6430:
996:
5696:
515:
6425:{\displaystyle {\mathbf {A} }_{}:={\begin{bmatrix}a_{1,1,\ldots ,1,1,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,1,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{m-1},1,I_{m+1},\ldots ,I_{M}}\\a_{1,1,\ldots ,1,2,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{m-1},2,I_{m+1},\ldots ,I_{M}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{1,1,\ldots ,1,I_{m},1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,I_{m},1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{m-1},I_{m},I_{m+1},\ldots ,I_{M}}\end{bmatrix}}}
991:{\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{M}&\simeq F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}\\&\simeq F^{I_{\pi _{1}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi _{M}}}\\&\simeq F^{I_{\pi _{1}}I_{\pi _{2}}}\otimes F^{I_{\pi _{3}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi _{M}}}\\&\simeq F^{I_{\pi _{1}}I_{\pi _{3}}}\otimes F^{I_{\pi _{2}}}\otimes F^{I_{\pi _{4}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi _{M}}}\\&\,\,\,\vdots \\&\simeq F^{I_{1}I_{2}\ldots I_{M}},\end{aligned}}}
22:
208:. The use of indices presupposes tensors in coordinate representation with respect to a basis. The coordinate representation of a tensor can be regarded as a multi-dimensional array, and a bijection from one set of indices to another therefore amounts to a rearrangement of the array elements into an array of a different shape. Such a rearrangement constitutes a particular kind of
4865:
2675:
3511:
1947:
1611:
4375:
4613:
6694:
2436:
1726:
3235:
1386:
6444:
4210:
1240:
5334:
4860:{\displaystyle \operatorname {vec} ({\mathcal {A}})={\begin{bmatrix}a_{1,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{n_{1},1,\ldots ,1}&a_{1,2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{M}}\end{bmatrix}}^{T},}
6891:
2309:
2966:
2670:{\displaystyle (V_{\pi (1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{1})})\otimes (V_{\pi (r_{1}+1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{2})})\otimes \cdots \otimes (V_{\pi (r_{L-1}+1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{L})}),}
3971:
3506:{\displaystyle (V_{\pi (r_{l-1}+1)}\otimes V_{\pi (r_{l-1}+2)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{l})})\simeq (F^{I_{\pi (r_{l-1}+1)}}\otimes F^{I_{\pi (r_{l-1}+2)}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi (r_{l})}})}
3870:
2223:
1381:
3183:
6767:
1942:{\displaystyle \sum _{i_{1}=1}^{I_{1}}\ldots \sum _{i_{M}=1}^{I_{M}}a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}\mathbf {e} _{i_{1}}^{1}\otimes \mathbf {e} _{i_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{M}}^{M},}
4155:
3726:
5542:
5624:
520:
2431:
2372:
4095:
4447:
2115:
1677:
3083:
2160:
1035:
4989:
1606:{\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{i_{1}=1}^{I_{1}}\ldots \sum _{i_{M}=1}^{I_{M}}a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}v_{i_{1}}^{1}\otimes v_{i_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes v_{i_{M}}^{M},}
4370:{\displaystyle \mathbf {e} _{i_{1}}^{1}\otimes \cdots \mathbf {e} _{i_{m}}^{m}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{M}}^{M}\mapsto \mathbf {e} _{\mu (i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M})},}
5195:
4578:
4527:
4202:
1981:
5685:
5055:
1070:
6689:{\displaystyle }]_{jk}=a_{i_{1}\dots i_{m}\dots i_{M}},\;\;{\text{ where }}j=i_{m}{\text{ and }}k=1+\sum _{n=0 \atop n\neq m}^{M}(i_{n}-1)\prod _{l=0 \atop l\neq m}^{n-1}I_{l}.}
5092:
5228:
4476:
5370:
5016:
4899:
3107:
1721:
345:
3897:
3767:
3230:
3018:
2768:
2741:
2008:
404:
5455:
2045:
1153:
2834:
2801:
1140:
206:
3538:
1291:
478:
451:
4606:
5249:
6772:
4395:
3991:
3203:
2986:
2695:
1697:
1264:
1114:
1094:
508:
424:
372:
278:
250:
230:
180:
160:
6897:
column vectors are arranged by sweeping all the other mode indices through their ranges, with smaller mode indexes varying more rapidly than larger ones; thus
5416:
5138:
304:
2228:
2842:
5549:
3902:
6915:
3772:
2169:
105:
39:
1299:
3112:
6703:
4100:
3543:
86:
