119:
2466:
22:
2043:
1201:
538:
As for all elliptic curves, also for the twisted
Edwards curve, it is possible to do some operations between its points, such as adding two of them or doubling (or tripling) one. The results of these operations are always points that belong to the curve itself. In the following sections some formulas
2461:{\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}&={\frac {x_{1}y_{1}+y_{1}x_{1}}{1+dx_{1}x_{1}y_{1}y_{1}}}={\frac {2x_{1}y_{1}}{ax_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}\\y_{3}&={\frac {y_{1}y_{1}-ax_{1}x_{1}}{1-dx_{1}x_{1}y_{1}y_{1}}}={\frac {y_{1}^{2}-ax_{1}^{2}}{2-ax_{1}^{2}-y_{1}^{2}}}.\end{aligned}}}
909:
2868:
2733:
1854:
1709:
2943:
2048:
3673:
417:
3399:
539:
are given to obtain the coordinates of a point resulted from an addition between two other points (addition), or the coordinates of point resulted from a doubling of a single point on a curve.
2033:
2547:
862:
195:
3139:
3018:
1459:
780:
3528:
1563:
2604:
1511:
3297:
3452:
1367:: this means that they can be used for all pairs of points without exceptions; so they work for doubling as well, and neutral elements and negatives are accepted as inputs.
1299:
1911:
1250:
663:
617:
1361:
1331:
1196:{\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=\left({\frac {x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}}{1+dx_{1}x_{2}y_{1}y_{2}}},{\frac {y_{1}y_{2}-ax_{1}x_{2}}{1-dx_{1}x_{2}y_{1}y_{2}}}\right)}
567:
468:
306:
3567:
1950:
901:
705:
281:
4209:
3064:
4074:
2741:
2616:
509:
446:
1717:
1575:
2876:
39:
3760:
Expressing an elliptic curve in twisted
Edwards form saves time in arithmetic, even when the same curve can be expressed in the Edwards form.
4119:
4269:
3569:. Bernstein and Lange introduced these inverted coordinates, for the case a=1 and observed that the coordinates save time in addition.
105:
86:
58:
2557:
Considering the same twisted
Edwards curve given in the previous example, with a=3 and d=2, it is possible to double the point
225:
65:
43:
3580:
322:
3028:
There is another kind of coordinate system with which a point in the twisted
Edwards curves can be represented. A point
3306:
72:
236:
that offers high performance while avoiding security problems that have surfaced in other digital signature schemes.
1957:
54:
32:
2474:
789:
125:
3069:
2948:
1389:
710:
4264:
3457:
570:
309:
4274:
1516:
523:
229:
2560:
1467:
3243:
3404:
4106:. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 5023. Berlin, Heidelberg: Springer. pp. 389–405.
1255:
1870:
1209:
622:
576:
284:
217:
79:
1344:
1314:
550:
451:
289:
4099:
201:
3533:
1916:
867:
671:
247:
4203:
4115:
665:
be points on the twisted
Edwards curve. The equation of twisted Edwards curve is written as;
3031:
4107:
2863:{\displaystyle y_{3}={\frac {y_{1}^{2}-ax_{1}^{2}}{2-ax_{1}^{2}-y_{1}^{2}}}={\frac {1}{3}}.}
2728:{\displaystyle x_{3}={\frac {2x_{1}y_{1}}{ax_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{5}},}
527:
478:
474:
4098:
Bernstein, Daniel J.; Birkner, Peter; Joye, Marc; Lange, Tanja; Peters, Christiane (2008).
488:
425:
209:
118:
4258:
4243:
516:
482:
232:
and twisted
Edwards curves are at the heart of an electronic signature scheme called
213:
3695:
1849:{\displaystyle y_{3}={\frac {y_{1}y_{2}-ax_{1}x_{2}}{1-dx_{1}x_{2}y_{1}y_{2}}}=-1.}
4111:
3216:. The identity element is represented by (0:1:1:0). The negative of a point is (−
1704:{\displaystyle x_{3}={\frac {x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}}{1+dx_{1}x_{2}y_{1}y_{2}}}=0,}
2549:. This reduces the power from 4 to 2 and allows for more efficient computation.
1867:
can be performed with exactly the same formula as addition. Doubling of a point
221:
21:
4176:
Daniel J. Bernstein; Marc Joye; Tanja Lange; Peter
Birkner; Christiane Peters,
4135:
Daniel J. Bernstein; Peter
Birkner; Marc Joye; Tanja Lange; Christiane Peters.
