3636:
3616:
3596:
3593:
3590:
3587:
3567:
3564:
3561:
3558:
3538:
3535:
3515:
3512:
3492:
3472:
3452:
3432:
3429:
3426:
3423:
3403:
3400:
3397:
3394:
3374:
3371:
3351:
3348:
3328:
3298:
3295:
3275:
3272:
3252:
3232:
3229:
3209:
3206:
3186:
3166:
3163:
3160:
3157:
3137:
3134:
3131:
3128:
3125:
3122:
3119:
3116:
3113:
3110:
3107:
3104:
3101:
3098:
3095:
3075:
3055:
3052:
3049:
3046:
3043:
3040:
3024:
3021:
3019:
3016:
3001:
2997:
2994:
2969:
2965:
2962:
2939:
2919:
2916:
2913:
2910:
2907:
2904:
2901:
2898:
2895:
2872:
2869:
2864:
2861:
2855:
2849:
2846:
2841:
2838:
2812:
2809:
2804:
2801:
2795:
2789:
2786:
2781:
2778:
2755:
2752:
2749:
2746:
2743:
2740:
2737:
2734:
2731:
2728:
2725:
2722:
2719:
2716:
2713:
2710:
2707:
2704:
2701:
2698:
2695:
2692:
2689:
2686:
2683:
2680:
2677:
2674:
2671:
2651:
2648:
2645:
2642:
2639:
2636:
2633:
2630:
2627:
2605:
2601:
2598:
2573:
2569:
2566:
2543:
2518:
2514:
2511:
2486:
2482:
2479:
2454:
2450:
2447:
2422:
2418:
2415:
2392:
2372:
2369:
2366:
2363:
2360:
2357:
2345:
2342:
2326:
2323:
2320:
2317:
2314:
2311:
2308:
2303:
2300:
2297:
2294:
2291:
2285:
2280:
2276:
2252:
2249:
2246:
2241:
2238:
2235:
2229:
2226:
2206:
2203:
2200:
2197:
2194:
2191:
2171:
2168:
2165:
2162:
2159:
2156:
2136:
2133:
2127:
2124:
2121:
2116:
2113:
2110:
2107:
2104:
2101:
2098:
2095:
2092:
2069:
2064:
2060:
2056:
2053:
2050:
2047:
2044:
2039:
2035:
2031:
2028:
2025:
2022:
2019:
1999:
1994:
1990:
1986:
1983:
1980:
1977:
1974:
1969:
1965:
1961:
1958:
1955:
1952:
1949:
1929:
1909:
1889:
1869:
1849:
1829:
1826:
1823:
1820:
1817:
1814:
1794:
1774:
1771:
1768:
1765:
1762:
1759:
1750:If we express
1747:
1744:
1729:
1725:
1722:
1697:
1693:
1690:
1667:
1647:
1627:
1607:
1587:
1584:
1581:
1578:
1575:
1572:
1569:
1566:
1563:
1560:
1540:
1537:
1534:
1514:
1511:
1508:
1484:
1481:
1478:
1475:
1472:
1469:
1466:
1463:
1460:
1457:
1452:
1448:
1444:
1441:
1438:
1435:
1432:
1429:
1426:
1423:
1420:
1417:
1397:
1394:
1391:
1388:
1385:
1382:
1379:
1376:
1373:
1370:
1367:
1364:
1361:
1358:
1355:
1350:
1346:
1342:
1339:
1336:
1333:
1330:
1306:
1303:
1300:
1297:
1277:
1274:
1271:
1268:
1247:
1246:
1235:
1230:
1226:
1223:
1198:
1194:
1191:
1168:
1148:
1145:
1142:
1131:
1119:
1116:
1113:
1110:
1090:
1087:
1084:
1081:
1070:
1058:
1036:
1032:
1029:
1004:
1000:
997:
974:
971:
955:
952:
947:
943:
922:
900:
895:
892:
888:
863:
859:
855:
852:
826:
822:
819:
794:
790:
787:
762:
757:
754:
750:
725:
721:
717:
714:
688:
684:
681:
656:
652:
649:
624:
620:
616:
613:
610:
607:
604:
601:
598:
595:
591:
588:
584:
561:
558:
553:
550:
546:
543:
540:
537:
534:
531:
528:
491:
468:
448:
445:
443:
440:
427:
424:
421:
395:
391:
387:
375:complex number
362:
342:
337:
333:
329:
326:
323:
320:
317:
312:
308:
304:
301:
298:
295:
292:
266:
263:
260:
257:
254:
251:
248:
245:
242:
239:
236:
233:
230:
227:
224:
221:
218:
198:
178:
158:
155:
152:
149:
126:
106:
82:
70:
67:
55:The following
