1518:
2196:
770:
554:
455:
1338:
1224:
2311:
652:
360:
282:
1618:
1124:
1744:
2406:
2030:
1955:
1880:
950:
839:
1346:
1680:
2075:
117:
137:
2069:
In a very simple example, 5 observations arise from two treatments. The first treatment gives three values 1, 2, and 3, and the second treatment gives two values 4, and 6.
1057:
1811:
980:
663:
211:
463:
1548:
1010:
371:
1784:
184:
2554:
164:
1232:
1137:
2204:
2487:
588:
297:
219:
1556:
1065:
1688:
2319:
2058:
1969:
1894:
1819:
1513:{\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}+2\mu \sum _{i=1}^{k}(n_{i}T_{i})+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(T_{i})^{2}}
897:
781:
2559:
2447:
2443:
2432:
865:
2512:
2191:{\displaystyle I={\frac {1^{2}}{1}}+{\frac {2^{2}}{1}}+{\frac {3^{2}}{1}}+{\frac {4^{2}}{1}}+{\frac {6^{2}}{1}}=66}
1631:
2469:
1959:
83:
60:
2507:
2034:
2517:
38:
2454:
122:
77:
An understanding of the computations involved is greatly enhanced by a study of the statistical value
2492:
2451:
1884:
65:
765:{\displaystyle \operatorname {E} (S)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2}-{\frac {n\sigma ^{2}+n^{2}\mu ^{2}}{n}}}
2458:
1026:
549:{\displaystyle \operatorname {E} \left(\left(\sum X\right)^{2}\right)=n\sigma ^{2}+n^{2}\mu ^{2}.}
2502:
2482:
2461:
1789:
958:
189:
42:
450:{\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \left(X^{2}\right)\right)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2},}
35:
1526:
988:
1769:
571:
565:
169:
144:
1333:{\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(\mu +T_{i})^{2}}
149:
56:
2548:
2497:
955:
and the variance of each treatment group is unchanged from the population variance
17:
2465:
2418:
Treatment squared deviations = 62 − 51.2 = 10.8 with 1 degree of freedom.
1523:
Under the null hypothesis that the treatments cause no differences and all the
985:
Under the Null
Hypothesis that the treatments have no effect, then each of the
2439:
46:
2415:
Total squared deviations = 66 − 51.2 = 14.8 with 4 degrees of freedom.
1219:{\displaystyle T=\sum _{i=1}^{k}\left(\left(\sum x\right)^{2}/n_{i}\right)}
2421:
Residual squared deviations = 66 − 62 = 4 with 3 degrees of freedom.
2306:{\displaystyle T={\frac {(1+2+3)^{2}}{3}}+{\frac {(4+6)^{2}}{2}}=12+50=62}
657:
From the two derived expectations above the expected value of this sum is
288:
51:
63:) or its average value (for actual experimental data). Computations for
647:{\displaystyle S=\sum x^{2}-{\frac {\left(\sum x\right)^{2}}{n}}}
355:{\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=\sigma ^{2}+\mu ^{2}.}
277:{\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} (X^{2})-\mu ^{2}.}
1613:{\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}.}
891:, then it is assumed that the expected mean of each group is
1119:{\displaystyle \operatorname {E} (I)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2}}
1739:{\displaystyle \operatorname {E} (C)=\sigma ^{2}+n\mu ^{2}}
2401:{\displaystyle C={\frac {(1+2+3+4+6)^{2}}{5}}=256/5=51.2}
1754:
Under the null hypothesis, the difference of any pair of
2025:{\displaystyle \operatorname {E} (I-T)=(n-k)\sigma ^{2}}
1950:{\displaystyle \operatorname {E} (T-C)=(k-1)\sigma ^{2}}
1875:{\displaystyle \operatorname {E} (I-C)=(n-1)\sigma ^{2}}
1015:
It is now possible to calculate three sums of squares:
945:{\displaystyle \operatorname {E} (\mu _{i})=\mu +T_{i}}
834:{\displaystyle \operatorname {E} (S)=(n-1)\sigma ^{2}.}
2468:
of each independent variable but also if there is any
2322:
2207:
2078:
1972:
1897:
1822:
1792:
1772:
1691:
1634:
1559:
1529:
1349:
1235:
1140:
1068:
1029:
991:
961:
900:
784:
666:
591:
466:
374:
300:
222:
192:
172:
152:
125:
86:
2464:. The two-way ANOVA not only aims at assessing the
582: − 1) is most easily calculated as
2400:
2305:
2190:
2024:
1949:
1874:
1805:
1778:
1738:
1674:
1612:
1542:
1512:
1332:
1218:
1118:
1051:
1004:
974:
944:
833:
764:
646:
570:The sum of squared deviations needed to calculate
548:
449:
354:
276:
205:
178:
158:
131:
111:
844:This effectively proves the use of the divisor
848: − 1 in the calculation of an
365:From the above, the following can be derived:
2450:that examines the influence of two different
870:In the situation where data is available for
8:
2057:) are normally referred to as the number of
2537:An introduction to the Theory of Statistics
1675:{\displaystyle C=\left(\sum x\right)^{2}/n}
59:of the SDM (when considering a theoretical
69:involve the partitioning of a sum of SDM.
