1087:
284:
1082:{\displaystyle {\begin{pmatrix}f^{00}&&f^{01}&&f^{02}&&f^{03}\\f^{10}&&f^{11}&&f^{12}&&f^{13}\\f^{20}&&f^{21}&&f^{22}&&f^{23}\\f^{30}&&f^{31}&&f^{32}&&f^{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{0}\\u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f^{00}u_{0}+f^{01}u_{1}+f^{02}u_{2}+f^{03}u_{3}\\f^{10}u_{0}+f^{11}u_{1}+f^{12}u_{2}+f^{13}u_{3}\\f^{20}u_{0}+f^{21}u_{1}+f^{22}u_{2}+f^{23}u_{3}\\f^{30}u_{0}+f^{31}u_{1}+f^{32}u_{2}+f^{33}u_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v^{0}\\v^{1}\\v^{2}\\v^{3}\end{pmatrix}}\iff f^{\alpha \beta }u_{\beta }=v^{\alpha }}
1394:
1093:
1796:
1389:{\displaystyle {\begin{pmatrix}u_{0}&&u_{1}&&u_{2}&&u_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f^{00}&&f^{01}&&f^{02}&&f^{03}\\f^{10}&&f^{11}&&f^{12}&&f^{13}\\f^{20}&&f^{21}&&f^{22}&&f^{23}\\f^{30}&&f^{31}&&f^{32}&&f^{33}\end{pmatrix}}}
1400:
1949:
274:
If one assumes that vectors may only be represented as column matrices and covectors as row matrices; then, since a square matrix operating on a column vector must yield a column vector, it follows that square matrices can only represent mixed tensors. However, there is nothing in the
1791:{\displaystyle ={\begin{pmatrix}u_{0}f^{00}+u_{1}f^{10}+u_{2}f^{20}+u_{3}f^{30}&&u_{0}f^{01}+u_{1}f^{11}+u_{2}f^{21}+u_{3}f^{31}&&u_{0}f^{02}+u_{1}f^{12}+u_{2}f^{22}+u_{3}f^{32}&&u_{0}f^{03}+u_{1}f^{13}+u_{2}f^{23}+u_{3}f^{33}\end{pmatrix}}}
1802:
173:
246:
although a problem might be which of the upper indices of the bivector to contract with. (This problem does not arise with mixed tensors because only one of such tensor's indices is upper.) However, if the bivector is
88:
is a two-vector. Then, any two-form can be expressed as a linear combination of tensor products of pairs of vectors, especially a linear combination of tensor products of pairs of basis vectors. If
2002:
240:
2055:
2261:
2194:
67:
2095:
279:
definition of a matrix that says that such assumptions must be made. Then dropping that assumption matrices can be used to represent bivectors as well as two-forms. Example:
1944:{\displaystyle ={\begin{pmatrix}w^{0}&&w^{1}&&w^{2}&&w^{3}\end{pmatrix}}\iff u_{\alpha }f^{\alpha \beta }=f^{\alpha \beta }u_{\alpha }=w^{\beta }}
98:
183:
2148:
2215:
1954:
192:
2014:
186:. This is always the case for two-vectors, by definition. A bivector may operate on a one-form, yielding a vector:
77:, meaning that it is a linear functional which maps two-forms to the real numbers (or more generally, to scalars).
2225:
2158:
31:
255:
2060:
85:
168:{\displaystyle \mathbf {f} =f^{\alpha \beta }\,{\vec {e}}_{\alpha }\otimes {\vec {e}}_{\beta }}
2211:
2144:
2287:
2109:
276:
248:
81:
182:
are the components of the two-vector. Notice that both indices of the components are
2281:
263:
2222:
Note: This book does not appear to mention "two-vectors" or "bivectors", only
70:
2155:
Note: This book mentions "bivectors" (but not "two-vectors") in the sense of
2117:(but note that the stress–energy tensor is symmetric, not skew-symmetric)
2114:
74:
2141:
The road to reality : a complete guide to the laws of the universe
2120:
25:
251:
then the choice of index to contract with is indifferent.
2210:. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 77.