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
5099:
5088:
5085:
5084:
5082:
5070:
5069:
5065:
5058:
5056:
5052:
5047:
5043:
5036:
5034:
5032:
5030:
5028:
5024:
5019:
5013:
5009:
5002:
4999:
4994:
4987:
4984:
4979:
4973:
4969:
4964:
4963:
4954:
4951:
4946:
4940:
4936:
4929:
4927:
4925:
4923:
4919:
4912:
4910:
4896:
4876:
4856:
4853:
4850:
4847:
4844:
4841:
4838:
4818:
4798:
4795:
4792:
4769:
4766:
4763:
4740:
4737:
4717:
4714:
4694:
4674:
4671:
4651:
4648:
4628:
4619:
4605:
4602:
4599:
4596:
4590:
4587:
4584:
4581:
4558:
4555:
4552:
4549:
4543:
4540:
4537:
4534:
4511:
4508:
4505:
4502:
4496:
4493:
4490:
4487:
4481:
4478:
4475:
4472:
4466:
4463:
4460:
4457:
4451:
4448:
4445:
4442:
4436:
4431:
4427:
4423:
4420:
4417:
4414:
4404:We have that
4403:
4399:
4386:
4383:
4380:
4377:
4371:
4368:
4365:
4362:
4351:
4347:
4333:
4330:
4327:
4324:
4304:
4301:
4298:
4295:
4275:
4272:
4269:
4266:
4260:
4255:
4251:
4247:
4244:
4241:
4238:
4232:
4229:
4226:
4223:
4200:
4197:
4194:
4183:
4179:
4165:
4162:
4159:
4156:
4148:
4144:
4142:
4138:
4136:
4130:
4116:
4109:intersect on
4096:
4093:
4073:
4070:
4050:
4030:
4010:
3990:
3987:
3967:
3964:
3944:
3941:
3921:
3913:
3897:
3877:
3874:
3871:
3851:
3831:
3828:
3825:
3822:
3819:
3816:
3813:
3810:
3807:
3804:
3801:
3781:
3778:
3758:
3755:
3735:
3715:
3695:
3692:
3689:
3682:
3676:
3670:
3668:
3654:
3634:
3614:
3594:
3591:
3588:
3565:
3562:
3559:
3536:
3533:
3513:
3510:
3490:
3470:
3450:
3443:intersect at
3430:
3427:
3424:
3401:
3398:
3395:
3372:
3369:
3349:
3346:
3326:
3317:
3315:
3310:
3296:
3293:
3273:
3270:
3250:
3230:
3227:
3207:
3204:
3184:
3164:
3161:
3158:
3135:
3132:
3129:
3126:
3120:
3117:
3114:
3111:
3105:
3102:
3099:
3096:
3073:
3053:
3050:
3047:
3044:
3041:
3038:
3030:
3017:
3015:
2995:
2992:
2963:
2960:
2937:
2917:
2914:
2911:
2905:
2902:
2899:
2896:
2870:
2867:
2862:
2859:
2853:
2847:
2844:
2839:
2836:
2826:implies that
2810:
2807:
2802:
2799:
2793:
2787:
2784:
2779:
2776:
2753:
2750:
2747:
2741:
2738:
2735:
2732:
2726:
2723:
2720:
2717:
2711:
2708:
2705:
2702:
2696:
2693:
2690:
2687:
2681:
2678:
2675:
2672:
2662:. Therefore,
2649:
2646:
2643:
2637:
2634:
2631:
2628:
2599:
2596:
2567:
2564:
2541:
2532:
2512:
2509:
2480:
2477:
2448:
2445:
2416:
2413:
2390:
2370:
2367:
2364:
2361:
2358:
2355:
2343:
2341:
2324:
2321:
2318:
2315:
2312:
2309:
2306:
2301:
2298:
2295:
2292:
2289:
2283:
2278:
2274:
2250:
2247:
2244:
2239:
2236:
2233:
2227:
2224:
2204:
2201:
2195:
2189:
2169:
2166:
2160:
2154:
2134:
2131:
2125:
2122:
2119:
2111:
2105:
2102:
2096:
2090:
2062:
2058:
2054:
2051:
2045:
2042:
2037:
2033:
2029:
2023:
2017:
1992:
1988:
1984:
1981:
1975:
1972:
1967:
1963:
1959:
1953:
1947:
1927:
1907:
1887:
1867:
1847:
1827:
1824:
1821:
1818:
1815:
1812:
1792:
1772:
1769:
1766:
1763:
1760:
1757:
1745:
1743:
1723:
1720:
1691:
1688:
1665:
1645:
1625:
1605:
1585:
1582:
1579:
1576:
1570:
1567:
1564:
1561:
