790:
448:
617:
330:
323:
182:
543:
233:
209:
148:
673:
479:
50:
643:
124:
563:
519:
499:
273:
253:
93:
73:
831:
734:
568:
755:
646:
443:{\displaystyle \operatorname {length} _{B}(B/QB)=\operatorname {length} _{B}(B/{\mathfrak {m}}B)\operatorname {length} _{A}(A/Q).}
850:
278:
824:
157:
855:
817:
524:
214:
190:
129:
652:
458:
29:
751:
745:
730:
769:
622:
24:
765:
773:
761:
106:
801:
548:
504:
484:
258:
238:
78:
58:
750:. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Cambridge University Press.
844:
724:
789:
797:
729:. Interscience tracts in pure and applied mathematics. Krieger.
612:{\displaystyle \operatorname {length} _{B}(B/{\mathfrak {m}}B)}
805:
649:
if and only if the theorem of transition holds between
655:
625:
571:
551:
527:
507:
487:
461:
333:
281:
261:
241:
217:
193:
160:
132:
109:
81:
61:
32:
667:
637:
611:
557:
537:
513:
493:
473:
442:
317:
267:
247:
227:
203:
176:
142:
118:
87:
67:
44:
318:{\displaystyle \operatorname {length} _{B}(B/QB)}
825:
8:
16:Theorem about commutative rings and subrings
702:
700:
832:
818:
706:
654:
624:
597:
596:
591:
576:
570:
550:
529:
528:
526:
506:
486:
460:
426:
411:
395:
394:
389:
374:
353:
338:
332:
301:
286:
280:
260:
240:
219:
218:
216:
195:
194:
192:
162:
161:
159:
134:
133:
131:
108:
80:
60:
31:
684:
691:
177:{\displaystyle {\mathfrak {n}}\cap A}
126:is proper and for each maximal ideal
7:
786:
784:
598:
530:
396:
220:
196:
163:
135:
14:
647:faithfully flat ring homomorphism
619:is finite, the natural inclusion
788:
538:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
228:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
204:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
143:{\displaystyle {\mathfrak {n}}}
629:
606:
585:
434:
420:
404:
383:
364:
347:
312:
295:
95:; i.e., for each proper ideal
1:
804:. You can help Knowledge by
744:Matsumura, Hideyuki (1986).
521:and for each maximal ideal
872:
783:
668:{\displaystyle A\subset B}
474:{\displaystyle A\subset B}
45:{\displaystyle A\subset B}
455:Given commutative rings
23:is said to hold between
851:Theorems in ring theory
747:Commutative ring theory
709:, Ch. 8, Exercise 22.1.
325:is finite and moreover
187:for each maximal ideal
800:-related article is a
669:
639:
638:{\displaystyle A\to B}
613:
559:
539:
515:
495:
475:
444:
319:
269:
249:
229:
205:
178:
144:
120:
89:
69:
46:
670:
640:
614:
560:
540:
516:
496:
476:
445:
320:
270:
250:
230:
206:
179:
145:
121:
90:
70:
47:
21:theorem of transition
653:
623:
569:
549:
525:
505:
485:
459:
331:
279:
259:
239:
215:
191:
158:
130:
107:
79:
59:
30:
723:Nagata, M. (1975).
665:
635:
609:
555:
535:
511:
491:
471:
440:
315:
265:
245:
225:
201:
174:
140:
119:{\displaystyle IB}
116:
85:
65:
42:
813:
812:
736:978-0-88275-228-0
558:{\displaystyle A}
514:{\displaystyle A}
494:{\displaystyle B}
268:{\displaystyle A}
248:{\displaystyle Q}
88:{\displaystyle A}
68:{\displaystyle B}
25:commutative rings
863:
834:
827:
820:
792:
785:
777:
740:
710:
704:
695:
689:
674:
672:
671:
666:
644:
642:
641:
636:
618:
616:
615:
610:
602:
601:
595:
581:
580:
564:
562:
561:
556:
544:
542:
541:
536:
534:
533:
520:
518:
517:
512:
500:
498:
497:
492:
480:
478:
477:
472:
449:
447:
446:
441:
430:
416:
415:
400:
399:
393:
379:
378:
357:
343:
342:
324:
322:
321:
316:
305:
291:
290:
274:
272:
271:
266:
254:
252:
251:
246:
234:
232:
231:
226:
224:
223:
210:
208:
207:
202:
200:
199:
183:
181:
180:
175:
167:
166:
149:
147:
146:
141:
139:
138:
125:
123:
122:
117:
94:
92:
91:
86:
74:
72:
71:
66:
51:
49:
48:
43:
19:In algebra, the
871:
870:
866:
865:
864:
862:
861:
860:
841:
840:
839:
838:
781:
758:
743:
737:
722:
719:
714:
713:
705:
698:
694:, Ch. II, § 19.
