854:
22:
63:
861:
117:
1413:
3590:
848:
1134:
2111:
4935:
4805:
4691:
3937:
3824:
3391:
2390:
1642:
3071:
1937:
4137:
4580:
3711:
582:
667:
1530:
1408:{\displaystyle {\{(f(x_{1},\ldots ,x_{n}),g(h_{i}(x_{1}),\ldots ,h_{i}(x_{n})))\mid (x_{1},\ldots ,x_{n})\in X_{i}^{n}-X_{i-1}^{n},f\in F\}}\cup {\operatorname {graph} (h_{i})}{\text{ with }}g=d(f)}
2829:
2572:
2967:
660:
4388:
2904:
4490:
2642:
3340:
1778:
1712:
498:
2270:
1942:
35:
1830:
2729:
4434:
3648:
1006:
368:
4224:
3386:
4324:
4274:
2768:
2222:
3271:
3215:
3186:
3100:
952:
899:
3298:
3242:
2505:
2421:
2158:
4812:
4171:
450:
300:
135:
1126:
1066:
2677:
2473:
3157:
3127:
1443:
1093:
1033:
410:
245:
3968:
5049:
2447:
4698:
4587:
3830:
3717:
4008:
3988:
2178:
2131:
923:
3585:{\displaystyle \Sigma =\mathrm {Variables} \cup \{0,1,2,\ldots ,9\}\cup \{+,-,*\}\cup \{(,)\},{\text{ where }}|*=\mathrm {Variables} \cup \{{0,\ldots ,9}\}}
41:
3352:
We can use the theorem of unique homomorphic extension for calculating numeric expressions over whole numbers. First, we must define the following:
2275:
1535:
2972:
4966:
Logic
Programming and Nonmonotonic Reasoning: 6th International Conference, LPNMR 2001, Vienna, Austria, September 17-19, 2001. Proceedings
4390:
will be a function that calculates recursively the truth-value of a proposition, and in a way, will be an extension of the function
4013:
4497:
1835:
5008:
4978:
171:
153:
49:
3654:
843:{\displaystyle {\hat {h}}(f(x_{1},\ldots ,x_{n}))=g({\hat {h}}(x_{1}),\ldots ,{\hat {h}}(x_{n})),{\text{ where }}g=d(f)\qquad (2)}
506:
5000:
Fuzzy Logic and
Applications: 6th International Workshop, WILF 2005, Crema, Italy, September 15-17, 2005, Revised Selected Papers
2682:
Before moving further we must make use of a new lemma that determines the rules for partial functions, it may be written as:
1448:
2773:
192:
which formalizes the intuition that the truth or falsity of a statement can be deduced from the truth values of its parts.
5066:
2510:
2914:
598:
4331:
1644:, so we only have to determine the functionality for the left side of the union. Knowing that the elements of
2834:
4442:
2580:
2106:{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{m})\in X_{i}^{m}-X_{i-1}^{m},(y_{1},\ldots ,y_{n})\in X_{i}^{n}-X_{i-1}^{n}}
3303:
1717:
1651:
455:
92:
1783:
5024:
4970:
3343:
2907:
2688:
4393:
3598:
965:
2227:
325:
4177:
3358:
4280:
4230:
2734:
2186:
4930:{\displaystyle {\hat {h}}({(\rho \to \theta )})=SE\,ENTAO({\hat {h}}(\rho ),{\hat {h}}(\theta ))}
189:
3247:
3191:
3162:
3076:
928:
875:
2478:
5043:
5004:
4974:
4144:
423:
273:
4998:
4964:
1098:
1038:
2647:
2452:
73:
4800:{\displaystyle {\hat {h}}({(\rho \lor \theta )})=OU({\hat {h}}(\rho ),{\hat {h}}(\theta ))}
4686:{\displaystyle {\hat {h}}({(\rho \land \theta )})=E({\hat {h}}(\rho ),{\hat {h}}(\theta ))}
3932:{\displaystyle f:\Sigma ^{*}x\Sigma ^{*}\to \Sigma _{w_{1},w_{2}\mapsto {w_{1}*w_{2}}}^{*}}
3819:{\displaystyle f:\Sigma ^{*}x\Sigma ^{*}\to \Sigma _{w_{1},w_{2}\mapsto {w_{1}+w_{2}}}^{*}}
3135:
3105:
1421:
1071:
1011:
388:
223:
3944:
3276:
3220:
2395:
2136:
2426:
4994:
3993:
3973:
2163:
2116:
908:
5060:
3244:
that satisfies (1) and (2), it is enough to use a simple induction that shows
925:. To prove the theorem, two requirements must be met: to prove that the extension (
853:
860:
377:
From this lemma we can now build the concept of unique homomorphic extension.