2384:
2366:
2329:
2321:
2273:
2254:
2239:
2214:
2206:
2171:
2165:
2151:
2145:
2131:
2125:
2111:
2105:
2091:
2085:
2077:
2016:
1971:
1941:
1896:
1866:
1821:
1797:
1791:
1771:
1730:
1714:
1690:
1664:
1658:
1633:
1601:
1585:
1558:
1534:
1528:
1504:
1494:
1481:
1471:
1460:
1444:
1434:
1421:
1410:
1391:
1375:
1348:
1324:
1314:
1295:
1285:
1274:
1261:
1234:
1205:
1196:
1190:
1162:
1151:
1139:
1110:
1094:
1067:
1043:
1028:
996:
990:
966:
960:
936:
914:
899:
822:
783:
750:
740:
727:
717:
708:
692:
665:
633:
614:
605:
590:
537:
527:
514:
494:
465:
438:
422:
397:
373:
343:
330:
314:
299:
265:
249:
227:
221:
197:
191:
171:
151:
124:
112:{\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})}
100:
85:
1550:are zero, the expectation simplifies to
2528:
874:different treatment groups having size
860:Partition — analysis of variance
574:(before deciding whether to divide by
7:
2555:Statistical deviation and dispersion
2488:Algorithms for calculating variance
1766:does not contain any dependency on
1973:
1898:
1823:
1692:
1560:
1350:
1236:
1069:
901:
785:
667:
467:
375:
301:
236:
132:{\displaystyle \operatorname {E} }
126:
87:
25:
1957:treatment squared deviations aka
2431:This section is an excerpt from
2032:residual squared deviations aka
28:Squared deviations from the mean
2446:(ANOVA) is an extension of the
139:is the expected value operator.
2363:
2332:
2270:
2257:
2236:
2217:
2009:
1997:
1991:
1979:
1934:
1922:
1916:
1904:
1859:
1847:
1841:
1829:
1704:
1698:
1572:
1566:
1501:
1487:
1450:
1427:
1362:
1356:
1321:
1301:
1248:
1242:
1081:
1075:
920:
907:
815:
803:
797:
791:
679:
673:
320:
307:
255:
242:
106:
93:
1:
1882:total squared deviations aka
2444:two-way analysis of variance
2433:Two-way analysis of variance
2426:Two-way analysis of variance
2049: − 1), and (
1052:{\displaystyle I=\sum x^{2}}
866:Partition of sums of squares
1806:{\displaystyle \sigma ^{2}}
975:{\displaystyle \sigma ^{2}}
206:{\displaystyle \sigma ^{2}}
2576:
2513:Root-mean-square deviation
2430:
1750:Sums of squared deviations
863:
563:
287:(Its derivation is shown
2045: − 1), (
1960:explained sum of squares
852:sample estimate of
2508:Residual sum of squares
2035:residual sum of squares
2518:Variance decomposition
2402:
2307:
2192:
2026:
1951:
1876:
1807:
1780:
1740:
1676:
1614:
1544:
1514:
1476:
1426:
1334:
1290:
1220:
1167:
1120:
1053:
1006:
976:
946:
835:
766:
648:
550:
451:
356:
278:
207:
180:
160:
133:
113:
2535:Mood & Graybill:
2455:independent variables
2403:
2308:
2193:
2027:
1952:
1877:
1808:
1781:
1741:
1677:
1615:
1545:
1543:{\displaystyle T_{i}}
1515:
1456:
1406:
1335:
1270:
1221:
1147:
1121:
1054:
1007:
1005:{\displaystyle T_{i}}
977:
947:
836:
767:
649:
551:
452:
357:
279:
208:
181:
161:
134:
114:
2560:Analysis of variance
2493:Errors and residuals
2320:
2205:
2076:
1970:
1895:
1885:total sum of squares
1820:
1790:
1779:{\displaystyle \mu }
1770:
1689:
1632:
1557:
1527:
1347:
1233:
1138:
1066:
1027:
989:
959:
898:
782:
664:
589:
464:
372:
298:
220:
190:
179:{\displaystyle \mu }
170:
150:
123:
84:
66:analysis of variance
49:, the definition of
2053: −
2503:Mean squared error
2483:Absolute deviation