1538:
1535:
1532:
1512:
1509:
1506:
1498:
1497:AA similarity
1482:
1479:
1476:
1470:
1467:
1464:
1461:
1455:
1450:
1446:
1442:
1439:
1436:
1433:
1427:
1424:
1421:
1418:
1408:. Similarly,
1395:
1392:
1389:
1383:
1380:
1377:
1374:
1368:
1365:
1362:
1359:
1353:
1348:
1344:
1340:
1337:
1334:
1331:
1320:
1304:
1301:
1298:
1295:
1275:
1272:
1269:
1266:
1258:
1254:
1252:
1233:
1224:
1221:
1192:
1189:
1166:
1146:
1143:
1140:
1132:
1117:
1114:
1111:
1088:
1085:
1082:
1071:
1056:
1030:
1027:
998:
995:
984:
983:
982:
980:
972:
970:
967:
953:
950:
945:
941:
920:
893:
890:
886:
857:
853:
850:
820:
817:
788:
785:
755:
752:
748:
738:doesn't meet
719:
715:
712:
682:
679:
650:
647:
622:
618:
614:
611:
608:
605:
599:
596:
593:
589:
586:
574:
559:
556:
551:
548:
544:
538:
535:
532:
529:
518:
517:
513:
511:
507:
503:
489:
480:
466:
453:
446:
441:
439:
422:
389:
376:
360:
335:
331:
327:
324:
318:
315:
310:
306:
302:
296:
290:
282:
281:complex plane
277:
264:
261:
258:
249:
246:
243:
237:
231:
228:
222:
216:
196:
176:
153:
147:
140:
124:
104:
96:
80:
68:
66:
65:
58:
53:
51:
47:
43:
38:
34:
30:
26:
18:
5062:
5045:
5041:
5007:
5001:
4992:
4986:
4961:
4953:
4934:
4889:must lie on
4620:
4618:as desired.
4401:
4400:
4349:
4348:
4181:
4180:
4146:
4145:
4140:
4139:
4132:
3678:
3674:
3318:
3311:
3026:
2533:
2347:
1940:. Note that
1749:
1499:, triangles
1256:
1255:
1248:
976:
968:
876:intersects
575:
519:
515:
514:
505:
504:
481:
458:
278:
72:
63:
56:
54:
49:
45:
44:in his book
24:
23:
5066:. See also
4346:is cyclic.
4178:is cyclic.
3018:Corollaries
985:Draw lines
979:translation
447:Two circles
4913:References
3912:reflection
1638:also maps
1259:Note that
1049:, and let
442:Properties
189:, a point
69:Definition
5068:Solutions
4897:ω
4790:△
4761:△
4594:△
4591:∼
4579:△
4547:∠
4532:∠
4500:∠
4485:∠
4470:∠
4455:∠
4440:∠
4437:−
4432:∘
4412:∠
4375:△
4372:∼
4360:△
4264:∠
4261:−
4256:∘
4236:∠
4221:∠
4192:△
4117:ω
4023:again at
4011:ω
3852:ω
3586:△
3557:△
3422:△
3393:△
3156:△
3124:△
3109:△
3094:△
3000:¯
2968:¯
2909:△
2906:∼
2894:△
2745:∠
2730:∠
2715:∠
2700:∠
2685:∠
2670:∠
2641:△
2638:∼
2626:△
2604:¯
2572:¯
2517:¯
2485:¯
2453:¯
2421:¯
2322:−
2316:−
2296:−
2248:−
2237:−
2225:α
2135:α
2123:−
2103:−
2055:−
2046:α
1985:−
1976:α
1728:¯
1696:¯
1574:∠
1559:∠
1474:∠
1459:∠
1456:−
1451:∘
1431:∠
1416:∠
1387:∠
1372:∠
1357:∠
1354:−
1349:∘
1329:∠
1229:¯
1197:¯
1144:≠
1109:△
1080:△
1035:¯
1003:¯
954:β
951:−
946:∘
921:β
899:¯
862:¯
825:¯
793:¯
775:, and if
761:¯
724:¯
687:¯
655:¯
623:∘
603:∠
583:∠
542:∠
527:∠
490:∈
467:∩
423:α
390:α
361:α
328:−
319:α
247:−
5081:Category
3957:. Lines
3679:Given a
3607:meet at
3483:. Since
2766:. Also,
2147:. Since
1321:. Thus,
894:′
854:′
756:′
716:′
701:, then
590:′
560:′
552:′
353:, where
33:dilation
29:rotation
4350:Claim 2
4147:Claim 1
3934:across
2930:. Thus
2618:, then
1159:. Then
839:, then
506:Remark:
279:On the
57:theorem
42:Coxeter
5048:: 1–9.