4238:
4073:
For more information about the running time required in a specific case, see
2938:{\displaystyle P_{3}=\left({\frac {2{\sqrt {2}}}{5}},{\frac {1}{3}}\right)}
313:
4136:
312:
not equal to 2 (that is, no element is its own additive inverse) is an
4220:
4177:
4219:
Daniel J. Bernstein; Tanja Lange; Peter
Birkner; Christiane Peters,
3577:
The equation for the projective twisted
Edwards curve is given as:
4192:
4068:
233:
117:
2873:
It is easy to see, with some little computations, that the point
2471:
Denominators in doubling are simplified using the curve equation
2610:
obtained using the formula above has the following coordinates:
3768:
The addition on a projective twisted Edwards curve is given by
224:
and Peters in 2008. The curve set is named after mathematician
15:
4191:
Huseyin Hisil, Kenneth Wong, Gary Carter, Ed Dawson. (2008),
4249:
4093:
4091:
3407:
3309:
1565:
using the formula given above. The result is a point P
3935:
Doubling on the projective twisted curve is given by
3668:{\displaystyle (aX^{2}+Y^{2})Z^{2}=Z^{4}+dX^{2}Y^{2}}
3583:
3536:
3460:
3246:
3072:
3034:
2951:
2879:
2744:
2619:
2563:
2477:
2046:
1960:
1919:
1873:
1720:
1578:
1519:
1470:
1392:
1347:
1317:
1258:
1212:
912:
870:
792:
713:
674:
625:
579:
553:
491:
454:
428:
325:
292:
250:
128:
412:{\displaystyle E_{E,a,d}:ax^{2}+y^{2}=1+dx^{2}y^{2}}
46:. Unsourced material may be challenged and removed.
4244:http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/auto-twisted.html
3667:
3561:
3522:
3446:
3394:{\textstyle (X^{2}+aY^{2})Z^{2}=X^{2}Y^{2}+dZ^{4}}
3393:
3291:
3133:
3058:
3012:
2937:
2862:
2727:
2598:
2541:
2460:
2027:
1944:
1905:
1848:
1703:
1557:
1505:
1453:
1355:
1325:
1293:
1244:
1195:
895:
856:
774:
699:
657:
611:
561:
503:
462:
440:
411:
300:
275:
189:
1206:The neutral element is (0,1) and the negative of
4161:Faster addition and doubling on elliptic curves
4075:Table of costs of operations in elliptic curves
1375:Given the following twisted Edwards curve with
8:
4208:: CS1 maint: multiple names: authors list (
2028:{\displaystyle 2(x_{1},y_{1})=(x_{3},y_{3})}
4239:http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/index.html
2542:{\displaystyle dx^{2}y^{2}=ax^{2}+by^{2}-1}
857:{\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}
515:, because the curve reduces to an ordinary
190:{\displaystyle 10x^{2}+y^{2}=1+6x^{2}y^{2}}
3134:{\displaystyle ax^{2}+y^{2}=1+dx^{2}y^{2}}
3013:{\displaystyle 3x^{2}+y^{2}=1+2x^{2}y^{2}}
1454:{\displaystyle 3x^{2}+y^{2}=1+2x^{2}y^{2}}
1303:These formulas also work for doubling. If
775:{\displaystyle ax^{2}+y^{2}=1+dx^{2}y^{2}}
4104:Progress in Cryptology – AFRICACRYPT 2008
3659:
3649:
3633:
3620:
3607:
3594:
3582:
3541:
3535:
3523:{\displaystyle (Z_{1}/X_{1},Z_{1}/Y_{1})}
3511:
3502:
3496:
3483:
3474:
3468:
3459:
3432:
3422:
3412:
3406:
3385:
3369:
3359:
3346:
3333:
3317:
3308:
3280:
3267:
3254:
3245:
3125:
3115:
3093:
3080:
3071:
3033:
3004:
2994:
2972:
2959:
2950:
2920:
2904:
2898:
2884:
2878:
2847:
2835:
2830:
2817:
2812:
2791:
2786:
2770:
2765:
2758:
2749:
2743:
2709:
2703:
2691:
2686:
2673:
2668:
2653:
2643:
2633:
2624:
2618:
2586:
2568:
2562:
2527:
2511:
2495:
2485:
2476:
2442:
2437:
2424:
2419:
2398:
2393:
2377:
2372:
2365:
2353:
2343:
2333:
2323:
2302:
2292:
2276:
2266:
2259:
2246:
2229:
2224:
2211:
2206:
2191:
2181:
2171:
2159:
2149:
2139:
2129:
2108:
2098:
2085:
2075:
2068:
2055:
2047:
2045:
2016:
2003:
1984:
1971:
1959:
1924:
1918:
1894:
1881:
1872:
1828:
1818:
1808:
1798:
1777:
1767:
1751:
1741:
1734:
1725:
1719:
1683:
1673:
1663:
1653:
1632:
1622:
1609:
1599:
1592:
1583:
1577:
1545:
1524:
1518:
1493:
1475:
1469:
1445:
1435:
1413:
1400:
1391:
1349:
1348:
1346:
1319:
1318:
1316:
1282:
1269:
1257:
1233:
1220:
1211:
1179:
1169:
1159:
1149:
1128:
1118:
1102:
1092:
1085:
1073:
1063:
1053:
1043:
1022:
1012:
999:
989:
982:
965:
952:
933:
920:
911:
875:
869:
845:
832:
813:
800:
791:
766:
756:
734:
721:
712:
679:
673:
646:
633:
624:
600:
587:
578:
555:
554:
552:
490:
456:
455:
453:
427:
403:
393:
371:
358:
330:
324:
294:
293:
291:
255:
249:
181:
171:
149:
136:
127:
106:Learn how and when to remove this message
4087:
4201:
3573:Projective twisted Edwards coordinates
1558:{\displaystyle P_{2}=(1,-{\sqrt {2}})}
4159:Daniel J. Bernstein and Tanja Lange,
3931:Doubling on projective twisted curves
3764:Addition in projective twisted curves
2599:{\displaystyle P_{1}=(1,{\sqrt {2}})}
1506:{\displaystyle P_{1}=(1,{\sqrt {2}})}
316:plane curve defined by the equation:
7:
3301:inverted twisted Edwards coordinates
3236:Inverted twisted Edwards coordinates
3214:extended twisted Edwards coordinates
122:A twisted Edwards curve of equation
44:adding citations to reliable sources
3292:{\displaystyle (X_{1}:Y_{1}:Z_{1})}
3157:satisfying the following equations
228:. Elliptic curves are important in
4193:"Twisted Edwards Curves revisited"
3447:{\textstyle X_{1}Y_{1}Z_{1}\neq 0}
1860:Doubling on twisted Edwards curves
543:Addition on twisted Edwards curves
448:are distinct non-zero elements of
14:
1464:it is possible to add the points
20:
3454:; this point to the affine one
522:Every twisted Edwards curve is
31:needs additional citations for
3613:
3584:
3517:
3461:
3339:
3310:
3286:
3247:
3196:The coordinates of the point (
3053:
3035:
2593:
2577:
2022:
1996:
1990:
1964:
1900:
1874:
1552:
1533:
1500:
1484:
1294:{\displaystyle (-x_{1},y_{1})}
1288:
1259:
1239:
1213:
971:
945:
939:
913:
851:
825:
819:
793:
652:
626:
606:
580:
1:
3240:The coordinates of the point
1906:{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
1245:{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
658:{\displaystyle (x_{2},y_{2})}
612:{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
4112:10.1007/978-3-540-68164-9_26
4102:. In Vaudenay, Serge (ed.).
1356:{\displaystyle \mathbb {K} }
1326:{\displaystyle \mathbb {K} }
562:{\displaystyle \mathbb {K} }
463:{\displaystyle \mathbb {K} }
301:{\displaystyle \mathbb {K} }
4270:Elliptic curve cryptography
3682: ≠ 0 the point (X
4291:
3832:are one multiplication by
4197:Cryptology ePrint Archive
3562:{\displaystyle E_{E,a,d}}
1945:{\displaystyle E_{E,a,d}}
896:{\displaystyle E_{E,a,d}}
700:{\displaystyle E_{E,a,d}}
276:{\displaystyle E_{E,a,d}}
4250:http://ed25519.cr.yp.to/
4222:ECM using Edwards curves
4137:"Twisted Edwards Curves"
4100:"Twisted Edwards Curves"
786:The sum of these points
526:to an elliptic curve in
244:A twisted Edwards curve
4248:The Ed25519 algorithm:
3987:is a multiplication by
3059:{\displaystyle (x,y,z)}
524:birationally equivalent
230:public key cryptography
55:"Twisted Edwards curve"
4179:Twisted Edwards Curves
3669:
3563:
3524:
3448:
3395:
3293:
3135:
3060:
3014:
2939:
2864:
2729:
2600:
2543:
2462:
2029:
1946:
1907:
1850:
1705:
1569:that has coordinates:
1559:
1507:
1455:
1357:
1327:
1295:
1246:
1197:
897:
858:
776:
701:
659:
613:
573:different from 2. Let
563:
505:
464:
442:
413:
302:
277:
212:, a generalisation of
206:twisted Edwards curves
197:
191:
3828:dditions, where the 2
3670:
3564:
3525:
3449:
3396:
3294:
3136:
3061:
3015:
2945:belongs to the curve
2940:
2865:
2730:
2601:
2544:
2463:
2030:
1947:
1908:
1851:
1706:
1560:
1508:
1456:
1363:, these formulas are
1358:
1328:
1296:
1247:
1198:
898:
859:
777:
702:
660:
614:
564:
506:
465:
443:
414:
303:
278:
192:
121:
3581:
3534:
3458:
3405:
3307:
3244:
3070:
3032:
3024:Extended coordinates
2949:
2877:
2742:
2617:
2561:
2475:
2044:
1958:
1917:
1871:
1718:
1576:
1517:
1468:
1390:
1345:
1315:
1256:
1210:
910:
868:
790:
711:
672:
623:
577:
551:
489:
452:
426:
323:
290:
248:
208:are plane models of
126:
40:improve this article
2840:
2822:
2796:
2775:
2696:
2678:
2553:Example of doubling
2447:
2429:
2403:
2382:
2234:
2216:
1371:Example of addition
504:{\displaystyle a=1}
485:. The special case
477:Edwards curve is a
441:{\displaystyle a,d}
3971:ultiplications + 4
3919:= A · G · (D − aC)
3816:ultiplications + 1
3665:
3559:
3520:
3444:
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