1322:
2367:
3017:
1960:
2472:
909:
2098:
2622:
1142:
1652:
2777:
241:
2197:
533:
2741:
1503:
1453:
1103:
1063:
1371:
2148:
486:
449:
2885:
2030:
1805:
1760:
768:
1715:
195:
2189:
3107:
3062:
1810:
1403:
3082:
3037:
2848:
2828:
2808:
1998:
638:
2372:
3158:
793:
2035:
2484:
1317:{\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,X)\cong \lbrace (f,g)\in {\text{Hom}}(A,X)\times {\text{Hom}}(B,X)\mid \forall a\in A,b\in B:=0\rbrace ,}
3225:
2890:
95:
1590:
3244:
686:
631:
583:
1113:
3196:
3139:
1673:
3278:
3273:
624:
3183:
988:
341:
2746:
2362:{\displaystyle \mathbb {Z} /(x^{3}+5x^{2}+x-1)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /5\cong \mathbb {Z} /5/(x^{3}+x-1)}
205:
3124:
1666:
777:-module. The tensor product can be given the structure of a ring by defining the product on elements of the form
732:
3129:
1657:
More generally, the fiber product of schemes is defined by gluing together affine fiber products of this form.
1581:
1129:
576:
500:
379:
329:
2631:
1458:
1408:
1069:
1029:
2851:
388:
81:
1338:
980:
545:
396:
347:
128:
2103:
462:
425:
3268:
3119:
1677:
725:
663:
269:
143:
2857:
2003:
1765:
1720:
740:
1332:
710:
682:
551:
359:
310:
255:
149:
135:
63:
31:
1683:
178:
1514:
1133:
564:
122:
50:
1955:{\displaystyle \mathbb {C} /(f)\otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} /(g)\cong \mathbb {C} /(f,g)}
3263:
3240:
3221:
3134:
2153:
605:
402:
167:
108:
667:
611:
597:
411:
353:
316:
116:
89:
75:
17:
1376:
1963:
373:
323:
161:
2467:{\displaystyle \mathbb {Z} /(f)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \cong \mathbb {C} /(f)}
491:
3087:
3042:
3067:
3022:
2833:
2813:
2793:
1983:
659:
417:
3257:
2478:
1518:
1132:. Nevertheless, the tensor product of non-commutative algebras can be described by a
904:{\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}}
558:
454:
69:
3214:
590:
365:
261:
655:
570:
281:
155:
37:
2625:
2194:
Tensor products can be used as a means of changing coefficients. For example,
2093:{\displaystyle {\frac {A}{I}}\otimes _{A}{\frac {A}{J}}\cong {\frac {A}{I+J}}}
1328:
335:
2617:{\displaystyle \mathbb {C} /(f(x))\otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} /(g(y))}
1109:
295:
200:
289:
275:
3012:{\displaystyle (a\otimes b)(a'\otimes b')=(-1)^{|b||a'|}aa'\otimes bb'}
173:
57:
1584:
is the affine scheme corresponding to the tensor product of algebras:
1647:{\displaystyle X\times _{Y}Z=\operatorname {Spec} (A\otimes _{R}B).}
685:, the most common application of such products is to describe the
1513:
The tensor product of commutative algebras is of frequent use in
976:
are commutative, then the tensor product is commutative as well.
933:-algebra, associative and unital with identity element given by
651:
Tensor product of algebras over a field; itself another algebra
3220:, Graduate texts in mathematics, vol. 155, Springer,
1128:-algebras. There the coproduct is given by a more general
3239:. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 21. Springer.