5014:
4974:
4970:–100.
4941:
4687:. Let
4402:Proof:
4184:Since
4182:Proof:
4141:Proof:
3844:. Let
3708:, let
1257:Proof:
516:Proof:
31:and a
4003:meet
2080:, so
373:is a
95:plane
5012:ISBN
4972:ISBN
4939:ISBN
4782:and
4730:and
4086:and
4043:and
3980:and
3910:the
3890:and
3771:and
3728:and
3627:and
3578:and
3463:and
3414:and
3319:Let
3286:and
3243:and
3220:and
3148:and
3066:and
2383:and
2182:and
2010:and
1900:and
1840:and
1785:and
1525:and
1317:are
1288:and
1101:and
1017:and
4664:to
4428:180
4252:180
3914:of
3526:to
3362:to
2982:to
2586:to
2499:to
2435:to
1920:to
1880:to
1710:to
1658:to
1618:to
1447:180
1345:180
1211:to
942:180
619:180
416:arg
5083::
5054:^
5044:.
5026:^
4968:95
4921:^
4352::
3667:.
3014:.
2531:.
2340:.
1742:.
966:.
52:.
5046:1
5020:.
4980:.
4947:.
4877:F
4857:Y
4854:,
4851:X
4848:,
4845:F
4842:,
4839:A
4819:A
4799:C
4796:B
4793:F
4770:Y
4767:X
4764:F
4741:Y
4738:C
4718:X
4715:B
4695:F
4675:C
4672:B
4652:Y
4649:X
4629:A
4606:,
4603:C
4600:B
4597:A
4588:Y
4585:X
4582:A
4559:,
4556:B
4553:C
4550:A
4544:=
4541:X
4538:Y
4535:A
4512:.
4509:C
4506:B
4503:A
4497:=
4494:C
4491:B
4488:P
4482:=
4479:C
4476:E
4473:P
4467:=
4464:C
4461:E
4458:Y
4452:=
4449:Y
4446:E
4443:A
4424:=
4421:Y
4418:X
4415:A
4387:.
4384:C
4381:B
4378:A
4369:Y
4366:X
4363:A
4334:C
4331:D
4328:B
4325:P
4305:C
4302:E
4299:B
4296:P
4276:,
4273:C
4270:E
4267:B
4248:=
4245:C
4242:A
4239:B
4233:=
4230:C
4227:P
4224:B
4201:E
4198:A
4195:B
4166:C
4163:E
4160:B
4157:P
4129:.
