1454:
1040:
1449:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{x+i0}}&=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}{\frac {1}{x+i\varepsilon }}&&{\text{(1)}}\\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log(x+i\varepsilon )&&{\text{(2)}}\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\log(x+i\varepsilon )&&{\text{(3)}}\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\log \vert x\vert +i\pi (1-H(x)))&&{\text{(4)}}\\&=\operatorname {v.\!p.} {\frac {1}{x}}-i\pi \delta (x)&&{\text{(5)}}\end{aligned}}}
2775:
3319:
1608:
2288:
1008:
2491:
773:
2588:
1979:
3142:
1478:
26:
I started writing the following when I thought that there was no
Knowledge (XXG) article on the subject. I later discovered that there already was, but I hadn't found it earlier because it was under the incorrect title of Sokhatsky–Weierstrass theorem. It is now correctly titled as
491:
2134:
786:
2379:
2123:
1752:
641:
2770:{\displaystyle \left\vert \lim _{\delta \rightarrow 0+}\int _{-\delta }^{\delta }\log \vert x\vert \varphi '(x)\,dx\right\vert \leq \lim _{\delta \rightarrow 0+}\Vert \varphi '\Vert _{\infty }\int _{-\delta }^{\delta }\log \vert x\vert \,dx=0}
188:
3445:
2577:
1837:
3314:{\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0+}\left(\varphi '(-\delta )\log \delta -\varphi '(\delta )\log \delta \right)=\lim _{\delta \rightarrow 0+}\left(2\delta \,\varphi ''(\eta _{\delta })\log \delta \right)=0}
1603:{\displaystyle \left\langle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}{\frac {1}{x+i\varepsilon }},\varphi \right\rangle =\lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\left\langle {\frac {1}{x+i\varepsilon }},\varphi \right\rangle .}
283:
304:
624:
2372:
2925:
3131:
1045:
2283:{\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\log(x+i\varepsilon )={\begin{cases}\log \vert x\vert &{\text{if }}y>0,\\\log \vert x\vert +i\pi &{\text{if }}y<0,\end{cases}}}
1003:{\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\left\mp i\pi \varphi (0)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varphi (x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx.\!}
2486:{\displaystyle \left\langle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log \vert x\vert ,\varphi \right\rangle =\left\langle \operatorname {v.\!p.} {\frac {1}{x}},\varphi \right\rangle .}
2333:
Note that the derivative of a constant is zero, and the derivative of the
Heaviside step function is the Dirac delta function. It remains only to show that for any test function
3374:
2323:
1829:
1803:
768:{\displaystyle \left\langle {\frac {1}{x+i0}},\varphi \right\rangle :=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varphi (x)}{x+i\varepsilon }}\,dx.\!}
2014:
1670:
1654:
1775:
100:
84:
3386:
1974:{\displaystyle \log(x+i\varepsilon )=\log \vert x+i\varepsilon \vert +i\arg(x+i\varepsilon ),\quad {\text{where }}0\leq \arg(x+i\varepsilon )\leq \pi .\!}
2502:
1018:
This proof is from
Choquet-Bruhat, DeWitt-Morette & Dillard-Bleick (1982). We show the top choice of signs; the other choice is similar.
237:
486:{\displaystyle \left\langle \operatorname {v.\!p.} {\frac {1}{x}},\varphi \right\rangle :=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\left,\!}
3480:
502:
2336:
28:
2790:
2936:
2000:
Swapping the distributional derivative and limit is permitted because the distributional derivative is continuous.
91:
3464:
1459:
The explanation of each equality, and the choice of logarithm branch, is given in the following subsection.
1031:
198:
292:
3331:
2118:{\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\log(x+i\varepsilon )=\log \vert x\vert +i\pi (1-H(x)).}
3460:
2296:
1747:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log(x+i\varepsilon )={\frac {1}{x+i\varepsilon }}.}
1808:
1780:
225:
17:
2189:
56:
1992:. The above derivative therefore holds pointwise, and so also holds in the distributional sense.
3325:
780:
Substituting in these definitions we obtain, explicitly in terms of integrals and limits, that
3492:
3476:
1616:
194:
183:{\displaystyle \operatorname {v.\!p.} {\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x)={\frac {1}{x\pm i0}}.}
1760:
1026:
The proof is as follows, where limits and derivatives are in the distributional sense, and
3440:{\displaystyle \left\langle \operatorname {v.\!p.} {\frac {1}{x}},\varphi \right\rangle ,}
61:
214:
3496:
87:
2784:
is a
Schwarz function and log is locally integrable. Thus the expression equals
52:
36:
2572:{\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\log \vert x\vert \varphi '(x)\,dx.}
1984:
This is a continuous, and so smooth, choice of logarithm for these values of
3472:
2325:
is locally integrable, it also holds in the distributional sense.
