865:
33:
74:
872:
128:
1424:
3601:
859:
1145:
2122:
4946:
4816:
4702:
3948:
3835:
3402:
2401:
1653:
3082:
1948:
4148:
4591:
3722:
593:
678:
1541:
1419:{\displaystyle {\{(f(x_{1},\ldots ,x_{n}),g(h_{i}(x_{1}),\ldots ,h_{i}(x_{n})))\mid (x_{1},\ldots ,x_{n})\in X_{i}^{n}-X_{i-1}^{n},f\in F\}}\cup {\operatorname {graph} (h_{i})}{\text{ with }}g=d(f)}
2840:
2583:
2978:
671:
4399:
2915:
4501:
2653:
3351:
1789:
1723:
509:
2281:
1953:
46:
1841:
2740:
4445:
3659:
1017:
379:
4235:
3397:
4335:
4285:
2779:
2233:
3282:
3226:
3197:
3111:
963:
910:
3309:
3253:
2516:
2432:
2169:
4823:
4182:
461:
311:
146:
1137:
1077:
2688:
2484:
3168:
3138:
1454:
1104:
1044:
421:
256:
3979:
5060:
2458:
4709:
4598:
3841:
3728:
4019:
3999:
2189:
2142:
934:
3596:{\displaystyle \Sigma =\mathrm {Variables} \cup \{0,1,2,\ldots ,9\}\cup \{+,-,*\}\cup \{(,)\},{\text{ where }}|*=\mathrm {Variables} \cup \{{0,\ldots ,9}\}}
52:
3363:
We can use the theorem of unique homomorphic extension for calculating numeric expressions over whole numbers. First, we must define the following:
2286:
1546:
2983:
4977:
Logic
Programming and Nonmonotonic Reasoning: 6th International Conference, LPNMR 2001, Vienna, Austria, September 17-19, 2001. Proceedings
4401:
will be a function that calculates recursively the truth-value of a proposition, and in a way, will be an extension of the function
4024:
4508:
1846:
5019:
4989:
182:
164:
60:
3665:
854:{\displaystyle {\hat {h}}(f(x_{1},\ldots ,x_{n}))=g({\hat {h}}(x_{1}),\ldots ,{\hat {h}}(x_{n})),{\text{ where }}g=d(f)\qquad (2)}
517:
5011:
Fuzzy Logic and
Applications: 6th International Workshop, WILF 2005, Crema, Italy, September 15-17, 2005, Revised Selected Papers
2693:
Before moving further we must make use of a new lemma that determines the rules for partial functions, it may be written as:
1459:
2784:
203:
which formalizes the intuition that the truth or falsity of a statement can be deduced from the truth values of its parts.
5077:
2521:
2925:
609:
4342:
1655:, so we only have to determine the functionality for the left side of the union. Knowing that the elements of
2845:
4453:
2591:
2117:{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{m})\in X_{i}^{m}-X_{i-1}^{m},(y_{1},\ldots ,y_{n})\in X_{i}^{n}-X_{i-1}^{n}}
3314:
1728:
1662:
466:
103:
17:
1794:
5035:
4981:
3354:
2918:
2699:
4404:
3609:
976:
2238:
336:
4188:
3369:
4291:
4241:
2745:
2197:
4941:{\displaystyle {\hat {h}}({(\rho \to \theta )})=SE\,ENTAO({\hat {h}}(\rho ),{\hat {h}}(\theta ))}
200:
3258:
3202:
3173:
3087:
939:
886:
2489:
5054:
5015:
4985:
4155:
434:
284:
5009:
4975:
1109:
1049:
2658:
2463:
84:
4811:{\displaystyle {\hat {h}}({(\rho \lor \theta )})=OU({\hat {h}}(\rho ),{\hat {h}}(\theta ))}
4697:{\displaystyle {\hat {h}}({(\rho \land \theta )})=E({\hat {h}}(\rho ),{\hat {h}}(\theta ))}
3943:{\displaystyle f:\Sigma ^{*}x\Sigma ^{*}\to \Sigma _{w_{1},w_{2}\mapsto {w_{1}*w_{2}}}^{*}}
3830:{\displaystyle f:\Sigma ^{*}x\Sigma ^{*}\to \Sigma _{w_{1},w_{2}\mapsto {w_{1}+w_{2}}}^{*}}
3146:
3116:
1432:
1082:
1022:
399:
234:
3955:
3287:
3231:
2406:
2147:
2437:
5005:
4004:
3984:
2174:
2127:
919:
5071:
3255:
that satisfies (1) and (2), it is enough to use a simple induction that shows
936:. To prove the theorem, two requirements must be met: to prove that the extension (
864:
871:
388:
From this lemma we can now build the concept of unique homomorphic extension.