1997:{\displaystyle f^{\beta \alpha }u_{\beta }=w^{\alpha }}
235:{\displaystyle f^{\alpha \beta }u_{\beta }=v^{\alpha }}
2229:
2162:
1814:
1412:
1167:
1102:
975:
588:
517:
293:
35:
2228:
2161:
2063:
2017:
1957:
1805:
1403:
1096:
287:
195:
101:
34:
2050:{\displaystyle f^{\alpha \beta }=f^{\beta \alpha }}
2255:
2188:
2089:
2049:
1996:
1943:
1790:
1388:
1081:
234:
167:
61:
2143:. New York: Random House, Inc. pp. 443–444.
2246:
2233:
2179:
2166:
52:
39:
8:
2256:{\displaystyle \scriptstyle {\binom {2}{0}}}
2189:{\displaystyle \scriptstyle {\binom {2}{0}}}
62:{\displaystyle \scriptstyle {\binom {2}{0}}}
1878:
1874:
1042:
1038:
2245:
2232:
2230:
2227:
2178:
2165:
2163:
2160:
2081:
2068:
2062:
2038:
2022:
2016:
1988:
1975:
1962:
1956:
1935:
1922:
1909:
1893:
1883:
1860:
1847:
1834:
1821:
1809:
1804:
1774:
1764:
1751:
1741:
1728:
1718:
1705:
1695:
1682:
1672:
1659:
1649:
1636:
1626:
1613:
1603:
1590:
1580:
1567:
1557:
1544:
1534:
1521:
1511:
1498:
1488:
1475:
1465:
1452:
1442:
1429:
1419:
1407:
1402:
1372:
1359:
1346:
1333:
1319:
1306:
1293:
1280:
1266:
1253:
1240:
1227:
1213:
1200:
1187:
1174:
1162:
1148:
1135:
1122:
1109:
1097:
1095:
1073:
1060:
1047:
1024:
1010:
996:
982:
970:
953:
943:
930:
920:
907:
897:
884:
874:
860:
850:
837:
827:
814:
804:
791:
781:
767:
757:
744:
734:
721:
711:
698:
688:
674:
664:
651:
641:
628:
618:
605:
595:
583:
566:
552:
538:
524:
512:
498:
485:
472:
459:
445:
432:
419:
406:
392:
379:
366:
353:
339:
326:
313:
300:
288:
286:
226:
213:
200:
194:
159:
148:
147:
137:
126:
125:
123:
114:
102:
100:
51:
38:
36:
33:
2131:
2090:{\displaystyle v^{\alpha }=w^{\alpha }}
7:
2208:A first course in general relativity
2237:
2170:
43:
14:
254:An example of a bivector is the
103:
2115:Bivector § Tensors and matrices
1875:
1039:
153:
131:
1:
2304:
2272:Penrose, op. cit., §18.3
2206:Schutz, Bernard (1985).
2139:Penrose, Roger (2004).
2257:
2190:
2091:
2051:
1998:
1945:
1792:
1390:
1083:
236:
169:
92:is a two-vector, then
63:
2258:
2191:
2092:
2052:
1999:
1946:
1793:
1391:
1084:
260:orthogonal complement
258:. Another one is the
237:
170:
64:
2226:
2159:
2061:
2015:
2011:is symmetric, i.e.,
1955:
1803:
1401:
1094:
285:
256:stress–energy tensor
193:
99:
32:
2253:
2252:
2186:
2185:
2087:
2047:
1994:
1941:
1868:
1788:
1782:
1386:
1380:
1156:
1079:
1032:
961:
574:
506:
277:abstract algebraic
232:
165:
59:
58:
2244:
2177:
2150:978-0-679-77631-4
156:
134:
50:
2295:
2273:
2270:
2264:
2262:
2260:
2259:
2254:
2251:
2250:
2249:
2236:
2221:
2203:
2197:
2195:
2193:
2192:
2187:
2184:
2183:
2182:
2169:
2154:
2136:
2110:Two-point tensor
2096:
2094:
2093:
2088:
2086:
2085:
2073:
2072:
2056:
2054:
2053:
2048:
2046:
2045:
2030:
2029:
2003:
2001:
2000:
1995:
1993:
1992:
1980:
1979:
1970:
1969:
1950:
1948:
1947:
1942:
1940:
1939:
1927:
1926:
1917:
1916:
1901:
1900:
1888:
1887:
1873:
1872:
1865:
1864:
1854:
1852:
1851:
1841:
1839:
1838:
1828:
1826:
1825:
1797:
1795:
1794:
1789:
1787:
1786:
1779:
1778:
1769:
1768:
1756:
1755:
1746:
1745:
1733:
1732:
1723:
1722:
1710:
1709:
1700:
1699:
1689:
1687:
1686:
1677:
1676:
1664:
1663:
1654:
1653:
1641:
1640:
1631:
1630:
1618:
1617:
1608:
1607:
1597:
1595:
1594:
1585:
1584:
1572:
1571:
1562:
1561:
1549:
1548:
1539:
1538:
1526:
1525:
1516:
1515:
1505:
1503:
1502:
1493:
1492:
1480:
1479:
1470:
1469:
1457:
1456:
1447:
1446:
1434:
1433:
1424:
1423:
1395:
1393:
1392:
1387:
1385:
1384:
1377:
1376:
1366:
1364:
1363:
1353:
1351:
1350:
1340:
1338:
1337:
1324:
1323:
1313:
1311:
1310:
1300:
1298:
1297:
1287:
1285:
1284:
1271:
1270:
1260:
1258:
1257:
1247:
1245:
1244:
1234:
1232:
1231:
1218:
1217:
1207:
1205:
1204:
1194:
1192:
1191:
1181:
1179:
1178:
1161:
1160:
1153:
1152:
1142:
1140:
1139:
1129:
1127:
1126:
1116:
1114:
1113:
1088:
1086:
1085:
1080:
1078:
1077:
1065:
1064:
1055:
1054:
1037:
1036:
1029:
1028:
1015:
1014:
1001:
1000:
987:
986:
966:
965:
958:
957:
948:
947:
935:
934:
925:
924:
912:
911:
902:
901:
889:
888:
879:
878:
865:
864:
855:
854:
842:
841:
832:
831:
819:
818:
809:
808:
796:
795:
786:
785:
772:
771:
762:
761:
749:
748:
739:
738:
726:
725:
716:
715:
703:
702:
693:
692:
679:
678:
669:
668:
656:
655:
646:
645:
633:
632:
623:
622:
610:
609:
600:
599:
579:
578:
571:
570:
557:
556:
543:
542:
529:
528:
511:
510:
503:
502:
492:
490:
489:
479:
477:
476:
466:
464:
463:
450:
449:
439:
437:
436:
426:
424:
423:
413:
411:
410:
397:
396:
386:
384:
383:
373:
371:
370:
360:
358:
357:
344:
343:
333:
331:
330:
320:
318:
317:
307:
305:
304:
241:
239:
238:
233:
231:
230:
218:
217:
208:
207:
174:
172:
171:
166:
164:
163:
158:
157:
149:
142:
141:
136:
135:
127:
122:
121:
106:
68:
66:
65:
60:
57:
56:
55:
42:
2303:
2302:
2298:
2297:
2296:
2294:
2293:
2292:
2278:
2277:
2276:
2271:
2267:
2231:
2224:
2223:
2218:
2205:
2204:
2200:
2164:
2157:
2156:
2151:
2138:
2137:
2133:
2129:
2106:
2100:
2077:
2064:
2059:
2058:
2034:
2018:
2013:
2012:
1984:
1971:
1958:
1953:
1952:
1931:
1918:
1905:
1889:
1879:
1867:
1866:
1856:
1853:
1843:
1840:
1830:
1827:
1817:
1810:
1801:
1800:
1781:
1780:
1770:
1760:
1747:
1737:
1724:
1714:
1701:
1691:
1688:
1678:
1668:
1655:
1645:
1632:
1622:
1609:
1599:
1596:
1586:
1576:
1563:
1553:
1540:
1530:
1517:
1507:
1504:
1494:
1484:
1471:
1461:
1448:
1438:
1425:
1415:
1408:
1399:
1398:
1379:
1378:
1368:
1365:
1355:
1352:
1342:
1339:
1329:
1326:
1325:
1315:
1312:
1302:
1299:
1289:
1286:
1276:
1273:
1272:
1262:
1259:
1249:
1246:
1236:
1233:
1223:
1220:
1219:
1209:
1206:
1196:
1193:
1183:
1180:
1170:
1163:
1155:
1154:
1144:
1141:
1131:
1128:
1118:
1115:
1105:
1098:
1092:
1091:
1069:
1056:
1043:
1031:
1030:
1020:
1017:
1016:
1006:
1003:
1002:
992:
989:
988:
978:
971:
960:
959:
949:
939:
926:
916:
903:
893:
880:
870:
867:
866:
856:
846:
833:
823:
810:
800:
787:
777:
774:
773:
763:
753:
740:
730:
717:
707:
694:
684:
681:
680:
670:
660:
647:
637:
624:
614:
601:
591:
584:
573:
572:
562:
559:
558:
548:
545:
544:
534:
531:
530:
520:
513:
505:
504:
494:
491:
481:
478:
468:
465:
455:
452:
451:
441:
438:
428:
425:
415:
412:
402:
399:
398:
388:
385:
375:
372:
362:
359:
349:
346:
345:
335:
332:
322:
319:
309:
306:
296:
289:
283:
282:
272:
270:Matrix notation
222:
209:
196:
191:
190:
146:
124:
110:
97:
96:
37:
30:
29:
12:
11:
5:
2301:
2299:
2291:
2290:
2280:
2279:
2275:
2274:
2265:
2248:
2243:
2240:
2235:
2216:
2198:
2181:
2176:
2173:
2168:
2149:
2130:
2128:
2125:
2124:
2123:
2118:
2112:
2105:
2102:
2084:
2080:
2076:
2071:
2067:
2044:
2041:
2037:
2033:
2028:
2025:
2021:
1991:
1987:
1983:
1978:
1974:
1968:
1965:
1961:
1938:
1934:
1930:
1925:
1921:
1915:
1912:
1908:
1904:
1899:
1896:
1892:
1886:
1882:
1877:
1871:
1863:
1859:
1855:
1850:
1846:
1842:
1837:
1833:
1829:
1824:
1820:
1816:
1815:
1813:
1808:
1785:
1777:
1773:
1767:
1763:
1759:
1754:
1750:
1744:
1740:
1736:
1731:
1727:
1721:
1717:
1713:
1708:
1704:
1698:
1694:
1690:
1685:
1681:
1675:
1671:
1667:
1662:
1658:
1652:
1648:
1644:
1639:
1635:
1629:
1625:
1621:
1616:
1612:
1606:
1602:
1598:
1593:
1589:
1583:
1579:
1575:
1570:
1566:
1560:
1556:
1552:
1547:
1543:
1537:
1533:
1529:
1524:
1520:
1514:
1510:
1506:
1501:
1497:
1491:
1487:
1483:
1478:
1474:
1468:
1464:
1460:
1455:
1451:
1445:
1441:
1437:
1432:
1428:
1422:
1418:
1414:
1413:
1411:
1406:
1383:
1375:
1371:
1367:
1362:
1358:
1354:
1349:
1345:
1341:
1336:
1332:
1328:
1327:
1322:
1318:
1314:
1309:
1305:
1301:
1296:
1292:
1288:
1283:
1279:
1275:
1274:
1269:
1265:
1261:
1256:
1252:
1248:
1243:
1239:
1235:
1230:
1226:
1222:
1221:
1216:
1212:
1208:
1203:
1199:
1195:
1190:
1186:
1182:
1177:
1173:
1169:
1168:
1166:
1159:
1151:
1147:
1143:
1138:
1134:
1130:
1125:
1121:
1117:
1112:
1108:
1104:
1103:
1101:
1076:
1072:
1068:
1063:
1059:
1053:
1050:
1046:
1041:
1035:
1027:
1023:
1019:
1018:
1013:
1009:
1005:
1004:
999:
995:
991:
990:
985:
981:
977:
976:
974:
969:
964:
956:
952:
946:
942:
938:
933:
929:
923:
919:
915:
910:
906:
900:
896:
892:
887:
883:
877:
873:
869:
868:
863:
859:
853:
849:
845:
840:
836:
830:
826:
822:
817:
813:
807:
803:
799:
794:
790:
784:
780:
776:
775:
770:
766:
760:
756:
752:
747:
743:
737:
733:
729:
724:
720:
714:
710:
706:
701:
697:
691:
687:
683:
682:
677:
673:
667:
663:
659:
654:
650:
644:
640:
636:
631:
627:
621:
617:
613:
608:
604:
598:
594:
590:
589:
587:
582:
577:
569:
565:
561:
560:
555:
551:
547:
546:
541:
537:
533:
532:
527:
523:
519:
518:
516:
509:
501:
497:
493:
488:
484:
480:
475:
471:
467:
462:
458:
454:
453:
448:
444:
440:
435:
431:
427:
422:
418:
414:
409:
405:
401:
400:
395:
391:
387:
382:
378:
374:
369:
365:
361:
356:
352:
348:
347:
342:
338:
334:
329:
325:
321:
316:
312:
308:
303:
299:
295:
294:
292:
271:
268:
244:
243:
229:
225:
221:
216:
212:
206:
203:
199:
176:
175:
162:
155:
152:
145:
140:
133:
130:
120:
117:
113:
109:
105:
82:tensor product
69:and it is the
54:
49:
46:
41:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
2300:
2289:
2286:
2285:
2283:
2269:
2266:
2241:
2238:
2219:
2217:0-521-27703-5
2213:
2209:
2202:
2199:
2174:
2171:
2152:
2146:
2142:
2135:
2132:
2126:
2122:
2119:
2116:
2113:
2111:
2108:
2107:
2103:
2101:
2098:
2082:
2078:
2074:
2069:
2065:
2042:
2039:
2035:
2031:
2026:
2023:
2019:
2010:
2005:
1989:
1985:
1981:
1976:
1972:
1966:
1963:
1959:
1936:
1932:
1928:
1923:
1919:
1913:
1910:
1906:
1902:
1897:
1894:
1890:
1884:
1880:
1869:
1861:
1857:
1848:
1844:
1835:
1831:
1822:
1818:
1811:
1806:
1798:
1783:
1775:
1771:
1765:
1761:
1757:
1752:
1748:
1742:
1738:
1734:
1729:
1725:
1719:
1715:
1711:
1706:
1702:
1696:
1692:
1683:
1679:
1673:
1669:
1665:
1660:
1656:
1650:
1646:
1642:
1637:
1633:
1627:
1623:
1619:
1614:
1610:
1604:
1600:
1591:
1587:
1581:
1577:
1573:
1568:
1564:
1558:
1554:
1550:
1545:
1541:
1535:
1531:
1527:
1522:
1518:
1512:
1508:
1499:
1495:
1489:
1485:
1481:
1476:
1472:
1466:
1462:
1458:
1453:
1449:
1443:
1439:
1435:
1430:
1426:
1420:
1416:
1409:
1404:
1396:
1381:
1373:
1369:
1360:
1356:
1347:
1343:
1334:
1330:
1320:
1316:
1307:
1303:
1294:
1290:
1281:
1277:
1267:
1263:
1254:
1250:
1241:
1237:
1228:
1224:
1214:
1210:
1201:
1197:
1188:
1184:
1175:
1171:
1164:
1157:
1149:
1145:
1136:
1132:
1123:
1119:
1110:
1106:
1099:
1089:
1074:
1070:
1066:
1061:
1057:
1051:
1048:
1044:
1033:
1025:
1021:
1011:
1007:
997:
993:
983:
979:
972:
967:
962:
954:
950:
944:
940:
936:
931:
927:
921:
917:
913:
908:
904:
898:
894:
890:
885:
881:
875:
871:
861:
857:
851:
847:
843:
838:
834:
828:
824:
820:
815:
811:
805:
801:
797:
792:
788:
782:
778:
768:
764:
758:
754:
750:
745:
741:
735:
731:
727:
722:
718:
712:
708:
704:
699:
695:
689:
685:
675:
671:
665:
661:
657:
652:
648:
642:
638:
634:
629:
625:
619:
615:
611:
606:
602:
596:
592:
585:
580:
575:
567:
563:
553:
549:
539:
535:
525:
521:
514:
507:
499:
495:
486:
482:
473:
469:
460:
456:
446:
442:
433:
429:
420:
416:
407:
403:
393:
389:
380:
376:
367:
363:
354:
350:
340:
336:
327:
323:
314:
310:
301:
297:
290:
280:
278:
269:
267:
265:
264:metric tensor
261:
257:
252:
250:
227:
223:
219:
214:
210:
204:
201:
197:
189:
188:
187:
185:
184:contravariant
181:
160:
150:
143:
138:
128:
118:
115:
111:
107:
95:
94:
93:
91:
87:
84:of a pair of
83:
78:
76:
72:
47:
44:
27:
23:
19:
2268:
2207:
2201:
2140:
2134:
2099:
2008:
2006:
1799:
1397:
1090:
281:
273:
259:
253:
245:
179:
177:
89:
79:
21:
17:
15:
2127:References
178:where the
18:two-vector
2263:tensors.