1613:
The right hand side of this is the definition of the distribution
278:{\displaystyle \langle \delta ,\varphi \rangle :=\varphi (0).\!}
2348:
2276:
619:{\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\left.\!}
1777:
to be the branch of the natural logarithm such that, for
2367:{\displaystyle \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}
31:. Perhaps one day I'll move some of the material there.
193:
The distribution on each side of this equality is the
3389:
3334:
3145:
2939:
2793:
2591:
2505:
2382:
2339:
2299:
2137:
2017:
1840:
1811:
1783:
1763:
1673:
1619:
1481:
1043:
789:
644:
505:
307:
240:
103:
64:
2920:{\displaystyle -\lim _{\delta \rightarrow 0+}\left.}
3126:{\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0+}\left.}
2008:We need to show that, in the distributional sense,
1664:We need to show that, in the distributional sense,
220:The formula involves three separate distributions:
3439:
3368:
3313:
3125:
2919:
2769:
2571:
2485:
2366:
2317:
2282:
2117:
1973:
1823:
1797:
1769:
1746:
1648:
1602:
1448:
1002:
767:
618:
485:
277:
182:
78:
3402:
2448:
1970:
1392:
999:
764:
615:
482:
320:
274:
111:
3237:
3147:
2941:
2798:
2682:
2598:
2293:so the desired equation holds pointwise. Since
2139:
2019:
1542:
1488:
1234:
1135:
1077:
921:
791:
686:
507:
356:
3469:Analysis, Manifolds and Physics. Part I: Basics
1472:By definition of the limit of a distribution,
8:
2882:
2876:
2751:
2745:
2712:
2700:
2646:
2640:
2539:
2533:
2419:
2413:
2312:
2306:
2242:
2236:
2204:
2198:
2076:
2070:
1889:
1874:
1328:
1322:
253:
241:
51:) relates two ways of integrating over the
3413:
3395:
3388:
3339:
3333:
3282:
3266:
3240:
3150:
3144:
3108:
3087:
3076:
3071:
3055:
3047:
2944:
2938:
2902:
2859:
2854:
2838:
2830:
2801:
2792:
2754:
2733:
2725:
2715:
2685:
2666:
2628:
2620:
2601:
2590:
2559:
2521:
2513:
2504:
2459:
2441:
2396:
2390:
2388:
2381:
2357:
2356:
2347:
2346:
2338:
2298:
2256:
2209:
2184:
2142:
2136:
2022:
2016:
1926:
1839:
1810:
1791:
1790:
1782:
1762:
1720:
1682:
1676:
1674:
1672:
1623:
1618:
1565:
1545:
1506:
1491:
1480:
1437:
1403:
1385:
1370:
1302:
1296:
1294:
1279:
1237:
1222:
1216:
1214:
1199:
1161:
1155:
1153:
1138:
1119:
1095:
1080:
1048:
1044:
1042:
989:
957:
951:
943:
924:
884:
863:
852:
847:
831:
823:
794:
788:
754:
722:
716:
708:
689:
650:
643:
600:
579:
568:
563:
547:
539:
510:
504:
497:which is often written more compactly as
467:
446:
440:
435:
421:
400:
391:
383:
359:
331:
313:
306:
239:
156:
122:
104:
102:
68:
63:
7:
3467:; Dillard-Bleick, Margaret (1982).