3090:
3070:
3045:
3025:
2893:
2860:
2836:
2816:
2796:
2749:
2634:
2487:
2375:
2200:
2156:
2106:
2038:
2006:
1986:
1813:
1768:
1723:
1686:
1593:
1461:
1411:
1379:
1341:
1145:
1072:
1032:
796:
743:
503:
465:
428:
208:
181:
1672:
The tensor product can be used as a means of taking
3213:
3101:
3076:
3056:
3031:
3011:
2879:
2842:
2822:
2802:
2771:
2735:
2616:
2466:
2361:
2183:
2142:
2092:
2024:
1992:
1954:
1799:
1754:
1709:
1646:
1497:
1447:
1397:
1365:
1316:
1097:
1057:
903:
762:
527:
480:
443:
235:
189:
1373:on the left hand side with the pair of morphisms
2772:{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{4}}
2887:becomes a graded commutative ring by defining
2481:of affine schemes over a field. For example,
632:
8:
2477:Tensor products also can be used for taking
1308:
1175:
236:{\displaystyle 0=\mathbb {Z} /1\mathbb {Z} }
2743:which corresponds to an affine surface in
1962:, which describes the intersection of the
914:and then extending by linearity to all of
639:
625:
26:
3089:
3069:
3044:
3024:
2977:
2964:
2959:
2951:
2950:
2892:
2868:
2859:
2835:
2815:
2795:
2763:
2758:
2757:
2756:
2752:
2751:
2748:
2695:
2686:
2673:
2660:
2647:
2636:
2635:
2633:
2591:
2582:
2569:
2558:
2557:
2551:
2550:
2549:
2522:
2513:
2500:
2489:
2488:
2486:
2450:
2431:
2430:
2423:
2422:
2416:
2415:
2414:
2396:
2377:
2376:
2374:
2338:
2326:
2303:
2299:
2298:
2287:
2283:
2282:
2276:
2275:
2274:
2249:
2233:
2221:
2202:
2201:
2199:
2155:
2105:
2072:
2059:
2053:
2039:
2037:
2005:
1985:
1932:
1913:
1912:
1895:
1876:
1875:
1854:
1853:
1852:
1834:
1815:
1814:
1812:
1789:
1770:
1769:
1767:
1744:
1725:
1724:
1722:
1688:
1687:
1685:
1667:tensor product of modules § Examples
1629:
1601:
1592:
1460:
1410:
1378:
1340:
1219:
1196:
1146:
1144:
1083:
1071:
1049:
1031:
895:
885:
872:
862:
846:
833:
817:
804:
795:
751:
742:
528:{\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}
516:
505:
504:
502:
472:
468:
467:
464:
435:
431:
430:
427:
229:
228:
220:
216:
215:
207:
183:
182:
180:
2736:{\displaystyle \mathbb {C} /(f(x),g(y))}
3150:
1498:{\displaystyle g(b):=\phi (1\otimes b)}
1448:{\displaystyle f(a):=\phi (a\otimes 1)}
1108:These maps make the tensor product the
1098:{\displaystyle b\mapsto 1_{A}\otimes b}
1058:{\displaystyle a\mapsto a\otimes 1_{B}}
29:
1366:{\displaystyle \phi :A\otimes B\to X}
1124:the coproduct in the category of all
999:There are natural homomorphisms from
7:
3170:
2100:, with a unique isomorphism sending
96:Free product of associative algebras
1335:is given by identifying a morphism
2143:{\displaystyle (a+I)\otimes (b+J)}
1242:
1136:similar to that of the coproduct:
687:product of algebra representations
517:
25:
584:Noncommutative algebraic geometry
481:{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
444:{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
1807:, then their tensor product is
2978:
2965:
2960:
2952:
2947:
2937:
2931:
2909:
2906:
2894:
2880:{\displaystyle A\otimes _{R}B}
2730:
2727:
2721:
2712:
2706:
2700:
2692:
2640:
2611:
2608:
2602:
2596:
2588:
2562:
2542:
2539:
2533:
2527:
2519:
2493:
2461:
2455:
2447:
2435:
2407:
2401:
2393:
2381:
2356:
2331:
2323:
2311:
2267:
2226:
2218:
2206:
2178:
2157:
2137:
2125:
2119:
2107:
2025:{\displaystyle I,J\subseteq A}
1949:
1937:
1929:
1917:
1906:
1900:
1892:
1880:
1870:
1858:
1845:
1839:
1831:
1819:
1800:{\displaystyle \mathbb {C} /g}
1786:
1774:
1755:{\displaystyle \mathbb {C} /f}
1741:
1729:
1704:
1692:
1638:
1619:
1492:
1480:
1471:
1465:
1442:
1430:
1421:
1415:
1392:
1380:
1357:
1299:
1296:
1290:
1281:
1275:
1269:
1236:
1224:
1213:
1201:
1190:
1178:
1169:
1151:
1076:
1036:
852:
826:
823:
797:
763:{\displaystyle A\otimes _{R}B}
701:be a commutative ring and let
522:
509:
1:
3140:Multilinear subspace learning
1973:= 0 in the affine plane over
1568:) for some commutative rings
1405:on the right hand side where
979:The tensor product turns the
960:are the identity elements of
1710:{\displaystyle \mathbb {C} }
190:{\displaystyle \mathbb {Z} }
18:Tensor product of R-algebras
2850:whose underlying rings are
989:symmetric monoidal category
342:Unique factorization domain
3295:
3212:Kassel, Christian (1995),
2000:is a commutative ring and
1664:
679:tensor product of algebras
102:Tensor product of algebras
3125:Tensor product of modules
677:-algebra. This gives the
3130:Tensor product of fields
2852:graded-commutative rings
2184:{\displaystyle (ab+I+J)}
1130:free product of algebras
1120:. The tensor product is
1114:category of commutative
724:may both be regarded as
380:Formal power series ring
330:Integrally closed domain
1676:of two subschemes in a
389:Algebraic number theory
82:Total ring of fractions
3103:
3078:
3058:
3033:
3013:
2881:
2844:
2824:
2804:
2773:
2737:
2618:
2468:
2363:
2185:
2144:
2094:
2026:
1994:
1956:
1801:
1756:
1711:
1648:
1499:
1449:
1399:
1367:
1318:
1099:
1059:
905:
764:
546:Noncommutative algebra
529:
482:
445:
397:Algebraic number field
348:Principal ideal domain
237:
191:
129:Frobenius endomorphism
3235:Lang, Serge (2002) .
3104:
3079:
3059:
3034:
3014:
2882:
2854:, the tensor product
2845:
2825:
2805:
2774:
2738:
2619:
2469:
2364:
2186:
2145:
2095:
2027:
1995:
1957:
1802:
1757:
1712:
1649:
1500:
1450:
1400:
1398:{\displaystyle (f,g)}
1368:
1319:
1100:
1060:
906:
765:
681:. When the ring is a
530:
483:
446:
238:
192:
3120:Extension of scalars
3088:
3068:
3043:
3023:
2891:
2858:
2834:
2814:
2794:
2747:
2632:
2485:
2373:
2198:
2154:
2104:
2036:
2004:
1984:
1811:
1766:
1721:
1684:
1591:
1582:fiber product scheme
1532:with morphisms from
1459:
1409:
1377:
1339:
1143:
1070:
1030:
794:
741:
552:Noncommutative rings
501:
463:
426:
270:Non-associative ring
206:
179:
136:Algebraic structures
3279:Multilinear algebra
3274:Commutative algebra
3173:, pp. 629–630.
2768:
1980:More generally, if
1333:natural isomorphism
1327:where denotes the
311:Commutative algebra
150:Associative algebra
32:Algebraic structure
3102:{\displaystyle b'}
3099:
3074:
3057:{\displaystyle a'}
3054:
3029:
3009:
2877:
2840:
2820:
2800:
2769:
2750:
2733:
2614:
2464:
2359:
2181:
2140:
2090:
2022:
1990:
1952:
1797:
1752:
1707:
1644:
1515:algebraic geometry
1495:
1445:
1395:
1363:
1314:
1134:universal property
1095:
1055:
995:Further properties
929:. This ring is an
901:
760:
565:Semiprimitive ring
525:
478:
441:
249:Related structures
233:
187:
123:Inner automorphism
109:Ring homomorphisms
3227:978-0-387-94370-1
3135:Linearly disjoint
3077:{\displaystyle b}
3032:{\displaystyle a}
2843:{\displaystyle B}
2823:{\displaystyle A}
2803:{\displaystyle R}
2088:
2067:
2047:
2032:are ideals, then
1993:{\displaystyle A}
1222:
1199:
1149:
987:-algebras into a
649:
648:
606:Geometric algebra
317:Commutative rings
168:Category of rings
16:(Redirected from
3286:
3250:
3230:
3219:
3200:
3193:
3187:
3180:
3174:
3168:
3162:
3155:
3108:
3106:
3105:
3100:
3098:
3083:
3081:
3080:
3075:
3063:
3061:
3060:
3055:
3053:
3038:
3036:
3035:
3030:
3019:for homogeneous
3018:
3016:
3015:
3010:
3008:
2994:
2983:
2982:
2981:
2976:
2968:
2963:
2955:
2930:
2919:
2886:
2884:
2883:
2878:
2873:
2872:
2849:
2847:
2846:
2841:
2829:
2827:
2826:
2821:
2809:
2807:
2806:
2801:
2778:
2776:
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