690:
686:
681:
651:
650:
621:
620:
572:
567:
566:
547:
546:
523:
522:
503:
502:
483:
482:
457:
456:
407:
370:
334:
329:
328:
282:
277:
276:
257:
256:
237:
236:
235:-primary ideal
213:
212:
189:
188:
156:
155:
128:
127:
105:
104:
77:
76:
57:
56:
28:
27:
17:
12:
11:
5:
869:
867:
859:
858:
853:
843:
842:
837:
836:
829:
822:
814:
811:
810:
793:
779:
778:
756:
741:
735:
718:
715:
712:
711:
707:Matsumura 1986
696:
683:
682:
680:
677:
664:
661:
658:
634:
631:
628:
608:
605:
600:
594:
590:
587:
584:
579:
575:
554:
532:
510:
490:
470:
467:
464:
453:
452:
451:
450:
439:
436:
433:
429:
425:
422:
419:
414:
410:
406:
403:
398:
392:
388:
385:
382:
377:
373:
369:
366:
363:
360:
356:
352:
349:
346:
341:
337:
314:
311:
308:
304:
300:
297:
294:
289:
285:
264:
244:
222:
198:
185:
173:
170:
165:
137:
115:
112:
84:
64:
41:
38:
35:
15:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
868:
857:
856:Algebra stubs
854:
852:
849:
848:
846:
835:
830:
828:
823:
821:
816:
815:
809:
807:
803:
799:
794:
791:
787:
782:
775:
771:
767:
763:
759:
757:0-521-36764-6
753:
749:
748:
742:
738:
732:
728:
727:
721:
720:
716:
708:
703:
701:
697:
693:
688:
685:
678:
676:
662:
659:
656:
648:
632:
626:
603:
592:
588:
582:
577:
573:
552:
508:
488:
468:
465:
462:
437:
431:
427:
423:
417:
412:
408:
401:
390:
386:
380:
375:
371:
367:
361:
358:
354:
350:
344:
339:
335:
327:
326:
309:
306:
302:
298:
292:
287:
283:
262:
242:
186:
171:
168:
153:
113:
110:
102:
98:
82:
62:
55:
54:
53:
39:
36:
33:
26:
22:
806:expanding it
795:
780:
746:
725:
687:
454:
151:
100:
96:
20:
18:
726:Local Rings
692:Nagata 1975
845:Categories
774:0603.13001
717:References
565:such that
501:dominates
481:such that
184:is maximal
75:dominates
660:⊂
630:→
583:
466:⊂
418:
381:
345:
293:
169:∩
37:⊂
798:algebra
766:0879273
772:
764:
754:
733:
574:length
409:length
372:length
336:length
284:length
796:This
679:Notes
645:is a
802:stub
752:ISBN
731:ISBN
211:and
770:Zbl
545:of
255:of
150:of
99:of
52:if
847::
768:.
762:MR
760:.
699:^
675:.
275:,
154:,
103:,
833:e
826:t
819:v
808:.
776:.
739:.
663:B
657:A
633:B
627:A
607:)
604:B
599:m
593:/
589:B
586:(
578:B
553:A
531:m
509:A
489:B
469:B
463:A
438:.
435:)
432:Q
428:/
424:A
421:(
413:A
405:)
402:B
397:m
391:/
387:B
384:(
376:B
368:=
365:)
362:B
359:Q
355:/
351:B
348:(
340:B
313:)
310:B
307:Q
303:/
299:B
296:(
288:B
263:A
243:Q
221:m
197:m
172:A
164:n
152:B
136:n
114:B
111:I
101:A
97:I
83:A
63:B
40:B
34:A
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