58:
43:
5460:
127:
6947:
65:
2377:
2318:
4585:
4004:
1096:
elements. Via these (and other) vector space isomorphisms, a tensor can be interpreted in several ways as an order-
4400:
2054:
1616:
72:
3023:
2128:
1003:
4904:
481:
54:
32:
5143:
4536:
4485:
4160:
3899:
group of factors. The result of applying these isomorphisms within each group of factors is an element of
5688:
4205:
1952:
1294:
5647:
5021:
1044:
2163:
5060:
2433:, but may, of course, be reintroduced to emphasize a particular grouping of factors. In the grouping,
6916:"Multilinear (Tensor) Algebraic Framework for Computer Graphics, Computer Vision and Machine Learning"
5200:
4452:
5351:
4997:
4880:
3088:
1702:
312:
3875:
3731:
3208:
2991:
2746:
2700:
1986:
488:
377:
119:
1235:{\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{M}\simeq F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}
5421:
2016:
1243:
307:
79:
2806:
2773:
1119:
6942:
5329:{\displaystyle {\mathcal {A}}\in F^{I_{1}}\otimes F^{I_{2}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}
185:
6886:{\displaystyle {\mathbf {A} }_{}\in F^{I_{m}\times (I_{1}\dots I_{m-1}I_{m+1}\dots I_{M})}}
3516:
1269:
456:
429:
4591:
1073:
4380:
3976:
3188:
2971:
2680:
2312:
2010:
1682:
1249:
1099:
1079:
493:
409:
357:
263:
235:
215:
165:
145:
135:
5375:
5097:
283:
6936:
4530:
484:
139:
5336:
be the coordinate representation of an abstract tensor with respect to a basis.
4877:
reshapes a higher-order tensor into a vector. In general, the vectorization of
2304:{\displaystyle V_{\pi (1)}\otimes V_{\pi (2)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (M)}}
1038:
21:
4874:
209:
131:
2961:{\displaystyle S_{l}=(\pi (r_{l-1}+1),\pi (r_{l-1}+2),\ldots ,\pi (r_{l}))}
1383:. The expression of a tensor with respect to this basis has the form
4870:
3185:, is obtained by applying the two processes above within each of the
3205:
groups of factors. That is, the coordinate representation of the
3966:{\displaystyle F^{I_{S_{1}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{S_{L}}}}
2311:. Parentheses are usually omitted from such products due to the
4869:
which is consistent with the way in which the colon operator in
3865:{\textstyle I_{S_{l}}:=\prod _{i=r_{l-1}+1}^{r_{l}}I_{\pi (i)}}
3513:, which requires specifying bases for all of the vector spaces
4529:. In such a reshaping, the tensor is simply interpreted as a
2218:{\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes \cdots \otimes V_{M}}
15:
1376:{\displaystyle \{v_{1}^{m},v_{2}^{m},\ldots ,v_{I_{m}}^{m}\}}
6709:
5579:
5357:
5255:
5067:
5039:
5003:
4886:
4628:
3872:, the product of the dimensions of the vector spaces in the
3178:{\displaystyle {\mathcal {A}}_{(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{L})}}
3119:
3094:
1708:
1392:
6762:{\displaystyle {\mathcal {A}}\in F^{I_{1}\times ...I_{M}},}
4150:{\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}
3721:{\displaystyle \mu _{l}:\times \times \cdots \times \to }
510:. Then there are vector space isomorphisms (linear maps)
5644:
in the literature. A standard choice for the bijections
5728:
4645:
3775:
1150:
The first vector space isomorphism on the list above,
6775:
6706:
6447:
5699:
5650:
5552:
5537:{\displaystyle S_{2}=(1,2,\ldots ,m-1,m+1,\ldots ,M)}
5463:
5424:
5378:
5354:
5252:
5203:
5146:
5100:
5063:
5024:
5000:
4907:
4883:
4616:
4594:
4539:
4488:
4455:
4403:
4383:
4213:
4163:
4103:
4007:
3979:
3905:
3878:
3734:
3546:
3519:
3238:
3211:
3191:
3115:
3091:
3026:
2994:
2974:
2845:
2809:
2776:
2749:
2703:
2683:
2439:
2380:
2321:
2231:
2172:
2131:
2057:
2019:
1989:
1955:
1729:
1705:
1685:
1619:
1389:
1302:
1272:
1252:
1156:
1122:
1102:
1082:
1047:
1006:
518:
496:
459:
432:
412:
380:
360:
315:
286:
266:
238:
218:
188:
168:
148:
6893:. As the parenthetical ordering indicates, the mode-
5619:{\displaystyle {\mathbf {A} }_{}={\mathcal {A}}_{}}
3540:. The result is then vectorized using a bijection
3232:group of factors is obtained using the isomorphism
46:. Unsourced material may be challenged and removed.
