3058:
3305:
3325:
3315:
2085:
1744:
758:
1904:
301:
188:
2358:
1893:
588:
1126:
1050:
1442:
1316:
506:
1602:
1543:
2434:
436:
396:
2219:
1182:
964:
646:
2080:{\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Z).}
2153:
1236:
92:
193:
This is made more precise below. The order of terms in the phrase "tensor-hom adjunction" reflects their relationship: tensor is the left adjoint, while hom is the right adjoint.
223:
104:
2250:
1594:
2573:
2509:
1777:
51:
2547:
2483:
2108:
901:
869:
817:
336:
1785:
2242:
1570:
1465:
1359:
1339:
837:
785:
635:
611:
356:
514:
1061:
2702:
978:
1367:
1739:{\displaystyle \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y}):Y\otimes _{R}X\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)\otimes _{R}X\to Y\otimes _{R}X}
1244:
444:
1473:
2369:
401:
361:
2672:
2645:
2163:
1134:
2695:
753:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(Y\otimes _{R}X,Z)\cong \operatorname {Hom} _{R}(Y,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)).}
925:
3354:
2899:
2854:
2575:
fails to commute with limits; this failure occurs even among finite limits or colimits. This failure to preserve short
3328:
3268:
2601:
3318:
3104:
2968:
2876:
2113:
1197:
3349:
3277:
2921:
2859:
2782:
25:
3308:
3264:
2869:
2688:
59:
2864:
2846:
296:{\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mod} _{S}\quad {\text{and}}\quad {\mathcal {D}}=\mathrm {Mod} _{R}.}
3071:
2837:
2817:
2740:
1188:
970:
916:
183:{\displaystyle \operatorname {Hom} (Y\otimes X,Z)\cong \operatorname {Hom} (Y,\operatorname {Hom} (X,Z)).}
2953:
2792:
2353:{\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )(x)=\varepsilon _{Z}(\phi \otimes x)=\phi (x)}
2765:
2760:
214:
1575:
3109:
3057:
2987:
2983:
2787:
2511:
functor commutes with arbitrary colimits that exist in their domain category. However, in general,
638:
2963:
2958:
2940:
2822:
2797:
210:
2552:
2488:
1756:
30:
2514:
2450:
3272:
3209:
3197:
3099:
3024:
3019:
2977:
2973:
2755:
2750:
2668:
2641:
3233:
3119:
3094:
3029:
3014:
3009:
2948:
2777:
2745:
2660:
614:
2093:
1888:{\displaystyle \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})(y\otimes x)=\eta _{Y}(y)(x)=y\otimes x.}
874:
842:
790:
309:
3145:
2711:
2616:
3182:
915:
Like all adjunctions, the tensor-hom adjunction can be described by its counit and unit
583:{\displaystyle G(Z)=\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{for }}Z\in {\mathcal {C}}}
3177:
3161:
3124:
3114:
3034:
2576:
2227:
1555:
1450:
1344:
1324:
822:
770:
620:
596:
341:
3343:
3172:
3004:
2881:
2807:
1750:
1121:{\displaystyle \phi \in \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{and}}\quad x\in X,}
764:
2926:
2827:
1549:
95:
3187:
903:-bimodules. This is one of the motivating examples of the structure in a closed
3167:
3039:
2909:
2611:
2606:
2584:
2580:
2445:
1045:{\displaystyle \varepsilon _{Z}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X\to Z}
54:
17:
3219:
3157:
2770:
904:
3213:
2904:
1437:{\displaystyle \eta _{Y}(y)\in \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}
3282:
2914:
2812:
2596:
1311:{\displaystyle \eta _{Y}:Y\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}
501:{\displaystyle F(Y)=Y\otimes _{R}X\quad {\text{for }}Y\in {\mathcal {D}}}
3252:
3242:
2891:
2802:
3247:
1538:{\displaystyle \eta _{Y}(y)(t)=y\otimes t\quad {\text{for }}t\in X.}
3129:
2680:
2429:{\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )=\phi .}
431:{\displaystyle G\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}
391:{\displaystyle F\colon {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}
3069:
2722:
2684:
1581:
1213:
950:
919:. Using the notation from the previous section, the counit