2462:dependent variable
2398:
2303:
2188:
2059:degrees of freedom
2022:
1947:
1872:
1803:
1776:
1736:
1672:
1610:
1540:
1510:
1330:
1216:
1116:
1049:
1002:
972:
942:
831:
762:
644:
546:
447:
352:
274:
203:
176:
156:
129:
109:
43:probability theory
2376:
2283:
2249:
2180:
2160:
2140:
2120:
2100:
887:varies from 1 to
760:
642:
159:{\displaystyle X}
18:Squared deviation
16:(Redirected from
2567:
2540:
2533:
2407:
2405:
2404:
2399:
2388:
2377:
2372:
2371:
2370:
2330:
2312:
2310:
2309:
2304:
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2279:
2278:
2277:
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2244:
2243:
2215:
2197:
2195:
2194:
2189:
2181:
2176:
2175:
2166:
2161:
2156:
2155:
2146:
2141:
2136:
2135:
2126:
2121:
2116:
2115:
2106:
2101:
2096:
2095:
2086:
2031:
2029:
2028:
2023:
2021:
2020:
1956:
1954:
1953:
1948:
1946:
1945:
1881:
1879:
1878:
1873:
1871:
1870:
1812:
1810:
1809:
1804:
1802:
1801:
1785:
1783:
1782:
1777:
1745:
1743:
1742:
1737:
1735:
1734:
1719:
1718:
1681:
1679:
1678:
1673:
1668:
1663:
1662:
1657:
1653:
1619:
1617:
1616:
1611:
1606:
1605:
1590:
1589:
1549:
1547:
1546:
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1519:
1517:
1516:
1511:
1509:
1508:
1499:
1498:
1486:
1485:
1475:
1470:
1449:
1448:
1439:
1438:
1425:
1420:
1396:
1395:
1380:
1379:
1339:
1337:
1336:
1331:
1329:
1328:
1319:
1318:
1300:
1299:
1289:
1284:
1266:
1265:
1225:
1223:
1222:
1217:
1215:
1211:
1210:
1209:
1200:
1195:
1194:
1189:
1185:
1166:
1161:
1125:
1123:
1122:
1117:
1115:
1114:
1099:
1098:
1058:
1056:
1055:
1050:
1048:
1047:
1011:
1009:
1008:
1003:
1001:
1000:
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978:
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970:
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948:
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941:
940:
919:
918:
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838:
837:
832:
827:
826:
771:
769:
768:
763:
761:
756:
755:
754:
745:
744:
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731:
718:
713:
712:
697:
696:
653:
651:
650:
645:
643:
638:
637:
632:
628:
615:
610:
609:
555:
553:
552:
547:
542:
541:
532:
531:
519:
518:
503:
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498:
493:
489:
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454:
453:
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443:
442:
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407:
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401:
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334:
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318:
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280:
275:
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253:
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210:
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163:
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157:
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136:
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116:
115:
110:
105:
104:
21:
2575:
2574:
2570:
2569:
2568:
2566:
2565:
2564:
2545:
2544:
2543:
2534:
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