1648:
are functions(again, as defined by the lemma), the only instance where
82:
62:
1418:
First we must be certain the graph actually has functionality, since
2385:{\displaystyle f\neq {f'},f(x_{1},\ldots ,x_{m})=f'(y_{1},\ldots ,Y_{n})}
1637:{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\in X_{i}^{n}-X_{i-1}^{n},(i\geq 0)}
3066:{\displaystyle dom({\hat {h}})=\bigcup dom(h_{i})=\bigcup X_{i}=X_{+}}
4436:
that associates a truth-value to each atomic proposition, such that:
3342:, and such is proved the Theorem of the Unique Homomorphic Extension.
5026:
Logic For
Computer Science: Foundations of Automatic Theorem Proving
4963:
Eiter, Thomas; Faber, Wolfgang; Trusczynksi, Miroslaw (2003-08-06).
4132:{\displaystyle B=\mathbb {Z} ,G={\{Soma(-.-),Mult(-,-),Menos(-)}\}}
4575:{\displaystyle {\hat {h}}({(\neg \phi )})=NAO({\hat {h}}(\psi ))}
1932:{\displaystyle x=f(x_{1},\ldots ,x_{m})=f'(y_{1},\ldots ,y_{n})}
110:
56:
15:
4997:; Petrosino, Alfredo; Tettamanzi, Andrea G. B. (2006-02-15).
1008:
inductively, satisfying conditions (1) and (2) restricted to
3706:{\displaystyle f:\Sigma ^{*}\to \Sigma _{w\mapsto {-w}}^{*}}
859:
852:
577:{\displaystyle \forall x\in X,{\hat {h}}(x)=h(x);\qquad (1)}
954:) exists and is unique (assuring the lack of bijections).
3188:
satisfies (1) and (2). To prove the uniqueness of
1525:{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\in X_{i+1}-X_{i}}
131:
87:
77:
2824:{\displaystyle f_{n}\subseteq f_{n+1},\forall n\geq 0}
4815:
4701:
4590:
4500:
4445:
4396:
4334:
4283:
4233:
4180:
4147:
4016:
3996:
3976:
3947:
3833:
3720:
3657:
3601:
3394:
3361:
3306:
3279:
3250:
3223:
3194:
3165:
3138:
3108:
3079:
2975:
2917:
2837:
2776:
2737:
2691:
2650:
2583:
2513:
2481:
2455:
2429:
2398:
2278:
2230:
2189:
2166:
2139:
2119:
1945:
1838:
1786:
1720:
1654:
1538:
1451:
1424:
1137:
1101:
1074:
1041:
1014:
968:
931:
911:
878:
670:
601:
509:
458:
426:
391:
328:
276:
226:
2567:{\displaystyle x_{j}=y_{j},\forall j,1\leq j\leq n}
126:
may be too technical for most readers to understand
4929:
4799:
4685:
4574:
4484:
4428:
4382:
4318:
4268:
4218:
4165:
4131:
4002:
3982:
3962:
3931:
3818:
3705:
3642:
3584:
3380:
3334:
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3236:
3209:
3180:
3151:
3121:
3094:
3065:
2962:{\displaystyle {\hat {h}}=\bigcup _{i\geq 0}h_{i}}
2961:
2898:
2823:
2762:
2723:
2671:
2636:
2566:
2499:
2467:
2441:
2415:
2384:
2264:
2216:
2172:
2152:
2125:
2105:
1931:
1824:
1772:
1706:
1636:
1524:
1445: is a free set, from the lemma we have
1437:
1407:
1120:
1087:
1060:
1027:
1000:
946:
917:
893:
842:
654:
576:
492:
444:
404:
362:
294:
239:
655:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X_{+}^{n},}
3132:Furthermore, it is clear from the definition of
4383:{\displaystyle {\hat {h}}:X_{+}\to \{{0,1}\}}
8:
4423:
4409:
4377:
4363:
4126:
4038:
3637:
3608:
3579:
3559:
3505:
3493:
3487:
3469:
3463:
3433:
2899:{\displaystyle g=(A,\bigcup graph(f_{n}),B)}
1351:
1139:
901:is an homomorphism, specifically named the
872:The identities seen in (1) e (2) show that
50:Learn how and when to remove these messages
5048:: CS1 maint: location missing publisher (
4485:{\displaystyle {\hat {h}}(\phi )=h(\phi )}
2637:{\displaystyle y=z=g(x_{1},\ldots ,x_{n})}
4904:
4903:
4880:
4879:
4860:
4831:
4817:
4816:
4814:
4774:
4773:
4750:
4749:
4717:
4703:
4702:
4700:
4660:
4659:
4636:
4635:
4606:
4592:
4591:
4589:
4549:
4548:
4516:
4502:
4501:
4499:
4447:
4446:
4444:
4412:
4395:
4366:
4354:
4336:
4335:
4333:
4290:
4282:
4240:
4232:
4187:
4179:
4146:
4037:
4024:
4023:
4015:
3995:
3975:
3946:
3923:
3915:
3902:
3897:
3888:
3875:
3870:
3857:
3844:
3832:
3810:
3802:
3789:
3784:
3775:
3762:
3757:
3744:
3731:
3719:
3697:
3688:
3681:
3668:
3656:
3611:
3600:
3562:
3527:
3516:
3511:
3401:
3393:
3372:
3360:
3311:
3305:
3280:
3278:
3252:
3251:
3249:
3224:
3222:
3196:
3195:
3193:
3167:
3166:
3164:
3143:
3137:
3113:
3107:
3081:
3080:
3078:
3057:
3044:
3025:
2989:
2988:
2974:
2953:
2937:
2919:
2918:
2916:
2878:
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2794:
2781:
2775:
2742:
2736:
2709:
2699:
2690:
2649:
2625:
2606:
2582:
2531:
2518:
2512:
2491:
2486:
2480:
2454:
2428:
2397:
2373:
2354:
2327:
2308:
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2277:
2253:
2248:
2231:
2229:
2205:
2200:
2188:
2165:
2140:
2138:
2118:
2097:
2086:
2073:
2068:
2052:
2033:
2017:
2006:
1993:
1988:
1972:
1953:
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1855:
1837:
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1599:
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1450:
1429:
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1372:
1358:
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1309:
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1100:
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1073:
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1040:
1019:
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933:
932:
930:
910:
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879:
877:
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774:
773:
755:
737:
736:
715:
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672:
671:
669:
643:
638:
625:
606:
600:
526:
525:
508:
478:
460:
459:
457:
425:
396:
390:
348:
327:
275:
231:
225:
172:Learn how and when to remove this message
154:Learn how and when to remove this message
138:, without removing the technical details.
2969:is a partial function. Since
306: that maps with each function
4946:
962:We must define a sequence of functions
5041:
452: there is a single function
412: is a free set generated by
266: be the set of functions on
3335:{\displaystyle X_{i},\forall i\geq 0}
1773:{\displaystyle (x,z)\in graph(h_{i})}
1707:{\displaystyle (x,y)\in graph(h_{i})}
493:{\displaystyle {\hat {h}}:X_{+}\to B}
270:, such that there is a function
262: any non-empty set and let
136:make it understandable to non-experts
7:
247: the inductive closure of
186:unique homomorphic extension theorem
4520:
3867:
3854:
3841:
3754:
3741:
3728:
3678:
3665:
3552:
3549:
3546:
3543:
3540:
3537:
3534:
3531:
3528:
3426:
3423:
3420:
3417:
3414:
3411:
3408:
3405:
3402:
3395:
3369:
3320:
2809:
2540:
1825:{\displaystyle x\in X_{i+1}-X_{i}}
510:
322: the following function
14:
2724:{\displaystyle (f_{n})_{n\geq 0}}
216: a set of functions in
31:This article has multiple issues.
4429:{\displaystyle h:X\to \{{0,1}\}}
3643:{\displaystyle F=\{{f-,f+,f*}\}}
2731:a sequence of partial functions
1832:is possible is if we have
1128:shall have the following graph:
1001:{\displaystyle h_{i}:X_{i}\to B}
115:
61:
20:
2265:{\displaystyle {f'}(X_{+}^{n})}
830:
564:
363:{\displaystyle d(f):B^{n}\to B}
204: be a non-empty set,
39:or discuss these issues on the
4924:
4921:
4915:
4909:
4897:
4891:
4885:
4876:
4848:
4844:
4838:
4832:
4828:
4822:
4794:
4791:
4785:
4779:
4767:
4761:
4755:
4746:
4734:
4730:
4718:
4714:
4708:
4680:
4677:
4671:
4665:
4653:
4647:
4641:
4632:
4623:
4619:
4607:
4603:
4597:
4569:
4566:
4560:
4554:
4545:
4530:
4526:
4517:
4513:
4507:
4479:
4473:
4464:
4458:
4452:
4406:
4360:
4341:
4298:
4287:
4248:
4237:
4195:
4184:
4157:
4122:
4116:
4095:
4083:
4065:
4053:
3894:
3863:
3781:
3750:
3685:
3674:
3517:
3502:
3496:
3257:
3201:
3172:
3086:
3031:
3018:
3000:
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