3369:{\displaystyle \eta _{\delta }\in }
3403:
3396:
3077:
3051:
2860:
2834:
2716:
2522:
2517:
2449:
2442:
2397:
2391:
2318:{\displaystyle \log \vert x\vert }
1683:
1677:
1393:
1386:
1303:
1297:
1223:
1217:
1162:
1156:
952:
947:
853:
827:
717:
712:
569:
543:
441:
387:
321:
314:
112:
105:
24:
2930:Integrating by parts this equals
1824:{\displaystyle \varepsilon >0}
1798:{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
90:. The formula says, in terms of
3501:MathWorld—A Wolfram Web Resource
213:is an arbitrary function in the
3471:(revised ed.). Amsterdam:
3380:). Thus the expression equals
1925:
3363:
3348:
3288:
3275:
3244:
3216:
3210:
3187:
3178:
3154:
3099:
3093:
3018:
3012:
2989:
2980:
2948:
2899:
2893:
2805:
2689:
2663:
2657:
2605:
2556:
2550:
2496:The left hand side of this is
2361:
2353:
2178:
2163:
2146:
2109:
2106:
2100:
2088:
2058:
2043:
2026:
1958:
1943:
1919:
1904:
1862:
1847:
1714:
1699:
1643:
1628:
1549:
1495:
1431:
1425:
1364:
1361:
1358:
1352:
1340:
1313:
1273:
1258:
1241:
1193:
1178:
1142:
1084:
969:
963:
928:
914:
908:
875:
869:
798:
734:
728:
693:
591:
585:
514:
458:
452:
412:
406:
363:
268:
262:
150:
144:
1:
632:The distribution defined as
3519:
49:Plemelj-Sokhotsky formula
29:Sokhotski–Plemelj theorem
1649:{\displaystyle 1/(x+i0)}
209:Throughout this section
1032:Heaviside step function
199:Heaviside step function
3465:DeWitt-Morette, CĂ©cile
3461:Choquet-Bruhat, Yvonne
3441:
3370:
3315:
3127:
2921:
2771:
2573:
2487:
2368:
2319:
2284:
2119:
1975:
1825:
1799:
1771:
1748:
1650:
1604:
1450:
1004:
769:
620:
487:
293:Cauchy principal value
279:
184:
80:
3497:"Sokhotsky's Formula"
3442:
3371:
3316:
3128:
2922:
2772:
2574:
2488:
2369:
2320:
2285:
2120:
1976:
1826:
1800:
1772:
1770:{\displaystyle \log }
1749:
1651:
1605:
1451:
1005:
770:
621:
488:
280:
185:
81:
3387:
3332:
3143:
2937:
2791:
2589:
2503:
2380:
2337:
2297:
2135:
2015:
1838:
1809:
1781:
1761:
1671:
1617:
1479:
1041:
787:
642:
503:
305:
238:
226:Dirac delta function
101:
62:
18:User:Quietbritishjim
3081:
3063:
2864:
2846:
2738:
2633:
2526:
2128:Pointwise we have
956:
857:
839:
721:
573:
555:
445:
399:
79:{\displaystyle 1/x}
57:reciprocal function
43:(also known as the
41:Sokhotsky's formula
3437:
3366:
3326:mean value theorem
3311:
3254:
3164:
3123:
3067:
3043:
2958:
2917:
2850:
2826:
2815:
2767:
2721:
2699:
2616:
2615:
2569:
2509:
2483:
2364:
2315:
2280:
2275:
2156:
2115:
2036:
1971:
1821:
1795:
1767:
1744:
1646:
1600:
1559:
1505:
1446:
1444:
1251:
1152:
1094:
1000:
939:
938:
843:
819:
808:
765:
704:
703:
616:
559:
535:
524:
483:
431:
379:
373:
275:
180:
76:
3421:
3236:
3146:
3106:
2940:
2797:
2681:
2597:
2467:
2405:
2259:
2212:
2138:
2018:
1929:
1739:
1691:
1584:
1541:
1525:
1487:
1440:
1411:
1373:
1311:
1282:
1233:
1231:
1202:
1170:
1134:
1122:
1114:
1076:
1067:
987:
920:
882:
790:
752:
685:
669:
598:
506:
465:
419:
355:
339:
195:Fourier transform
175:
130:
3510:
3504:
3486:
3446:
3444:
3443:
3438:
3433:
3429:
3422:
3414:
3409:
3375:
3373:
3372:
3367:
3344:
3343:
3320:
3318:
3317:
3312:
3304:
3300:
3287:
3286:
3274:
3253:
3232:
3228:
3209:
3177:
3163:
3132:
3130:
3129:
3124:
3119:
3115:
3107:
3102:
3088:
3086:
3082:
3080:
3075:
3062:
3054:
3034:
3030:
3011:
2979:
2957:
2926:
2924:
2923:
2918:
2913:
2909:
2892:
2869:
2865:
2863:
2858:
2845:
2837:
2814:
2776:
2774:
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2578:
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2549:
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2479:
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2460:
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2432:
2428:
2406:
2404:
2400:
2394:
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