2083:α
2070:α
2043:α
2040:β
2027:β
2024:α
1990:α
1977:β
1967:α
1964:β
1937:β
1924:α
1914:β
1911:α
1898:β
1895:α
1885:α
1876:⟺
1075:α
1062:β
1052:β
1049:α
1040:⟺
249:symmetric
228:α
215:β
205:β
202:α
161:β
154:→
144:⊗
139:α
132:→
119:β
116:α
2282:Category
2196:tensors.
2104:See also
75:two-form
28:of type
22:bivector
2288:Tensors
2121:Dyadics
2057:, then
262:of the
86:vectors
2214:
2147:
26:tensor
73:of a
24:is a
2212:ISBN
2145:ISBN
80:The
71:dual
2007:If
1951:or
20:or
2284::
2097:.
2004:.
1776:33
1753:23
1730:13
1707:03
1684:32
1661:22
1638:12
1615:02
1592:31
1569:21
1546:11
1523:01
1500:30
1477:20
1454:10
1431:00
1374:33
1361:32
1348:31
1335:30
1321:23
1308:22
1295:21
1282:20
1268:13
1255:12
1242:11
1229:10
1215:03
1202:02
1189:01
1176:00
945:33
922:32
899:31
876:30
852:23
829:22
806:21
783:20
759:13
736:12
713:11
690:10
666:03
643:02
620:01
597:00
500:33
487:32
474:31
461:30
447:23
434:22
421:21
408:20
394:13
381:12
368:11
355:10
341:03
328:02
315:01
302:00
266:.
180:f
16:A
2247:)
2242:0
2239:2
2234:(
2220:.
2180:)
2175:0
2172:2
2167:(
2153:.
2079:w
2075:=
2066:v
2036:f
2032:=
2020:f
2009:f
1986:w
1982:=
1973:u
1960:f
1933:w
1929:=
1920:u
1907:f
1903:=
1891:f
1881:u
1870:)
1862:3
1858:w
1849:2
1845:w
1836:1
1832:w
1823:0
1819:w
1812:(
1807:=
1784:)
1772:f
1766:3
1762:u
1758:+
1749:f
1743:2
1739:u
1735:+
1726:f
1720:1
1716:u
1712:+
1703:f
1697:0
1693:u
1680:f
1674:3
1670:u
1666:+
1657:f
1651:2
1647:u
1643:+
1634:f
1628:1
1624:u
1620:+
1611:f
1605:0
1601:u
1588:f
1582:3
1578:u
1574:+
1565:f
1559:2
1555:u
1551:+
1542:f
1536:1
1532:u
1528:+
1519:f
1513:0
1509:u
1496:f
1490:3
1486:u
1482:+
1473:f
1467:2
1463:u
1459:+
1450:f
1444:1
1440:u
1436:+
1427:f
1421:0
1417:u
1410:(
1405:=
1382:)
1370:f
1357:f
1344:f
1331:f
1317:f
1304:f
1291:f
1278:f
1264:f
1251:f
1238:f
1225:f
1211:f
1198:f
1185:f
1172:f
1165:(
1158:)
1150:3
1146:u
1137:2
1133:u
1124:1
1120:u
1111:0
1107:u
1100:(
1071:v
1067:=
1058:u
1045:f
1034:)
1026:3
1022:v
1012:2
1008:v
998:1
994:v
984:0
980:v
973:(
968:=
963:)
955:3
951:u
941:f
937:+
932:2
928:u
918:f
914:+
909:1
905:u
895:f
891:+
886:0
882:u
872:f
862:3
858:u
848:f
844:+
839:2
835:u
825:f
821:+
816:1
812:u
802:f
798:+
793:0
789:u
779:f
769:3
765:u
755:f
751:+
746:2
742:u
732:f
728:+
723:1
719:u
709:f
705:+
700:0
696:u
686:f
676:3
672:u
662:f
658:+
653:2
649:u
639:f
635:+
630:1
626:u
616:f
612:+
607:0
603:u
593:f
586:(
581:=
576:)
568:3
564:u
554:2
550:u
540:1
536:u
526:0
522:u
515:(
508:)
496:f
483:f
470:f
457:f
443:f
430:f
417:f
404:f
390:f
377:f
364:f
351:f
337:f
324:f
311:f
298:f
291:(
242:,
224:v
220:=
211:u
198:f
151:e
129:e
112:f
108:=
104:f
90:f
53:)
48:0
45:2
40:(
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.