4097:Y
4094:C
4074:X
4071:B
4051:Y
4031:X
3991:E
3988:P
3968:D
3965:P
3945:C
3942:B
3922:A
3898:P
3878:E
3875:D
3872:A
3832:E
3829:B
3826:=
3823:A
3820:B
3817:,
3814:D
3811:C
3808:=
3805:A
3802:C
3782:C
3779:A
3759:B
3756:A
3736:E
3716:D
3696:C
3693:B
3690:A
3655:M
3635:M
3615:Q
3595:C
3592:B
3589:Q
3566:D
3563:A
3560:Q
3537:C
3534:B
3514:A
3511:D
3491:M
3471:P
3451:M
3431:C
3428:D
3425:P
3402:B
3399:A
3396:P
3373:C
3370:D
3350:B
3347:A
3327:M
3297:D
3294:C
3274:B
3271:A
3251:Q
3231:C
3228:B
3208:D
3205:A
3185:P
3165:C
3162:B
3159:Q
3136:,
3133:D
3130:A
3127:Q
3121:,
3118:C
3115:D
3112:P
3106:,
3103:B
3100:A
3097:P
3074:D
3054:,
3051:C
3048:,
3045:B
3042:,
3039:A
2996:D
2993:B
2964:C
2961:A
2938:X
2918:D
2915:X
2912:B
2903:C
2900:X
2897:A
2871:X
2868:D
2863:X
2860:B
2854:=
2848:X
2845:C
2840:X
2837:A
2811:X
2808:D
2803:X
2800:C
2794:=
2788:X
2785:B
2780:X
2777:A
2754:D
2751:X
2748:B
2742:=
2739:C
2736:X
2733:B
2727:+
2724:D
2721:X
2718:C
2712:=
2709:C
2706:X
2703:B
2697:+
2694:B
2691:X
2688:A
2682:=
2679:C
2676:X
2673:A
2650:D
2647:C
2644:X
2635:B
2632:A
2629:X
2600:D
2597:C
2568:B
2565:A
2542:X
2513:D
2510:B
2481:C
2478:A
2449:D
2446:C
2417:B
2414:A
2391:D
2371:,
2368:C
2365:,
2362:B
2359:,
2356:A
2325:c
2319:b
2313:d
2310:+
2307:a
2302:c
2299:b
2293:d
2290:a
2284:=
2279:0
2275:x
2251:a
2245:b
2240:c
2234:d
2228:=
2205:d
2202:=
2199:)
2196:b
2193:(
2190:T
2170:c
2167:=
2164:)
2161:a
2158:(
2155:T
2132:=
2126:a
2120:b
2115:)
2112:a
2109:(
2106:T
2100:)
2097:b
2094:(
2091:T
2068:)
2063:0
2059:x
2052:b
2049:(
2043:+
2038:0
2034:x
2030:=
2027:)
2024:b
2021:(
2018:T
1998:)
1993:0
1989:x
1982:a
1979:(
1973:+
1968:0
1964:x
1960:=
1957:)
1954:a
1951:(
1948:T
1928:D
1908:B
1888:C
1868:A
1848:d
1828:,
1825:c
1822:,
1819:b
1816:,
1813:a
1793:D
1773:,
1770:C
1767:,
1764:B
1761:,
1758:A
1724:B
1721:A
1692:D
1689:C
1666:D
1646:C
1626:B
1606:A
1586:,
1583:D
1580:X
1577:C
1571:=
1568:B
1565:X
1562:A
1539:D
1536:C
1533:X
1513:B
1510:A
1507:X
1483:C
1480:D
1477:X
1471:=
1468:C
1465:P
1462:X
1443:=
1440:X
1437:P
1434:A
1428:=
1425:X
1422:B
1419:A
1396:D
1393:C
1390:X
1384:=
1381:D
1378:P
1375:X
1369:=
1366:X
1363:P
1360:B
1341:=
1338:B
1335:A
1332:X
1305:D
1302:C
1299:P
1296:X
1276:X
1273:P
1270:B
1267:A
1234:.
1225:D
1222:C
1193:B
1190:A
1167:X
1147:P
1141:X
1130:.
1118:D
1115:C
1112:P
1089:B
1086:A
1083:P
1057:P
1031:D
1028:B
999:C
996:A
891:P
887:C
858:D
851:M
821:P
818:C
789:D
786:M
753:P
749:C
720:D
713:M
683:P
680:C
651:D
648:M
615:=
612:P
609:D
606:C
600:+
597:C
594:D
587:P
557:P
549:M
545:C
539:=
536:P
533:M
530:C
426:)
420:(
394:|
386:|
341:)
336:0
332:x
325:x
322:(
316:+
311:0
307:x
303:=
300:)
297:x
294:(
291:T
265:.
262:c
259:+
256:)
253:)
250:c
244:p
241:(
238:T
235:(
232:d
229:=
226:)
223:p
220:(
217:S
197:p
177:d
157:)
154:x
151:(
148:T
125:c
105:O
81:S
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