1659:
are functions(again, as defined by the lemma), the only instance where
93:
73:
1429:
First we must be certain the graph actually has functionality, since
2396:{\displaystyle f\neq {f'},f(x_{1},\ldots ,x_{m})=f'(y_{1},\ldots ,Y_{n})}
1648:{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\in X_{i}^{n}-X_{i-1}^{n},(i\geq 0)}
3077:{\displaystyle dom({\hat {h}})=\bigcup dom(h_{i})=\bigcup X_{i}=X_{+}}
4447:
that associates a truth-value to each atomic proposition, such that:
3353:, and such is proved the Theorem of the Unique Homomorphic Extension.
5037:
Logic For
Computer Science: Foundations of Automatic Theorem Proving
4974:
Eiter, Thomas; Faber, Wolfgang; Trusczynksi, Miroslaw (2003-08-06).
4143:{\displaystyle B=\mathbb {Z} ,G={\{Soma(-.-),Mult(-,-),Menos(-)}\}}
4586:{\displaystyle {\hat {h}}({(\neg \phi )})=NAO({\hat {h}}(\psi ))}
1943:{\displaystyle x=f(x_{1},\ldots ,x_{m})=f'(y_{1},\ldots ,y_{n})}
121:
67:
26:
5008:; Petrosino, Alfredo; Tettamanzi, Andrea G. B. (2006-02-15).
1019:
inductively, satisfying conditions (1) and (2) restricted to
3717:{\displaystyle f:\Sigma ^{*}\to \Sigma _{w\mapsto {-w}}^{*}}
870:
863:
588:{\displaystyle \forall x\in X,{\hat {h}}(x)=h(x);\qquad (1)}
965:) exists and is unique (assuring the lack of bijections).
3199:
satisfies (1) and (2). To prove the uniqueness of
1536:{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\in X_{i+1}-X_{i}}
142:
98:
88:
2835:{\displaystyle f_{n}\subseteq f_{n+1},\forall n\geq 0}
4826:
4712:
4601:
4511:
4456:
4407:
4345:
4294:
4244:
4191:
4158:
4027:
4007:
3987:
3958:
3844:
3731:
3668:
3612:
3405:
3372:
3317:
3290:
3261:
3234:
3205:
3176:
3149:
3119:
3090:
2986:
2928:
2848:
2787:
2748:
2702:
2661:
2594:
2524:
2492:
2466:
2440:
2409:
2289:
2241:
2200:
2177:
2150:
2130:
1956:
1849:
1797:
1731:
1665:
1549:
1462:
1435:
1148:
1112:
1085:
1052:
1025:
979:
942:
922:
889:
681:
612:
520:
469:
437:
402:
339:
287:
237:
2578:{\displaystyle x_{j}=y_{j},\forall j,1\leq j\leq n}
137:
may be too technical for most readers to understand
4940:
4810:
4696:
4585:
4495:
4439:
4393:
4329:
4279:
4229:
4176:
4142:
4013:
3993:
3973:
3942:
3829:
3716:
3653:
3595:
3391:
3345:
3303:
3276:
3247:
3220:
3191:
3162:
3132:
3105:
3076:
2973:{\displaystyle {\hat {h}}=\bigcup _{i\geq 0}h_{i}}
2972:
2909:
2834:
2773:
2734:
2682:
2647:
2577:
2510:
2478:
2452:
2426:
2395:
2275:
2227:
2183:
2163:
2136:
2116:
1942:
1835:
1783:
1717:
1647:
1535:
1456: is a free set, from the lemma we have
1448:
1418:
1131:
1098:
1071:
1038:
1011:
957:
928:
904:
853:
665:
587:
503:
455:
415:
373:
305:
250:
666:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X_{+}^{n},}
3143:Furthermore, it is clear from the definition of
4394:{\displaystyle {\hat {h}}:X_{+}\to \{{0,1}\}}
8:
4434:
4420:
4388:
4374:
4137:
4049:
3648:
3619:
3590:
3570:
3516:
3504:
3498:
3480:
3474:
3444:
2910:{\displaystyle g=(A,\bigcup graph(f_{n}),B)}
1362:
1150:
912:is an homomorphism, specifically named the
883:The identities seen in (1) e (2) show that
61:Learn how and when to remove these messages
18:Theorem of the unique homomorphic extension
5059:: CS1 maint: location missing publisher (
4496:{\displaystyle {\hat {h}}(\phi )=h(\phi )}
2648:{\displaystyle y=z=g(x_{1},\ldots ,x_{n})}
4915:
4914:
4891:
4890:
4871:
4842:
4828:
4827:
4825:
4785:
4784:
4761:
4760:
4728:
4714:
4713:
4711:
4671:
4670:
4647:
4646:
4617:
4603:
4602:
4600:
4560:
4559:
4527:
4513:
4512:
4510:
4458:
4457:
4455:
4423:
4406:
4377:
4365:
4347:
4346:
4344:
4301:
4293:
4251:
4243:
4198:
4190:
4157:
4048:
4035:
4034:
4026:
4006:
3986:
3957:
3934:
3926:
3913:
3908:
3899:
3886:
3881:
3868:
3855:
3843:
3821:
3813:
3800:
3795:
3786:
3773:
3768:
3755:
3742:
3730:
3708:
3699:
3692:
3679:
3667:
3622:
3611:
3573:
3538:
3527:
3522:
3412:
3404:
3383:
3371:
3322:
3316:
3291:
3289:
3263:
3262:
3260:
3235:
3233:
3207:
3206:
3204:
3178:
3177:
3175:
3154:
3148:
3124:
3118:
3092:
3091:
3089:
3068:
3055:
3036:
3000:
2999:
2985:
2964:
2948:
2930:
2929:
2927:
2889:
2847:
2805:
2792:
2786:
2753:
2747:
2720:
2710:
2701:
2660:
2636:
2617:
2593:
2542:
2529:
2523:
2502:
2497:
2491:
2465:
2439:
2408:
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2365:
2338:
2319:
2296:
2288:
2264:
2259:
2242:
2240:
2216:
2211:
2199:
2176:
2151:
2149:
2129:
2108:
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2084:
2079:
2063:
2044:
2028:
2017:
2004:
1999:
1983:
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1955:
1931:
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1848:
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1597:
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1527:
1508:
1492:
1473:
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1440:
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1393:
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1149:
1147:
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1084:
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1051:
1030:
1024:
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984:
978:
944:
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941:
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818:
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784:
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748:
747:
726:
707:
683:
682:
680:
654:
649:
636:
617:
611:
537:
536:
519:
489:
471:
470:
468:
436:
407:
401:
359:
338:
286:
242:
236:
183:Learn how and when to remove this message
165:Learn how and when to remove this message
149:, without removing the technical details.
2980:is a partial function. Since
317: that maps with each function
4957:
973:We must define a sequence of functions
5052:
463: there is a single function
423: is a free set generated by
277: be the set of functions on
3346:{\displaystyle X_{i},\forall i\geq 0}
1784:{\displaystyle (x,z)\in graph(h_{i})}
1718:{\displaystyle (x,y)\in graph(h_{i})}
504:{\displaystyle {\hat {h}}:X_{+}\to B}
281:, such that there is a function
273: any non-empty set and let
147:make it understandable to non-experts
7:
258: the inductive closure of
197:unique homomorphic extension theorem
4531:
3878:
3865:
3852:
3765:
3752:
3739:
3689:
3676:
3563:
3560:
3557:
3554:
3551:
3548:
3545:
3542:
3539:
3437:
3434:
3431:
3428:
3425:
3422:
3419:
3416:
3413:
3406:
3380:
3331:
2820:
2551:
1836:{\displaystyle x\in X_{i+1}-X_{i}}
521:
333: the following function
25:
2735:{\displaystyle (f_{n})_{n\geq 0}}
227: a set of functions in
42:This article has multiple issues.
4440:{\displaystyle h:X\to \{{0,1}\}}
3654:{\displaystyle F=\{{f-,f+,f*}\}}
2742:a sequence of partial functions
1843:is possible is if we have
1139:shall have the following graph:
1012:{\displaystyle h_{i}:X_{i}\to B}
126:
72:
31:
2276:{\displaystyle {f'}(X_{+}^{n})}
841:
575:
374:{\displaystyle d(f):B^{n}\to B}
215: be a non-empty set,
50:or discuss these issues on the
4935:
4932:
4926:
4920:
4908:
4902:
4896:
4887:
4859:
4855:
4849:
4843:
4839:
4833:
4805:
4802:
4796:
4790:
4778:
4772:
4766:
4757:
4745:
4741:
4729:
4725:
4719:
4691:
4688:
4682:
4676:
4664:
4658:
4652:
4643:
4634:
4630:
4618:
4614:
4608:
4580:
4577:
4571:
4565:
4556:
4541:
4537:
4528:
4524:
4518:
4490:
4484:
4475:
4469:
4463:
4417:
4371:
4352:
4309:
4298:
4259:
4248:
4206:
4195:
4168:
4133:
4127:
4106:
4094:
4076:
4064:
3905:
3874:
3792:
3761:
3696:
3685:
3528:
3513:
3507:
3268:
3212:
3183:
3097:
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