6885:
6761:
6688:
6424:
5679:
5618:
5536:
5449:
5410:
5364:
5328:
5222:
5189:
5132:
5086:
5049:
5010:
4983:
4893:
4859:
4600:
4572:
4521:
4470:
4441:
4389:
4369:
4196:
4149:
4089:
3985:
3965:
3891:
3864:
3761:
3720:
3532:
3505:
3224:
3197:
3177:
3101:
3077:
3012:
2980:
2960:
2828:
2795:
2762:
2735:
2689:
2669:
2425:
2366:
2303:
2217:
2154:
2109:
2039:
2002:
1975:
1941:
1715:
1691:
1671:
1605:
1375:
1285:
1258:
1234:
1134:
1108:
1088:
1064:
1029:
990:
502:
472:
445:
418:
398:
366:
339:
298:
272:
244:
224:
200:
174:
154:
2426:{\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}}
2367:{\displaystyle V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})}
2166:between the two tensor products of vector spaces
5544:. Usually, a standard matrixizing is denoted by
1246:of an abstract tensor. Assume that each of the
5687:is the one that is consistent with the reshape
2051:-way array whose elements are the coefficients
4090:{\displaystyle \mu :\times \cdots \times \to }
4442:{\displaystyle 1\leq i\leq I_{1}\cdots I_{M}}
2110:{\displaystyle a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}}
1672:{\displaystyle a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}}
8:
1370:
1303:
334:
316:
3078:{\displaystyle (S_{1},S_{2},\ldots ,S_{L})}
2155:{\displaystyle \pi \in {\mathfrak {S}}_{M}}
1030:{\displaystyle \pi \in {\mathfrak {S}}_{M}}
6534:
6533:
4984:{\displaystyle _{i=1}^{I_{1}\cdots I_{M}}}
162:tensor and the set of indices of an order-
6872:
6853:
6837:
6824:
6808:
6803:
6784:
6778:
6777:
6774:
6748:
6726:
6721:
6708:
6707:
6705:
6677:
6661:
6635:
6616:
6603:
6577:
6556:
6550:
6535:
6522:
6509:
6496:
6491:
6475:
6459:
6453:
6452:
6446:
6406:
6381:
6368:
6349:
6330:
6317:
6312:
6275:
6246:
6214:
6185:
6151:
6126:
6101:
6082:
6069:
6064:
6005:
5951:
5935:
5910:
5885:
5866:
5853:
5848:
5789:
5735:
5723:
5708:
5702:
5701:
5698:
5671:
5655:
5649:
5605:
5592:
5584:
5578:
5577:
5561:
5555:
5554:
5551:
5468:
5462:
5429:
5423:
5399:
5386:
5377:
5356:
5355:
5353:
5318:
5313:
5292:
5287:
5272:
5267:
5254:
5253:
5251:
5208:
5202:
5151:
5145:
5121:
5108:
5099:
5072:
5066:
5065:
5062:
5038:
5037:
5023:
5002:
5001:
4999:
4973:
4960:
4955:
4944:
4920:
4915:
4906:
4885:
4884:
4882:
4848:
4832:
4813:
4800:
4795:
4754:
4722:
4717:
4682:
4652:
4640:
4627:
4626:
4615:
4593:
4562:
4549:
4544:
4538:
4511:
4498:
4493:
4487:
4462:
4457:
4454:
4433:
4420:
4402:
4382:
4353:
4334:
4321:
4310:
4305:
4295:
4288:
4283:
4278:
4262:
4255:
4250:
4245:
4232:
4225:
4220:
4215:
4212:
4186:
4173:
4168:
4162:
4139:
4134:
4113:
4108:
4102:
4078:
4065:
4046:
4021:
4006:
3978:
3953:
3948:
3943:
3920:
3915:
3910:
3904:
3883:
3877:
3847:
3835:
3830:
3811:
3800:
3785:
3780:
3774:
3749:
3744:
3739:
3733:
3707:
3702:
3678:
3667:
3625:
3614:
3578:
3567:
3551:
3545:
3524:
3518:
3487:
3476:
3471:
3433:
3422:
3417:
3385:
3374:
3369:
3345:
3334:
3298:
3287:
3257:
3246:
3237:
3216:
3210:
3190:
3164:
3145:
3132:
3124:
3118:
3117:
3114:
3093:
3092:
3090:
3066:
3047:
3034:
3025:
2993:
2973:
2946:
2906:
2872:
2850:
2844:
2814:
2808:
2781:
2775:
2754:
2748:
2721:
2708:
2702:
2682:
2650:
2639:
2603:
2592:
2562:
2551:
2521:
2510:
2486:
2475:
2447:
2438:
2417:
2401:
2388:
2379:
2355:
2342:
2326:
2320:
2286:
2258:
2236:
2230:
2209:
2190:
2177:
2171:
2146:
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2047:. This can be regarded as a
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3728:to obtain an element of
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