575:
493:
423:
413:
383:
373:
264:
229:
217:
categories (an analogous statement holds for left modules):
2214:{\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )}
2485:
commutes with arbitrary limits, while the tensor product
1177:{\displaystyle \varepsilon (\phi \otimes x)=\phi (x).}
2555:
2517:
2491:
2453:
2372:
2253:
2230:
2166:
2116:
2096:
1907:
1788:
1759:
1605:
1578:
1558:
1476:
1453:
1370:
1347:
1327:
1247:
1200:
1137:
1064:
981:
928:
877:
845:
825:
793:
773:
649:
623:
599:
517:
447:
404:
364:
344:
312:
226:
107:
62:
33:
3232:
3196:
3144:
3137:
3088:
2997:
2939:
2890:
2845:
2836:
2733:
959:{\displaystyle \varepsilon :FG\to 1_{\mathcal {C}}}
2567:
2541:
2503:
2477:
2428:
2352:
2236:
2213:
2147:
2102:
2079:
1887:
1771:
1738:
1588:
1564:
1537:
1459:
1436:
1353:
1333:
1310:
1230:
1176:
1120:
1044:
958:
895:
863:
831:
811:
779:
752:
629:
605:
582:
500:
430:
390:
350:
330:
295:
182:
86:
45:
2696:
2148:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)}
8:
1231:{\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to GF}
3324:
3314:
3141:
3085:
3066:
2842:
2730:
2719:
2703:
2689:
2681:
871:-bimodule, then this is an isomorphism of
2554:
2516:
2490:
2452:
2399:
2383:
2371:
2314:
2280:
2264:
2252:
2229:
2193:
2177:
2165:
2121:
2115:
2095:
2050:
2031:
2003:
1981:
1950:
1934:
1918:
1906:
1846:
1815:
1793:
1787:
1758:
1727:
1708:
1692:
1667:
1651:
1632:
1610:
1604:
1580:
1579:
1577:
1557:
1518:
1481:
1475:
1452:
1422:
1397:
1375:
1369:
1346:
1326:
1296:
1271:
1252:
1246:
1212:
1211:
1199:
1136:
1100:
1075:
1063:
1027:
999:
986:
980:
949:
948:
927:
876:
844:
824:
792:
772:
720:
698:
673:
654:
648:
622:
598:
574:
573:
562:
537:
516:
492:
491:
480:
470:
446:
422:
421:
412:
411:
403:
382:
381:
372:
371:
363:
343:
311:
284:
273:
263:
262:
256:
249:
238:
228:
227:
225:
106:
87:{\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}
61:
32:
2628:
1552:can now be explicitly verified. For
7:
2549:fails to commute with colimits, and
763:This is actually an isomorphism of
2665:Elements of mathematics, Algebra I
2636:May, J.P.; Sigurdsson, J. (2006).
280:
277:
274:
245:
242:
239:
14:
3323:
3313:
3304:
3303:
3056:
2579:motivates the definition of the
2244:-module homomorphism defined by
1517:
1467:-module homomorphism given by
1105:
1099:
561:
479:
261:
255:
2536:
2524:
2472:
2460:
2414:
2408:
2389:
2376:
2347:
2341:
2332:
2320:
2304:
2298:
2295:
2289:
2270:
2257:
2208:
2202:
2183:
2170:
2142:
2130:
2071:
2059:
2043:
2040:
2024:
2012:
1990:
1974:
1971:
1959:
1924:
1911:
1867:
1861:
1858:
1852:
1836:
1824:
1821:
1808:
1717:
1701:
1676:
1660:
1638:
1625:
1589:{\displaystyle {\mathcal {D}}}
1502:
1496:
1493:
1487:
1431:
1406:
1387:
1381:
1305:
1280:
1264:
1219:
1168:
1162:
1153:
1141:
1096:
1084:
1036:
1020:
1008:
941:
890:
878:
858:
846:
806:
794:
744:
741:
729:
707:
688:
663:
558:
546:
527:
521:
457:
451:
418:
378:
325:
313:
209:are (possibly noncommutative)
174:
171:
159:
144:
132:
114:
81:
69:
1:
2638:Parametrized Homotopy Theory
1321:are defined as follows: For
2998:Constructions on categories
1055:given by evaluation: For
3371:
3105:Higher-dimensional algebra
2568:{\displaystyle -\otimes X}
2504:{\displaystyle -\otimes X}
1772:{\displaystyle Y\otimes X}
46:{\displaystyle -\otimes X}
3299:
3078:
3065:
3054:
2729:
2718:
2542:{\displaystyle \hom(X,-)}
2478:{\displaystyle \hom(X,-)}
1550:counit and unit equations
637:. This means there is a
213:, and consider the right
2440:The Ext and Tor functors
2915:Cokernels and quotients
2838:Universal constructions
917:natural transformations
3072:Higher category theory
2818:Natural transformation
2640:. A.M.S. p. 253.
2602:EckmannāHilton_duality
2569:
2543:
2505:
2479:
2430:
2354:
2238:
2215:
2149:
2104:
2081:
1889:
1773:
1740:
1590:
1566:
1539:
1461:
1438:
1355:
1335:
1312:
1232:
1178:
1122:
1046:
960:
897:
865:
833:
813:
781:
767:. More precisely, if
754:
631:
607:
584:
502:
432:
392:
352:
332:
297:
184:
88:
47:
2570:
2544:
2506:
2480:
2431:
2355:
2239:
2216:
2150:
2105:
2103:{\displaystyle \phi }
2082:
1890:
1774:
1741:
1591:
1567:
1540:
1462:
1439:
1356:
1336:
1313:
1233:
1179:
1123:
1047:
961:
898:
896:{\displaystyle (B,A)}
866:
864:{\displaystyle (B,S)}
834:
814:
812:{\displaystyle (A,R)}
782:
755:
632:
608:
585:
503:
433:
393:
353:
333:
331:{\displaystyle (R,S)}
298:
185:
89:
48:
22:tensor-hom adjunction
2941:Algebraic categories
2553:
2515:
2489:
2451:
2370:
2251:
2228:
2164:
2114:
2094:
1905:
1786:
1757:
1603:
1576:
1556:
1474:
1451:
1368:
1345:
1325:
1245:
1198:
1135:
1062:
979:
926:
875:
843:
823:
791:
771:
647:
621:
597:
515:
445:
402:
362:
358:and define functors
342:
310:
224:
105:
60:
31:
3355:Commutative algebra
3110:Homotopy hypothesis
2788:Commutative diagram
2667:, Springer-Verlag,
639:natural isomorphism
2823:Universal property
2565:
2539:
2501:
2475:
2426:
2350:
2234:
2211:
2145:
2100:
2077:
1885:
1769:
1736:
1586:
1562:
1535:
1457:
1434:
1351:
1331:
1308:
1228:
1174:
1118:
1042:
956:
893:
861:
829:
809:
777:
750:
627:
603:
580:
498:
428:
388:
348:
328:
293:
180:
84:
43:
3337:
3336:
3295:
3294:
3291:
3290:
3273:monoidal category
3228:
3227:
3100:Enriched category
3052:
3051:
3048:
3047:
3025:Quotient category
3020:Opposite category
2935:
2934:
2661:Bourbaki, Nicolas
2237:{\displaystyle S}
1565:{\displaystyle Y}
1521:
1460:{\displaystyle S}
1354:{\displaystyle Y}
1334:{\displaystyle y}
1103:
832:{\displaystyle Z}
780:{\displaystyle Y}
630:{\displaystyle G}
606:{\displaystyle F}
565:
483:
351:{\displaystyle X}
259:
197:General statement
3362:
3350:Adjoint functors
3327:
3326:
3317:
3316:
3307:
3306:
3142:
3120:Simplex category
3095:Categorification
3086:
3067:
3060:
3030:Product category
3015:Kleisli category
3010:Functor category
2855:Terminal objects
2843:
2778:Adjoint functors
2731:
2720:
2705:
2698:
2691:
2682:
2677:
2652:
2651:
2633:
2574:
2572:
2571:
2566:
2548:
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